Laboratorio di Didattica della Fisica I

Transcript

1 Laboraoro d Ddaca della Fsca I Daa Oraro Aula Tpo 08-mar 5-7:5 A Lezone 3-mar 5-7:5 A Lezone 5-mar 5-7:5 Lab. MM e Dd. Laboraoro 0-mar 5-7:5 A Lezone -mar 5-7:5 Lab. MM e Dd. Laboraoro 7-mar 5-7:5 A Lezone 9-mar 5-7:5 Lab. MM e Dd. Laboraoro 03-apr 5-7:5 B Lezone 05-apr 5-7:5 Lab. MM Laboraoro I urno 0-apr 5-7:5 Lab. MM Laboraoro II urno Maerale su hp:// 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I

2 Laboraoro d Ddaca della Fsca I Fnalà: Elaborazone d unà ddache focalzzae sul conrbuo nnovavo delle ecnologe nformache su process d apprendmeno e sul meodo cosruvsa. In parcolare verranno affrona: l sgnfcao de var pass del processo d formazone della conoscenza scenfca l problema della cosruzone de modell n fsca l ruolo della smulazone al fne della loro valdazone e d una correa comprensone del sgnfcao delle grandezze. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I

3 Laboraoro d Ddaca della Fsca I Argomen: Conoscenza scenfca e modell d apprendmeno Aspe elemenar del calcolo numerco Come nrodurre agl suden d lceo l calcolo numerco L ulzzo d Excel per l negrazone delle equazon del moo Confrono eora espermeno (acquszone de da spermenal n laboraoro. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 3

4 Tecnologe nformache e ddaca della Fsca La proposzone de nuov srumen nformac sa d hardware che d sofware ha apero prospeve meodologche fnora poco esplorae nel campo della ddaca della Fsca. Basa pensare al loro uso per la raccola e l anals de da l calcolo numerco e la manpolazone smbolca progeazone e mplemenazone d modell vsualzzazone d da e smulazone Non va neanche dmencaa l mporanza d Inerne nello scambo d esperenze e conoscenze nel campo ddaco. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 4

5 Tecnologe nformache e ddaca della Fsca Tuava l esperenza mosra che la presenza d compuer d programm e d ree Inerne nelle class non eleva l lvello d apprendmeno se non è presene un accurao pano ddaco per la loro ulzzazone. Mole scuole ogg sono doae d srumen nformac avanza e queso ha n ogn caso aspe posv. La quesone che qu s vuole affronare è se sa possble che al srumen conrbuscano ad una cresca qualava del processo d formazone n parcolare per la pare che aene alla correa acquszone d conce e d meodologe del sapere scenfco. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 5

6 La necessà d un approfondmeno epsemologco Le scele che ogn nsegnane è cosreo a fare ogn gorno su conenu eorc spermenal e procedural rfleono e rasmeono agl alunn l mmagne che egl ha della conoscenza scenfca. Un fsco non è necessaramene un buon docene d Fsca. Infa essere un buon docene compora scuramene anche l conrollo d ecnche d nsegnameno e comuncazone. D alra pare la padronanza delle conoscenze specfche è neludble e ale padronanza s acqussce anche araverso una rflessone su fondamen della dscplna. Quesa rflessone è anche funzonale ad un approcco ddaco non radzonale. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 6

7 Il processo d modellzzazone n Fsca La Fsca (ogn scenza spermenale ha l obevo d analzzare nerpreare e prevedere l comporameno del mondo naurale. La sua valdà rsede dunque nel rsconro con fa. Il fao è l nseme d un gran numero d osservazon quanave da pare d osservaor dvers delle sesse grandezze fsche. Il fao rchede dunque: una defnzone operava delle grandezze (procedura l conenmeno dell errore e la sua valuazone la selezone delle varabl rlevan e delle loro nerazon 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 7

8 Il processo d modellzzazone n Fsca Il secondo passo è la cosruzone d un modello. Che cosa s nende per modello n Fsca? Èla rappresenazone conceuale d un fenomeno reale. Tale rappresenazone non è descrva ma formale basaa coè su un lnguaggo maemaco. Il processo d modellzzazone non può essere a sua vola formalzzao esso procede per ve dverse spesso s basa sulla rcerca d analoge. (Ad esempo l analoga con le onde nello svluppo de modell quansc. È fondamenale soolneare la dfferenza ra l fenomeno e la sua rappresenazone l modello. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 8

9 Schemazzazone del modello n Fsca La caraerzzazone d un modello rchede: Indvduazone de descror: cosuen e connesson ra ess agen esern e connesson con cosuen Assegnazone d varabl a descror: varabl nrnseche (massa carca varabl d sao (poszone velocà pressone varabl d nerazone all nerno o con l eserno (forze poenzal Formulazone d legg d nerazone: relazon ra le varabl (F Gm m /r PV nrt Formulazone d legg d evoluzone: descrvono come cambano le varabl d sao per effeo delle varabl d nerazone (Gm m /r m a eq. d dffusone 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 9

10 Il processo d cosruzone de modell Regolarà nel comporameno d ssem naural osservazone Modell descrv Legg emprche d comporameno spegazone nferenza Ogge fsc che s nfluenzano ra d loro arbuzone Modell Esplcav Legg causal generano le legg emprche 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 0

11 Esempo: l modello gravazonale Regolarà nel moo de pane osservazone Modell descrv Legg d Keplero spegazone nferenza Ogge fsc Pane e Sole arbuzone Modell Esplcav Forza gravazonale 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I

12 La Teora Una Teora scenfca è un ssema d prncp progeual per la modellzzazone d process real. Anche la Teora è caraerzzaa da varabl e da legg. Ad esempo le 3 Legg della Dnamca meono n relazone le varabl d sao (poszon con le varabl d nerazone (forze. Le Legg Teorem le Defnzon della Teora faclano l processo d modellzzazone. È all nerno della Teora della Meccanca Newonana che s svluppano modell come l Oscllaore Armonco o la Gravazone. La Teora da un lao è una sruura generale che conene modell dall alro essa solo araverso modell può essere messa n relazone con la realà. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I

13 I var lvell della conoscenza scenfca Prncp formal Modell esplcav Legg emprche Osservazon 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 3

14 Apprendmeno come cosruzone d modell Menre è assurdo pensare a nsegnare nella Scuola Secondara process d formalzzazone d una Teora scenfca l processo d modellzzazone s presa ad essere l nucleo procedurale e fondane dell apprendmeno della Fsca. Un nsegnameno basao sulla modellzzazone può ruscre a convolgere gl suden nello sforzo d comprensone della realà fsca al fne d: Descrvere predre e conrollare fenomen Rappresenarl n modo smbolco grafco maemaco Famlarzzare con un cero numero d modell d base Affronare la problemaca della valdazone d un modello 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 4

15 Obev del corso e valuazone Quesa ulma pare la valdazone d un modello sulla base delle sue capacà predve sarà l oggeo specfco della seconda pare d queso corso. Tuava l obevo vero sarà quello formulare un unà ddaca che rpercorra per un parcolare fenomeno l possble cclo d cosruzone d un modello. I fenomen da consderare sarà oggeo d un esperenza d laboraoro. Alla fne d queso cclo d lezon formeremo de grupp d lavoro d 3-4 persone che s dedcheranno a svluppare quese unà. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 5

16 Perché le equazon dfferenzal? Tu fenomen fsc compless conducono a modell n cu le equazon sono equazon dfferenzal. Queso è normale n Fsca specalmene quando s sudano fenomen nella loro evoluzone emporale. Per queso movo è necessaro nrodurre alcun elemen d calcolo numerco:. Inzalmene rpasseremo alcune nozon necessare per cosrure l conrollo del docene sull argomeno. Vedremo l uso del foglo eleronco per l negrazone 3. Cercheremo un modo d presenare agl suden le nozon pù semplc e ndspensabl 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 6

17 Calcolo numerco Il prmo presupposo per poer lavorare a queso programma è una mnma conoscenza d calcolo numerco relavamene alle equazon dfferenzal. Non per rasmeerl agl suden ma per avere l conrollo che ogn docene deve avere su possbl dffcolà nconrae dagl suden 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 7

18 Quesa presenazone non è per suden! S usa noazone compaa. Ad es. Mol de conce rchama servono solo al docene per avere un conrollo d quello che fa lo sudene. Ad es. uo quello che dremo sull errore I meod da usare verranno nrodo n manera generale. Ad es. l equazone dfferenzale del II ordne la scrveremo Un esempo della Fsca: g( a d x d F m k m x 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 8

19 Equazon dfferenzal ordnare Un ED è un equazone che convolge una funzone ncogna e una o pù sue dervae. Consdereremo solo funzon d una varable ndpendene (ED Ordnare Esemp dv V C (scarca d un condensaore d R d θ g snθ F( (pendolo d l Le varabl dpenden sono V nella prma equazone e θ nella seconda. In enrambe prma è un' equazone è la varable ndpendene. del I ordne la seconda è del II ordne. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 9 La

20 Condzon auslare Ad un equazone dfferenzale n genere sono assocae delle condzon sulla funzone ncogna e sulle sue dervae Condzon nzal: consse nel fssare al condzon per un sngolo valore della varable ndpendene. r d ( d g con r (0 r 0 rr (0 (moo un grave Condzon al conorno: le condzon vengono fssae per pù valor della varable ndpendene. r v 0 d D( x x v (corda vbrane D( x con D(0 D( L 0 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 0

21 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I Equazon lnear. S possono scrvere Esse godono del Prncpo d sovrapposzone fondamenale n Fsca (Oca Meccanca Quansca. Ad esempo Equazon non lnear (Non rsolubl analcamene Alcun p d equazon dfferenzal ( ( ( ( ( 0 ( ( g a a a a n n n n L per è lo ( ( allora per soluzone è ( e per soluzone è ( Se ( 0 e ( 0 con ( β β α α β α β α β α c c c c g c g c c c g g g

22 Sablà delle soluzon Una caraersca mporane d mol p d equazon dfferenzal è la sablà delle soluzon.una soluzone ( s dce sable se ogn alra soluzone con condzon nzal suffcenemene vcne a quelle d ( rmane n un ubo norno a (. La sablà è un requso mporane per poer rsolvere numercamene l equazone; se essa non è verfcaa accade che gl error nrodo dal calcolo s propagano n manera ale da nvaldare l meodo. Una soluzone non sable vene dea nsable. (Non predcblà chaos 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I

23 Soluzon numerche Mole equazon dfferenzal d uso comune non s sanno rsolvere esplcamene D qu la necessà d soluzon approssmae Quando le approssmazon conssono nel deermnare un valore della soluzone n un cero numero d pun parlamo d soluzon numerche. Il calcolo numerco può comporare dvers problem: non è deo che la soluzone essa ne può essere pù d una n ogn caso c è da enere soo conrollo l errore nrnseco nel po d calcolo. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 3

24 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 4 Ssem d equazon dfferenzal Un ssema d ED del I ordne con condzon nzal s può scrvere Dove Y A e F sono de veor Le funzon F devono essere connue e dervabl perché l ssema possa essere rsolo numercamene. A Y (a Y F Y r r r r r ; (. ( ( ( ; ; n n n n n n Y Y Y F Y Y Y F Y Y Y F F A A A A Y Y Y Y K L K K r L r L r

25 Da un ED a un ssema d ED del I ordne Ogn equazone dfferenzale d ordne n può essere rcondoa a un ssema d n equazon dfferenzal del I Ordne. Consderamo ad esempo l equazone del II ordne: Essa è evdenemene equvalene al Y g( Y Y g( Y Y ssema : 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 5

26 Meod d soluzone numerca Supponamo d avere l equazone f ( ; ( Non faremo alcun enavo d approssmare la soluzone esaa su un nervallo connuo della varable ndpendene ma cercheremo d cosrure una sequenza d valor 3 che approssmano l valore d ( ne pun 3 In genere sono equdsan h con h cosane. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 6

27 Error compuazonal Per error compuazonal s nendono quell nrodo dal calcolaore o alro ssema usao. D queso po sono gl error d roncameno o quell lega al calcolo delle formule. Ques ulm sono ns ad esempo negl algorm che la macchna usa per valuare le funzon elemenar. Queso po d errore può essere enuo soo conrollo almeno fno ad un cero puno aumenando l numero d cfre sgnfcave usae nel programma d calcolo. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 7

28 Error d dscrezzazone Sono gl error che dpendono dal fao d lavorare su un nervallo dscreo della varable ndpendene. Possamo defnre: Errore vero o globale. Per ogn puno E ( - Errore locale. Dea u( la soluzone del problema con condzon nzal u( - - l errore locale è D u( L errore locale coè è l errore commesso solo nell ulmo passo d negrazone ra - e. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 8

29 Errore globale Errore locale ( ( 0 0 ( - errore globale }errore locale /04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 9

30 Gesone dell errore Abbamo deo che gl error compuazonal dmnuscono al crescere del numero d cfre sgnfcave. Tuava n generale queso non può essere fao olre un cero lme. Inolre è charo che pù calcol s fanno maggore è l errore. L errore d dscrezzazone può essere dmnuo rendendo l passo h sempre pù pccolo. Così facendo uava s aumena l numero d pun presen nell nervallo consderao e qund s aumena l numero d calcol. In conclusone occorre conclare due esgenze conrappose. (Nel nosro caso l lme maggore sarà uava legao al empo d calcolo. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 30

31 Errore Andameno qualavo dell errore 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 3 h

32 Meodo d Eulero Rprendamo la generca ED del I ordne Il meodo d Eulero consse nel rcavare ( a parre da ( dove h ulzzando lo svluppo d Talor roncao al I ordne. ( ( h ( ( h f ( ( f ( ; ( Ques ulma formula rappresena semplcemene l approssmazone della dervaa con l rapporo ncremenale e qund può essere faclmene recepa da uno sudene magar con l auo d qualche grafco. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 3

33 Applcazone Usare l meodo d Eulero per rovare l valore approssmao d ( dove ( soddsfa l ED ( con (0 (Soluzone ( e Usare nzalmene h0.5 e valuare l errore globale. Provare po a rpeere l eserczo dmnuendo h fno a rendere l errore globale nferore all %. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 33

34 { Errore locale nel meodo d Eulero Con l meodo d Eulero s calcola ( ( usando la angene alla curva n. Fone dell errore è la dsanza h d da. ( 0 0 ( h f( h 0 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 34

35 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 35 Meodo d Eulero - Cauch Se non s vuole rdurre h per non aumenare calcol possamo cercare d valuare la dervaa f( nel puno h/ pù vcno a Coè per calcolare la dervaa f s consdera come approssmazone (d Eulero al valore della funzone n ( ( ( ( ( ( ( f f h f h h h h h h h ( f h h

36 Applcazone Usare l meodo d Eulero Cauch per approssmare la soluzone dell equazone dfferenzale n usando l passo h0.. Valuare l errore globale. con ( 0 0 (Soluzone esaa an(. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 36

37 Esercazone Spessore del nasro d una cassea. Il nasro d una Compac Cassee da 60 ha uno spessore h d crca 5 μm. Esso può essere rovao ndreamene msurando come vara la pare d nasro avvola r nel empo. Supponamo d far parre l regsraore all sane 0 quando rr 0. Nel empo Δ la bobna sarà ruoaa d un angolo Δθ corrspondene a un numero d gr Δn ale che Δn Δθ π In corrspondenza l raggo r della bobna sarà varao d Δr Δn h e qund avremo Dove h è lo spessore. Δr h π Δθ 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 37

38 Nel lme Δ 0 s ha dr d Esercazone h π dθ d dove s è enuo cono della relazone ra velocà angolare del nasro e velocà lneare. La velocà lneare è noa: v476 cm/s. Confronando l rsulao d una sere d msure con da oenu negrando quesa equazone per var valor d h possamo oenere una sma d queso paramero. Usare l meodo d Eulero Cauch per approssmare la soluzone dell equazone dfferenzale h π hv (Soluzone esaa r ( r (0. π v r 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 38

39 Applcazone 3: crcu RC Rcavamo l ED per la carca d un condensaore dalla a legge d Krchhoff q dq q E E IR 0 con q(0 0 C d RC R L equazone s negra faclmene separando le varabl dq d ln( q CE cosane q CE RC RC Imponendo la condzone nzale per deermnare la cosane: q CE exp( / τ dove τ ( RC R C S E Eserczo: Applcare l meodo d Eulero-Cauch con 00s. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 39

40 Una vola carcao l condensaore s può procedere al processo d scarca. In queso caso l equazone è dq d RC q La cu soluzone è In laboraoro s può msurare con un eser la ensone a cap del condensaore Vq/C. Sosuendo s oene l equazone per V La cu soluzone è 0 con q(0 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 40 q 0 q q exp( / τ dove ancora τ 0 RC dv V q0 0 con V(0 V0 d RC C V V0 exp( / τ C R S

41 Applcazone 3 Nel processo d scarca d un condensaore s oengono le msure mosrae n abella per la ensone a cap del condensaore. Rpeere l negrazone dell ED per la ensone per var valor d compres ra 80 e 90s con passo d s Calcolare per cascuna delle negrazon χ 6 ( eor. sper. V V Trovare l negrazone che dà l mnmo valore d c deermnando così la mglore valuazone d. V /04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 4

42 Consderazon sull applcazone 3 In quesa possble esperenza d laboraoro presenaa a queso puno perché legaa ad un eq. dff. del I ordne l neresse derva non ano dal passaggo quano: da modello da dalla possblà d usare la smulazone per valuare una grandezza fsca n manera ndrea dal poer meere n evdenza l mporanza delle condzon nzal dal fao che l equazone cosusce un modello applcable n var camp dalla radoavà all epdemologa. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 4

43 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 43 Meodo d calcolo per ED del II ordne Ssema del I ord. con Eulero o E.-Cauch Come abbamo gà vso l equazone è evdenemene equvalene al ssema del I ordne: Ulzzando l meodo d Eulero avremo: ( ( con ( z z f z z e con ( ( ( f ( z hf z z hz

44 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 44 Meodo d calcolo per ED del II ordne Svluppo d Talor al II ordne Per l equazone possamo anche ulzzare lo svluppo d Talor al II ordne La a equazone può essere sosua da Nel caso d un equazone del moo queso corrsponde a consderare un moo con accelerazone cosane nvece che con velocà cosane n cascun nervallo d empo h. h f h h ( e con ( ( ( f ( hf

45 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 45 Meodo 3 d calcolo per ED del II ordne Algormo d Verle Daa sempre l ED noamo che conoscendo n re pun possamo defnre anche la dervaa seconda dscrea Dalla a equazone s rcava Per l passo successvo occorre anche deermnare usando la defnzone precedene. ( f h h h h h e con ( ( ( f ( f h h

46 Applcazone 4: cadua d un grave Ulzzare re algorm descr per rovare la soluzone dell equazone per l moo d un grave al empo s z g con z( 0 0 e z (0 50 m s Indvduare l algormo che approssma meglo la soluzone esaa 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 46

47 Applcazone 5: oscllaore armonco Consderamo un corpo d massa m vncolao ad una molla d cosane elasca k. Il moo del corpo è descro da k m x F kx x ω x 0 con ω m che può essere faclmene rsola x Acos( ω ϕ Dove A e j sono deermna dalle condzon nzal. Dalla pulsazone w s può rcavare l perodo π m T π ω k Da quesa espressone vedamo che la msura della massa m e della cosane elasca k permeono la deermnazone d T. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 47

48 Supponamo d avere l apparao n fgura n cu è possble varare la massa ponendo de bullon d massa m885g su un cesello d massa M9045g. Se dessmo per acqus rsula oenu per negrazone poremmo deermnare la cosane k a parre dalla msura del perodo T. Tuava anche da una negrazone numerca è possble deermnare l valore d k necessaro per oenere un cero valore d T. Supponamo d avere effeuao msure del perodo usando un dverso numero n d bullon coè dverse masse. Avremmo oenuo una abella del po 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 48

49 n T Per cascun valore della massa dovremo negrare l equazone e cambare k fno a quando le soluzon non avranno l perodo T relavo a quella massa. Gl 8 valor d k così oenu dovrebbero essere all ncrca ugual. Il loro valor medo darà una deermnazone abbasanza affdable d k. Per l negrazone numerca s può usare un qualsas meodo ra quell che abbamo vso per le ED del II ordne. Le condzon nzal non hanno mporanza per la deermnazone del perodo. Basa molplcare per 4 l nervallo d empo nel quale l oscllaore ha compuo un quaro d oscllazone (n modo da non far crescere roppo l errore globale. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 49

50 Applcazone 6: pendolo semplce Msura dell accelerazone d gravà La II legge della dnamca per l pendolo r r mg T r ma La componene lungo l flo della forza peso è compensaa dalla ensone T menre la componene angenzale genera l moo: g snθ a dove a l θ g θ snθ l Nel lme d pccole oscllazon snq~q s oene un moo armonco d perodo T π l / g θ T mg 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 50

51 Se le oscllazon sono grand l perodo dpende dall ampezza. Supponamo d avere msurao l perodo d un pendolo d cu è noa la lunghezza. È possble negrare l equazone del moo varando l valore della cosane d gravà fno a quando l perodo della soluzone non concde con quello spermenale. Oerremo così una deermnazone della accelerazone g. Rpeendo pù vole per dvers valor della lunghezza sa la pare spermenale che quella numerca s può avere una deermnazone pù precsa medando su valor oenu. Consderare per esempo seguen da spermenal l (cm T(s /04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 5

52 Alr suggermen: Sudare la dpendenza del perodo dalla lunghezza usando gl sess da Verfcare l socronsmo per pccole oscllazon Sudare la dpendenza del perodo dall ampezza delle oscllazon a fssaa lunghezza Esamnare l caso delle oscllazon smorzae nroducendo una forza d aro angenzale proporzonale alla velocà Esamnare l caso delle oscllazon forzae nroducendo una forza snusodale nel empo Consderare l caso d oscllazon forzae e smorzae che per parcolar valor de paramer può dare un moo caoco. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 5

53 Consderazon sulle applcazon 5 e 6 Quese esperenze d laboraoro mosrano alcune pche caraersche della modellzzazone: nella cosruzone del modello s aua una drasca rduzone de grad d lberà: un pendolo dvena un puno maerale un flo nesensble l modello come avvene generale per la Meccanca consse essenzalmene nell espressone della forza da nserre nella II Legge della Dnamca olre alla msura d cosan caraersche del fenomeno l modello s presa a essere reso pù complesso. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 53

54 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 54 Ssem d ED del II ordne Spesso accade che le ED del II ordne sano pù d una: ad esempo quando s suda l moo n pù dmenson. Ne cas pù semplc essono coordnae che dsaccoppano l moo: Basa n ogn caso applcare uno qualsas de meod gà vs per le ED del II ordne separaamene a cascuna coordnaa. ( ( x x g x x f x ( ( g x x f x

55 Eserczo 7: moo de corp celes S vuole sudare l moo de corp sogge alla legge d gravazone unversale d Newon r r F GMm Forza cenrale Òmoo pano Ò suffcen coordnae x GM GM x 3 r 3 r con Per l negrazone numerca occorre qund: 3 r r x 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 55

56 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 56. Da calcolare r. Calcolare qund usando uno degl algorm gà vs per le ED del II ordne. Ad esempo con l meodo d Verle (consglable: 3. Ierare successvamene pass e per oenere l orba fno a roenere le condzon nzal ne cas d orba chusa. x x x x h r GM h h h x x x r x GM h hx x x ( ( 3 3

57 Possbl obev Deermnare l orba erresre (G m 3 /Kg s M sole Kg M erra R perelo 47 0 m R afelo 5 0 m V perelo Km/s 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 57

58 Verfcare la 3 a legge d Keplero 3 T cosane a dove a è l semasse maggore dell orba. Verfcare la conservazone dell energa meccanca e del momeno angolare GMm E mv L m( x x r Varare le condzon nzal n modo da avere orbe apere Modfcare leggermene la dpendenza della forza da r r Ør e n modo da oenere un moo d precessone dell orba.. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 58

59 Consderazon sull applcazone 7 Essa può ovvamene coprre solo una pare del cclo d modellzzazone coè la fase d valdazone d un modello. Al d là del fascno che può avere per gl suden mparare a smulare l moo de pane lo sudo della gravazone s presa a un lavoro nerdscplnare condoo nseme al docene d Sora e Flosofa. Anche qu s rduce un ssema complesso ad un puno maerale soggeo a una forza La forza è ndvduaa n quella che dà orgne a un fenomeno apparenemene lonano (cadua de grav Una vola mposao l algormo s ha a dsposzone una palesra per un gran numero d esercz. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 59

60 Ma n un lceo è possble? Ne lce la Fsca vene gusamene nrodoa da un puno d vsa spermenale roppo spesso n assenza d avà d laboraoro. L obevo è quello d formulare delle Legg ma spesso l lvello d conoscenze d maemaca dvena un osacolo alla comprensone del vero sgnfcao delle legg: le equazon dfferenzal (ED non s sudano le dervae s sudano solo n qualche lceo all ulmo anno 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 60

61 Convnzon sbaglae Spesso queso dà luogo a ver e propr error d comprensone. Se s consdera la II Legge della dnamca F ma alcun sono relav al conceo sesso d forza: confusone spesso dervane dal lnguaggo comune con conce d poenza energa massa l dea che l movmeno d un corpo derv da una sua propreà nrnseca L dea che le forze sano solo d conao Non è sempre facle far capre che la forza rappresena la modellzzazone dell nerazone ra due corp. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 6

62 Convnzon sbaglae Ma è lo sesso sgnfcao della II Legge della Dnamca r r r d F( ma m d quando essa vene scambaa per un equazone algebrca. Infa poché s è cosre a sudare solo l caso d una forza cosane lo sudene è porao a pensare che s può rcavare l accelerazone dal rapporo ra Forza e massa e qund velocà e poszone s rcavno dalle legg per l moo unformemene accelerao. Nella smulazone numerca s comprende bene che la cosanza della accelerazone è solo un approssmazone valda per nervall d empo abbasanza pccol. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 6

63 La smulazone come andoo A combaere ques pregudz può essere ule propro un avà d smulazone: serve a charre l sgnfcao delle grandezze cnemache permee d comprendere subo l ruolo della dpendenza funzonale della Forza dal fao che ad un cero sane le varazon d poszone e velocà dpendano dal valore punuale della forza fa capre l ruolo delle condzon nzal (non s può farne a meno abua a rporare rsula su grafco e a nerprearl 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 63

64 Insegnare l calcolo numerco Nel calcolo numerco quello che s fa è dscrezzare la varable ndpendene connua. Queso è l modo con cu normalmene vengono nrodo conce come la velocà meda e l accelerazone meda n Fsca o analoghe grandezze n alre dscplne (ass. La dffcolà semma è l passaggo al conceo d velocà sananea che nasconde l conceo maemaco d lme. L nroduzone del calcolo numerco deve avvenre conesualmene a ques conce e può anche essere ule a nrodurre le grandezze sananee. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 64

65 Insegnare l calcolo numerco La proposa è qund d nrodurre l uso del foglo eleronco gà all nzo della Cnemaca nsegnando a sudare l moo unforme e l moo unformemene accelerao sul foglo eleronco medane da smula o pres n laboraoro a nervall cosan d empo. Rducendo al nervall s possono nrodurre velocà e accelerazone sananea (numercamene e con l auslo d grafc. Moo unforme e moo unformemene accelerao possono po essere usa per la soluzone della II Legge della Dnamca nel caso d forze non cosan (sono le approssmazon al I e al II ordne che abbamo vso. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 65

66 Qualche suggermeno /4 S può nzare sudando l moo unforme. Supponamo d conoscere la poszone e velocà nzale. Da gl san d empo con dsanza unforme 0.. N- N per qualsas s ha la sessa velocà che è uguale alla velocà meda v s( s( v Δ da cu s rcava l equazone che consene d fare una prma smulazone numerca rcavando dalle condzon nzal la poszone agl san successv: s( s( vδ Spazo e velocà n funzone del empo rsulan della smulazone possono essere rpora n grafc. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 66

67 Qualche suggermeno /4 Consderamo po la presenza d una forza qund l moo accelerao. Normalmene la forza non dpende dall sane d empo dreamene ma solano araverso la poszone ed evenualmene la velocà. Per la II Legge della Dnamca s ha a( F( s( v( La velocà non sarà pù cosane; n cascun nervallo la possamo approssmare con la meda delle velocà agl esrem v( v( v Qund l moo nell nervallo ( è dao da v( v( s( s( vδ s( Δ m 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 67

68 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 68 Qualche suggermeno 3/4 Le condzon nzal rguardano l sane occorre qund una espressone per v(. L accelerazone meda nell nervallo ( è daa da da cu possamo rcavare v( : Approssmazone dovua al fao che possamo rcavare l accelerazone dalla II Legge della Dnamca solo all sane per l quale conoscamo poszone e velocà e qund la forza F. Quesa equazone c dce come evolve la velocà; nolre nsera nell equazone per la poszone c dà: a v a v v( m Δ Δ ( ( ( v v( a m Δ ( ( ( ( a v s s( Δ Δ

69 Qualche suggermeno 4/4 In conclusone le equazon che permeono d smulare l moo a parre dalla conoscenza ad un cero sane d empo d poszone e velocà sono enendo cono della II Legge della Dnamca: s( s( v( Δ F( s( v( m v( v( F( s( v( Δ m Possamo a queso puno fare noare che quese equazon corrspondono ad approssmare l moo enro cascun nervallo d empo con un moo unformemene accelerao con accelerazone cosane. Dal puno d vsa maemaco abbamo oenuo con ragonamen abbasanza semplc l approssmazone corrspondene a roncare la sere d Talor al II ordne. Δ 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 69

70 Progeare un unà ddaca Abbamo deo che l obevo è quello formulare unà ddache che rpercorrono per parcolar fenomen l cclo d cosruzone d un modello. Queso è possble per qualsas fenomeno che normalmene è oggeo d esperenze (ved Laboraoro d Fsca I e II. Quese esperenze dovranno essere però compleamene relaborae dal puno d vsa che v è sao presenao. Menre n que cors l espermeno è fnalzzao alla verfca d una legge gà noa o alla msura d una cosane n quesa nuova oca deve essere pensao come una pare del processo d apprendmeno basao sulla modellzzazone. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 70

71 Unà d ddache: prma fase Vanno consderae qund le seguen fas:. OSSERVAZIONE Lo sudene vene poso davan alla fenomenologa. Quesa fase non necessa sempre d un laboraoro basa a vole rchamare fa che s nconrano nella va d ogn gorno per qual s può denfcare una causa una grandezza comune caraersca. In quesa fase vanno denfcae le varabl che nfluenzano l fenomeno le domande e le poes che saranno la base per le fas successve. Ques aspe possono ulmene cosure una scheda sudene che ndrzz l avà d osservazone. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 7

72 Unà d ddache: seconda fase. PREDIZIONE A queso puno lo sudene ha a dsposzone le varabl denfcae nella prma fase. Un modello ha sempre un numero d varabl lmae e rappresena una semplfcazone delle condzon real. Qual sono le varabl rascurabl e quelle necessare perché l modello sa d qualche conssenza? Se l quadro s è fao suffcenemene charo s passa all elaborazone del modello ad esempo l espressone della forza responsable d un cero po d moo. In caso conraro s possono elaborare le problemache alle qual una fase d spermenazone può dare rsposa. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 7

73 Unà d ddache: erza fase 3. SPERIMENTAZIONE La fase d spermenazone può servre a selezonare ra dverse poes elaborae nella fase predva ma anche a dare un quadro pù precso alla fase osservava. La dsnzone ra le fas non va vsa qund n sreo senso emporale. Quando nfne l modello è sao elaborao essa assume l aspeo d prmo momeno d valdazone. Se ad esempo una varable svolge un ruolo essenzale l fenomeno sarà sensble alle sua varazon e s cercherà rame l anals de da d formalzzare quesa dpendenza. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 73

74 Unà d ddache: quara fase 4. SIMULAZIONE Quesa fase nervene quando l modello è sao formalzzao compleamene e rappresena l momeno d valdazone fnale. Il fenomeno ora è rappresenao da una espressone maemaca susceble d una smulazone numerca. Vanno soolnea var aspe della smulazone:. La possblà d smulare fenomen dalla cu osservazone samo par. La possblà d andare olre coè d smulare lo sesso fenomeno n condzon nuove 3. La capacà d dare un valore numerco alle cosan che appaono nella legge fsca enendo cono d rsula spermenal 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 74

75 Moo n presenza d ressenza del mezzo Il fenomeno che consderamo rguarda ogge che benché sogge alla forza peso non appaono muovers n cadua lbera: pogga paracadusa Se soopose uncamene alla forza peso gocce d pogga che cadessero da un alezza d 300 m arrverebbero al suolo con una velocà d crca 75 m/s70 Km/h! Spermenalmene s rova che esse cadono con una velocà cosane v lm compresa ra e 8 m/s. La forza d ressenza dpende da var faor: forma dmenson velocà e drezone del moo evenuale moo d roazone densà delle gocce (dpendene da quoa e emperaura 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 75

76 Fase osservava Scheda sudene Cosruamo la prma scheda sudene. Occorre: rchamare la fenomenologa evdenzare la presenza d una forza frenane far capre per qual fenomen la spna d Archmede è mporane e per qual non lo è far ndvduare l essenza d una velocà lme che però sarà mosraa meglo nella successva spermenazone far ndvduare l mporanza d alcune varabl come la massa la forma l volume consderando dvers emp d cadua per dvers ogge 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 76

77 Esempo d scheda sudene I grav n presenza d acqua o ara cadono d moo unformemene accelerao? Qual varabl nfluenzano l moo d un grave n presenza d ara? Due pallne delle sesse dmenson ma d peso dverso lascae cadere dalla sessa alezza raggungeranno l suolo conemporaneamene? Cosa succede se facco cadere due ogge dello sesso peso ma d massa dversa (p.e. due fogl d cara denc d cu uno accaroccao? Sposa n ara una vola lenamene una vola velocemene una larga busa d caroncno n cu ha nflao una mano. La ressenza al moo è molo dversa ne due cas. A cosa arbusc la dfferenza? Elenca faor che secondo e nervengono nel deermnare la ressenza dell ara. Supponendo che una gocca d pogga s form a 300 m d alezza con quale velocà dovrebbe arrvare al suolo? T sembra che qualcosa d smle accada? Nel Dzonaro Encclopedco Treccan rovamo seguen da: 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 77

78 Esempo d scheda sudene Precpazone Quanà n mm/h Damero n mm Vel. cadua al suolo (m/s Nebba secca racce Nebba umda Nebba povggnosa Pogga leggera 05 Pogga moderaa 4 4 Pogga fore Pogga volena 40 6 Nubfrago Quesa abella mosra msurazon della velocà a erra d gocce d pogga. Quesa velocà non dpende dall alezza delle nuvole da cu cadono. Ques da spermenal cosa suggerscono sull andameno della velocà d cadua? Olre alla forza peso ndvdu alre forze che agscono sulla gocca? 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 78

79 Esempo d scheda sudene Il fao che le gocce d pogga cadono con una velocà cosane può essere spegao con la spna d Archmede? Possamo rascurare la spna d Archmede? (Calcola quano vale l rapporo fra d essa e la forza peso 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 79

80 Fase predva La fase osservava dovrebbe avere gà porao all ndvduazone delle varabl che nfluenzano l fenomeno. Ad esempo la domanda sul foglo d cara dovrebbe soolneao l mporanza della densà e quella sul moo della mano l nfluenza della sezone orogonale alla drezone d moo. Dovrebbe anche essere charo che la ressenza dell ara sembra dpende dalla velocà con cu s muove l oggeo. Nell analzzare le rspose degl suden occorre fare aenzone al fao che rspose esae possono dervare da conce sbagla. Ad esempo le due pallne d peso dverso ma d forma e volume uguale cadono n emp dvers propro n quano la forza d aro è la sessa e l accelerazone è daa da r r r Far a g M Uno sudene può nvece essere rcorso all dea comune che l oggeo pù pesane arrva prma perché pù arao dalla Terra. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 80

81 Il modello descrvo Cosruamo ora un modello puramene descrvo semplce. Descrzone dell oggeo: sfera rgda d raggo r > per smmera la ressenza del mezzo sarà drea nella drezone del moo Descrzone del moo: n assenza d corren nel mezzo n quese condzon l moo sarà relneo. Per un ssema d rfermeno con orgne nel puno n cu l corpo comnca a cadere e rvolo verso l basso la poszone ( e velocà v( saranno funzon crescen del empo Descrzone delle nerazon: olre alla forza peso l alra forza noa scuramene presene è la spna d Archmede (prerequso: r r r ρ ara r FP mg FA m g ρ acqua l rapporo ra le densà è 0-3 qund F A può essere rascuraa. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 8

82 Fase d spermenazone Le forze noe non sono suffcen a spegare l fenomeno ma abbamo gà qualche elemeno per ndvduare le forze d aro. Per valdare le poes fae a queso proposo nella fase osservava s può rcorrere ad alcun semplc espermen: cadua d ogge d uguale massa e dmenson dverse che mosra come l valore della velocà lme dpende dalle caraersche geomerche dell oggeo n moo cadua d ogge d uguale forma e dmenson ma d massa dversa che mosra che l valore della velocà lme dpende dalla massa dell oggeo n moo Gl espermen sono realzza ulzzando un sensore d moo collegao ad un compuer. Gl ogge n moo sono de cesn d cara per dolc. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 8

83 Espermeno : ogge dvers d uguale massa Tre cesn d dmenson dverse sono res d uguale massa (058 g fssando pezze d cara con adesvo all nerno. Vengono fa cadere da un alezza d crca m e l sensore d moo regsra poszone e velocà de cesn n funzone del empo. S può noare che l valore della velocà lme vene ragguno n emp dvers ed è dverso. Tale valore può essere messo n relazone con la sezone orogonale alla drezone del moo. È mporane far dsnguere allo sudene le due fas del moo: una prma fase n cu la ressenza del mezzo va crescendo e la velocà crescendo una seconda fase n cu l moo prosegue a velocà cosane e la ressenza del mezzo non mua l suo valore massmo ragguno S può a queso puno pozzare che la forza vscosa massma dpenda dal raggo dell oggeo e dalla velocà lme ragguna. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 83

84 Espermeno : Esempo d scheda sudene Eseguo l espermeno della cadua n ara d cesn d dversa forma e uguale massa l elaborazone del foglo Excel cosa mee n evdenza? Quale paramero dfferenza gl ogge? Puo affermare che l valore d queso paramero nfluenza l valore della velocà lme? Trascurando la spna d Archmede quano vale la forza d ressenza dell ara durane la fase d moo cosane? Queso valore uguale per u cesn vene ragguno a valor d velocà lme sempre pù grand per superfc sempre pù pccole. Cosa conclud? 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 84

85 Esp. : ogge d uguale forma e massa dversa L espermeno precedene vene rpeuo per 5 cesn ugual mpla n manera da avere la sessa forma e dmensone d un solo cesno. Successvamene s rpee l espermeno per 4 vole oglendo ogn vola un cesno. S può rcavare una abella n cu s rpora la massa de cesn la velocà lme ragguna e l suo quadrao. Rporando ques da n un grafco s porà noare che ess s accordano male con una dpendenza lneare della velocà dal numero de cesn e molo meglo con una dpendenza dal quadrao della velocà. Possamo anche fare noare agl suden come l fao che la velocà lme sa pù grande per pes pù grand sgnfca che la forza vscosa massma raggunge valor pù eleva perché deve equlbrare pes pù eleva. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 85

86 Espermeno : Esempo d scheda sudene I da oenu evdenzano che a parà d forma e dmensone masse pù grand raggungono velocà lme pù elevae. D alra pare la forza vscosa nella fase d moo cosane equlbra la forza peso (pù grande per masse pù grand: r r Mg MAX F ar Cosa possamo desumere per la dpendenza della forza vscosa dalla velocà? Usando un foglo Excel rpora n un grafco l andameno d v lm e v lm n funzone del numero de cesn. Trova per cascun gruppo d da la rea che rappresena la lnea d endenza. Dev mporre l passaggo per lo zero? Per quale gruppo d da oen la mglore lnea d endenza? Raccogl ue le concluson a cu se guno su come la forza vscosa dpende da paramer che ha esamnao. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 86

87 Il modello esplcavo Come s è deo le forze noe non sono suffcen a spegare l essenza d una velocà lme. La ressenza del mezzo deve essere una forza varable che dpende dalle condzon del moo. Una forza che s oppone al moo e cresce al crescere della velocà può nuvamene essere la soluzone. S possono proporre due modell: r r r F 6π η r v F 0π r ρ Il prmo modello è la Legge d Sokes e corrsponde al caso d un flusso lamnare ed è valdo per pccol r (<0-7 m e pccole velocà (<05 m/s l secondo al caso del flusso a sca vorcosa ed è valdo per ragg e velocà superor. Om rsula s hanno consderando l nerpolazone ra due modell: r F res ( A r v B r v ara ˆj v ˆj 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 87

88 La smulazone del modello I due modell propos possono essere smula medane foglo Excel. Il confrono con gl espermen vs deve porare alla scela ra due modell. I vosr comp: esegure gl espermen e preparare una scheda docene esegure la smulazone e preparare una scheda docene e una scheda sudene su d essa. 03/04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 88

89 Bblografa M. Mcheln L. San R. M. Sperandeo: Propose ddache su forze e movmeno Forum Edrce Unversara Udnese Srl (00. A. B. Aarons: Guda all nsegnameno della Fsca Zanchell Edore ( /04/006 Laboraoro d Ddaca della Fsca I 89