Università degli Studi di Firenze

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1 Unversà degl Sud d Frenze Facolà d Ingegnera orso d Laurea n Ingegnera per l Ambene e l Terroro Anno Accademco 2-21 F F F F F V o s V o s V o s V o s orso d Teora de Ssem Dffusone d un nqunane organco n ambo fluvale ProfAlessandro asavola Suden:Ganno Ncola Taccon Enzo

2 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale Indce apolo 1 Espermeno d dffusone d un nqunane n ambo fluvale 11 La dffusone dell nqunane organco e l processo d auodepurazone 12 Il caso n esame apolo 2 SFTR n cascaa 21 Reaore SFTR sngolo 22 ascaa d SFTR apolo 3 Realzzazone del modello 31 Modello empo connuo 32 albrazone del modello empo connuo a sao sazonaro 33 Dscrezzazone del modello empo connuo 34 Modello empo dscreo 35 Sablà e propreà sruural del modello empo dscreo 2

3 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale apolo 4 Rcosruzone dell ngresso 41 alcolo del guadagno n connua 42 alcolo dell ngresso apolo 5 Osservaore asnoco 51 Realzzazone d un osservaore asnoco 52 Osservaore per ngresso cosane a ra 53 Osservaore per ngresso snusodale blografa 3

4 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale apolo 1 Espermeno d dffusone d un nqunane n ambo fluvale 11 La dffusone dell nqunane organco e l processo d auodepurazone Il ssema fluvale è concepo come l elemeno d maggore mporanza all nerno del bacno drografco comprendene la ree drca naurale e arfcale, ssem d depurazone e u gl nsedamen ndusral e abav La necessà d poer gesre n manera sempre pù effcace queso ssema ambenale ha ncenvao sud ed ha svluppao anche n queso seore numeros modell maemac araersca fondamenale dell ecossema acquaco è la complessà In Fg11 rporamo uno schema con le prncpal componen nel caso d ecossema fluvale Fg11 Ecossema fluvale 4

5 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale Dall eserno arrvano non solo le sosanze nqunan ma anche ossgeno e energa radazone solare componen fondamenal per la va dell ecossema aer e mcrorgansm provvedono alla bodegradazone d mole sosanze organche sa a base carbonosa che azoaa, all ammonfcazone dell azoo organco, all ossdazone dell ammonaca, al rcclaggo de nuren Il fume ha la capacà d auodepurars: foglame, arbus, escremen e anmal mor, scarch anropc sono aacca da mcrorgansm e da baer Fg12 Fg12 Tavola rappresenava d un rao d fume con messa n evdenza de possbl ngress Qualà dello scarco s, Q s Qualà a mone m, Q m Fg13 Trao d fume con scarco concenrao n ngresso 5

6 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale Il nosro neresse è lmao al caso delle sole sosanze carbonose, cercando d ndvduare la saccaura d ossgeno dscolo a valle d uno scarco concenrao Queso puno crco è rlevable n condzon sazonarefg14 La saccaura dell ossgeno dscolo può essere vsa come la rsulane del fenomeno della deossgenzone per consumo necessara per l ossdazone delle sosanze carbonose e del fenomeno della rossgenazone per dffusone araverso l nerfacca ara/acqua Fg15 PUNTO DI SARIO sa saccaura DO dsanza Fg14 Andameno dell ossgeno dscolo che evdenza l puno crco 2 18 OD Raeo d consumo oncenrazon [mg/l] DO Ross negrale sa Raeo d Ross dsanza [m] Fg15 lanco ra consumo d ossgeno e rossgenazone 6

7 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale 12 Il caso n esame Inzamo l nosro sudo da un espermeno effeuao n un canale a sezone cosane le cu caraersche geomerche e draulche sono rporae n Tab16 Lunghezza 4 m Sezone bagnaa Trao n sudo Tab16 araersche del rao 155 m 2 Poraa d mone Q m 3787 m 3 /s m 3 /h Vengono effeuae msurazon del carco organco e dell ossgeno dscolo rame sazon pose a dsanza d crca 4 m una dall alra con la prma a 2 m dalla sezone d mone Il canale rsula essenzalmene non nqunao od < 2 mg/l ovunque e valor d ossgeno dscolo norno al valore d saurazone sa 8987 varable n funzone d faor clmac e emperaura Valor d Do [mg/l] 8,965 8,94 8,993 9,1 8,93 9,47 9,46 8,985 9,3 8,996 Tab17 Sono rpora valor d Do msura dalle sazon lungo l canale prma dell mmssone dell nqunane Nella sezone d mone vene mmesso un nqunane d po organco scarco con poraa Q s 463 m 3 /s 1667 m 3 /h I valor de paramer del carco organco od, ndcao con, e dell ossgeno dscolo Do, ndcao con, per l acqua n arrvo da mone e per lo scarco sono rpora nella abella soosane Trao n sudo Ingresso d mone Scarco arco organco m < 2 mg/l arco organco s 5 mg/l Ossgeno dscolo m 8987 mg/l Ossgeno dscolo s 2 mg/l Tab18 arch organc e ossgeno dscolo 7

8 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale S possono calcolare le porae draulche e valor d od e Do n ngresso al canale oenu per dluzone Tab19 Trao n sudo Poraa arco organco Ossgeno dscolo Q Q m Q Q153 m 3 /h [ Q Q ] s m m s s 553 mg/l Q [ Q Q ] m m s s 822 mg/l Q Tab19 Valor n ngresso al canale L nsermeno a parre dall sane dell nqunane con valore cosane d 5 mg/l e poraa d 463 m 3 /s provoca un nnalzameno del valore del carco organco n uo l rao d canale n sudo onemporaneamene s rleva un abbassameno del lvello d ossgeno dscolo Le sazon d msura rlevano valor d Do e od ogn 6 ore Tab11 8

9 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale Msure d ossgeno dscolo mg/l Ora Saz1 Saz2 Saz3 Saz4 Saz5 Saz6 Saz7 Saz8 Saz9 Saz1 8,965 8,94 8,993 9,1 8,93 9,47 9,46 8,985 9,3 8, ,229 8,62 8,881 8,947 8,982 8,984 9,33 8,944 9,67 9, ,133 8,283 8,362 8,669 8,746 8,851 8,953 8,915 9,34 9, ,96 8,1 8,148 8,322 8,449 8,623 8,776 8,89 8,866 9, ,15 8,38 8,7 8,13 8,27 8,374 8,69 8,715 8,825 8, ,129 8,44 7,95 7,978 8,48 8,121 8,347 8,521 8,61 8, ,129 7,898 7,828 7,971 7,998 8,5 8,12 8,276 8,4 8, ,67 7,95 7,929 7,953 7,952 8,72 8,143 8,17 8,236 8, ,86 8,5 7,881 7,98 7,94 7,976 8,44 8,84 8,213 8, ,78 7,957 7,962 7,9 7,94 7,93 8,84 8,66 8,121 8, ,6 8,11 7,956 7,94 7,953 7,958 8,59 8,131 8,118 8, ,15 8,17 8,15 7,845 7,883 7,93 7,965 8,18 8,85 8, ,4 8,12 7,96 7,97 7,969 7,891 7,934 7,978 8,75 8, ,178 8,41 7,899 7,925 7,959 7,946 7,994 8,68 8,114 8, ,62 8,1 7,95 7,934 7,889 8,6 7,981 7,999 8,131 8,93 9 8,75 8,36 7,88 7,991 7,917 7,965 7,956 8,46 8,2 8, ,123 7,917 7,93 7,91 7,871 7,991 8,23 8,13 8,27 8, ,72 7,976 7,928 7,95 7,82 7,9 8,72 8,71 8,43 8, ,64 7,969 7,931 7,959 7,98 7,936 7,971 8,72 8,146 8, ,28 7,896 7,915 7,966 7,94 7,945 7,956 8,34 8,75 8, ,84 7,989 7,986 7,869 7,947 7,898 7,986 7,942 8,26 8,29 Msure d arbono Organco mg/l Ora Saz1 Saz2 Saz3 Saz4 Saz5 Saz6 Saz7 Saz8 Saz9 Saz1 <2 <2 <2 <2 <2 <2 <2 <2 <2 <2 6 3,992 2,276 <2 <2 <2 <2 <2 <2 <2 <2 12 4,897 3,977 2,651 <2 <2 <2 <2 <2 <2 <2 18 5,68 4,434 3,736 2,854 <2 <2 <2 <2 <2 <2 24 5,29 4,675 4,13 3,536 2,863 2,7 <2 <2 <2 <2 3 5,152 4,736 4,21 3,88 3,291 2,672 2,151 <2 <2 <2 36 5,153 4,64 4,189 3,95 3,538 3,34 2,568 2,96 <2 <2 42 5,92 4,615 4,36 3,981 3,61 3,326 2,948 2,477 2,8 <2 48 5,11 4,716 4,261 3,951 3,65 3,324 3,2 2,659 2,356 <2 54 5,13 4,667 4,343 3,948 3,619 3,286 3,133 2,772 2,469 2, ,85 4,722 4,338 3,953 3,672 3,354 3,137 2,895 2,566 2, ,13 4,728 4,398 3,895 3,64 3,32 3,54 2,85 2,577 2, ,65 4,723 4,343 3,957 3,691 3,292 3,26 2,774 2,586 2, ,23 4,752 4,281 3,974 3,68 3,347 3,88 2,867 2,633 2, ,87 4,721 4,332 3,984 3,611 3,48 3,75 2,799 2,653 2, ,1 4,747 4,263 4,41 3,638 3,366 3,49 2,846 2,723 2, ,147 4,627 4,312 3,951 3,592 3,393 3,117 2,813 2,55 2, ,97 4,686 4,311 4, 3,542 3,32 3,166 2,872 2,566 2, ,89 4,679 4,313 4,9 3,71 3,337 3,64 2,872 2,67 2, ,52 4,67 4,297 4,16 3,626 3,347 3,49 2,835 2,598 2, ,19 4,7 4,368 3,919 3,668 3,299 3,79 2,742 2,549 2,47 Tab11 Msure d Do e od effeuae n ogn sazone ogn 6 ore 9

10 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale apolo 2 SFTR n cascaa 21 Reaore SFTR sngolo Il reaore SFTR onnuos Srred Flow Reacor ha come sua prncpale caraersca la complea mscelazone delle sosanze presen n modo da avere un ambene spazalmene omogeneo dal puno d vsa delle concenrazon d reagen Quesa poes è plausble n ambo fluvale per sosanze dalla dnamca d abbameno suffcenemene lena, qual mol nqunan a base carbonosa Se consderamo perod emporal brev dell ordne de gorn è plausble assumere cosane l regme draulco del fume n modo da avere volume cosane nel reaore Uno schema deale d reaore SFTR a volume cosane e mosrao n Fg21, dove F e la poraa la sessa n ngresso e n usca, la concenrazone n ngresso, la concenrazone all nerno del reaore concdene con quella n usca e V l volume Agaore F, n P,V F, Fg21 Schema d SFTR a volume cosane Soo l poes d volume cosane, l equazone d abbameno d un generco reagene d cneca F dvena: d d q q f 1

11 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale Nell poes d cneca del I ordne l equazone dvena: d q q d Il faore q s chama raeo d dluzone, ed è dao dal rapporo ra poraa enrane e volume d reazone F q V L nverso del paramero q è deo empo d renzone drca, V ϑ 1 q F ed ha l sgnfcao d un empo medo d permanenza delle sngole parcelle denro la zona d reazone Sudando l comporameno a regme ovvero annullando le dervae, s oene d d q q o q q Queso consene d deermnare mmedaamene la quoa d reagene abbauo dal reaore a regme, noa la concenrazone d ngresso 11

12 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale 22 ascaa d SFTR In una cascaa d SFTR, l usca d ogn reaore cosusce l ngresso del successvo La Fg22 mosra uno schema della cascaa d reaor F F F F F V o s V o s V o s V o s Fg22 ascaa d SFTR Le equazon dnamche saranno del po: Ogn reaore è pensao come una cella chusa che rceve un ngresso dalla precedene e fornsce un usca alla successva, comuncando n manera undrezonale Il modello della cascaa d reaor s usa per modellare volum d reazone roppo amp per consderare l uo come un sngolo SFTR omogeneo Mosramo adesso l comporameno della cascaa d reaor, rspeo a due ngress pc, l mpulso ed l gradno d 1 q d q 1 1 d 2 q d 1 q 2 2 d n d q n 1 q n n 12

13 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale In Fg23 è rporao l comporameno d un generco ssema ad un ngresso mpulsvo dose masscca d reagene mmessa n un breve lasso d empo oncenrazone n usca n 1 Rsposa mpulsva 1 3 q Fg23 Rsposa mpulsva ome s vede menre l prmo reaore va mmedaamene ad un valore dverso da zero, per po decrescere per l abbameno e la dluzone, gl alr parono da zero raggungono un pcco e decrescono In Fg24 mosramo nvece l comporameno pco ad un ngresso a gradno oncenrazone n usca n 1 Rsposa al gradno n 2 n 3 n 4 2 n 5 q Fg24 Rsposa al gradno Dall andameno s può noare come le vare celle s assesno su lvell va va nferor 13

14 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale Anche per la cascaa d SFTR, d parcolare neresse è lo sudo del comporameno sazonaro La relazone che lega la concenrazone n ngresso n esa al ssema e quella n usca n coda, è daa da: o q n qn q n n dove q n adesso rappresena l faore d dluzone d una sngola cella e n l numero oale delle celle 14

15 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale 15 apolo 3 Realzzazone del modello 31 Modello empo connuo In funzone delle msure a nosra dsposzone abbamo decso d suddvdere l rao n esame n dec celle dsne ognuna delle qual è modellaa con un reaore SFTR In ognuna delle celle le grandezze OD e DO sono le ncogne delle equazon del ssema Le equazon che regolano l ssema sono : 1 q q d d d 1 q q d d sa a d Rporamo l ssema n forma marcale DU X Y U AX X con 1 2, x R X X 3x1 R U 2x2 R A 2 x3 R 2 x 2 R 2x3 R D a d a a d a a d a a d a q q q q q q q q q q q q A

16 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale 16 Il ssema è lneare empo nvarane, n2 ndca la sua dmensone, poché la marce D è nulla, l ssema è sreamene causale ome s vede dalla marce le usce del ssema sono l Do e l od della cella 1 Essendo m3 e p2, l ssema è MIMO Mulple Inpu Mulple Oupu sa U a a a a a a a a a a q q X X 1 1 D

17 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale 32 albrazone del modello empo connuo a sao sazonaro I paramer da smare per oenere l modello sono coeffcen d raeo d abbameno dell nqunane carbonoso e a raeo d reossgenazone dell acqua Nello sudo del modello d cascaa d SFTR d parcolare neresse è lo sudo del comporameno del ssema a regme per ngresso cosane A sao sazonaro l rapporo ra le concenrazon d ngresso e usca d un generco reagene che segue una cneca del prmo ordne come OD e DO è dao dalla formula Nel caso del OD d d onc onc q ou n q q 1 q d dove l ndce ndca la cella, la sua dnamca è regolaa da una cneca del prmo ordne Osservando da del problema s può noare come ue le celle raggungano dopo un cero empo la suazone d regme, evdenzaa da una sere d valor cosan Inverendo la formula sovrasane abbamo rcavao valor assun da d nelle vare celle araverso una sma a mnm quadra q q 1 d 1 q d Anche per quello che rguarda l DO la dnamca è regolaa da una cneca del prmo ordne del po d d q 1 q d a sa In queso caso la dnamca conene ermn aggunv, per cu la formula rsula essere q d 1 a sa 17

18 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale 18 I rsula della sma a mnm quadra per le 1 celle rsulano essere quell mosra n Tab31 ella 1 ella 2 ella 3 ella 4 ella 5 ella 6 ella 7 ella 8 ella 9 ella 1 a [1/h] d [1/h] Tab31 Valor de paramer a e d del modello T Le marc del ssema dvengono D

19 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale A

20 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale Possamo rsconrare la valdà del modello confronando dreamene da spermenal con quell sma S rporano grafc del Do e od per le celle 1 e 5 2

21 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale Fg32 onfron ra da spermenal e modello per l OD e l DO nelle celle 1 e 5 21

22 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale Fg33 Andameno del Do e del od nelle 1 celle smulao rame l modello empo connuo 22

23 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale 33 Dscrezzazone del modello empo connuo Poché da dsponbl sono msurazon effeuae ogn 6 ore, l ssema è sao dscrezzao, passando da un ssema S A,,, D a un ssema S A d, d, d, D d e consderando un nervallo par a 6 h, con le formule: A d e A d e Ar dr d D d D Il nuovo ssema adesso TD è ora rappresenao dalle nuove marc d

24 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale A d

25 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale ome s vede nella Fg34, per queso modello l accordo con da spermenal non è adeguao 25

26 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale Fg34 onfrono modello msure cella 2 e cella 4 26

27 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale oma abbamo deo l modello TD realzzao dscrezzando quello T precedenemene smao non s adaa a da spermenal come nvece sarebbe leco aenders Queso cavo funzonameno del modello è probablmene da rcercars nella parcolare naura delle marc del ssema che olre ad essere d dmensone elevaa, sono anche cosue per la maggor pare da elemen null, l che provoca problem d malcondzonameno quando s vanno a calcolare negral o marc esponenzal Per ovvare a queso problema dovremmo usare parcolar algorm d calcolo per marc sparse che esulano dal corso d Teora De Ssem Abbamo allora opao per una dversa soluzone proponendoc d realzzare un modello TD parendo dreamene da da spermenal 27

28 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale 34 Modello empo dscreo Per ulzzare u da n nosro possesso abbamo decso d smare dreamene le marc d un modello del po X a, 1X1 a,2x 2 a,2x 2 b,1u1 b,2u2 b,3u 1 3 dove la componene -esma al empo 1 è, n generale, funzone d ue le componen In queso caso dovremmo smare coeffcen a,j 2 x 2 ed b,j 2 x 3 operazone poco aendble per lo scarso numero d da Da consderazon legae alla naura del problema pozzamo che ogn cella sa nfluenzaa da un numero lmao <4 d celle a mone Soo quesa poes l numero d paramer scende a 23 x 2 e l modello dvene X b,1 1 1 a X a X a X u b,2, u b 2,3 3, u 1 1, 1 1 a, X Abbamo rsolo l problema per valor d 4,2,1 la cella è nfluenzaa rspevamene da 4, 2 e 1 celle d mone Da un anals del ploaggo de da, rsula che comunque scelo l accordo con da è buono Rporamo l confrono ra re modell per la cella 1 n Fg35 Tano per l crero della parsmona, quano per queson d maggore aendblà, abbamo decso d modellare l nosro ssema fluvale pozzando l nfluenza della sola cella d mone 28

29 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale Fg35 onfrono ra modell empo dscre per 4, 2 e 1 Rporamo le marc A s e s del ssema oenue araverso una sma a mnm quadra 29

30 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale A s s

31 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale Rporamo adesso a confrono l ploaggo de da spermenal e del modello relavamene alle celle 1,5,1 31

32 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale 32

33 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale Fg36 onfrono msure modello celle 1,5,1 33

34 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale 35 Sablà e propreà sruural del modello empo dscreo Per analzzare la sablà del ssema, possamo ora esamnare gl auovalor della marce A s ome s vede s raa d valor u n modulo mnor sreamene d 1, qund, essendo l ssema lneare e empo-nvarane, esso rsula aravo, qund sable e qund asnocamene sable dall anals modale, u mod sono esponenzal decrescen A parre dalle quaro marc è possble rcavare la funzone d rasfermeno del ssema Sp As Essendo l nosro ssema MIMO e sreamene causale s 2x2 e s 2x3 la funzone d rasfermeno Ŵz è una marce d dmenson 2x3 Wˆ z [ zi A D] s s 34

35 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale W ˆ 1, 1 z 859e - z^ z^8-2887e z^ e e - 6 z^ z^ z^ z^17 8 z^8 19 z^4 5559e z^ z^7 299e - 514e z^ e - 7 z^ e z^6-5 z^3 2 z^3 376 z^ z^ z^ e - 147e - 1 z^7-1169e - 586e - 5 z^14 23 z^ z^9 213z^5 6 z^2-3673e z^14-5 z^1-3719e - 12 z^6-9433e z^ z^ e - 1 z 6 z^9 15 z^5 26 z W ˆ 1 2 z z^3 z^ z^ z^ z^ z^1-99e z^ z^7-8318e - 9 z^7 3463z^1-18 z^4-1149e z^14 166e - 5 z^2-6639e - 9 z 598e z^ z^ z^ z^ e - 11z^ z^9 6151z^6-2111z^5 6572e - 18 z^3-1296e z^13 278e - 13 z^ z^8 41z^4 5 z^9-1297e - 21z^2-3736e z^12 6 z^8 25 z W ˆ 1, 2 z 588 z^ z^9-733e e e e - 7 z^2 z^ z^16 5 z^5-9574e z^ z^13 9 z^7 121e - 1 z e z^ z^14 19 z^3-3722e z^8 7791e - 6 z^4 4861z^1 685 z^ z^ z^7-12 z^6 446e e e - 22 z^2-175e - 6 z^3 14 z^5-25 z 8954 z^ z^13-5 z^9-3569e z^ z^ e - 7 z^8 19 z^4 W ˆ 2 2 z z^ e e e e - 18 z^ e - 6 z^2 2169e - 9 z -1937e z^ z^ z^13 28 z^ z^11 5 z^ e - 17 z^4 5 z^9 8 z^ z^1-3623z^9 8 z^7-1883e e e - 5 z^11 781e - 18 z^3 6 z^8-6 z^4 1 z^6-1317e e e e e - 12 z^5 4578e - 21z^2 5 z^1 7 z^7 5 z^3 6 z^8 2369e - 24 z W ˆ 1, 3 z z^19-112e e - 877e - 7 z^2-2833e - 1 z 2339 z^ z^ z^16 4 z^ z^ z^ z^5 8 z^8-9411e - 44 z^12 19 z^4-119e z^8-151z^7 272 z^4-11z^7 244e - 2 z^3-1269e e e - 13 z^6 26e - 5 z^3 659 z^15-5 z^ z^ e - 23 z^2-3676e z^14 86e - 15 z^5 27 z 7 z^9 W ˆ 3 2 z 528 z^ z^7 - z^ z^3 6546e z^ z^ e - 7 z^8 19 z^4 1239e - 5 z^2-512e z^ z^ z^ e e z^6-9 z^7-5948e - 19 z^3 286e z^5 9 z 12 z^6-22 z^2 4556e z^ z^1-1555e z^ z^13 5 z^9 456e - 811e - 14 z^5 26 z 35,,,

36 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale Per quano rguarda le propreà sruural del modello, s sono esamnae le marc d raggungblà R e d osservablà O, defne rspevamene come: R n2 n1 [ A A A ] s s s s s s s s s A O s A s A s n2 s n1 s dove n è la dmensone del ssema n queso caso par a 2 La marce d raggungblà R ha dmenson 2x6 e quella d osservablà O 4x2 dffcolà nel rporarle nel eso Dal loro sudo rsula che: ran R 2 ran O 2 coè enrambe le marc sono non sngolar Queso sgnfca che l ssema è compleamene raggungble e qund anche compleamene conrollable e compleamene osservable e qund compleamene rcosruble 36

37 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale apolo 4 Rcosruzone dell ngresso 41 alcolo del guadagno n connua Dalla eora de ssem sappamo che nel caso TD, quando ad un ssema vene mposo un ngresso d po modale : uuλ, la rsposa nel domno del empo sa daa da: y A x x ˆ ˆ λ Wˆ λ uλ dove la funzone d rasfermeno W nel caso MIMO è una marce pxm, n generale daa da: W ˆ 1 λ λi A D Nel caso po d ngresso cosane λ 1, l espressone dell usca nel domno del empo s semplfca a: y A x xˆ Wˆ 1 u Nell poes che l ssema sa sable, A per grande, queso sgnfca che la W ˆ λ funzone d rasfermeno, calcolaa n λ 1, assume l sgnfcao d rapporo ra l usca y : e l ngresso cosane u Poché nel nosro caso abbamo 2 usce OD e DO nella cella 1 e re ngress, SAT, O, la marce d rasfermeno avrà 2 rghe e re colonne che legano le due usce a re ngress La funzone d rasfermeno calcolaa n λ 1 assume l nome d guadagno n connua e nel nosro caso rsula essere : W ˆ

38 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale 42 alcolo dell ngresso Nello specfco abbamo decso d mporre un valore massmo al OD n usca all ulma cella e medane l corrspondene elemeno della W 1 l elemeno 2,3, abbamo calcolao l valore massmo del n ngresso al ssema Lo scopo è quello d porre un valore massmo alla concenrazone d OD nello scarco che garansca comunque uno smalmeno adeguao del carco nqunane W ˆ 31 L elemeno calcolao è 44, ed l lme massmo mposo al OD nella 2 cella 1 è 2 mg/l ale lme derva dal fao che gl srumen per le campagne d msura dffclmene rescono a msurare valor nferor, d conseguenza l valore massmo d n ngresso rsula essere 454 mg/l, che, enendo cono della dluzone dello scarco nel corso d acqua, s raduce n una concenrazone d nqunane s par a 49 mg/l ome rprova della bonà della sma abbamo effeuao una smulazone ulzzando come ngresso al nosro modello l valore d calcolao, n Fg41 rporamo l ploaggo del OD della cella 1 oenuo, che, come s vede s assesa sul lme mposo ˆ Fg41 O cella 1 38

39 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale apolo 5 Osservaore Asnoco 51 Realzzazone d un osservaore asnoco Il problema che c samo propos d rsolvere è quello della deermnazone d uno osservaore rcosruore asnoco dello sao Supponendo d non avere a dsposzone lo sao del ssema, s cerca d darne una sma, conoscendo msure d ngresso u ed usca y Il rcosruore asnoco dello sao d un ssema empo dscreo A,,,D è descro dalle seguen equazon: xˆ 1 A xˆ u L xˆ yˆ xˆ y S può defnre l errore d rcosruzone dello sao n queso modo: Sosuendo, s oene: e x xˆ e 1 x 1 xˆ 1 A L e e A L e Quello che s vuole è che e per ò s oene se la marce AL ha u auovalor sabl La dnamca dell errore d sma è deermnaa dagl auovalor della marce AL, sulla cu poszone nel pano complesso possamo nflure varando L D quano s possono varare, agendo sul valore d L, dpende dalle propreà sruural della coppa A, Nel caso che la coppa A sa compleamene osservable samo scur d poer allocare arbraramene u gl auovalor della marce AL asandos sulla relazone d dualà: A L A L A* * K* dove l smbolo * ha l sgnfcao d operaore duale la condzone equvalene è che la coppa A, sa compleamene raggungble Dall anals effeuaa nel capolo 3, sappamo che la coppa A s, s è compleamene osservable, possamo qund cosrure l osservaore 39

40 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale S ulzza l algormo d allocazone degl auovalor ponendo AA s e s problema duale ulzzando l comando place onrol Toolbox d Malab necessaro nel caso d ssem MIMO Abbamo scelo d allocare auovalor con modulo mnore d 5 affnché Malab poesse esegure calcol senza commeere error rcavando nfne l osservaore LK L Abbamo successvamene ploao grafc neren all errore per ogn varable d sao nelle celle 5 e 1 Fg51 Non avendo a dsposzone coppe ngresso-usca msurae, abbamo cosruo degl ngress arfcal e effeuando smulazon con l modello empo dscreo da no realzzao, abbamo rcavao le relave usce on ques da abbamo rcosruo valor dello sao e l abbamo confrona con quell del modello 4

41 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale 41

42 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale Fg51 Andameno dell errore d rcosruzone dello sao nelle celle 5 e 1 42

43 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale 52 Osservaore per ngresso cosane a ra ome prmo caso abbamo scelo un ngresso cosane a ra In parcolare n un cclo d 7 gorn abbamo poso una concenrazone 65 mg/l s 6 mg/l per una duraa d 5 gorn ed una concenrazone 45 mg/l s 4 mg/l per successv 2 gorn n modo da smulare l andameno pco d uno scarco d zona ndusrale Fg52 Ingresso cosane a ra Ne grafc soosan rporamo valor dell usca 43

44 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale Fg53 od e Do n usca dal ssema 44

45 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale La sma dello sao è oenua medane la formula: xˆ 1 A L xˆ u L y I rsula Fg54 mosrano come l od dmnusca conseguenemene alla dmnuzone del carco n ngresso e conemporaneamene l Do rsale poché ne dmnusce la rchesa per l abbameno dell organco S noa lo sfasameno emporale rspeo all ngresso dovuo al ssema n cascaa Fg54 onfrono modello sao smao cella 8 45

46 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale 53 Osservaore per ngresso snusodale ome secondo caso abbamo supposo un ngresso d po snusodale che osclla norno ad un valore medo d 65 mg/l n un perodo d 7 gorn Fg55 Fg55 Ingresso snusodale In Fg56 rporamo l ploaggo dell usca Do e od della cella 1 oenua rame l nosro modello Infne n Fg57 è rporao l rsulao della sma n grafc d confrono ra modello e sao rcosruo Fg57 Ancora una vola s vede come al dmnure della concenrazone d od corrsponde un aumeno della concenrazone del Do Dmnuendo nfa l consumo d ossgeno per l abbameno d nqunane, l faore d rossgenazone prevale 46

47 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale Fg56 Usce del modello per ngresso snusodale 47

48 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale Fg57 onfrono modello-sao rcosruo cella 8 48

49 orso d Teora de Ssem Dffusone d nqunane organco n ambo fluvale blografa RINALDI S PIARDI I ssem lnear: eora, modell, applcazon à Sud Edzon, 1997 RINALDI S Teora de ssem à Sud Edzon, 1996 MARSILI-LIELLI S Modell maemac per l ecologa Pagora ologna 1989 FORNASINI E MARHESINI G: Appun d eora de ssem, Edzon Lbrera Progeo, Padova, 1994 FORNASINI E MARHESINI G: Esercz d eora de ssem, Edzon Lbrera Progeo, Padova, 1991 AAVV: Idenfcazone de ssem socasc, onsglo nazonale delle rcerche, Roma, 1978 Appun del corso d Teora de ssem del Prof Aasavola, AA1999/2 49