Modelli reologici. Romano Lapasin. Dipartimento di Ingegneria e Architettura Università di Trieste

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1 Modell reologc Romano Lapasn Dparmeno d Ingegnera e Archeura

2 Approcc fenomenologc e approcc molecolar/mcroreologc Problema cenrale della reologa: defnzone dell equazone cosuva (relazone ra ensore degl sforz e uno o pù ensor cnemac approcc fenomenologc approcc molecolar o mcroreologc Approcco fenomenologco: l obevo prmaro è la defnzone d un modello capace d descrvere nel modo mglore possble l comporameno reologco d un ssema prescndendo dalla sua naura e dalle sue condzon sruural (n emp successv l evenuale rcerca delle correlazon paramer reologc e paramer molecolar o mcroscopc Approcco molecolare o mcroreologco: l obevo è la defnzone d un modello capace d correlare l comporameno reologco d un ssema con paramer che ne caraerzzano la sruura su scala molecolare o superore

3 Approcc e modell fenomenologc Comporameno shear-dpendene Modello d fludo Newonano generalzzao Comporameno shear- e empo-dpendene Approcc ssoropc e approcc vscoelasc Approcco ssoropco anelasco Approcc vscoelasc Modell vscoelasc lnear Modell coroazonal quas-lnear Modell coroazonal non lnear Modell codeformazonal

4 Modello d fludo Newonano generalzzao L approcco fenomenologco pù semplce è basao sulla generalzzazone della relazone valda per flud Newonan D ( (II D D ( ( La vscosà è una grandezza scalare che può dpendere solano da alre grandezze scalar (componen del ensore I II j j III j k jk k Per un fludo ncomprmble n condzon d flusso a aglo: I III v II (

5 Modello d fludo Newonano generalzzao ( equazon ( ( ( ( m n / dfferen k modell ada a descrvere comporamen pseudoplasc, plasc o dlaan k n- n- modell ada alla soluzone d problem rguardan condzon sazonare d flusso a aglo, qual l calcolo d DP nel moo lamnare n ub, o alre condzon approssmabl ad esse non a condzon non sazonare e dverse da quelle a aglo

6 Modello CEF (Crmnale Ercksen Flbey Le dverse verson del modello d fludo Newonano generalzzao possono essere consdera cas parcolar d un modello pù generale valdo per una classe esesa d flud D D D D,, funzon : dervaa d Jaumann o dervaa coroazonale rspeo al empo D D D D Omeendo ermn conenen, dall equazone CEF e s rcava l modello d fludo Newonano generalzzao d v D D

7 dal modello CEF al modello d fludo Newonano generalzzao condzon d flusso a aglo sazonaro ra pan parallel v v T = - D D xy yx xx yy yy zz

8 Approcc ssoropc e vscoelasc I modell d fludo Newonano generalzzao sono nada all anals del comporameno empo-dpendene d flud non Newonan Occorre dsporre d un modello n grado d ener cono della memora che l fludo ha della sora cnemaca precedene, ovvero degl effe che essa produce sulla sruura del fludo. Approcc ssoropc Approcc vscoelasc anelasc elasc lnear non lnear Negl approcc ssoropc anelasc (o elasc la empo-dpendenza è dovua solano (o prncpalmene alle varazon sruural prodoe da varazon delle condzon d campo (sforz, graden d velocà alle qual è sooposo l ssema.

9 Approcco fenomenologco al comporameno ssoropco anelasco (Cheng-Evans Il comporameno vscoso shear- e empo-dpendene n condzon d flusso d aglo è descro da : d d f (, g(, equazone d sao equazone cneca Esempo d modello adao a descrvere l comporameno ssoropco d sospenson d caolno e arglla d d f k b p q (, ( K ( q g(, ( p k d ( k n : paramero sruurale arbraro, (,, K K K ( K n condzon sazonare (d equlbro d k b d ( d kd eq k b d eq eq per per

10 Approcco fenomenologco al comporameno ssoropco anelasco (Cheng-Evans f (, equazone d sao curva d equlbro mappa d curve a cosane (

11 Clay-kaoln suspensons A. Alessandrn, R. Lapasn, F. Surz, Chem. Eng. Commun., 98

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13 Modell vscoelasc lnear modello d Maxwell per rapde varazon d / G n condzon sazonare comporameno Newonano a deformazone cosane exp / ' G( ' ( ' d' exp ( ' d' ' exp ( ' d' verson ensoral: n

14 Modell vscoelasc lnear modello d Jeffreys / G / G G ' exp ( ' ( ' d' ' exp ( ' ( ' d' ( x lm n exp nx n funzone dela d Drac modello d Jeffreys: puno d parenza per lo svluppo d modell vscoelasc non lnear

15 Modell vscoelasc lnear modello d Burgers (modello d Maxwell + modello d Vog-Kelvn creep per exp G G G recovery per ' G G ( ' exp exp G rlassameno a deformazone cosane G G exp G G per G

16 Modell vscoelasc lnear modello d Maxwell generalzzao G( G exp( G ( G exp( G k k G ' exp k G G ( ' d' G G N N spero meccanco G' N G G' ' N G spero de emp d rlassameno G G, : valor da fng, problemache d fng e crer d vncolo (scalng, scalng eorc

17 Modell vscoelasc lnear modello d Maxwell generalzzao meod dfferen d regressone de da spermenal e d regolarzzazone crero emprco d scalng de emp: rduzone del grado d correlazone ra paramer d fng rduzone del numero d paramer aggusabl crer d scalng basa su approcc eorc: eora d Rouse per soluzon polmerche e fus a basso peso molecolare k ( k k k G k k k k

18 Modell vscoelasc lnear modello d Maxwell generalzzao: mplemenazone per esenderne l applcazone a comporamen sold-lke G ( G e G exp( G ( G e per G e G exp G e ' G ( ' d' G G G N N spero meccanco G' G e N G G' ' N G G ' per G e

19 Modell vscoelasc a dervae frazonare Modell vscoelasc basa sull uso d dervae frazonare (operaor maemac negrodfferenzal al poso d funzon e dervae nere d funzon defnzone d dervaa frazonara secondo Remann - Louvlle D corpo elasco d ( G d d f d ( ( f ( ( f ( d ( exp( x d d x dea orgnara d Sco Blar: comporamen vscoelasc compres ra due esrem corpo vscoelasco dx funzone gamma corpo vscoso d ( d funzone d araverso operaore maemaco nermedo ra funzone e dervaa prma

20 Modell vscoelasc a dervae frazonare modfca d modell convenzonal (sosuzone d elemen elasco e vscoso con elemen frazonar G d ( d fraconal elemen sprng dashpo = = FMM (fraconal Maxwell model b b FZM (fraconal Zener model modfca delle equazon cosuve de modell convenzonal (sosuzone con dervae frazonare

21 Modell vscoelasc a dervae frazonare G D G G D FZM ( = b Modello d Fredrch c c c c d d e D [ ] G { D [ ] D [ ]} DG D [ ] (d =, c = - b spero meccanco d ( d c cos( ( cos( d c G' ( = G DG e ( c cos( c ( c d c ( sn( d ( sn( d c G' '( = DG ( c cos( c ( c

22 Modell vscoelasc a dervae frazonare FZM ( = b Modello d Fredrch c c c c d d e D [ ] G { D [ ] D [ ]} DG D [ ] (d =, c = - b Modello d Maxwell (d =, c = (, b, G e G '( = ( DG ( ( G'' ( = DG (

23 Modell vscoelasc a dervae frazonare G', G'' [Pa] 5 C 45 C 65 C descrzone della ranszone sol/gel araverso l modello d Fredrch 85 C,,, [rad/s] DG G e X-LBG : d.75 xanhan-locus bean gum (: KCl mm, % 5-85 C G e DG (Pa T ( C c.5.5 (s c, d

24 Modell vscoelasc a dervae frazonare spero meccanco d un polmero assocavo

25 G'. G'' Modell vscoelasc a dervae frazonare spero meccanco d un polmero assocavo descrzone con modello FMM G G daa from R.D. Groo, W.G.M. Agerof, Macromolecules, 995, 8,

26 Modell vscoelasc coroazonal Modell vscoelasc lnear rformula scambando l ssema fsso d coordnae con un ssema coroazonale ( 3( ( rfermeno fsso ( ' 3( ' ( ' 3( ( rfermeno moble coroazonale ( rfermeno fsso rfermeno moble coroazonale rformulazone del modello d Jeffreys modello lneare modello lneare

27 Modell vscoelasc coroazonal rscrura del modello d Jeffreys nel ssema fsso D D D D D D modello coroazonale d Jeffreys modello non lneare flusso d aglo sazonaro avvameno spegnmeno, / /

28 Modell vscoelasc coroazonal non lnear per agguna d ermn non lnear al modello d Oldroyd (8 cosan 3 3 ( ( ( ( ( ( ( E kι dal modello d Jeffreys coroazonale rscrura nel ssema fsso

29 percors d svluppo de modell lnearà ra fludo Newonano e combnazone d due elemen lnear fludo Newonano generalzzao rascurando ermn conenen gl sforz normal equazone CEF sao sazonaro modello d Maxwell combnazone d pù elemen lnear modello vscoelasco lneare generalzzao rformulazone n ssema coroozonale modell coroazonal quas lnear agguna d ermn non lnear modell coroazonal non lnear

30 Equazon per la descrzone del comporameno macroscopco: flusso n ub 3 w R Q rz f rz drz ( 3 power law m dv dr n z rz 3n / n Q R v z R Bngham model dv z rz p dr rz r p r R dvz r rp dr Herschel-Bulkley flud rz dv dr z m dv dr r z r n p rz w r p Q R 3 n r w m R / n n 3n R Q 8 ( n/ n 4 p D L D m L w / n w 4 3 3n n D 3 L R n