Costruzioni In Zona Sismica. Prof. Ing. Camillo Nuti. Università Degli studi Roma Tre

Transcript

1 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 Cosruzon In Zona Ssmca Prof. Ing. Camllo Nu Unversà Degl sud Roma Tre

2 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 RISPOSTA DINAMICA DELLE STRUTTURE. L Oscllaore semplce Una sruura che la cu una massa può schemazzars come concenraa n un puno è dea oscllaore semplce. Segue da ale schema che lo sao d deformazone sruurale è noo quando è noo l moo della massa, unca fone delle forze d nerza che agscono sulla sruura. Esemp d oscllaore semplce sono mosra n Fgura. Fgura esemp d sruure schemazzabl come un oscllaore semplce e schema sruurale. Con rfermeno alla fgura s osserva che le masse del pone e del serbaoo sono essenzalmene concenrae n sommà. Nel pone s osserva che le rav ampone

3 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 dell mpalcao sono cascuna appoggae da un lao su un carrello e dall alro su una cernera, perano l pone n senso longudnale può essere schemazzao con an oscllaor semplc (se s assume nullo l aro de carrell cosu cascuno da una pla prva d massa (massa rascurable e dalla massa n sommà, somma d quella della sampella e della rave ampone collegaa alla sampella con una cernera. Le due sruure ndcae n Fgura possono qund essere schemazzae come una massa sopporaa da sruure elasche d sosegno prve d massa. Nella fgura s è ndcao lo schema a porale con rave nfnamene rgda. La rgdezza alla raslazone orzzonale è K (K/ per cascun pedro. E possble scrvere l equazone d equlbro alla raslazone della massa. Dea : ; &;& & lo sposameno relavo della massa rspeo alla base e le sue dervae prma e seconda rspeo al empo (velocà ed accelerazone relava ed & y& la accelerazone della base rspeo ad un ssema fsso, coè l accelerazone del erreno, la forza d nerza F è daa dal prodoo della massa m per l accelerazone assolua & & y : F = m (& & y La forza elasca d rchamo nella poszone d quee: = vale Fe e = k V è po una forza dsspava, d po qund non conservavo, che è comodo a fn degl svlupp per la soluzone elasca n forma chusa meere nella forma d dsspazone vscosa: F d = d & Infne può agre sulla massa una generca forza F. Per l equlbro della massa s deve avere che ad ogn sane: F Fd Fe = F sosuendo s oene: m (& && y d & k = F ( Nauralmene nella espressone la accelerazone del erreno & y& e la sora della forza eserna F sono noe, olre ad essere noe m, k, d, caraersche meccanche della sruura, perano s può porare a secondo membro ermn no: 3

4 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 m & d & k = F m & y ( ermn m & ; m & y hanno le dmenson d una forza ma non hanno sgnfcao fsco, la loro somma è la forza d nerza. Tuava è consueudne chamare l secondo forza d rascnameno della sruura... Soluzone dell equazone d equlbro Rsolvere l equazone dfferenzale ( vuol dre rovare la funzone ( che soddsfa l eguaglanza. La ( è una equazone dfferenzale a coeffcen cosan. La soluzone s rova come somma dell negrale generale, che è la soluzone dell equazone ( con ermne noo nullo, che rappresena l equazone d equlbro n assenza d moo del erreno e d forze eserne ed è dea equazone omogenea assocaa, l negrale parcolare che soddsfa l caso con l ermne noo assegnao, nel caso n quesone F m & y. S dvda la ( per la massa m, s oene l equazone: & d d m & k m = F m & y ( 3 s vede qund che le re grandezze m, d, k non nervengono nel l'equlbro n manera ndpendene ra loro, ma legae da un rapporo; s pone allora k m = ; d m = ν ν = d m ( 4 ν è deo rapporo d smorzameno, (essendo l rapporo ra l coeffcene d smorzameno d ed l prodoo m deo smorzameno crco e vale per le sruure real ra lo.5 ed l 5%, ques ulmo valore essendo quello pco degl edfc. Come s vedrà nel seguo, una sruura avene uno smorzameno par al crco, e qund ν=, caso che non s verfca per alcuna sruura dell'ngegnera cvle, allonanaa dalla sua 4

5 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 poszone d equlbro, v rorna asnocamene senza compere alcuna oscllazone.... SOLUZIONE PER IL CASO DI TERMINE NOTO UGUALE A ZERO (oscllazon lbere & ν & = ( 5 per ν = ermne noo nullo, è del po: L'negrale generale, che rappresena la soluzone del problema, essendo l = Acos Bsn ( 6 n cu le cosan A e B devono essere deermnae ponendo le condzon a lm, n queso caso s ha per = = ; & = & (condzon nzal : Acos( Bsn( = A = & & = Asn( Bcos( ; & = Bcos( B = sosuendo valor rova nell'negrale generale s ha: & = cos sn ( 7 L espressone della rsposa mosra che la sora degl sposamen d una sruura prva d smorzameno è perodca, essendo somma d due funzon perodche che assumono lo sesso valore dopo per valor dell argomeno che dfferscono d un mulplo d π. Perano ragonando n ermn d empo la rsposa assume gl sess valor quando: 5

6 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 π m = π = = π = T k ( 8 Il valore T vene perano deo perodo propro della sruura, ed è una grandezza che dpende dalle caraersche meccanche della sessa. Esso è l empo che nercorre ra due oscllazon consecuve d massma ampezza d una sruura nelle sue oscllazon lbere. S no che esso aumena con la massa e dmnusce con la rgdezza. I valor del perodo delle sruure cvl varano n genere ra qualche decmo d secondo ed al pù qualche secondo. Ad esempo per gl edfc a elao vale la regola emprca: T=.N ove N è l numero de pan, col che s capsce che n Iala la gran pare degl edfc ha perod compres ra. e secondo (- pan. Vengono n genere dee rgde le sruure con perodo nferore a.-.3 second, mede ra.3 e.6-.7 second flessbl al d sopra d.8- secondo. I erremo n generale mpegnano parcolarmene gl edfc con perodo compreso ra. e.6-.8 second, coè propro l campo d perod propr dell edlza correne alana. Sono meno sensbl graacel, che hanno perod spesso superor a 3 second ed grand pon, s pens ad esempo che l Golden Gae Brdge d S Francsco ha l perodo propro n senso rasversale d 8. second ed n senso vercale d. second. Per <ν <l, (le sruure real hanno sempre ν >, n genere ν non supera l 5-% la soluzone è: ν = e Acos B sn ] ; [ ν & = e [ cos sn] ; ( 9 = ν l'espressone ra parenes è analoga a quella rovaa per ν = con la sola dfferenza la frequenza è leggermene mnore a causa dello smorzameno. Quesa dmnuzone della frequenza è rascurable per valor d smorzameno pc delle sruure cvl: s enga 6

7 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 presene che se ν =. =.98. S hanno perano oscllazon d frequenza e qund d perodo pressoché ugual a quell preceden, ma d ampezze decrescen per effeo del ermne esponenzale negavo che conene l rapporo d smorzameno ν. Analogamene a quano fao n precedenza s deermnano le cosan A e B mponendo le condzon nzal e s oene l espressone ( : ν & ν = e [ cos sn] ; = ν ( ν & = e [ cos sn] ; ( (, (,.5 (,. (, Fgura Funzon d rsposa (,ν, per dvers valor dello smorzameno. La funzone (. è valuaa con l espressone approssmaa (, la funzone (. con l espressone esaa (. I valor adoa sono m=5.35, k= kn/m. Sposameno nzale =3 7

8 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 m, velocà nzale =4 m/sec. S no l nfluenza d ν. Il prodoo ν è rascurable rspeo a &, così come dffersce poco da, perano dal puno d vsa praco è possble ulzzare l espressone della rsposa non smorzaa molplcaa per l ermne smorzane esponenzale, secondo l espressone (, come peralro dmosrao dalla Fgura. Da quesa espressone sembrerebbe che una sruura pù rgda (grande a parà d smorzameno ν, smorz le oscllazon pù rapdamene; ma n realà queso non avvene spesso poché non è esaamene valdo che la vscosà sa dreamene proporzonale alla velocà, come è sao assuno nello scrvere la equazone del moo. ν= (smorzameno crco manca l ermne oscllaoro e s ha: ν = e [ ( ] ( è un caso che non presena nessun neresse praco. Esamnamo l caso avene condzon nzal : sposameno nullo e velocà assegnaa. = = A = & & = B cos( B = La legge del moo dvene qund: = e [ sn] ; = ν ν & ( 3 = e [ sn] ; ν & ( 4 8

9 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca (,. (, Fgura 3 Funzon d rsposa (,ν, nel caso d sposameno nzale =, velocà nzale =4 m/sec.. La funzone (. è valuaa con l espressone approssmaa ( 3 la funzone (. con l espressone esaa ( 4. I valor adoa sono m=5.35, k= kn/m. Il problema fsco e lo sudo d una vbrazone provocaa da una forza del po F( applcaa per un empo esremamene lmao. S defnsce mpulso la seguene espressone: Δε ε I = lm F( d ; ( 5 9

10 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6

11 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 del moo Rscrvendo l'equazone F( k m = & & ( 6 s possono negrare var membr da Δε calcolarne l lme per Δε che ende a : Δ = ε ε ε ε ( lm d F d k d m & & Δ = ε ε ε ε ( lm d F d k d d d m & Δ = ε ε ε ε ( lm d F d k md& ( 7 S S

12 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 Oenendo, per Il ermne noo, l'espressone dl una forza mpuls va. Il prmo ermne, In cu s è espressa accelerazone come dervaa della velocà rspeo al empo, rappresena, dopo la semplfcazone, l negrale d un dfferenzale d una funzone, qund la funzone sessa. Il secondo ermne nvece s può rsolvere solo esplcando la funzone (, ma essendo lo nervallo nfnesmo possamo approssmarla con una funzone lneare (=a S oene allora: m[ & ] k a[ ε ε = ] I ( 8 l prmo ermne è la dfferenza ra la velocà fnale e quella nzale molplcaa per la massa, ma essendo la velocà, la velocà nzale è uava nulla, perano essa rappresena la velocà che ha la massa su cu ha ago l'mpulso, e qund e la velocà del moo che ne derva. Il secondo ermne al endere dell nervallo a zero, rsula essere un nfnesmo d ordne superore e qund rascurable; s ha qund: m & I = = & I m ( 9 Sosuendo qund la legge del moo dervane da una forza mpulsva assume la seguene espressone: I = e m ν sn ; (

13 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 chamaa "funzone d rsposa a mpulso e Indcaa con l smbolo h(. Se l mpulso anzché all sane = agsce all sane =τ, allora lo sposameno all sane dovuo all mpulso dpende dal empo nercorso Δ=-τ, perano s ha ( = I( τ e m ν ( τ sn( τ ; ( La generca sora d forze F(, può essere pensaa come successone d mpuls F(τdτ 6.78 F( F ( h(,,.5 F ( h(,,.5 F3 ( h(, 3, Fgura 4 Esempo d forza connua ed effeo all sane 4.5 d re mpuls per =,,3 e loro somma (n basso a desra.5.5 ff( La rsposa al empo dvene qund la sovrapposzone degl effe d u gl mpuls che precedono l empo, coè: 3

14 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 F( τ ν ( τ ( = e sn( τ dτ ; m ( Assumendo come F(τ propro l ermne noo della equazone d equlbro (, e sosuendo nella ( s oene: ma( τ ν ( τ ( = e sn( τ dτ m ν ( τ ( = a( τ e sn( τ dτ ( 3 La espressone ( 3 è dea rsposa ad un accelerogramma nel domno del empo o anche negrale d Duhamel. Volendo esegure un calcolo approssmao, ma pù effcene dal puno d vsa del empo d calcolo, s può osservare che è suffcene ener cono degl mpuls che precedono l sane d calcolo d un empo mulplo del perodo d non olre vole, ad esempo per una sruura con T=.5, è suffcene consderare un empo precedene d non olre 5 second... Lo spero d rsposa Osservando la espressone ( 3 s noa come, dao un accelerogramma, la rsposa dpenda esclusvamene da due paramer, ν ed. Perano due sruure aven gl sess valor d ν ed hanno la sessa sora della rsposa, ed n parcolare la sessa rsposa massma. In generale nelle cosruzon cvl non s è neressa all nera sora della rsposa ma a valor massm delle sollecazon e degl sposamen. Una vola noo lo sposameno massmo Xma, la sollecazone massma vale: F = k ( 4 ma X ma 4

15 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 E possble così dmensonare la sruura se s vuole che res n campo elasco. In alernava, noo Xma, è possble dmensonare la sruura perché soppor lo sposameno Xma. Dal puno d vsa del progesa è perano molo ule dao un accelerogramma dsporre d un dagramma dove n ascsse sono rpora perod propr T ed n ordnaa l valore d Xma. S possono cosrure curve per dvers valor del rapporo d smorzameno ν. S osserva che rcavaa lo sposameno massmo, e la relava forza, è possble cheders quale è la accelerazone che produrrebbe una uguale forza d nerza: Fma = k X ma = m Sa ( 5 Inverendo la ( 3 s oene: k Sa = X ma Sa = X m ma ( 6 Se ua l energa d deformazone s rasformasse n energa cneca, cosa che avverrebbe n assenza d smorzameno, s avrebbe: E = k X ma = m Svma Svma = X ma ( 7 Dalla ( 3 e ( 3 s oene l legame ra Sa ed Sv: Sa = Sv ( 8 5

16 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 EC8 Ama= (m/sec^,5e-,e- Xma(m,5E-,E- 5,E- smorz= smorz=.5 smorz=.,e,,, 3, 4, T(sec Ec8 Ama= (m/sec^ V (m/sec 8,E- 6,E- 4,E-,E-,E,,, 3, 4, T (sec smorz= smorz=5% smorz=% Ec8 Ama=(m/sec^ Sa (M/sec^ 8,E 7,E 6,E 5,E 4,E 3,E,E,E,E,,, 3, 4, T(sec smorz= smorz=5% smorz=% Fgura 5 Sper d rsposa n sposameno, pseudovelocà e pseudoaccelerazone, per dvers valore dello sporzameno. In basso spero d rsposa n scala rlogarmca. 6

17 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 Ec8 Ama= (cm/sec^,e4 V (m/sec,e3,e,e smorz= smorz=5% smorz=%,e,,, T (sec Fgura 6 spero d rsposa n velocà n scala logarmca. Sv ed Sa sono dee Pseudovelocà e Pseudoaccelerazone dell oscllaore, non essendo esaamene la velocà o l accelerazone assolua dello sesso. S osserva n parcolare che la accelerazone assolua deve endere al valore della accelerazone del erreno per T che ende a zero, coè per sruure nfnamene rgde che raslano qund con l erreno, nolre la velocà relava deve endere alla velocà del erreno quando la sruura è nfnamene flssble, quando coè T ende all nfno, poché la massa n al caso rmane ferma rspeo al ssema fsso menre l erreno s muove. V sono perano defferenze ra pseudovelocà e velocà relava della sruura n corrspondenza ded perod lungh, menre la accelerazone assolua dffersce dalla pseudoaccelerazone n prossmà d T=. S osserva nfne che, come deo,nel caso d sruura molo flessble, la massa ende a rmanere ferma, perano lo sposameno relavo è par a quello assoluo del ereno U, perano lo spero d rsposa n sposameno deve endere a U per T che ende all nfno. 7

18 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca Sper d rsposa d accelerogramm Sper d rsposa su rocca (a 5 7 even ssmc (4 accelerogramm San Rocco5 NS San Rocco5 EW Accelerazone sperale normalzzaa, Se/a g 4 3 M= Perodo, T (s Tarc4 NS Tarc4 EW Robc3 NS Robc3 EW Gebze NS Gebze EW Hercegnov NS Hercegnov EW Robc4 NS Robc4 EW San Rocco3 NS San Rocco3 EW Meda EC8 - So. A Accelerazone sperale normalzzaa, Se/a g M>6. even ssmc ( accelerogramm 3 Perodo, T (s Gebze NS Gebze EW Hercegnov NS Hercegnov EW Ulcjn NS Ulcjn EW Bagn NS Bagn EW Surno NS Surno EW S.G. La Molara NS S. G. la Molara EW Tolm NS Tolm EW Hercegnov5 NS Hercegnov5 EW San Rocco4 NS San Rocco4 EW Robc NS Robc EW Meda EC8 - So. A Fgura 7 spero d rsposa per accelerogramm real a confrono con l loro spero medo e lo spero normavo su rocca per erremo nens (Tpo 8

19 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 Gl sper d rsposa sopra llusra s rferscono ad accelerogramm regsra su rocca selezona (ved Rey e al. dallo European Srong Moon Daabase, con parcolare rfermeno a quell relav a erremo del Frul, Monenegro e Izm. Gl accelerogramm sono sa normalzza dvdeno le ordnae per l pcco d accelerazone, perano l ordnaa dello spero d rsposa al perodo propro T= vale. Una operazone che spesso vene effeuaa per rcavare sper d progeo è quella d fare la sasca d sper d rsposa rappresenav, con qualche crero, della suazone d neresse. Una analoga d mnmo è quella delle caraersche d nensà epcenrale, e d suazone geologca e geoecnca del so ove s vuol valuare lo spero. Nelle fgure sono mosra anche gl sper oenu medando quell relav a dvers accelerogramm. S oengono così forme pù regolar d quelle relave a sngol accelerogramm. S no come a nensà epcenrale maggor (n magnudo, rpora nella fgura nferore, corrspondano accelerogramm con sper d rsposa con la zona d massma amplfcazone pù esesa. Quesa suazone è rlevable n modo pressoché ssemaco. Perano è da aenders che gl sper su rocca relav a zone d percolosà ssmca nferore, coè quelle ove l azone ssmca aesa è mnore, dovrebbero avere una esensone della zona d massma amplfcazone mnore.... Sper d rsposa rcava a parre dalle caraersche d ssmcà regonale Dao l epcenro d un erremoo d noa nensà sono sae messe a puno per va sasca funzon, dee legg d aenuazone, che a parre dalle caraersche d nensà epcenrale, danno, n base alla dsanza del so ove s vuole valuare lo spero d rsposa, l valore delle ordnae speral mede. Con opporune operazon d meda s possono così calcolare, a parre dalle caraersche d ssmcà locale, sper d rsposa d so, n genere su rocca, sempre su erreno a superfce orzzonale, che engono cono delle caraersche d ssmcà Rey J., Faccol E., Bommer J. (. Dervaon of desgn sol coeffcens (S and response specra shapes for eurocode 8 usng he European Srong Moon Daabase. Journal of Sesmology,

20 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 del erroro crcosane. A olo d esempo s rporano valor rcava per alcune cà Ialane [Nu, Rasulo & Vanz, 5].,9,8 N u R a sul ova nz S e r v z os sm c o,7 Caana CATANIA CATANIA,6,5 Messna MESSINA MESSINA,4,3 Napol NAPOLI NAPOLI,,,,,5,,5,,5 3, 3,5 4, Messna, Zona, Caana e Napol, Zona, Confrono ra sper d rsposa T=475 ann oenu a parre dalla recene classfcazone INGV, oenu con la classfcazone GNDT dal SSN, Rvalua da Sabea Puglese da [Nu, Rasulo& Vanz 5] Nu,C., Rasulo, A., Vanz, I., (5 Proposa per la Valuazone della Classfcazone Ssmca del Terroro Ialano Rapporo Tecnco N/5 Dparmeno d Sruure Unversà degl Sud RomaTre.

21 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6,45,4 NuRasuloVanz ServzoSsm co RW Rom eo Frenze FIRENZE FIRENZE,35 Genova GENOVA GENOVA,3,5 Palermo PALERMO PALERMO Roma ROMA ROMA,,5 Trese TRIESTE TRIESTE, Veneza VENEZIA VENEZIA,5 Verona VERONA VERONA,,,5,,5,,5 3, 3,5 4, Confrono ra sper d rsposa con perodo medo d rorno 475 ann oenu a parre dalla recene classfcazone INGV, oenu con la classfcazone GNDT dal SSN, Rvalua da Sabea Puglese, da [Nu, Rasulo& Vanz 5] La ecnca pù dffusa per la valuazone sasca a parre da da d ssmcà del erroro è quella messa a puno da Cornell nel 969. Per un approfondmeno s rmanda a es pù specalzza. Le forme speral così oenue dpendono olre che dalle legg d aenuazone dalla defnzone delle caraersche della ssmcà regonale. S no ad esempo che gl sper oenu con la recene classfcazone dell INGV 4, sono pù bass d quell oenu a parre dalla precedene classfcazone del GNDT. S no come le forme speral così oenue sono anch esse puoso regolar, e presenano

22 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 una cera analoga con quelle oenue con operazon d meda d sper d accelerogramm naural. La cosa è d alronde da aenders n quano le legg d aenuazone sono rcavae per va sasca dalle regsrazone degl accelerogramm naural. Se nvece degl sper con perodo medo d rorno 475 ann s valuano quell con perodo 7 ann, corrsponden a probablà d superameno del 5% n 5 ann, s possono oenere forme speral qual quelle della fgura seguene:,4,,,8 Bar Bologna Caana Frenze Genova Messna Mlano,6 Napol Palermo,4 Roma Torno, Trese Veneza, Verona,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 Sper med con perodo medo d rorno 7 ann.

23 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca Sper d rsposa rsposa d norma Le normave nazonal ed nernazonal defnscono n genere le forme speral n relazone alle caraersche delle formazon pù superfcal del erreno. Ad esempo l Eurocodce 8 fa rfermeno alle caraersche degl sra sno a 3 mer d profondà. Quesa profondà non ha un parcolare valore scenfco, puoso rappresena un valore sno al quale s spngono sondagg che s effeuano per la valuazone delle caraersche geoecnche de erren d fondazone quando s deve cosrure un edfco. Il fondameno scenfco s basa sulla valuazone che spesso a 3 mer d profondà gl sra d erreno dvengono molo compa per cu non ha neresse praco ndagare le caraersche a profondà pù grand. Qualora le caraersche del erreno sano d qualà scadene a profondà maggor, è perano opporuno fare sud specfc. E uava orma rconoscuo che le forme speral aese n un so specfco dpendono non solo dalle caraersche degl sra superfcal, ma anche dalle caraersche alla sorgene ssmca e da erren araversa. Perano s rene che sa quanomeno opporuno che le forme speral vengano defne a lvello regonale araverso sud specfc che engano cono d u possbl paramer, non ulmo la morfologa locale. L Eurocodce 8 dà la seguene espressone per lo spero elasco d progeo: 3

24 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 ξ: smorzameno sperale Spero elasco dell Eurocodce 8 4

25 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 Ser elasc per erremo nens: Tpo I 5

26 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 Valo r de paramer nell EC8, erremo nens: Tpo I Ser elasc per erremo debol: Tpo II 6

27 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 Valo r de paramer nell EC8, erremo debolo: Tpo II 7

28 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 La proposa d annesso ecnco nazonale dell EC8, d gennao 5, rpora seguen valor de paramer Zona ssmca Caegora S suolo TB TC TD A,,,4 4,5 - B,5,5,6 5, C-D-E,3,,8 6, A,,5,35,5 3, 4 B,,,45,5 C-D-E,35,5,6, Valor de paramer dello spero d rsposa elasco della componene vercale d accelerazone per lo SLU Zona ssmca Caegora S suolo TB TC TD A,,,4 4,5 - B,5,5,6 5, C-D-E,3,,8 6, A,,5,35,5 3, 4 B,,,45,5 C-D-E,35,5,6, Valor de paramer dello spero d rsposa elasco delle componen orzzonal d accelerazone per lo SLD Lo spero d rsposa relavo alla componene vercale è generalmene concenrao su frequenze pù elevae d quello per le componen orzzonal. L Eurocodce 8 dà le seguen espresson: 8

29 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 I paramer sono da nella seguene abella: Nell annesso ecnco nazonale s danno gl sess valor. 9

30 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca Confrono ra sper normav ed alcune propose n leraura Accelerazone sperale normalzzaa, Se/a g Confron EC8 / Anne Ialano / OPCM 374/Plaks Terremo Tpo Soosuolo Tpo A Soosuolo Tpo B A - EC8 A - Anne Naz. A - OPCM A - Plaks (a 3 4 Perodo, T (s Accelerazone sperale normalzzaa, Se/a g B - EC8 B - Anne Naz. B - OPCM B,B - Plaks (b 3 4 Perodo, T (s Accelerazone sperale normalzzaa, Se/a g Accelerazone sperale normalzzaa, Se/a g Soosuolo Tpo C C - EC8 C,C - Anne Naz. B,C,E - OPCM C,C3 - Plaks (c 3 4 Perodo, T (s E - EC8 C6 - Anne Naz. B,C,E - OPCM E - Plaks (e 3 4 Perodo, T (s Accelerazone sperale normalzzaa, Se/a g Soosuolo Tpo D D - EC8 C3,C4 - Anne Naz. D - OPCM D,D - Plaks (d 3 4 Perodo, T (s Soosuolo Tpo E 3

31 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 Accelerazone sperale normalzzaa, Se/a g Confron EC8 / Anne Ialano / OPCM 374/Plaks Terremo Tpo Soosuolo Tpo A Soosuolo Tpo B A - EC8 A - Anne Naz. A - OPCM A - Plaks (a 3 4 Perodo, T (s Accelerazone sperale normalzzaa, Se/a g B - EC8 B - Anne Naz. B - OPCM B,B - Plaks (b 3 4 Perodo, T (s Accelerazone sperale normalzzaa, Se/a g Accelerazone sperale normalzzaa, Se/a g Soosuolo Tpo C C - EC8 C,C - Anne Naz. B,C,E - OPCM C,C3 - Plaks (c 3 4 Perodo, T (s (e 3 4 Perodo, T (s 3 Accelerazone sperale normalzzaa, Se/a g Soosuolo Tpo D (d 3 4 Perodo, T (s Soosuolo Tpo E D - EC8 C3,C4 - Anne Naz. D - OPCM D,D - Plaks

32 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca Teso della Ordnanza della Proezone Cvle 374 relavo alla defnzone della Azone Ssmca S rpora l eso dell allegao ecnco alla Ordnanza d Proezone Cvle 374. S raa d una formulazone smle a quella dell EC8 e relav Anness ecnc nazonal. Per ques ulm s veda anche l so Web: 3

33 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca

34 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca

35 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca

36 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca

37 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6. SOLUZIONE PER IL CASO IN CUI IL TERMINE NOTO E' UNA FORZA COSINUSOIDALE L'espressone d equlbro della massa del ssema, n assenza d smorzameno, è la seguene: m& d & k = F cosω F & ν & = cosω m ( 9 Ove Ω rappresena la frequenza della eccazone eserna. In queso caso la soluzone dell equazone dfferenzale è la somma dell 'negrale generale (uguale a quello rovao nel caso d oscllazon lbere e dell 'negrale parcolare che vara nel empo con la sessa frequenza della eccazone eserna ndpendenemene dalla sruura: = e ν Acos Bsn ] [ A cosω Bsn Ω ] ( 3 [ Nella espressone ( 3 l prmo ermne della addzone è l negrale generale, esso all aumenare d ende a zero, la legge del moo a regme, qund, sarà rappresenaa dal negrale parcolare: = [ A cosω B sn Ω ] ( 3 ( Baserà allora calcolars I valor delle cosan A e B. S derva qund due vole l'negrale parcplare rcavando le espresson d della velocà e accelerazon relave n funzone delle cosan A e B ncogne. Quese espresson, sosue a v valor nella equazone dfferenzale, c permeono d calcolare lare valor d A e B che la soddsfano. 37

38 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca Ω Ω Ω = ν 4 ( m F A Ω Ω Ω = ν ν 4 ( m F B ( 3 Sosuendo quese espresson nell'negrale parcolare s ha la soluzone: cos( 4 ( ( φ ν Ω Ω Ω = m F cos(,, ( ( φ ν Ω Ω = M m F 4 (,, ( B A M = Ω Ω = Ω ν ν ( ( Ω Ω = = ν φ A B arg ( 33 Ove la fonzone M(ν,,Ω è dea funzone d rasfermeno, φ è l angolo d sfasameno della rsposa. S vede, qund, che l'ampezza della rsposa e dreamene proporzonale all 'nensà della eccazone ma dpende anche, rame la funzone d rasfermeno dalla frequenza dell 'eccazone, da quella della sruura, dallo smorzameno. Esplcando la funzone M(. s ha: 4 (,, ( ν ν Ω Ω = Ω M β Ω =, ( 4 (,, ( β ν μ β ν β ν = = Ω M ( 34

39 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 μ( ν, β = ( β 4ν β sosuendo quesa nuova funzone nell espressone della rsposa ( 33 s oene: F ( = μ( ν, β cos( Ω φ = m F m ( = μ( ν, β cos( Ω φ = m k F ( = μ( ν, β cos( Ω φ = μ( ν, β cos( Ω φ k s ( μ(., β μ(.5, β μ(., β 5 μ(., β β 3 Fgura 7 Andameno del coeffcene d amplfcazone μ(ν,β per dvers valor dello smorzameno ν. Dalla erza delle ( 35 s può dare una nerpreazone della rsposa dnamca. Essa è daa 39

40 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 essenzalmene dalla sessa espressone della rsposa saca, rapporo ra forza e rgdezza k, sfasaa rspeo alla applcazone della forza d un empo =φ/ω, ed amplfcaa d un faore par a μ(ν,β deo per queso "funzone d amplfcazone dnamca". La funzone d amplfcazone dnamca dpende dallo smorzameno e dal rapporo ra la frequenza eccarce e quella della sruura. Se β= s ha l caso d forza saca (Ω=O o d sruura nfnamene rgda (=. Il valore d μ(ν,β= vale. Se β=, s ha l caso sruura molo flessble con perodo propro molo lungo (= o d eccazone ad ala frequenza (Ω= (=. l valore d μ(ν,β= =. Se β=, s ha l (=Ω coè d frequenza propra uguale alla frequenza d eccazone, l valore d μ(ν,β==/(ν, perano se lo smorzameno è pccolo l coeffcene d amplfcazone dvene molo grande. La suazone è dea d rsonanza, ed al lme, dopo mole oscllazon la sruura può amplfcare molssmo l effeo dell azone... Valuazone del ransoro Se s vuole valuare l ransoro s deve rsolvere l equazone dfferenzale ( 3. L negrale parcolare dell equazone del moo è quello llusrao, s rcava d alronde sosuendo l secondo ermne della soluzone generale, coè la soluzone parcolare nella equazone d equlbro, rcavando le espresson d A e B sopra llusrae: = e ν Acos Bsn ] [ A cosω B sn Ω ] ( 36 [ A = F m Ω ( Ω 4ν Ω B = F m νω ( Ω 4ν Ω ( 37 4

41 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 Dervando la espressone ( 3 s oene l espressone della velocà, s possono così mporre le condzon nzal e da quese rcavare le espressn d A e d B n funzone d A, B e dello sposameno e velocà nzal: = [ Acos Bsn] [ A cosω B sn ] Ω ( 38 & ν = νe ν [ Acos Bsn] e [ A sn B cos] [ A ΩsnΩ BΩsnΩ ] = A A ( 39 & = ] ν[ Acos ] B cos B ΩcosΩ = νa B B Ω A = A & B = ν B Ω & ν A = ( A BΩ ( ( (. (

42 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca ( (. ( Fgura 8 Forzane cosnusodale. In alo: rsposa nel caso d perodo propro T=.7sec, perodo della forzane Θ= sec, coeff. d smorzameno ν=.5, ampezza della forzane F=, massa.4 (la rgdezza è qund par a.in basso: rsposa nel caso d perodo propro T=.8 sec e massa., gl alr paramer sono mmua. : rsposa oale, : negrale generale, : rsposa senza conrbuo del ransoro Le espresson ( 4 sono dverse da anche nel caso n cu velocà e sposameno nzale sono null, perano l ransoro dà sempre luogo ad una alerazone della rsposa, che ende ad annullars con le oscllazon. Ad esempo, n Fgura 8 s noa che la rsposa oale (, è dversa nzalmene dalla sola rsposa a regme (, la dfferenza è daa dal conrbuo del ransoro (. Nella fgura è ben evdene l fao che l applcazone della forzane gà dversa da dà luogo ad un consderevole dfferenza nella fase nzale ra forzane e rsposa, dfferenza che ende a rdurs dopo poche oscllazon. L effeo del ransoro è pù modeso se vene applcaa una forzane del po Fsn(Ω che pare anch essa dal valore nullo al empo =. Nel caso d forzane snusodale le cosan A e B dvengono: F Ω B = m ( Ω 4ν Ω F νω A = m ( Ω 4ν Ω ( 4 4

43 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 Sono perano ugual alle espresson della forzane cosnusodale ma sono scambae ed una, la A con segno nvero, menre le A e B dell negrale generale s oengono mponendo che la soluzone complea soddsf le condzon nzal, hanno perano le medesme espresson ( 4, ove A e B hanno le espresson appena rovae..3.. ( ( ( Fgura 9 Forzane snusodale: rsposa nel caso d perodo propro T=.8sec, perodo della forzane Θ= sec, coeff. d smorzameno ν=.5, ampezza della forzane F=, massa (la rgdezza è qund par a (ranne la forzane è l secondo caso della Fgura 8 : rsposa oale, : negrale generale, : rsposa senza conrbuo del ransoro.. Rsposa al moo del erreno Se l moo del erreno è del po A(=a sn, l equazone d equlbro è la sessa ( 9 nella quale a ermne noo è l ermne -m a sn, anzché la forzane F sn. La rsposa è qund quella appena vsa ove al ermne F s sosusce -m a. Il rapporo ra la accelerazone assolua del ssema e la accelerazone alla base, è deo ramanza del ssema: (& & ( a( a ma (ν / Ω = ( ( ( / Ω ν ( / Ω / ( 4 Quesa espressone è la medesma che s oene nel caso d forzane snusodale ra forza 43

44 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 oale d rsposa e forza agene: ( d & k F ma La sessa relazone vale ra sposameno assoluo, somma d quello relavo e quello del erreno, e sposameno del solo erreno. La rasmanza ha pressoché lo sesso valore del coeffcene d amplfcazone, salvo per valor molo eleva dello smorzameno. 7.5 Tr(., Ω Tr(.5, Ω Tr(., Ω 5 Tr(., Ω Ω Fgura. Andameno della rasmanza n una sruura con frequenza propra w= per dvers valor del coeffcene d smorzameno S no che la rsposa dvene qund: ma ( = cos( Ω m ( Ω 4ν Ω φ ( = am ( ν,, Ω cos( Ω φ ( 43 M ( ν,, Ω = = A B ( Ω 4ν Ω φ = arg B νω = A ( Ω ( 44

45 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca La funzone M( è dea funzone d rasfermeno, se s vuole la rsposa n accelerazone la funzone va dervaa due vole rspeo al empo, oenendo qund la funzone d rasfermeno n accelerazone relava: Ω M(. 4 (,, ( ν ν Ω Ω = Ω M β Ω =, ( 4 (,, ( β ν μ β ν β ν = = Ω M 4 (, ( β ν β β ν μ = ( 44

46 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca Valuazone della Rsposa n Forma Numerca..3. Calcolo della rsposa dnamca al passo: Meodo d negrazone al passo dell equazone del moo In genere, dsponendo d un calcolaore, è convenene negrare numercamene l equazone d equlbro dnamco: m& ( d& ( k( = ma( ( puoso che non rsolvere l negrale d Duhamel o la soluzone relava alla sovrapposzone n frequenza. S raa d dscrezzare l empo n nervall d dmensone cosane Δ, suffcenemene pccol e scrvere l equazone dnamca non n forma dfferenzale ma n forma fna. La funzone sposameno e le sue dervae sono calcolae n corrspondenza de emp, n cu è sao dscrezzao l fenomeno. I meod numerc rappresenano l unca soluzone per l calcolo della rsposa se la sruura enra n campo non lneare. Peralro sme della rsposa non lneare possono essere fae con meod approssma basa su approssmazon lnear della rsposa. S llusrano nel seguo due meod d negrazone numerca: l prmo delle dfferenze cenral, nel quale l ncogna d sposameno all sane, è espressa n funzone dello sposameno e delle sue dervae (velocà ed accelerazone agl san preceden: ed -, è deo per queso un meodo esplco; l secondo, chamao meodo d Newmark, esprme lo sposameno all sane n funzone degl sposamen agl san ed -, ma anche della accelerazone all sane, lo sesso n cu vene calcolao lo sposameno, e che è anch esso una ncogna. Il meodo, almeno n lnea d prncpo, rchede d erare a parre da un valore d enavo della accelerazone all sane, ed è per queso deo mplco. 46

47 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca Meod esplc: le dfferenze cenral La velocà all sane può essere espresse come rapporo ncremenale ra quelle agl san ed -: Δ = & ( L accelerazone s può oenere dal rapporo ra l ncremeno della velocà ra ed, ed ed -: Δ = Δ = ; & & (3 ( Δ = & & (4 Sosuendo la (3 e la ( nella equazone d equlbro dnamco ( s oene: ( ( ma k d m = Δ Δ (5 Raccoglendo ermn con lo sesso ndce e porando a desra dell uguale ermn che dpendono da ed - s oene: ( ( ( m k d m ma d m Δ Δ Δ = Δ Δ ( (6 La (6 è una equazone rcorrene, all sane sono noe ue le grandezze relave agl san preceden, perano è possble rcavare lo sposameno relavo ad. La (6 può essere vsa come la classca K=F, n cu la F è l secondo membro. S no nolre come nella (6 compaa l ermne K, che rappresena la forza elasca

48 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 all sane. Qualora la sruura abba comporameno non lneare l espressone relava alla forza d rchamo è f(, perano la ( dvene : m& ( d& ( f ( ( = ma( (7 e la (5 dvene: m d m d m = ma( f ( (8 ( Δ Δ ( Δ Δ ( Δ S deve osservare come anche la forza d rchamo non lneare sa noa n quano è propro quella relava al passo precedene. Nessuna dfferenza, nemmeno d complessà d calcolo, v è n queso caso nel passaggo da una anals lneare ad una non lneare. S deve nfne osservare che per l calcolo del prmo passo =Δ=, non è possble defnre lo sposameno all sane - da nserre nella (6 o nella (8. Se s specalzzano la ( e la (4 per =, rcavando velocà ed accelerazone al empo =, rcavando dalla ( la, e sosuendola nella (4, e rcavando da quesa -, s oene: ( & & = Δ Δ / (9 È charo che le grandezze all sane = sono un dao del problema, n generale sono nulle. V sono due requs essenzal cu meod d negrazone al passo devono soddsfare: devono essere sabl, e devono asscurare la convergenza alla soluzone esaa. Il prmo requso è dovuo alla caraersca che alcun ssem d negrazone numerca hanno d dvergere ndefnamene se l passo d negrazone non è suffcenemene pccolo rspeo al perodo propro della sruura. Pù precsamene se s calcola la rsposa dell oscllaore semplce non smorzao nel caso d oscllazon lbere l cu rsulao esao è: Acos, nel caso del meodo delle dfferenze cenral la rsposa può rsulare non oscllaora ed anz cresce ndefnamene se Δ>T/π. Il meodo dà comunque luogo a rspose snusodal ma con perod nferor rspeo a quello reale, quesa po d errore, deo d convergenza, s rduce al dmnure del rapporo Δ/T come s vede n fgura. 48

49 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 -,5,,,3 (T'-T/T -, -,5 -, -,5 d/t Meodo delle dfferenze cenral, scosameno ra perodo propro calcolao ed effevo per oscllazon lbere non smorzae In praca nel caso ssmco la necessà d rappresenare l azone n modo accurao mpone n genere d sceglere un passo d negrazone non superore a. second, menre valor pc vanno da.5 a. second. Perano, nel caso d sruure cvl, ad un grado d lberà, nelle qual l perodo propro è n genere superore a. second, l rapporo Δ/T è nferore a, l meodo rsula perano sable (Δ/T</π: condzone d sablà ed accurao (s veda la fgura. Se la sruura enra n campo plasco due requs dvengono pù facl da soddsfare, n quano l effeo globale è equvalene ad un allungameno del perodo. In defnva pass da segure nella programmazone del meodo delle dfferenze cenral sono seguen: passo nzale: valuazone dell accelerazone al empo = (eq.(, eq.(9, (8: ( d& ( = k( = ma( = & ( = = m = m Δ& d ( Δ && = ma( k m ( Δ Δ ( Δ Δ ( Δ m d ( A u pass successv (eq.(8: 49

50 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca ( ( ( m k d m ma d m Δ Δ Δ = Δ Δ ( ( Se s devono calcolare le alre grandezze d passo s ulzzano la ( e la (4: Δ = & ( Δ = & & (

51 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca Meod mplc: l meodo d Newmark S pozz che s possa approssmare l accelerazone d rsposa (relava n ogn passo con una accelerazone cosane par alla meda delle accelerazon d nzo (puno e fne passo (puno. In ale poes s possono rcavare le grandezze del moo lungo l passo ed a fne passo: && & && && = && = & Δ && = Δ (3 (4 Δ & (&& & 4 (5 La (4 può essere scra come [(.5 Δ] && (.5 & & & (6 = Δ [(.5.5 Δ ]&& [. ]& = & Δ 5Δ (7 Le espresson (4a ed (4b possono essere generalzzae secondo le due espresson seguen dovue a Newmark (: & & [( Δ] && ( α & = Δ & α (8 [(.5 Δ ]&& [ β ]& = Δ Δ β (9 Se valor d α e β sono rspevamene.5 e.5 le due espresson concdono con le (6 e (7. S rova mmedaamene che se valor d α e β sono rspevamene.5 e /6, le due espresson concdono con la soluzone relava al caso n cu l negrazone nel passo s esegua ulzzando una varazone lneare della accelerazone relava ra nzo e fne passo (secondo la ben noa regola de rapez. La (9 può essere ulzzaa per rcavare lo sposameno d fne passo. La (8 per rcavare la velocà d fne passo. S deve ulzzare un crero eravo assegnando nzalmene un valore d enavo alla accelerazone. Se a fne passo, sosuendo valor rova nella 5

52 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 equazone d equlbro dnamco ( s oene un valore della accelerazone suffcenemene prossmo a quello d enavo, s può renere d aver ragguno la convergenza, alrmen s deve erare sno a convergenza Rfermen bblografc Newmark,N.M., 959, A Mehod of Compuaon for Srucural Dynamcs, Journal of Engneerng Mechancs Dvson, ASCE 85 5

53 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca Sma della rsposa massma non lneare E sao dmosrao che lo sposameno massmo d un oscllaore semplce elaso plasco soggeo ad un accelerogramma, se l perodo propro è elevao, è crca uguale a quello dell oscllaore ndefnamene elasco. Perano l aglo massmo nella sruura è par al aglo elasco dvso per la dulà massma rchesa. Se l perodo propro è breve, la rsposa n sposameno è ale da aver la sessa energa d deformazone massma dell oscllaore elasco ndefno. Dea E el =/ K e, dea E ep =/ K y K ( u - y = K u y -/ K y, uguaglando due ermn s ha: u =.5( e / y y =.5(q y y esprmendo u normalzzao rspeo ad y s ha: μ= u / y =.5[( e / y ]=.5(q 53

54 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 q rappresena l faore d rduzone della forza: q=f e /F y μ ( dulà rchesa se T con l poes d ugual Energa n funzone d = e / y =q 4 In genere se l azone ssmca è rappresenaa dallo spero d rsposa elasco d progeo, ed l perodo propro s rova nella zona a velocà cosane: T>T c, s assume valda l poes d ugul sposameno, al d soo d ale perodo l poes d ugual energa è ragonevolmene cauelava. Deo q l rapporo ra forza d nerza massma F e se la sruura rmane n campo elasco e la ressenza della sruura F y, qualora l perodo della sruura T* sa nferore a T c s può ulzzare l espressone : d d = d q T * * e,ma * TC ma * ( q * * e,ma per l calcolo della rposa massma n sposameno, nella espressone daa d e,ma è lo sposameno nel caso d rsposa elasca. 54

55 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 d( q,.8 Tc d( q,.7 Tc d( q,.6 Tc d( q,.4 Tc q 55

56 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 Coordnae Generalzzae S consder l elao a pan della fgura. dmenson plasr: base b :=.3 alezza h:=.3 Alezza d pano Lunghezza rave Inerasse ela Momeno d'nerza plasr h p := 3 L := 6 n := 5 I p := bh3 56

57 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 DATI MECCANICI (s rascura la deformablà assale e per aglo, le rav sono nfnamene rgde Modulo elasco CLS E := 3(kN /m massa mpalcao m :=.7 (on/m Masse sulla rave d pano m := m n m = 3.5 (on /m Massa d pano m := m L m= (on Rgdezza de plasr Rgdezza d pano k pp EI p := k pp = 9 3 (kn/m 3 h p k p := nk pp k p =.8 4 (kn/m 57

58 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 EQUAZIONI DEL MOTO E MATRICI DELLE MASSE E DELLE RIGIDEZZE Il ssema d equazon che governano l moo della sruura s possono rcavare ulzzando dfferen meod : Equlbro alla d'alamber (scrura drea delle equazon d equlbro dnamco Meodo energeco (Prncpo d Hamlon o della conservazone dell'energa oale del ssema 3 Elemen fn Menre l meodo 3 è ulzzao ampamene ne programm d calcolo perchè s presa ad un elevao grado d auomazzazone, prm due meod sono l fruo del radzonale approcco alla dnamca Lagrangana. Con rfermeno al elao dell'esempo vene ora descro l meodo. Nella fgura accano sono llusrae le sollecazon d aglo ad ogn pano (verso ed ampezza. Il elao è soggeo ad uno sposameno alla base g. Effeuando l'equlbro alla raslazone delle masse d pano possamo scrvere l ssema d equazon seguen, ognuna delle qual mosra come la forza d'nerza (proporzonale all'accelerazone assolua della massa equlbr la reazone elasca (proporzonale alla rgdezza d pano kp e dpendene dallo sposameno relavo d pano. m (&& && g kp( k p = m (&& && g kp( = ( 58

59 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 che s può rscrvere meendo a faor comune le ncogne e ossa gl sposameno relav pano (ved fgura. m && k p k p =m && m && k p k p =m && g g Volendo scrvere le preceden n forma compaa s può ulzzare la noazone marcale: m && kp kp m m = k p k p m && && g MX && D X & KX =MI && g nella quale M è la marce delle masse, K è la marce delle rgdezze, I è l veore d rascnameno ed X è l veore ncogno degl sposamen d pano. Il ermne a secondo membro rappresena l veore delle forze equvalen al ssma. Nel caso dell'esempo le marc delle masse e delle rgdezze assumono le espresson: m M = m k p k p K = kp k p M = marce delle masse = marce delle rgdezze K Se s pozza d conoscere una soluzone del po X := φ y(, ove y( è uno scalare che vene deo la coordnaa generalzzaa e serve a modulare l veore φ, ques ulmo dà la forma della deformazone. Ad esempo: 59

60 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca φ =.86 Sposamen del prmo e secondo pano Per l prncpo de lavor vrual l lavoro delle forze nerne ed eserne fao n uno sposameno vruale deve essere nullo perché v sa equlbro. Sosuendo a X l espressone dello sposameno X=φ y e le sue dervae emporal, assuno propro δx=φ δy quale sposameno vruale, premolplcando ermn dell equazone d equlbro s oene: T T T T y φ Mφ&& y y φ MI&& y φ Dφy& y φ Kφy = g Dvdendo per δy s oene: φ T Mφ&& y φ T MI&& φ T Dφy& φ T Kφy = g Che può rscrvers come: φ T Mφ&& y φ T Dφy& φ T Kφy =φ T MI && g Da cu: φ T Mφ&& y φ T Dφy& φ T Kφy =φ T MI && g Ponendo: 6

61 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 T φ Mφ = m T φ Dφ = d T φ Kφ = k T φ MI = L L equazone d equlbro s rscrve: my && dy& ky =L && g m = massa generalzzaa, d = smorzameno generalzzao, k = rgdezza generalzzaa. Dvdendo per la massa generalzzaa s oene: && y ν y& y =p&& g Ove p=l/m, è deo coeffcene d parecpazone. L equazone è quella d un oscllaore semplce soggeo ad una accelerazone amplfcaa p vole rspeo a quella effeva. In alernava s può vedere 6

62 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca Anals Modale (Appun a Pare 6

63 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca Le anals d spna Se s usa l meodo delle coordnae generalzzae, assumendo che l veore sposameno sa descro da una deformaa φ, un veore che dà lo sposameno della sruura relavo a cascun grado d lberà, modulao da uno scalare y(, l equazone d equlbro d una sruura a pù grad d lberà: MX && KX =MI && ( g Può essere rscro come: MΦ && y KΦ y& =MI&& g ( Che premolplcando per la rasposa della deformazone dà luogo alla equazone (prncpo de lavor vrual: T T T Φ MΦ && yφ KΦ & y& =Φ MI && (3 g S può rscrvere la (3 nella forma consuea: m & y ky = L & g (4 S supponga d aver normalzzao ad la deformaa n corrspondenza d un grado d lberà d pano. Con ale assunzone l valore d y concde con lo sposameno del grado d lberà ove l veore d forma vale. Nella (3 l ermne a secondo membro che molplca l accelerazone del erreno può essere vso come la massa m * d un oscllaore semplce equvalene alla sruura: 63

64 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 T φ MI m = * = L Dvdendo per la massa generalzzaa la (4 assume la usuale forma: & y y = p & g (5 Dvdendo per l coeffcene d parecpazone p s oene: && y p y p = && g (6 La (6 può essere vsa come l equazone d equlbro d un oscllaore semplce la cu rsposa è daa n ermn d sposameno relavo: u=y/p. u & u = & (6 g Se s assume che la massa dell oscllaore semplce sa m *, occorre che la rgdezza non sa la rgdezza generalzzaa ma assuma l valore k*= m *. Sosuendo a m * l espressone che vene dalle equazon (3 e (4 s oene: φ Kφ φ MI (7 k * = m * = φ MI = φ Kφ = k p φ Mφ φ Mφ Il aglo alla base della sruura soggea alle forze F=K =Kφy, è dao da:v= F T I. Se s usano le forme modal vale la relazone: F = Kφy = Mφy (8 Se s posmolplca a snsra e a desra della vrgola ermn della (8 per l veore I d rascnameno orzzonale s oene, come appena vso, l aglo alla base della sruura: 64

65 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 k = = = = = = = m * * V( y FI φ KIy φ MIy Ly m y m y k p y (9 Perano la (4 s può rscrvere: V ( y ( m & y = L & g p Sno a che l legame è lneare s ha che V è proporzonale a y,: L V ( y V ( y y & y = L & g ; = V ( ; p p p p L y & y V ( = L && g ; p p ( ( Se l legame è lneare ra V ed y vale la (. Essa rappresena esaamene la equazone d equlbro dnamco dell oscllaore equvalene che s usa nelle anals, meendo la curva d spna con aglo alla base e sposameno del puno ove l auoveore vale quale forza d rchamo e massa par alla somma delle masse pesae. 65

66 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca Rappresenazone degl accelerogramm n sere d fourer: lo spero d poenza Dao un accelerogramma, ad esempo Tolmezzo NS del 976: Accelerogramma del Frul Queso accelerogramma regsrao ad nervall d. second per un oale d 378 pun, ha una duraa d 37, 8 second. Può essere approssmao con una funzone del po sere d Fourer: 66

67 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 n An cos n Bn snn = A An cosn f ( = B sn essendo : π n = n D n n n l prmo ermne della sere è nullo n una funzone a meda nulla quale un accelerogramma. Per esprmere l accelerogramma n sere d fourer, occorre deermnare l valore delle cosan An e Bn. Esse vanno scele n modo che mnmzzno lo scaro ra la funzone da approssmare a(, l accelerogramma, e la funzone approssmane f(. Se l numero d ermn che s ulzzano è par al numero d pun della funzone, lo scaro è evdenemene nullo, s porebbe nfa scrvere un ssema d n equazon n n ncogne, ma l benefco che s oene con la nuova formulazone è nullo. Se l numero d ermn che s consdera è modeso, s può avere un benefco reale, rducendo al dmensone del problema da raare. In realà, ogg non è ano neressane queso aspeo, quane la comprensone d alcune alcune caraersche del dell accelerogramma che c consenono d capre la fsca del problema. Le cosan An e Bn s oengono cercando valor che mnmzzano lo scaro quadraco medo ra la a( e la funzone approssmane f(: S = D D ( a( f ( d dervado S rspeo ad A n eb n s oengono le seguen espresson: An = D Bn = D D D a( cos d n a( sn d n 67

68 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 l prego della formulazone è che s può nzalmene sceglere un numero lmao d armonche approssman, valuare grafcamene la dfferenza con la funzone da approssmare, e successvamene aggungere un cero numero d ermn sno a che l rsulao non sa soddsfacene. Lo scaro dmnusce all aumenare del numero d ermn della sere. L espressone d Fourer può ssere rscra nella forma: C n N f ( = Cn (cosn φn = A B φn = ar an g A n B n n n Poché s dmosra che, se N=, dea W la poenza meda dell accelerogramma: D W = a( d = D N C n un crero per decdere come arresare l calcolo d nuove armonche è che la dfferenza ra la valuazone esaa della poenza e quella approssmaa consderando un numero lmao d armonche, sa modesa: D N δ = a( d Cn ε D 68

69 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca Eserczo Dao l erremoo del Frul 976 (Tolmezzo N-S Clccando su QBasc s avva l Basc. S esegue qund l programma ACC. Il fle accorcao a 6.64 second s rova su FR76C.TXT. S esegua l calcolo senza A con sole armonche. La maggore è Π/D= 6.8/6.64=3.774 Sullo schermo appaono l accelerogramma d npu, gl sper de Cn, funzone del perodo o della frequenza, l massmo valore f della funzone approssmane ed l massmo valore dello scaro quadraco medo ra funzone approssmane e da approssmare ( coè l accelerogramma. S può qund chedere l calcolo della rsposa all accelerogramma. Vene prma calcolaa la funzone d rasfermeno e qund daa la funzone d rsposa. 69

70 Prof. Camllo Nu Dspense d Cosruzon n Zona Ssmca 5 6 S rpora l accelerogramma regsrao a Tolmezzo (Frul nel 976 n drezone N-S