Metodi variazionali. ed agiscono sulla FORMA DEBOLE DEL PROBLEMA

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1 Metod varazonal OBIETTIVO: determnare funzon ncognte, chamate varabl dpendent, che soddsfano un certo nseme d equazon dfferenzal n un determnato domno e condzon al contorno STRUMETO: Metod varazonal: servono ad approssmare la soluzone d un problema consstono n mede ntegral pesate delle equazon d partenza ed agscono sulla FORMA DEBOLE DEL PROBLEMA METODI: Metodo d Raylegh-Rtz, Galerkn, Petrov-Galerkn, mnm quadrat (least squares), collocazone (collocaton) Il metodo degl element fnt può essere vsto come l applcazone su un domno dscretzzato n element fnt d metod varazonal

2 Metod varazonal Problema: trovare la soluzone u tale che a( u, v) l(v) v cn. ammssble Dove v è un qualunque campo cnematcamente ammssble u: FUZIOI TRIAL v: FUZIOI TEST o FUZIOI PESO

3 Metod varazonal OSS: S rcorda che se a è blneare e smmetrca ed l è lneare, l problema e equvalente alla mnmzzazone del funzonale dell energa Potenzale totale I( u, v) a(u,u) l(u) 2

4 Metodo d Raylegh-Rtz el metodo d Raylegh-Rtz, s cerca una soluzone approssmata nella forma della funzone TRIAL u c + Dove coeffcent d Rtz c sono tal che l PLV a( u, v) l(v) v cn. ammssble vale per ogn v,, K,

5 u c v,, K, Metodo d Raylegh-Rtz + S arrva ad un sstema d equazon lnearmente ndpendent nelle ncognte c Per esempo, la -esma equazone (,..,) dventa: a( u, ) a( c +, ) l( ),, K,

6 Metod varazonal: metodo d Raylegh-Rtz Per la lneartà degl operator a ed l possamo scrvere,, ),, ( ) ( ), (c,, ), ( ), (c K K + a l a l a In forma compatta,, ),, ( ) ( ), ( c K a l a F c a ), a( ) ( F, ), ( a l a

7 Metod varazonal: metodo d Raylegh-Rtz a c F rappresenta la -esma equazone algebrca n un sstema d equazon lnear nelle costant c Le colonne e le rghe della matrce [A] formata da coeffcent a devono essere lnearmente ndpendent affnchè l sstema abba soluzone

8 Metod varazonal: metodo d Raylegh-Rtz OSS: per funzonal blnear e smmetrc, l metodo d Raylegh- Rtz può anche essere vsto come l metodo n cu s cerca una soluzone TRIAL u + n cu parametr c sono determnat mnmzzando l funzonale EPT c I( u, v) a(u, u) l(u) 2 Cò sgnfca mporre le condzon d stazonaretà d I(u,v) rspetto a coeffcent c

9 Metod varazonal: metodo d Raylegh-Rtz Osservamo che l espressone u c + consente d soddsfare faclmente le condzon al contorno essenzal se le al bordo e se u (x ) c (x ) + (x ) + u

10 Metod varazonal: l metodo de resdu pesat E una generalzzazone del metodo d Raylegh Rtz dove le funzon PESO o TEST possono essere ndpendent dalle funzon approssmant TRIAL u Può essere usato per approssmare la forma ntegrale d una qualunque equazone, sa lneare che non-lneare Cas partcolar: metodo d Petrov-Galerkn, metodo d Galerkn, metodo de mnm quadrat, metodo d collocazone

11 Metod varazonal: l metodo de resdu pesat Dato un problema del tpo A(u) f n Ω Dove A è una funzone qualunque d u ed f e nota S assuma un campo approssmato del tpo u c Il metodo s basa sulla soluzone della seguente equazone R A(u ) f A( c + + In generale A(u ) non concde con f R s chama Resduo dell approssmazone ) f n Ω

12 Metod varazonal: l metodo de resdu pesat S rchede qund che s annull la forma ntegrale pesata de resdu Ω ψ ( x, y)r(x, y,c )dxdy,2, K (**) Dove Ω e un domno 2d e ψ sono le funzon peso che, n generale, non concdono con. Le ψ formano un set d funzon lnearmente ndpendent OSS: pochè eq. (**) non contene le condzon al contorno, Le funzon e devono soddsfare tutte le condzon al contorno del problema, cò aumenta l ordne polnomale delle funzon approssmant

13 Metodo d Petrov-Galerkn: tral e peso sono dverse Le funzon ψ e sono dverse Se l operatore A e lneare possamo scrvere c ψ ψ A( )dxdy (f A( Ω Ω ovvero A F Ω Ω ψ ψ A( (f A( )dxdy c A ))dxdy F A non è smmetrca )) dxdy

14 Metodo d Galerkn: funzon test concdono con le funzon tral Se le funzon ψ c A F Dove A F Ω Ω A( (f A( )dxdy A ))dxdy A non smmetrca

15 Osservazon Il metodo d Galerkn s applca a qualunque equazone, ndpendentemente dal fatto che tale equazone derv da un prncpo varazonale quale l PLV od l prncpo d mnmo della EPT; è nfatt sempre possble moltplcare un equazone per una funzone peso ed ntegrarla sul domno (forma debole del problema) anche se tale equazone non derva da un prncpo varazonale Il metodo d Raylegh-Rtz s applca nvece alla formulazone varazonale d un problema, quale quella che s ottene preva dervazone per part e che consente d mettere n evdenza le condzon al contorno Qualora un equazone derv da una formulazone varazonale, I metod d Raylegh-Rtz e Galerkn sono equvalent

16 ovvero Metodo de mnm quadrat S determnano I parametr c mnmzzando l ntegrale del quadrato de resdu 2 R (x, y,c )dxdy c Pertanto n questo caso s puo porre S pervene a Dove Ω Ω Ω R R dxdy c c A F Ω ψ R c A A( )A( )dxdy F A( )(f A( )) dxdy

17 Metodo d collocazone S rchede che l l resduo sa zero n punt x (x,y ) con,2,.. R(x, y,c ) δ Ω ( x x )R(x, c )dxdy Dove la funzone peso e la funzone delta d Drac tale che δ ( x ξ)f (x)dxdy f ( ξ) Ω

18 Concluson: pro e contro de metod varazonal basat sulla costruzone d una forma debole del problema d partenza -Fornscono un metodo semplfcato per determnare soluzon approssmate - Costtuscono la base del metodo degl element fnt - Rspetto al metodo degl element fnt presentano lo svantaggo d dover costrure funzon approssmant che soddsfano le condzon al contorno per una qualunque geometra: a volte le funzon tral non esstono, mentre n cert cas la loro scelta non è unca - on s prestano alla mplementazone d codc numerc general purpose, al contraro del metodo degl element fnt

19 Vantagg del metodo EF ell esempo llustrato s sono defnte funzon approssmant sull ntero domno del problema. E evdente però che per problem con geometra complessa non e pensable defnre funzon approssmant n grado d coprre l ntero domno. Pertanto s procede a una suddvsone del domno n sottodomn con ntersezone nulla (anche se questa condzone può essere rlassata per partcolar tp d approssmazone), che sono gl element fnt.

20 Vantagg del metodo EF La suddvsone n sottodomn e una parte molto mportante del metodo. Attualmente esstono programm che sono n grado d creare una suddvsone del domno n element fnt a partre da un modello soldo, defnto medante superfc esterne ed nterne, spgol e vertc (rappresentazone del contorno, o boundary representaton). In genere, gl element fnt sono fgure geometrche semplc (segment nel monodmensonale, trangol o quadrlater nel pano, tetraedr o esaedr nello spazo). La topologa e defnta medante punt specal dett nod, che acqusscono un sgnfcato fondamentale nel metodo.

21 Element fnt pan

22 Element fnt nello spazo

23 Esemp d mesh

24 Esemp d mesh

25 Esemp d mesh Benvenut, Ventura, Ponara, Trall 23

26 Esemp d mesh Benvenut, Ventura, Ponara, Trall 23

27 Esemp d mesh Benvenut, Ventura, Ponara, Trall 23

28 Esemp d mesh Benvenut, Ventura, Ponara, Trall 23

29 Integrazone numerca

30 Integrazone numerca

31 Integrazone numerca

32 Integrazone numerca

33 nn

34 Metodo d Gauss

35 Integrazone numerca col metodo d Gauss n 2D