1. Fissato un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy si studino le funzioni f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici G, G.

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1 Problema 1 S consderno le funzon f e g defnte, per tutt gl x real, da: f ( x) = x 3 4 x, g( x) = sn( π x) 1. Fssato un convenente sstema d rfermento cartesano Oxy s studno le funzon f e g e se ne dsegnno rspettv grafc G, G. f g Le funzon s dsegnano senza tropp problem, essendo una cubca smmetrca rspetto all orgne e una snusode d perodo 2 π 2 π =. Ecco grafc

2 2. S calcolno le ascsse de punt d ntersezone d G f con la retta y = 3. Successvamente s consderno punt d 6] e se ne ndchno le coordnate. Per calcolare punt a tangente orzzontale d g G g a tangente orzzontale la cu ascssa è compresa nell ntervallo [ 6; che s annulla per che sono le ascsse de punt cercat. Le ordnate sono Coè 1 se k è dspar ed 1 se k è par. Quell cercat sono percò:

3 3. Sa R la regone del pano delmtata da G f eg g sull ntervallo [0; 2]. S calcol l area d R. Dobbamo calcolare l area colorata n fgura: Basta qund 4. La regone R rappresenta la superfce lbera dell acqua contenuta n una vasca. In ogn punto d R a dstanza x dall asse y, la msura della profondtà dell acqua nella pscna è data da h(x) = 3 x. Quale ntegrale defnto dà l volume dell acqua? Supposte le msure n metr, quant ltr d acqua contene la vasca? Il questo è molto nteressante e deve essere opportunamente nterpretato. Consderamo le zone della pscna che hanno la stessa profondtà, sono tutte quelle che hanno la stessa ascssa, ossa

4 segment sml a quell traccat n fgura. Qund l volume s può trovare come somma delle aree d nfnt rettangol d base (3 x) e altezza f(x) g(x). Qund s ottene Qund crca 8370 ltr d acqua. Problema 2 3 Sa f la funzone defnta sull nseme R de numer real da f ( x) ( ax b) e x = dove a e b sono due real che s chede d determnare sapendo che f ammette un massmo nel punto d ascssa 4 e che f(0) = S prov che a = 1 e b = - 1. Faclmente s trova

5 2. S stud su R la funzone ( ) ( ) 3 rfermento Oxy. f x x 1 e x = + 3 e se ne tracc l grafco Γ nel sstema d Gà sappamo l ntersezone con l asse y, pù complcata l ntersezone con l asse x, qund studamo l comportamento agl estrem c è l asntoto orzzontale destro y = 3. Per l teorema d esstenza degl zer c è almeno un ntersezone con x. è n [-2, -1]. Passamo alla dervata, gà sappamo che v è un massmo per x = 4.

6 Verfchamo che v è un massmo per x = 4. Cerchamo fless. Il grafco è percò l seguente

7 3. S calcol l area della regone d pano del prmo quadrante delmtata da Γ, dall asse y e dalla retta y = 3. L area da determnare è quella n fgura Faclmente s ha: 4. Il proftto d una azenda, n mlon d euro, è stato rappresentato nella tabella sottostante desgnando con x l anno d osservazone e con y l corrspondente proftto Anno x y 1,97 3,02 3,490 3,71 3,80 3,76 3,65 S cerca una funzone che spegh l fenomeno dell andamento del proftto gudcando accettable una funzone g defnta su + R se per cascun x oggetto dell osservazone s ha

8 1 ( ) y 10 g x. S verfch, con l auto d una calcolatrce, che è accettable la funzone f del punto 2 e s dca, gustfcando la rsposta, se è vero che, n tal caso, l evoluzone del fenomeno non potrà portare a proftt nferor a 3 mlon d euro. Questo questo è molto nteressante, spece perché fa entrare nell esame d stato, fnalmente, la modellzzazone matematca. Rsolvamo la questone con Excel, puttosto che una calcolatrce, solo perché l procedmento è pù veloce. Anno x y 1,97 3,02 3,49 3,71 3,8 3,76 3,65 f 2 3 3, , , ,7555 3,67668 f-y 0,03 0,02 0, , , ,0045 0,02668 Dal grafco della funzone abbamo vsto che y = 3 è asntoto orzzontale, Del resto per x > 1 x 1 e x 3 > 0, qund f ( x) ( x 1) e x = + 3> 3. certamente ( ) 3 Il questo è teorcamente semplce, ma essendo anomalo è probable che abba creato qualche problema a canddat. QUESTIONARIO 1. Un serbatoo ha la stessa capactà del clndro d massmo volume nscrtto n una sfera d raggo 60 cm. Qual è la capactà n ltr del serbatoo? Consderamo la fgura I catet del trangolo rettangolo sono l raggo r del clndro e metà dell altezza h. Abbamo allora r h h = 60 = Qund l volume del clndro, n funzone dell altezza sarà: 2 4

9 Calcolamo e annullamo la dervata prma Damo per scontato l fatto che tale valore è un massmo, faclmente verfcable. Il volume, n cm 3 è percò coè crca 522 ltr. 2. S trov l punto della curva y= x pù vcno al punto d coordnate (4; 0). Determnamo l mnmo della dstanza fra l generco punto della curva ( x; ) 2 2 funzone da mnmzzare è ( ) ( ) 2 radcando, problema equvalente a quello rchesto. x e (4;0). Qund la x 4 + x = x 7x+ 16. È pù semplce mnmzzare l

10 Faclmente s prova che per tale valore s ha un mnmo, che vale In fgura mostramo la stuazone 3. Sa R la regone delmtata dalla curva y 3 = x e dall asse x e dalla retta x = 2 e sa W l soldo ottenuto dalla rotazone d R attorno all asse y. S calcol l volume d W. La regone R è quella n fgura

11 Per potere applcare la ben nota formula del calcolo de volum però la rotazone deve avvenre attorno all asse delle ascsse, pertanto dobbamo effettuare una smmetra attorno alla prma bsettrce della funzone data. Ovvamente n questo modo cambano anche gl estrem, che adesso sono 0 x 8. Il volume è qund dfferenza fra l volume del clndro d raggo 2 e altezza h e del volume generato dalla rotazone della funzone nversa. 4. Il numero delle combnazon d n oggett a 4 a 4 è uguale al numero delle combnazon degl stess oggett a 3 a 3. s trov n. Se s osserva che sceglere n un nseme d n oggett k d ess equvale anche a sceglere rmanent n n n k (che po altr non è che la ben nota formula d smmetra = ), allora è ovvo che se k n k sceglere 4 oggett è lo stesso che sceglerne 3 (coè quell non scelt prma) vuol dre che gl oggett

12 n n sono 7. Gl amant del calcolo a ogn costo rsolveranno = S trov l area della regone delmtata dalla curva y cos( x) radant. = e dall asse x da x = 1 a x = 2 La regone è quella n fgura Il calcolo è del tutto banale e usare radant, non credamo né che lo noblt, né che lo complch. Ovvamente dobbamo consderare che gl ntegral defnt non calcolano aree ma numer relatv. 6. S calcol ( ) tan( a) tan x lm x a x a Con l teorema d De L Hoptal, che può certamente applcars, avremo mmedatamente

13 Potevamo anche usare l lmte notevole sottrazone abbamo ( ) ( ) ( ) ( a) tan x lm = 1. Infatt medante la formula d x a x a tan x tan a tan x a lm = lm 1+ tan x tan a = lm 1+ tan x tan a = 1+ tan a x a x a x a x a x a Il rsultato concde con l precedente, medante un denttà ben nota. 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7. S prov che l equazone x x+ 12= 0 ha una sola radce compresa tra -1 e 0. Un questo pratcamente dentco, l equazone Basta osservare ( ) ( ) x x+ 1= 0, era stato assegnato nel = 2000< 0, = 12> 0, per sostenere l esstenza d una radce. Per l unctà basta osservare che la dervata prma è sempre postva.

14 Un questo pù nteressante poteva essere d determnare n che relazone dovevano essere n ntero 2n 1 postvo e m reale postvo, affnché le equazon ( ) sola soluzone compresa tra -1 e 0. D seguto la soluzone. x + + 2n+ 1 x+ m= 0, m> 0, avessero tutte una Ancora pù generale senza mporre alcun vncolo su m. Lo lascamo per eserczo. 8. In che cosa consste l problema della quadratura del cercho? Perché è ctato così spesso? S torna al problema ctato così spesso dagl spettor che preparano la maturtà (forse solo da loro, che avranno probablmente una passone smodata). In partcolare era la quarta rchesta del secondo problema del 2006/07 per l corso ordnaro e come questone n.1 dello stesso anno per cors P.N.I. C adattamo rportando quas dentca la rsposta da no data a quelle domande. Il problema consste nel costrure con rga e compasso un quadrato che abba area uguale a quella d un dato cercho. Ossa, sceglendo opportunamente l untà d msura n modo che l raggo del cercho sa untaro e qund la sua area sa par a π, equvale a costrure un segmento d lunghezza π. Dal punto d vsta algebrco è stato provato che con rga e compasso s possono costrure segment la cu msura è un numero razonale o rrazonale quadratco, ma n generale non rrazonale cubco, per esempo non può costrurs 3 2 e percò non può rsolvers l problema della duplcazone del cubo. In partcolare non possono costrurs segment la cu msura è rappresentata da un numero trascendente. Nel 1882 Lndemann ha appunto provato che π è trascendente, pertanto l problema

15 non rsoluble. 9. S prov che, nello spazo ordnaro a tre dmenson, l luogo geometrco de punt equdstant da tre vertc d un trangolo rettangolo è la retta perpendcolare al pano del trangolo passante per l punto medo dell potenusa. Nello spazo l luogo de punt equdstant dagl estrem d un segmento è sempre l asse del segmento, che n questo caso non è una retta, ma ovvamente un pano. Qund dobbamo ntersecare tre pan assal, come mostrato n fgura Tal pan ovvamente contengono gl ass de lat sul pano cu appartene l trangolo. Qund s ncontrano nel crcocentro che per un trangolo rettangolo, come dovrebbe sapers è propro l punto medo dell potenusa. Che l luogo spazale è la perpendcolare a tale punto segue propro dfalle propretà de pan assal. 10. Nella fgura a lato, denotat con I, II e III, sono dsegnat tre grafc. Uno d ess è l grafco d una funzone f, un altro lo è della funzone dervata f e laltro ancora d f. quale delle seguent alternatve dentfca correttamente cascuno de tre grafc?

16 Osservamo che la curva III assume l mnmo e l massmo per le stesse ascsse per le qual la curva II ncontra l asse x, qund la II può essere la dervata della III. Allo stesso modo, la II assume l mnmo nella stessa ascssa n cu la I ncontra l asse x, qund la II può essere la dervata della I. Inoltre l orgne appare anche come l flesso d III. Cò c porta a dre che la rsposta corretta è D). Del resto sappamo anche che dervare una funzone par o dspar camba la partà della funzone e qund anche questo c conforta nella rsposta, dato che la III è dspar, la II par e la I dspar.