METODO DEGLI ELEMENTI FINITI

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1 METODO DEGLI ELEMENTI FINITI Introduzone al metodo degl element fnt Il concetto base nella nterpretazone fsca del metodo degl element fnt è la decomposzone d un sstema meccanco complesso n pù semplc component dsgunt chamat element. La rsposta meccanca d un elemento è caratterzzata n termn d un numero fnto d grad d lbertà, quell de punt nodal. La rsposta dell elemento è defnta da equazon algebrche basate su modell matematc o rsultat spermental. La rsposta del sstema orgnale è approssmata perché l modello dscreto è costruto connettendo o assemblando la collezone d tutt gl element. Il concetto d fondo è dvd e conqusta. Se l comportamento d un sstema è troppo complesso, la soluzone può essere rcercata suddvdendolo n sottosstem pù facl da gestre. Se sottosstem sono ancora troppo compless l processo d suddvsone vene contnuato fnché l comportamento d ogn sottosstema dventa suffcentemente semplce da poter essere rappresentato con un adeguato modello matematco. Nel metodo degl element fnt quest sottosstem sono chamat element. Il comportamento del sstema globale è l rsultato d quello degl element ndvdual e della la loro nterazone.

2 Per la determnazone dello stato tensonale e degl spostament n una struttura costtuta da element che nteragscono n corrspondenza d un numero dscreto d punt, dett nod, (travature retcolar, tela, ecc.) s usano comunemente l metodo delle forze o l metodo degl spostament. METODO DELLE FORZE (o della congruenza) Le ncognte sono le forze nodal. Se la struttura è sostatca le equazon d equlbro, scrtte n termn d forze, sono suffcent per determnare le forze nodal. Se la struttura è perstatca s sopprme un numero d vncol tale che la struttura dvent sostatca; l rspetto delle condzon d congruenza n corrspondenza de vncol rmoss vene espresso medante un sstema d equazon, dette d congruenza, le cu ncognte sono le reazon perstatche de vncol sovrabbondant, che possono così calcolars.

3 (o dell'equlbro) Le ncognte sono gl spostament nodal. Il metodo selezona tra tutte le confgurazon congruent d una struttura l'unca che sa anche equlbrata. Esso gunge alla determnazone degl spostament attraverso la soluzone d un sstema d equazon, scrtte n funzone degl spostament ncognt, che esprmono le condzon d equlbro nodale. A dfferenza del metodo delle forze, le equazon d equlbro sono sempre suffcent per calcolare gl spostament ncognt, per struttura sa sostatca che perstatca. Il metodo degl spostament, d maggore semplctà concettuale, rsulta pù vantaggoso perché non comporta la necesstà d scelta delle ncognte perstatche e per la maggore semplctà d codfca per la sua utlzzazone con l'elaboratore elettronco.

4 RISOLUZIONE DI UNA STRUTTURA RETICOLARE COL METODO DEGLI SPOSTAMENTI S consder una struttura retcolare pana costtuta da aste rettlnee ncernerate n O (fg. 2.1), soggetta ad un carco P applcato n O e dretto come OB. S desdera calcolare gl stat d tensone nelle aste. S assume che l materale abba comportamento elastco lneare. Fgura 2.1

5 Il procedmento utlzzato consste essenzalmente: nell'mporre spostament, che rappresentano le ncognte del problema, a nod lber della struttura e nel rcavare gl allungament (o accorcament) congruent delle vare aste; nello scrvere n ognuno de nod d cascuna asta la relazone d equlbro tra forza esterna e reazone elastca connessa al suo allungamento; nello scrvere, per la struttura completa ed n termn degl spostament ncognt, le relazon d equlbro nodale, che consentono d rcavare valor degl spostament de nod lber, nonché gl spostament, le forze e le tenson nelle aste. Con rfermento alla fgura 2.1 s ha, essendo OB=l: OA = OC =l/cosα S assegna lo spostamento u, ncognto, del nodo O n O', nella stessa drezone d P; gl spostament congruent della estremtà O delle aste valgono: per l'asta OB: OO' = u per le aste OA e OC: O'D = u cos(α -d α) u cos α

6 Le espresson delle deformazon e delle tenson corrspondent per le aste OA ed OC (d sezone A 1 e modulo d elastctà E 1 ) e per l'asta OB (d sezone A 2 e modulo d elastctà E 2 ) valgono, rspettvamente: ε = u cosα cosα / l = u cos 2 α / l ε = u/l σ = u cos 2 α E 1 / l σ = u E 2 / l (2.1) Pertanto, calcolato u, sono calcolabl le tenson nelle aste. In ogn asta l nodo O' sta n equlbro sotto l'azone dell'alquota X del carco P che s scarca su quell'asta e della reazone elastca conseguente al suo spostamento. S ha, ndcando con EA/l la rgdezza assale della generca asta: per l'asta OB: X B = u E 2 A 2 /l (2.2a) per le aste OA e OC: X A = X C = u cos 2 α E 1 A 1 /l (2.2b) La struttura nel suo nseme sarà n equlbro se le reazon elastche ndotte dalle tre aste sul nodo O' equlbrano l carco esterno P: 2 X A cos α + X B =P Sosttuendo n questa le 2.2, s ottene l'equazone d equlbro n termn dello spostamento u: 2u cos 2 α E 1 A 1 cosα /l + u E 2 A 2 /l = P (2.3)

7 l cu valore può essere calcolato, noto l valore del carco P: u E A Pl 3 2E A cos Infne dalle 2.1 possono rcavars valor delle tenson nelle aste e dalle 2.2 quell delle forze X A, X B ed X C, che concdono con le reazon de vncol. Pertanto, partendo da confgurazon congruent, con sole relazon d equlbro scrtte n termn d spostament s sono potut calcolare gl spostament de nod e qund gl sforz nelle aste. La soluzone ottenuta è esatta, trascurando, come è lecto, l'approssmazone d α-dα con α. Nell'esempo svolto l metodo degl spostament è stato applcato manualmente; per la trattazone d problem pù compless, è opportuno usare una formulazone matrcale, pù donea ad una sua utlzzazone con l calcolatore.

8 FORMULAZIONE MATRICIALE DEL Equazon d equlbro d un elemento d struttura Elemento asta a due nod L'elemento asta è un elemento monodmensonale collegato agl element crcostant medante nod che sono cernere. Ogn nodo possede pertanto n generale, nello spazo, tre grad d lbertà corrspondent alle component d spostamento lungo tre drezon d rfermento. S consder, come esempo, l'asta d fg. 2.2 dretta come l'asse x, lunga l, con area della sezone trasversale A e d materale avente modulo d elastctà E; l'asta possede due nod d estremtà, soggett a forze, Q, ed a spostament, q, drett lungo l'asse x; cascun nodo possede pertanto un solo grado d lbertà (nella drezone assale). L'eventuale presenza d un carco dretto ortogonalmente all'asse x non sarebbe equlbrato e provocherebbe soltanto moto rgdo lungo tale drezone. C s propone d determnare le relazon d equlbro tra l sstema de carch estern applcat all'asta e le reazon elastche connesse a conseguent spostament nodal. Fgura 2.2

9 Procedendo per sovrapposzone d effett, consderando postv vers orentat come l'asse x, vncolando nod n modo che s spostno uno alla volta, s ha: Fgura 2.3 -Schema a) - fgura 2.3 Condzon al contorno: q 0 q =0 Per l'equlbro del nodo l carco esterno Q deve equlbrare la reazone elastca dovuta allo spostamento q : Q EA l q Per l'equlbro dell'asta deve essere noltre Q = - Q, coè: Q EA l q

10 Fgura 2.4 -Schema b) - fgura 2.4 Condzon al contorno: q =0 q 0 Il carco esterno agente sul nodo deve equlbrare la reazone elastca dovuta allo spostamento q : Per l'equlbro dell'asta deve essere noltre: Q EA l q EA Q Q q l

11 Se due spostament sono present contemporaneamente le equazon d equlbro a nod dventano: Q EA L q q EA ( ) Q ( q q ) L che asscurano l'equlbro dell'asta. (2.3a) Le due equazon s possono scrvere n forma matrcale: In questa relazone la quanttà: Q Q k EA L 1 1q 1 1 q EA 1 1 L 1 1 (2.4) è detta matrce d rgdezza dell'elemento asta a due grad d lbertà orentat secondo l'asse x; essa può pors nella forma: k k k k k 21 22

12 nella quale l generco coeffcente k rappresenta l valore della forza Q che s desta nel nodo a seguto d uno spostamento untaro assale del nodo, essendo nullo lo spostamento assale dell'altro nodo. La matrce d rgdezza è quadrata (nn), essendo n l numero totale de grad d lbertà dell'elemento, e dpende dal numero e dal tpo de grad d lbertà, dal materale, dalla geometra e dall'orentamento dell'elemento. Essa rsulta smmetrca (k = k ) n conformtà del teorema d recproctà d Bett; l determnante d [k] ha valore nullo, coè [k] è sngolare. I coeffcent della dagonale sono postv perché forza e spostamento non possono che avere lo stesso segno. La (2.4) può anche scrvers, n forma contratta: {Q} = [k] {q} (2.5) nella quale {Q} rappresenta l vettore de carch nodal e {q} l vettore degl spostament nodal.

13 Se l'asta gace nel pano xy e forma un angolo con la drezone postva dell'asse x s ha la stuazone d fg. 2.5 e la seconda delle (2.3a) s scrve: S =EA(s -s )/L I vettor delle component delle forze nodal e degl spostament nodal secondo le drezon x ed y valgono: Q 1 =S cos Q 2 =S sen (Q, q) 4 (S, s) s =q 1 cos + q 2 sen s =q 3 cos + q 4 sen (Q, q) 2 (S, s) (Q, q) 3 (Q, q) 1 l y Fgura 2.5 s q 1 q 2 x

14 che consentono d rcavare le relazon tra le component Q 1 e Q 2 e le component d spostamento: S = EA(s -s )/L = Q 1 /cos = (q 1 cos +q 2 sen -q 3 cos -q 4 sen )EA/L S = EA(s -s )/L = Q 2 /sen = (q 1 cos +q 2 sen -q 3 cos -q 4 sen )EA/L Analoghe espresson s ottengono per S, per cu ponendo c=cos, s=sn s ottene: 2 2 Q1 c sc c scq1 2 2 Q2 EA sc s sc s q2 (2.6) 2 2 Q 3 l c sc c sc q (Q, q) (S, s) Q 4 sc s sc s q4 (Q, q) 3 (Q, q) 2 (S, s) (Q, q) 1 l y Fgura 2.5 s q 1 q 2 x