Circuiti magnetici. (versione del ) Campo magnetico stazionario o quasi stazionario

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1 Crcu magnec (versone del 3--) Campo magneco sazonaro o quas sazonaro Condzon sazonare: grandezze eleromagneche cosan nel empo Condzon quas sazonare: varazon nel empo delle grandezze eleromagneche suffcenemene lene da consenre d rascurare le corren d sposameno rspeo alle corren d conduzone D J In quese condzon l campo magneco è descro dalle equazon ˆ ˆ H J n d H J nˆ d con le equazon d legame maerale H (mezzo lneare soropo) (H) (mezzo non lneare)

2 Tub d flusso d nduzone magneca Il veore è solenodale I ub d flusso d non possono avere sezon ermnal, qund devono chus (evenualmene all nfno) Il flusso d araverso ogn sezone rasversale d un ubo d flusso assume lo sesso valore nˆ d 3 Cosanza del flusso - dmosrazone consdera un ronco d ubo d flusso d delmao da due superfc rasversal A e è solenodale è nullo l suo flusso araverso la superfce chusa T formaa da A, e dalla superfce laerale nˆ d T A ( nˆ ) d nˆ e lnee d flusso d sono angen a Il flusso d araverso è nullo I fluss araverso A e sono ugual nˆ A d nˆ d A A nˆ Daa l arbrareà della scela delle superfc A e s può affermare che l flusso ha lo sesso valore su ue le superfc rasversal d d 4

3 Poenzale scalare magneco consdera un ronco d ubo d flusso d delmao da due superfc rasversal A e orogonal alle lnee d flusso assume che all nerno del ubo d flusso l mezzo sa lneare soropo e all nerno del ronco d ubo d flusso la densà d correne J è nulla s ha H Dao che la regone nerna al ronco d ubo d flusso è semplcemene connessa, n ale regone è possble defnre un poenzale scalare magneco [unà d msura A] H A e sono orogonal anche alle lnee d campo d H sono due superfc equpoenzal 5 Tensone magneca a ensone magneca [A] ra le due superfc ermnal del ronco d ubo d flusso è ( A) ( ) H ˆ dove A e sono due generc pun, rspevamene, d A e e l negrale è valuao su una qualunque lnea, neramene conenua nel ronco d ubo d flusso, che collega pun A e 6

4 luanza e permeanza defnsce rluanza [unà d msura henry - = H - ] del ronco d ubo d flusso compreso ra le superfc equpoenzal A e l rapporo ra la ensone magneca e l flusso d nduzone magneca Il recproco della rluanza è deo permeanza [unà d msura henry, H] P H ˆ ˆ d nˆ d H ˆ a rluanza e la permeanza non dpendono da e da H, ma solo dalla geomera del ubo d flusso e dalla permeablà del maerale 7 egge d Hopnson a ensone magneca ra le sezon ermnal d un ronco d ubo d flusso d e l flusso magneco araverso l ubo sono legae dalla relazone (analoga alla legge d Ohm) e qund P / egge d Hopnson P 8

5 Deermnazone della rluanza Per calcolare è convenene fare concdere con una lnea d campo con una superfce equpoenzale (sezone normale) In queso modo ˆ nˆ e H sono parallel a ˆ Qund, enendo cono del fao che l flusso d ha lo sesso valore su ue le sezon rasversal, s può esprmere nella forma l H ( x) d l H ( x) ( x) d l lunghezza d x ascssa curvlnea lungo 9 luanza d un ubo d flusso flforme e l area della sezone rasversale è molo pccola ( ubo flforme) s può assumere che l nduzone magneca e la permeablà sano unform sulla superfce sa che dpendono solo da x espressone della rluanza è l H ( x) ( x) d ( x) ( A(x) area sella sezone (x) ) l H ( x) ( x) H ( x) e la permeablà e l area della sezone hanno valore cosane n uo l ronco d ubo d flusso, s oene l A ( x) d l ( x) A( x)

6 Tubo d flusso con smmere parcolar espressone l ( x) A( x) non vale solo nel caso d ub d flusso flform, ma può essere ulzzaa n u cas n cu la permeablà e l nduzone magneca sono unform sulla sezone normale del ubo d flusso In alcun cas parcolar s può rconoscere che deve essere unforme a conseguenza d propreà d smmera del ssema luanza d un ubo d flusso generco Un ubo d flusso non flforme può essere suddvso n un nseme d ub d flusso flform elemenar, le cu sezon ermnal sono conenue nelle superfc A e Al -esmo ubo d flusso elemenare è assocao l flusso Per u ub d flusso la ensone magneca è par alla dfferenza d poenzale ra le superfc A e Per cascun ubo elemenare, applcando l procedmeno precedene, s può defnre la rluanza, daa da

7 luanza d un ubo d flusso generco Il flusso magneco oale è dao dalla somma de fluss de ub elemenar Qund la rluanza oale è Dao che le dpendono solo dalla confgurazone geomerca e dalla permeablà, lo sesso vale anche per 3 Tub d flusso chus Un ubo d flusso chuso d cosusce un crcuo magneco elemenare Pù n generale crcu magnec possono avere sruure pù complesse (ramfcae) Per ogn ubo d flusso chuso deve necessaramene essere dversa da zero la correne concaenaa Infa, n assenza d correne concaenaa, per ogn lnea d campo d H conenua nel ubo d flusso s avrebbe H Dao che l verso d H lungo una sua lnea d campo è cosane, queso rchederebbe H e qund anche 4

8 egge d Hopnson per un crcuo magneco In presenza d corren concaenae, dalla legge d Ampere s oene H ˆ c ˆ d Per un ubo d flusso chuso la legge d Hopnson assume la forma c In parcolare, se l ubo d flusso è concaenao con un avvolgmeno formao da spre e percorso da una correne, s ha a correne concaenaa c è dea forza magneomorce (f.m.m.) (ha un ruolo analogo a quello della f.e.m. n un crcuo elerco) 5 Crcu magnec Per l campo magneco sazonaro è possble svluppare un modello crcuale analogo a quello defno per crcu elerc A parre dalle equazon fondamenal è possble dervare legg analoghe alle legg d Krchhoff per crcu elerc fruando le analoge ra le equazon de crcu elerc e de crcu magnec è possble rcondurre lo sudo d un crcuo magneco all anals d un crcuo elerco equvalene Il modello crcuale è ulzzable solo ne cas n cu l andameno de ub d flusso d è noo a pror ssem doa d parcolar smmere crcu magnec cosu da maeral con permeablà molo elevaa rspeo a quella de mezz crcosan 6

9 Crcu magnec ad elevaa permeablà Dal puno d vsa del comporameno magneco non essono maeral analogh agl solan (Tu mezz, vuoo compreso, sono magnecamene permeabl) enre le conducblà de buon conduor e quelle degl solan possono dfferre d 8-4 ordn d grandezza, le permeablà magneche possono dfferre, al pù, d 5-6 ordn d grandezza Esempo: Crcuo magneco cosuo da un maerale ad elevaa permeablà ( ) crcondao da un mezzo con permeablà relavamene bassa ( ) ono possbl due p d lnee d flusso a) lnee che s svluppano neramene nel mezzo ad elevaa permeablà b) lnee che n pare s svluppano nel mezzo a bassa permeablà 7 Crcu magnec ad elevaa permeablà consderano due ub d flusso flform aven ass concden con le lnee a e b Dalla legge d Hopnson s oene a a b Dao che l ubo d flusso b comprende un rao a bassa permeablà rsula b a b E possble rascurare l flusso dovuo a lnee del po b e consderare l anello d maerale ad elevaa permeablà come un ubo d flusso d b a 8

10 egge d Krchhoff per fluss magnec a somma algebrca de fluss de ram che araversano una superfce chusa è nulla In parcolare s ha che: a somma algebrca de fluss de ram afferen ad un nodo è nulla Quesa legge è drea conseguenza del fao che è solenodale nˆ d nˆ d egge d Krchhoff per le enson magneche a somma algebrca delle enson magneche de ram d una magla è uguale alla forza magneomorce concaenaa con la magla sessa Quesa legge s oene dreamene dalla legge d Ampere H ˆ H ˆ e la forza magneomorce è prodoa da un nseme d avvolgmen concaena con la magla C

11 Vers d rfermeno delle f.m.m. f.m.m. f.m.m. Alle f.m.m. degl avvolgmen s assocano vers d rfermeno orena relavamene a vers delle corren secondo la regola della mano desra A secondo membro dell equazone d una magla, alla f.m.m. d un avvolgmeno s arbusce segno se l suo verso d rfermeno è concorde con l verso della magla, segno se è dscorde Analoge ra crcu elerc e crcu magnec Crcu elerc v (f.e.m.) e v Crcu magnec (f.m.m.) e

12 Esempo l l l l l Crcu magnec con raferr In alcun cas, n un crcuo magneco s possono avere delle nerruzon del maerale ad elevaa permeablà (raferr) a presenza d raferr d pccolo spessore non alera n modo sgnfcavo l andameno delle lnee d flusso d (s hanno degl effe d bordo, spesso rascurabl) 4

13 Crcu magnec con raferr Qualora sa necessaro enere cono degl effe d bordo, s può valuare la rluanza de raferr assumendo un area effcace > ( = sezone del nucleo n corrspondenza del raferro) Un meodo emprco per defnre l area effcace consse nell aggungere un bordo d larghezza par allo spessore del raferro I raferr possono alerare noevolmene l enà de fluss magnec, dao che le loro rluanze possono essere molo elevae anche per valor modes dello spessore pesso le rluanze de ra d maerale ad elevaa permeablà rsulano rascurabl rspeo alle rluanze de raferr el crcuo elerco equvalene ra ad elevaa permeablà corrspondono a conduor deal e raferr a corrspondono a ressor 5 Esempo Traferr d uguale spessore luanza d un raferro: 6

14 Coeffcen d auo e muua nduzone consderano due crcu elerc e percors dalle corren e e mmers n un mezzo lneare soropo In quesa poes le equazon che descrvono l campo magneco generao dalle corren sono lnear I fluss d nduzone magneca concaena con due avvolgmen sono funzon lnear delle corren e 7 Coeffcen d auo e muua nduzone e espresson de fluss sono del po c c I coeffcen e sono de coeffcen d auonduzone o (auo)nduanze de crcu e (unà d msura henry, H) I coeffcen e sono de coeffcen d muua nduzone o muue nduanze de crcu e (unà d msura henry, H) può dmosrare che rsula sempre verfcaa l uguaglanza qund s può parlare d un unco coeffcene d muua nduzone ra due crcu 8

15 9 Coeffcen d auo e muua nduzone Il coeffcene d auonduzone rappresena l rapporo ra l flusso concaenao con l crcuo e la correne, quando la correne nell alro crcuo è nulla Il coeffcene d muua nduzone rappresena l rapporo ra l flusso concaenao con l crcuo e la correne nell alro crcuo valuao quando la correne è nulla c c c c 3 Coeffcen d auo e muua nduzone e defnzon d coeffcen d auo e muua nduzone possono essere generalzzae al caso d crcu In queso caso rsula dove Inolre s ha c c c h c h h h j h j c j h

16 egn de coeffcen d auo e muua nduzone Il coeffcene d auonduzone è sempre posvo Il coeffcene d muua nduzone può essere posvo o negavo a seconda d come sono defn vers d rfermeno 3 Flusso nel nucleo Fluss concaena con gl avvolgmen c c Esempo Coeffcen d auo e muua nduzone l 3

17 33 Esempo Flusso nel nucleo Fluss concaena con gl avvolgmen Coeffcen d auo e muua nduzone l c c 34 Uguaglanza de coeffcen d muua nduzone Espressone del flusso concaenao con un crcuo n funzone del poenzale veore I poenzal veor corrsponden alle due corren e sono Espresson de coeffcen d muua nduzone (formule d eumann) d d A n A n ˆ ˆ ˆ ˆ 4 ˆ 4 r r A A ˆ ˆ 4 ˆ r A ˆ ˆ 4 ˆ r A

18 Energa magneca d un crcuo flforme consdera un crcuo cosuo da un conduore flforme con sezone s e conducblà, sede d un campo mpresso E che agsce ra le sezon A e assume che per l campo E e qund la correne e l campo magneco sano null edane un processo quas sazonaro, nell nervallo la correne vene poraa da zero fno al valore Il lavoro compuo nell nervallo dalle forze del campo mpresso è E Js d ed A dove e A E ˆ J ˆ s A 35 Energa magneca d un crcuo flforme Facendo uso della relazone cosuva J J ( E E ) E E e della legge d Faraday d E ˆ nˆ d d s oene A E ˆ J s ˆ s Quesa relazone s può porre nella forma d e d dove s d d nˆ d A 36

19 Energa magneca d un crcuo flforme Il lavoro compuo del campo mpresso nell nervallo èqund ed d d Il prmo negrale a secondo membro rappresena l energa dsspaa per effeo Joule (e dpende dall andameno della correne ra e ) e la relazone ra e è bunvoca ( mezzo prvo d seres) l ulmo negrale dpende solo dal valore del flusso all sane e rappresena l energa accumulaa nel campo magneco corrsponde al lavoro compuo dal campo mpresso per creare l campo magneco prodoo dalla correne vene resua neramene se la correne vene rporaa a zero In un mezzo lneare soropo ( ) l energa magneca vale W d 37 Energa magneca d un nseme d crcu flform Procedendo n modo smle, s può dmosrare che nel caso d un ssema cosuo da crcu flform l espressone dell energa magneca è W e l campo magneco ha sede n un mezzo lneare soropo s ha W d j j el caso parcolare d due sol crcu l espressone dell energa è W j j 38

20 Energa del campo magneco energa magneca d un crcuo flforme può essere espressa anche n funzone de camp e H W d Il flusso concaenao con l crcuo è nˆ d ˆ nˆ d elemeno d area d ndvdua un ubo d flusso d concaenao con l crcuo può esprmere la correne n funzone d H applcando la legge d Ampere ad una lnea d campo d concdene con l asse del ubo d flusso (se l mezzo è soropo è anche una lnea d campo d H) H ˆ H 39 Energa del campo magneco Ulzzando le espresson d e e enendo cono del fao che l volume d un rao nfnesmo d ubo d flusso è d ˆ nˆ d s ha d H d ˆ nˆ d Hd ˆ nˆ d Hdd Qund l espressone dell energa magneca è W d C Hdd Quesa espressone vale anche per mezz non lnear, purché la relazone ra è H sa bunvoca (mezz prv d seres) Per un mezzo lneare soropo ( H) s ha W H d Hd d C C c = regone n cu e H sono dvers da zero) può dmosrare che quese espresson, oenue per un crcuo flforme, valgono anche per dsrbuzon d correne pù general C C 4

21 Energa del campo magneco può nerpreare come densà d energa assocaa al campo magneco la quanà dw w Hd d w rappresena l area compresa ra la curva (H) e l asse delle ordnae ezzo lneare ezzo non lneare 4 Perde per seres el caso d un mezzo con seres, l energa spesa per creare l campo è (parendo da e H null) è maggore d quella che vene resua se la correne, e qund H, sono rpora a zero In queso caso vene assorba n modo rreversble, e qund dsspaa, l energa per unà d volume w D Hd Hd Densà d energa assorba Densà d energa resua Densà d energa dsspaa 4

22 Perde per seres fa varare perodcamene la correne n modo che l maerale ferromagneco sa soggeo a ccl d seres Complessvamene n ogn cclo vene assorba, per unà d volume, l energa w D H d Dsspazone d energa (convera n calore) Il valore dell energa dsspaa n un cclo corrsponde all area delmaa dal cclo d seres 43 Perde per seres H d H d 44

23 Forza d un eleromagnee F = rsulane delle forze agen sull ancora dovue all eleromagnee F e = forza eserna necessara a manenere l ancora n equlbro può valuare F e (e qund F) applcando uno sposameno vruale (nella drezone d F e ) all ancora lanco energeco: d m d E dw d m lavoro meccanco compuo da F e d E vd avoro elerco (forno da generaor esern) flusso concaenao dw varazone dell energa magneca 45 Forza d un eleromagnee Qund s ha F d e dw Per calcolare F e (e qund F) s può consderare una rasformazone nfnesma nella quale l flusso vene manenuo cosane (d) F F e dw d Il rsulao non dpende dalla parcolare rasformazone consderaa, nfa nel caso generale s oene F e d d( ) F e ( d d) d d d cos d F F e d 46

24 Forza d un eleromagnee Facendo uso della legge d Hopnson ( rluanza del crcuo magneco) e della defnzone d nduanza s può esprmere la forza agene sull ancora nella forma F d d d 47 Forza d un eleromagnee e è possble rascurare la rluanza de ra forma dal maerale ad ala permeablà, è daa la somma delle rluanze de due raferr x e l campo magneco è unforme s ha H o o Qund s può esprmere F come F d F H a forza è daa dal prodoo dell area de raferr () per la quanà P H (pressone magneca) 4x 48