Fisica Generale B. 9. Circuiti in Corrente Alternata ( ) N 2 S. ( ( )) = N! spira B ( t ) Autoinduzione. Autoinduzione (II) Autoinduzione (III)

Transcript

1 Fsca Generale 9. Crcu n Correne lernaa hp://campus.cb.unbo./48/ uonduzone Consderamo un solenode percorso da una correne varable nel empo. Esso genera un campo magneco, enro l volume clndrco delmao dal solenode, anch esso varable nel empo. ale campo magneco, a sua vola, essendo varable nel empo, genera una orza eleromorce ndoa nel solenode che s sovrappone alla orza eleromorce eserna. Queso enomeno prende l nome d auonduzone. arch 9, uonduzone II uonduzone III Se nel solenode scorre una correne d nensà e n è l numero d spre per unà d lunghezza, l campo magneco all nerno del solenode, come abbamo vso, è dreo lungo l asse del solenode e ha nensà: µ n Se S è l area della sezone del solenode, l lusso d ale campo magneco concaenao con una spra vale: S µ ns spra ovvero, se N è l numero oale d spre e l è la lunghezza del solenode: µ spra n S µ NS l Il lusso del campo magneco concaenao con le N spre del solenode vale: N spra µ solenode l a orza eleromorce auondoa vale percò: d solenode N S d µ d l d a cosane d proporzonalà: µ N S l è chamaa coecene d auonduzone o nduanza. N S 3 4

2 uonduzone IV uonduzone V Il coecene d auonduzone o nduanza è la cosane d proporzonalà ra l lusso del campo magneco concaenao con l solenode e l nensà d correne che scorre nel solenode. de solenode Da quano deo, segue che la orza eleromorce ndoa n un nduore d nduanza è proporzonale alla dervaa dell nensà d correne essendo la cosane d proporzonalà: d d Per quano rguarda le dmenson dell nduanza nel S.I., s ha: V I V I 3 I I e l unà d msura dell nduanza nel S.I. è lo Henry smbolo: H: H s 5 6 Energa ccumulaa n un Induore Percorso da Correne Energa ccumulaa n un Induore Percorso da Correne II Consderamo un nduore percorso da una correne d nensà. Per nnalzare l nensà d correne da a d, occorre conrasare la orza eleromorce ndoa: d d e dunque occorre compere un lavoro. Il lavoro che occorre compere per oenere ale nnalzameno è l opposo del lavoro compuo dalla orza eleromorce ndoa, percò è dao da: d dq d d d d Se l nduore nzalmene non è percorso da correne, per are scorrere n esso la correne occorre compere l lavoro: d d ale lavoro accumula energa nell nduore. Dunque l energa accumulaa nell nduore quando la correne scorre araverso esso vale: E S rcord che l energa accumulaa n un condensaore vale: E Q C CV 7 8

3 Densà d Energa ssocaa al Campo agneco Densà d Energa ssocaa al Campo agneco II bbamo vso che l nduanza d un nduore solenodale vale: µ N S l e l campo magneco denro d esso vale: µ n µ N l l µ N Possamo allora scrvere l energa accumulaa nell nduore nella orma: E µ N S l l µ N µ ls µ V l S Se denamo densà d energa l energa per unà d volume, nel volume dell nduore s ha: u m µ energa accumulaa n un nduore dpende solano dal suo volume e dal campo magneco. Quesa relazone vale non solano per l campo magneco all nerno d un solenode, ma per u camp magnec: Suggersce che l energa dell nduore sa localzzaa nello spazo n cu è presene un campo magneco. dove V ls è l volume del solenode. 9 Densà d Energa ssocaa al Campo agneco III Come abbamo vso, l energa deve essere localzzable. Quando è presene un campo elerco nello spazo, c è energa localzzaa nello spazo, la cu densà vale: u e E Quando è presene un campo magneco nello spazo, c è energa localzzaa nello spazo, la cu densà vale: u m µ uua Induzone Consderamo solenod sola, cosu rspevamene da N e N spre avvole aorno al medesmo clndro. Il campo magneco enro solenod è la sovrapposzone somma de camp magnec genera da due solenod: µ n µ n Il lusso del campo magneco concaenao a una spra è: spra S µ S n n S µ l N N

4 uua Induzone II uua Induzone III I luss concaena con due solenod sono: S N spra N µ l N N S N spra N µ l N N N µ S N l µ N S l N µ N S N l µ S l N spra N spra Il coecene è deo coecene d muua nduzone. Denamo coecene d muua nduzone la cosane d proporzonalà ra l lusso del campo magneco prodoo dal solenode e concaenao con l solenode e l nensà d correne che scorre nel solenode. ale cosane rsula uguale alla cosane d proporzonalà ra l lusso del campo magneco prodoo dal solenode e concaenao con l solenode e l nensà d correne che scorre nel solenode. de solenode solenode 3 4 uua Induzone IV uua Induzone V Poché le relazon: N spra N spra debbono valere smulaneamene per corren e arbrare, s deve avere, per l eorema d ouché-capell: N N N N Dea k una cosane d proporzonalà: N N Se ndchamo e le orze eleromorc a cap de due solenod e e le ressenze nerne de due solenod, s ha: Consderando l solenode come elemeno passvo ulzzaore e l solenode come elemeno avo generaore: d spra N d d spra N d kn kn kn N 5 6

5 uua Induzone VI eda nel empo Se la ressenza de solenod è rascurable s ha: d spra N d N d spra N N d e orze eleromorc a morse de due avvolgmen d un rasormaore sanno ra loro come numer delle rspeve spre: N N Daa una unzone perodca g d perodo : g g denamo meda nel empo la quanà: g g d Nel caso d una correne alernaa: l valor medo è nullo: cos cos d cos d sn sn sn 7 8 eda nel empo II eda nel empo III Nel caso d una correne alernaa raddrzzaa su enrambe le semonde: cos 3 cos d cos d sn 3 3 sn 3 sn Nel caso d una correne alernaa raddrzzaa su una sola semonda: cos cos 3 cos d

6 Valore Ecace Valore Ecace II Daa una unzone perodca g d perodo : a correne ecace vale: g g denamo valore quadraco medo o valore ecace la quanà: g e g g d Nel caso d una correne alernaa: cos e cos d cos d cos d 4 sn, -, - 4,, e sn 4. sn - - Valore Ecace III Valore Ecace IV naloghe consderazon possono essere ae per le.e.m. o per le derenze d poenzale alernae: cos a.e.m. ecace vale: Come abbamo vso, la poenza elerca assorba da un crcuo può essere scra come: P a poenza meda vale: e P d Nel caso d.e.m. e correne alernaa: cos cos 3 4

7 Valore Ecace V Valore Ecace VI S ha: P d cos cos d cos cos d cos, cos d cos - d cos d. -. / / 4/ cos - d cos d. -. Ovvero, deno lo sasameno ra.e.m. e correne: P 4 cos d cos - 4 sn /, /., sn - 4 sn 4 / /. cos cos3,, d cos cos 5 6 Valore Ecace VII Elemen d Crcuo: essore S oene nne: e relazon ra.e.m. e nensà d correne sono: P e e cos ormula d Galleo Ferrars Una correne n cu l angolo è prossmo a / s dce correne swaaa. legge d Ohm In al caso la poenza elerca assorba è nulla anche se.e.m. e nensà d correne non sono nulle. a poenza dsspaa è espressa da: P cos Nel caso d una.e.m. alernaa : P cos V V 7 8

8 Elemen d Crcuo: essore II Elemen d Crcuo: Condensaore Per cu la poenza meda dsspaa vale: P cos d sn, sn 4, / cos d sn,.. e e relazon ra ensone e correne a cap del condensaore sono: C d C d E d energa accumulaa nel condensaore vale: Q C C P e e e e V V V V C 9 3 Elemen d Crcuo: Induore Elemen d Crcuo: Generaore d ensone e relazon ra ensone e correne a cap dell nduore sono: d d d energa accumulaa nell nduore vale: E Un generaore deale d ensone dovrebbe manenere cosane la ensone a cap del carco ndpendenemene dall nensà della correne che lusce nel carco sesso. In praca queso non accade n quano l generaore possede sempre una ressenza nerna. S densce orza eleromorce.e.m. del generaore la ensone essene a suo cap a crcuo apero. cos V 3 3

9 Elemen d Crcuo: Generaore d ensone II Elemen d Crcuo: Generaore d ensone III Se un generaore reale vene chuso su un carco, l nensà della correne che crcola nel crcuo è: e la ensone a cap del carco è: V V Dunque s ha un generaore deale quando la ressenza nerna è molo nerore al carco: V C chedamo ora per quale carco l rasermeno d poenza dal generaore a è massmo: P dp d 4 3 Il rasermeno d poenza è massmo se : dp d 3 V agle, am e Nod agle, am e Nod II Un crcuo elerco può essere deno come un nseme d elemen generaor e ulzzaor collega ra loro medane conduor elerc d ressenza rascurable. Un crcuo complcao, percorso da pù corren prende l nome d ree. solvere un crcuo sgnca conoscere: nensà d correne che crcola n cascun ramo del crcuo; Il poenzale presene n cascun nodo del crcuo. In una ree s possono solare pù crcu chus, chama magle: Nel dsegno sono magle: D, DC, C, CEF, CEF. Un ramo è la pare d crcuo percorso dalla sessa correne ed è compreso ra due nod: Nel dsegno sono ram:, C, D, DC, D, FEC. Inne nod sono pun n cu s dvdono le corren: Nel dsegno sono nod:,, C, D. F D C E F D C E 35 36

10 egg d Krchho egg d Krchho II In ogn nodo la somma algebrca delle corren è uguale a zero: Inendendo posve le corren che arrvano e negave le corren che parono. In ogn magla la somma algebrca de prodo delle ressenze per le corren che le percorrono è uguale alla somma algebrca delle orze eleromorc che agscono sul crcuo: In alre parole, la somma delle corren che arrvano a un nodo è uguale alla somma delle corren che se ne parono. n k k F l k m l II legge d Krchho n k k I legge d Krchho Nell esempo n gura: Nell esempo n gura: egola d axwell egola d axwell II applcazone delle legg d Krchho a un crcuo pora a un numero sovrabbondane d equazon, ra loro lnearmene dpenden, con ovva complcazone de calcol. Fssao un verso arbraro d percorrenza per ogn magla, s mmagna che ogn magla sa percorsa da una correne za d magla. ale correne concde con quella che crcola nel ramo ndpendene. Per scrvere l mnor numero d equazon possble, enuncamo la regola d axwell: Daa una ree s scelgono n magle ndpenden, ale che ognuna d esse abba un ramo e un ramo solano non n comune con alcuna alra magla ramo ndpendene. e magle scele devono esaurre ogn elemeno della ree. C 4 5 D Per ogn magla scela s scrve la legge delle magle d Krchho, enendo cono che ne ram condvs crcolano pù corren ze. a soluzone dà le corren ze, da cu s può rsalre, con somme o derenze, alle corren d ramo. Nell esempo n gura s possono consderare le magle ndpenden: CD ramo ndpendene, verso oraro; DCD ramo ndpendene D, verso anoraro; DC ramo ndpendene C, va 6, verso oraro. C 4 5 D

11 egola d axwell III ransor n un Crcuo. Chusura del Crcuo Per le 3 magle ndpenden possamo scrvere: rovae le ncogne, e 3, s rovano le corren d ramo: C D Consderamo l crcuo n gura e supponamo che, nzalmene l devaore s rov nella poszone. Supponamo po che a un cero sane,, l devaore venga commuao nella poszone. Come vara nel empo la correne che scorre nel crcuo? Come varano nel empo le enson V e V? vremo, per la ressenza e l nduanza: V V d d V V 4 4 ransor n un Crcuo. Chusura del Crcuo II ransor n un Crcuo. Chusura del Crcuo III Dea la orza eleromorce del generaore, s ha: V d V d Ovvero l equazone derenzale non omogenea: d d rovamo l negrale generale della equazone omogenea assocaa: d d d d V V d d ln e e Una soluzone parcolare dell equazone non-omogenea è: Per cu l negrale generale dell equazone non-omogenea è: e ln V V 43 44

12 ransor n un Crcuo. Chusura del Crcuo IV ransor n un Crcuo. Chusura del Crcuo V Per rovare la cosane, mponamo la condzone nzale: e e e a quanà /, che ha le dmenson d un empo, vene dea cosane d empo del crcuo. V V S oene nolre: V V d d V V e e e e e e V V V V ransor n un Crcuo. Chusura del Crcuo VI ransor n un Crcuo. perura del Crcuo Consderamo l crcuo n gura e supponamo ora che, nzalmene, l devaore s rov nella poszone, con l nduanza percorsa da una correne d nensà cosane /. V V V V Supponamo po che a un cero sane,, l devaore venga commuao nella poszone. vremo l equazone derenzale: d d negrale generale è: e V V 47 48

13 ransor n un Crcuo. perura del Crcuo II ransor n un Crcuo. perura del Crcuo III Per rovare la cosane, mponamo la condzone nzale: assumendo: e e S oene nolre: V V d d e e e V V V V e e e V V a correne che scorre nel crcuo dopo che è sao escluso l generaore d ensone prende l nome d exracorrene d aperura. V V 49 5 ransor n un Crcuo. perura del Crcuo IV ransor n un Crcuo. perura del Crcuo V Se dopo avere escluso l generaore l crcuo rmane apero, s osserva una scarca elerca ra cona dell nerruore. V V V V Il movo è nel ao che l lusso del campo magneco nell nduanza passa n un empo esremamene breve dal valore nzale / al valore nale. Segue che la dervaa d d è esremamene elevaa, e con essa è esremamene elevaa la.e.m. auondoa: V V 5 5

14 Crcuo Oscllane C Crcuo Oscllane C II Consderamo l crcuo n gura e supponamo che, nzalmene l nerruore s rov nella poszone e l condensaore sa carco con la carca Q sulle armaure. Supponamo po che a un cero sane,, l devaore venga commuao nella poszone. S ha: V V d C d d Dervando s oene l equazone derenzale: d d d d C V V S osserv che quesa equazone ha la sessa orma d quella d un oscllaore meccanco smorzao: d d d d C crcuo C-sere d x dx k d m d m x oscllaore meccanco smorzao Come abbamo ao per l oscllaore meccanco smorzao cerchamo una soluzone della orma: e n quano l esponenzale è una unzone proporzonale a ue le sue dervae. V V Crcuo Oscllane C III Crcuo Oscllane C IV Sosuamo le dervae: Coè: d e d d d e nell equazone per rovare. Oenamo: d d d d C e e C e C e V V C Equazone caraersca S raa d un equazone algebrca d II grado. Il suo dscrmnane è: 4 C 4 C Dsnguamo 3 cas d dscrmnane posvo, nullo e negavo. V V 55 56

15 Crcuo Oscllane C V Crcuo Oscllane C VI Se < C < oscllaore soosmorzao s hanno soluzon dsne complesse conugae: ± 4 C ± j C dove j 4 negrale generale sarà qund la somma delle soluzon: Poché c neressano solano soluzon real, prendamo : e e e j C e j e j 4 e j C 4 C 4 e j e j C 4 e e j C 4 e j C e 4 e j j C 4 C 4 V V e e j, e,, cos C 4 e j C 4 C 4 - / /. / Crcuo Oscllane C VII Crcuo Oscllane C VIII negrale generale è percò: e cos C 4 se < C S raa d una correne oscllane d pulsazone: Se > C > oscllaore sovrasmorzao s hanno soluzon real dsne: ± 4 C C 4 e ampezza: V negrale generale sarà qund la somma delle soluzon: e 4 C e 4 C se > C e che decresce nel empo con legge esponenzale. V Se s pone,, s oene l negrale generale reale: e 4 C e 4 C se > C 59 6

16 Crcuo Oscllane C IX Crcuo Oscllane C X Se nne C oscllaore crcamene smorzao s hanno soluzon real concden: S dmosra che n queso caso l negrale generale ha la orma: e se C Se s pone,, s oene l negrale generale reale: e se C < > C C C ndameno oscllaoro smorzao ndameno aperodco crcamene smorzao ndameno aperodco oremene smorzao V V 6 6 Il Formalsmo Complesso Il Formalsmo Complesso II Ulzzando la ormula d Eulero: e jx cos x jsn x j s può scrvere una correne alernaa: cos nella orma: j e e j e j nalogamene una.e.m. alernaa: cos può essere scra nella orma: Se n un crcuo è presene un solo generaore oppure sono presen pù generaor aven u la medesma requenza, l aore e j è presene nelle espresson d ue le enson e ue le corren e può essere semplcao. In queso modo lo sudo dello sao sazonaro escludendo ransor d un crcuo n correne alernaa può essere ormalmene rdoo allo sudo d un crcuo n correne connua con corren e ressenze complesse. e e j e j j 63 64

17 Crcuo C-Sere Crcuo C-Sere II Consderamo un crcuo C-sere almenao da un generaore d ensone alernaa: cos S ha: V V d C d d Dervando rspeo al empo s oene l equazone derenzale: d d d d C d d V V raandos d un equazone derenzale non-omogenea, l suo negrale generale è la somma d ermn: negrale generale dell equazone omogenea assocaa che descrve lo sao ransoro; Una soluzone parcolare dell equazone non-omogenea che descrve lo sao sazonaro. Poché samo neressa solano allo sao sazonaro, c lmamo a cercare una soluzone parcolare dell equazone non-omogenea nella orma: cos V V Crcuo C-Sere III Crcuo C-Sere IV Ovvero, n orma complessa sonendendo l ao che consderamo sempre la pare reale: j e Sosuendo nell equazone: j e e j j d d d d C d d j e j j e C e j je j V V Poché quesa uguaglanza deve valere, s ha: j e j j e C e j je j e j j e j C e j j je j C e j j je e j je j C j je j C j C V V 67 68

18 Crcuo C-Sere V Crcuo C-Sere VI e j je j C j C je j j C C V je j je j C Per quano rguarda la ase: C Essendo: x x x s ha: e j je j C j C je j j C C V e j an j j C C C j C j C V V 69 7 Crcuo C-Sere VII Crcuo C-Sere VIII Poso: C an C S può anche scrvere: e j je j C j F I F Z Z Z C Z o e j j j C Z Z C j C jc Z j Z o Z Z Z C F e j I e j V V Oenamo percò una relazone ra numer compless ormalmene analoga alla legge d Ohm: F ZI cos cos F e j I e j V V 7 7

19 Crcuo C-Sere IX Impedenza S può percò aronare le re n correne alernaa snusodale senza mposare l equazone derenzale, parendo dalla relazone: F ZI S scrve: F e j Z Z Z Z C j e j I F Z e j j e s deermnano e. j C j C V V a quanà Z vene chamaa mpedenza. In parcolare la sua pare reale: Z è la ressenza, menre la sua pare mmagnara: X Z è chamaa reaanza. nverso Y /Z dell mpedenza vene chamao ammeenza. a sua pare reale: G Y Z è chamaa conduanza, menre la sua pare mmagnara: Z S Y è chamaa susceanza e n Correne lernaa Crcuo essvo n Correne lernaa Snusodale S possono aronare le re n correne alernaa con generaor aven u la sessa requenza ulzzando l ormalsmo complesso. e legg d Krchho connuano a valere ormalmene per le corren alernae, ulzzando corren e enson complesse e scrvendo l mpedenza Z al poso della ressenza. In queso semplce crcuo, puramene ressvo: cos F e j Z I F Z e j e j cos a correne è n ase con la.e.m

20 Crcuo Capacvo n Correne lernaa Snusodale Crcuo Induvo n Correne lernaa Snusodale In queso crcuo, puramene capacvo: cos F e j Z jc j C C e j I F Z e j C e j C cos Ce j e j Ce j ensone e correne sono sasa d 9 la correne ancpa la.e.m. d 9. C 9 In queso crcuo, puramene nduvo: cos Z j e j F e j I F Z e j e j e j e j e j cos ensone e correne sono sasa d 9 la correne è n rardo sulla.e.m. d hp://campus.cb.unbo./48/ Domenco Gall Dparmeno d Fsca domenco.gall@unbo. hp:// hps://lhcbweb.bo.nn./gallddaca