1. METODO DELLE EQUAZIONI DI STATO

Transcript

1 IUITI ON MMOIA Vengono e crcu con memora (o crcu namc) quell n cu è presene almeno un componene oao memora (come nuor e conensaor, ma non solo); n queso caso l ssema rsolene el crcuo sesso conene le caraersche (fferenzal) e componen con memora. Il alore ue le arabl crcual n un generco sane può essere calcolao solo alla conoscenza el alore elle granezze mpresse a generaor npenen nel crcuo n uo l'nerallo emporale preceene all'sane conserao, a parre a un sane nzale n cu sono noe le arabl sao el ssema (quelle granezze cu è assocaa una energa eleromagneca mmagazznaa: la ensone su conensaor e la correne negl nuor). Tu meo preceenemene escr per l caso e crcu pr memora sono applcabl a crcu con memora, ma porano a screre un ssema equazon algebrco - fferenzal. A esempo, per quano rguara l'anals Tableau, le equazon cosue alle K e KT rmangono un ssema equazon algebrche lnear che ene però compleao alle caraersche e componen n cu compaono ermn fferenzal. a maggor pare e meo anals, sa esa che numerc, presuppongono che l ssema a rsolere sa n forma normale (o canonca) n cu le erae sono esplcae. A al fne s può ulzzare l meoo elle equazon sao, che permee oenere un ssema fferenzale n forma normale equazon fferenzal el prmo orne.. MTODO D QUAZIONI DI STATO S conser un crcuo n cu gl unc componen oa memora sano nuor e conensaor. È possble perenre con un procemeno auomaco a un ssema rsolene cosuo a ane equazon fferenzal ornare el prmo orne quan sono conensaor e gl nuor presen nel crcuo (equazon sao), e n cu le ncogne sono le arabl sao el crcuo, e coè le enson ra ermnal e conensaor e le corren araerso gl nuor. S procea come segue:. Defnre le caraersche nuor e conensaor, esplcano le erae e ;. Nel crcuo (con memora) sosure nuor e conensaor con, rspeamene, generaor npenen correne e ensone (granezze mpresse par alle arabl sao e ). solere l crcuo (pro memora) rsulane per eermnare le arabl complemenar ( e );. Sosure e nelle caraersche per oenere le equazon sao. S conser a esempo l crcuo lneare llusrao nella fgura.a. e caraersche el conensaore e ell'nuore porano a screre le seguen equazon, n cu sono esplcae le erae elle arabl sao:, () Per oenere un ssema ue equazon (per cosruzone fferenzal el prmo orne) n ue arabl (le arabl sao e ) è necessaro eermnare la correne araerso l conensaore e la ensone a cap ell'nuore n funzone e. A al fne s può proceere supponeno (formalmene) noe le arabl sao. In queso moo l conensaore può essere sosuo, nel crcuo, con un generaore ensone a ensone mpressa e l nuore con un generaore correne a correne mpressa Fgura.a. ulà quesa sosuzone è oua al fao che l crcuo che s oene, llusrao nella fgura.b, è pro memora e qun può essere rsolo, con una qualsas elle meoologe gà se, per eermnare la ensone e la correne. B A leroecnca T rcu con memora -

2 In parcolare, la soluzone el crcuo fgura.b può essere oenua applcano l eorema Mllman (la sere ressore - generaore correne è equalene al solo generaore correne:.): B BA BA BA () A Fgura.b È qun possble esprmere la correne e la ensone n funzone elle arabl sao e elle granezze mpresse a generaor npenen (n queso caso, ): BA BA () Sosueno la () nella () e nrouceno per semplcà noazone le conuanze s ha: a sosuzone elle (4) nelle () fornsce qun l rsulao oluo, oero un ssema fferenzale n forma normale: GG G G G G G GG G G GG G G G G G G G G G G ( G ) ( G G ) ( G G ) ( ) G G G G ( G G ) G G G G (4) (5) In forma eorale l ssema (5) s scre come: GG G G G ( G ) ( G G ) ( G ) G G G GG G G G ( G ) ( ) G Il ssema fferenzale a cu s perene ulzzano l meoo elle equazon sao è sempre (*) smle al (6), se l crcuo nzale è lneare (se l crcuo non è lneare l meoo è comunque applcable, ma può essere noeolmene pù ffcle eermnare le arabl complemenar alle arabl sao). Incano con x l eore elle arabl sao, con [A] la marce e coeffcen (marce sao) e con b l eore egl ngress (così chamao n quano compaono le granezze mpresse a generaor npenen), s oene qun un ssema equazon fferenzal lnear el prmo orne a coeffcen cosan n forma normale (equazon sao): x A [ ] x b orne el ssema è par al numero equazon che lo cosuscono (a esempo, l ssema (6) è el secono orne) che, per cosruzone, è uguale al numero arabl sao, coè al numero nuor e conensaor presen nel crcuo. a efnzone orne s esene anche a crcu (6) (7) (*) Quesa affermazone s basa uncamene sulla effea possblà rsolere l crcuo pro memora oenuo alla sosuzone nuor e conensaor con generaor npenen correne e ensone, rspeamene. sono cas n cu ale crcuo non è unocamene soluble (a esempo crcu conenen agl cosu solo a nuor o magle solo conensaor). Il meoo è ancora applcable, ma l ssema fferenzale ee essere accompagnao a uno (o pù) ncol ra le arabl sao, che ne complcano la soluzone. leroecnca T rcu con memora -

3 con memora, ncano come el prmo orne crcu con un solo nuore o conensaore, el secono orne crcu con ue componen con memora, ecceera. Se a el problema sono V,.5 Ω,.5 Ω, 5 Ω, µf, mh, alla (6) s oene, sosueno: Per quano rguara l unà msura e alor numerc presen n [A] e b, un moo semplce per eurl è effeuare un anals mensonale e ar ermn ell equazone (8). A esempo l emne 5 molplcao per [V] ee aere la sessa mensone ella eraa [V/s] e qun ha come unà msura [s - ]. Analogamene l emne.5 molplcao per [A] ee aere la sessa mensone ella eraa [V/s] e qun ha come unà msura [Ω/s]. Qun, la marce sao el crcuo llusrao nella fgura.a (con le unà msura) è: 5 s.5 Ω / s [ ] A (9).66 S/ s.75 s (a marce sao, come s erà nel seguo è suffcene a eermnare se l crcuo è sable e l empo necessaro n queso caso per raggungere l regme.) a soluzone el ssema equazon fferenzal ornare el prmo orne (7) può essere oenua, eenualmene per a numerca, a parre all sane nzale n cu sono no alor e elle arabl sao (conzon nzal o sao nzale): 5 4 ( ) ( ) a efnzone ell sane nzale, conenzonalmene, può aenre n ers mo, uaa solo s ha neresse a suare crcu n cu nerene una sananea arazone ella opologa, ossa crcu n cu sono presen nerruor eal che s aprono e s chuono sananeamene (come mosrao n fgura ). Quano l nerruore eale è apero esso equale a un crcuo apero e qun la correne che lo araersa è nulla ( ). Vceersa quano l nerruore è chuso esso equale a un coro crcuo e la ensone a suo cap è nulla ( ) (#). sane n cu l nerruore s apre o s chue rappresena n queso caso la scela usuale per efnre l sane nzale. Inerruore eale apero (s chue a ) Inerruore eale chuso (s apre a ) (8) (), se < (crcuo apero), se > (corocrcuo) Fgura. Inerruore eale. Per eermnare alor elle arabl sao nell sane nzale ( ), ossa nell sane n cu s mofca la opologa el crcuo e nza l ransoro, s ulzza l posulao connuà ell energa: l energa non può subre sconnuà nel empo. Una sconnuà ell energa n un nerallo empo nfnesmo equarrebbe nfa all nereno una sorgene poenza nfna, l che non è fscamene acceable. a mosrazone el posulao è basaa qun sull poes che per ogn componene la poenza assorba sa lmaa, coè che p() < p max,. Infa, conse- (#) Può capare che l nerruore eale por a nconssenze (a esempo se s cerca aprre un nerruore n sere a un nuore percorso a correne). In al caso è necessaro nrourre un moello crcuale ell nerruore reale che enga cono egl effe parass che sono prncpalmene cosu a una ressenza conao (n sere all nerruure eale), una ressenza solameno (n parallelo, non-lneare) e una capacà n parallelo., se < (corocrcuo), se > (crcuo apero) leroecnca T rcu con memora -

4 rano un componene con memora s ha p W/, oe W è l energa mmagazznaa nel componene. Inegrano ale relazone (poso < ) s ha: W ( ) W( ) p( ) W( ) W( ) p( ) p( ) < pmax pmax Al lme per e s oene, per l eorema el confrono: W( ) W( ),. D conseguenza s ha che le arabl sao sono funzon connue el empo e, n parcolare, che: la correne n un nuore non può subre sconnuà, oero ( ) ( ), ; la ensone su un conensaore non può subre sconnuà, oero ( ) ( ),. Qun, fao, la eermnazone elle conzon nzal ene effeuaa analzzano l crcuo all nsane, prma che l nerruore s apra o s chua. anals all nsane è semplfcaa al fao che, solamene, s suppone che l crcuo sa a regme. [Queso consene anche rsolere l crcuo all sane a parre alla conoscenza e alor elle arabl sao all sane, a esempo per ermnare qual sono componen pù solleca ne prm san opo l aperura o la chusura un nerruore. A al fne l conensaore può essere sosuo, nel crcuo all sane, con un generaore ensone a ensone mpressa ( ) e l nuore con un generaore correne a correne mpressa ( ). Il crcuo equalene che s oene, all sane, è qun pro memora.] S conser a esempo l crcuo rappresenao nella fgura, n cu è presene l nerruore eale T che s chue sananeamene all sane. All sane, coè un sane prma che l nerruore s chua, l crcuo s roa n regme sazonaro; la correne è nulla e qun è nulla anche la ensone a cap ell nuore e el ressore. Un sane opo che l nerruore s è chuso ( ) le granezze el crcuo hanno generalmene, esseno cambaa n manera sconnua la opologa el crcuo, alor ers a quell rela all sane. A esempo, la ensone a cap ella sere, nulla all sane rsula par a all sane. Non rsula però cambao l alore ella correne (arable sao ell nuore) a cu è assocaa l energa W ½. Per l posulao connuà ell energa ½ ( ) W( ) W( ) ½ ( ), qun ( ) ( ). ome esempo crcuo el orne, s conser l crcuo rappresenao n fgura 4.a, nelle conzon efne alla chusura ell nerruore T. Per calcolare le conzon nzal (coè all sane, mmeaamene successo alla chusura T) è suffcene conserare l crcuo (a regme) prma ella chusura ell nerruore ( < ). Per < (e qun anche per ) s suppone che l crcuo sa a regme (n queso caso sazonaro, se è cosane). In quesa conzone funzonameno, mosraa n fgura 4.b, è charo che le corren sono ue nulle e qun ( ). Inolre, ao l erso scelo per la ensone sul conensaore, s ha ( ). Ulzzano ora l posulao connuà ell energa è possble affermare che ( ) e che ( ). Il ssema (8) ene qun compleao alle conzon nzal e può essere rsolo: ( ), ( ) () B Fgura. rcuo con nerruore eale. Fgura 4.a B A Fgura 4.b rcuo equalene per < (D) A T T leroecnca T rcu con memora - 4

5 x Incano con x lo sao nzale (o conzon nzal) e con la noazone ella (7), s ha qun: [ A] x b () x( ) x Il ssema lneare () è soluble rame ar meo (rasformaa aplace, esponenzale marce, ecc.) che porano oamene alla meesma soluzone. Il meoo soluzone pù semplce sfrua la lnearà elle equazon sao per eermnare l negrale generale el ssema equazon fferenzal lnear come la somma un negrale parcolare (soluzone regme, se l regme esse oero se l crcuo è sable) e ell negrale generale el ssema omogeneo assocao (soluzone ransora): x() x p () x om (). Se l eore egl ngress b (ermne noo) è cosane, per calcolare l negrale parcolare è suffcene ( * ) annullare le erae e qun rsolere l ssema [A] x p b. Per quano rguara l negrale generale el ssema omogeneo assocao (coè con b ), esso a sempre cercao nella forma un esponenzale reale o mmagnaro. a sosuzone ella soluzone esponenzale c u e λ (con c e λ cosan scalar e u eore cosane) nel ssema omogeneo assocao al () pora a screre λ λ λ λ ( cu e ) [ A] ( cue ) λc e [ A] ( cue ) u λu [ A ] u ([ A ] λ[ ] ) u Qun λ e u sono rspeamene gl auoalor e gl auoeor ella marce sao [A]. equazone caraersca e([a] λ[]) permee eermnare gl auoalor ([] è la marce enà). Dao che [A] è una marce M M a coeffcen real (M è l orne el crcuo), l polnomo caraersco è a coeffcen real e grao M. Per l eorema fonamenale ell algebra, gl M zer el polnomo sono qun real o compless conuga e possono essere rappresena nella forma ( ** ) λ k /τ k j Ω k con k,..., M. e cosan τ k e Ω k prenono l nome cosan empo e pulsazon naural el crcuo. Ammesso per semplcà che gl auoalor sano sn (o), la eermnazone egl auoeor u k ella marce sao permee qun sablre per sorapposzone (graze alla lnearà) l negrale generale el ssema omogeneo assocao: x om () c u e λ c M u M e λ Μ. e cosan c,, c M possono qun essere calcolae mponeno la conzone nzale, oero x p () x om () x, che è un ssema lneare M equazon nelle M ncogne c k. Gl auoalor [A] sono parcolarmene rlean nello suo ella sablà elle re lnear (Un crcuo s ce sable se per ogn eccazone lmaa ha una rsposa che rmane lmaa). Infa, l negrale generale el ssema omogeneo assocao mosra mmeaamene che un crcuo lneare è sable se (λ), per ogn λ auoalore ella marce sao (n caso conraro x om () ( * ) Nel caso n cu l b sa funzone el empo è necessaro usare alr meo (a esempo l meoo ella arazone elle cosan o la rasformaa aplace). Nel caso parcolare n cu le granezze mpresse a generaor sano funzon snusoal el empo è possble ulzzare l meo smbolco [efno nel seguo] per eermnare l negrale parcolare. S può n ogn caso mosrare che se b è lmao (coè sono lmae le granezze mpresse a generaor npenen) anche x p è lmaa. ( ** ) Al fne eare possbl franenmen è consueune n eleroecnca, a fferenza quano accae usualmene, ncare con la leera j l unà mmagnara (j ), rserano l smbolo per le corren. (o) S suppone qun che ue le soluzon el polnomo caraersco sano erse fra loro, coè sono esclus gl auoalor mulpl. Oamene è possble rsolere le equazon sao anche nel caso n cu sano presen auoalor mulpl. Tuaa, n praca, gl auoalor rsulano sempre sn. a ragone nua è che l essenza soluzon mulple è legaa a precse conzon ra alor e coeffcen el polnomo caraersco ella marce sao. Ques uaa sono oenu sulla base e paramer e componen real che cosuscono l crcuo e sono qun sogge a una olleranza (errore relao sul alore nomnale). In effe è possble mosrare che Per ogn marce quaraa a coeffcen real a j esse una marce quaraa a coeffcen real b j con auoalor sn ale che a j b j < ε, ε > poso e (, j). A esempo s conser la marce enà, che ha un solo auoalore oppo, par a. Se s ara ε uno e ermn sulla agonale prncpale gl auoalor enano sn ( e ε). Allo sesso moo se s arano ε ermn sulla agonale seconara gl auoalor enano sn ( ± ε). leroecnca T rcu con memora - 5

6 ergerebbe esponenzalmene per emp crescen) ( *** ). S no che se s è neressa solo a eermnare la sablà e le cosan empo el crcuo, è suffcene eermnare la marce sao [A]. Infa gl auoalor [A] non penono a b, oero a alor assun alle granezze mpresse a generaor npenen. È possble qun suare l crcuo con generaor npenen spen, ossa sosueno a generaor ensone npenen e corocrcu e a generaor correne npenen e crcu aper. A esempo, se s azzera nel crcuo fgura.b s azzera conseguenza l eore egl ngress nella (6), senza che la marce sao camb. Queso po anals può essere rpeua per ogn crcuo lneare, uaa per crcu orne superore al secono è necessara la soluzone numerca el polnomo. Se s è neressa nece solano alla sablà el crcuo, quesa anals s può eare per crcu pr generaor ploa. Infa, s può mosrare che u crcu lnear non conenen generaor ploa sono sabl. Per mosrare quesa affermazone è necessaro mosrare che ue le arabl crcual resano lmae per >, per ogn possble alore (purché lmao) elle granezze mpresse a generaor npenen per > e ello sao nzale. È mmeao mosrare che la sablà un crcuo lneare è una propreà npenene a alor che assumono le granezze mpresse a generaor npenen. Infa se le equazon sao e lo sao nzale per l crcuo sono: Annullano le granezze mpresse a generaor npenen s oengono per l crcuo ' le sesse equazon sao con l eore egl ngress nullo: In parcolare la marce sao [A] è la sessa n enramb cas. D conseguenza anche gl auoalor λ ella marce sao sono gl sess n enramb cas e unque (λ) ( λ) è la conzone sablà sa per che per '. Qun un crcuo lneare è sable se e solo se lo sesso crcuo con generaor npenen spen (') è sable. a mosrazone che l crcuo lneare ' è sable è basaa su ue seguen pass: ) energa mmagazznaa nel crcuo ' è lmaa, qun le arabl sao sono lmae. Se s applca l eorema Tellegen a ' raggruppano componen per po (nuor, ram ram ram rasf. eal k k conensaor, ressor, alro (#) corocrcu ), s ha: crcu aper Sosueno le caraersche e componen e noano che rasformaor eal, corocrcu e ram ram ram crcu aper assorbono poenza nulla s ha: Defneno W come la somma elle energe mmagazznae ne componen con memora (coè l energa oale nel crcuo) s ha: k W x [ A] x b x( ) x x [ A] x x( ) x ram () (').a: ( *** ) A esempo alla marce sao (4) s può eermnare la sablà e le cosan empo el crcuo fgura 5 λ.5 e [ A] λ[ ] λ 5 ( ) ( 5 λ)(.75 λ) 4.5 Sluppano l prooo s oene l polnomo secono grao λ 6.75 λ , cu zer (real) sono λ 4.86 e λ.88 (a cu corrsponono le cosan empo τ.6 ms e τ.5 ms). Dao che enramb gl auoalor sono nega, l crcuo fgura.a è sable. (#) Per poes sono esclus generaor ploa, qun anche gl A.O.; per poes l crcuo è lneare, qun sono esclus componen non lnear come l oo; Infne n ' generaor npenen sono azzera, qun sono equalen a corocrcu (se ensone) o crcu aper (se correne). leroecnca T rcu con memora - 6

7 negrano nel empo s euce (ue le ressenze sono pose): Poché W ( ) W( ) ram W è la somma ermn u pos o null s ha W (ue le ram ram nuanze e le capacà sono pose) e qun s oene: W() W(),. sseno l energa oale lmaa anche le arabl sao sono lmae. S conser nfa l prmo nuore (e analogamene per u gl alr): W ( ) ( ) ( ) W( ) W( ) ( ) ( ),. ram ram Allo sesso moo per l prmo conensaore (e analogamene per u gl alr): W ( ) ( ) ( ) W( ) W( ) ( ) ( ),. ram ram ) Dao che le arabl sao sono lmae ue le arabl crcual sono lmae. S conser nfa l crcuo che è sao ulzzao per eurre le equazon sao ': n ale crcuo nuor e conensaor sono sosu con generaor npenen ( ensone e correne, rspeamene) con granezze mpresse par alle arabl sao. Per l prncpo sorapposzone egl effe ue le arabl crcual sono combnazon lnear elle sole enson e corren mpresse a generaor npenen. Perano, la correne sul k-esmo ramo è rappresenable come segue (e analogamene per le enson ramo o noo): g α ( ) g ( ) α ( ) k k,m m (conensaor),m k,n,n n (nuor) k k,m m (conensaor),m k,n n (nuor) e cosan g k,m e α k,m s possono oenere, a esempo, nereno la marce Tableau e non penono a alor elle nuanze e elle capacà. onserao qun l rsulao el puno preceene, s ha nfne: W ( ) ( ) W( ) k gk,m αk,n,, k. m (conensaor) m n (nuor) Dunque ue le arabl crcual ' sono lmae (e qun ' è sable) purché l energa oale nzale sa fna. Quesa uaa è una conseguenza mmeaa ella lmaezza ello sao nzale, nfa W( ) ( ) ( ). ram ram Nel seguo engono llusra alcun esemp soluzone crcu con memora. Il problema che s uole rsolere è l seguene: assegnao l crcuo elerco e le granezze mpresse e generaor npenen presen, s uole calcolare l'anameno emporale elle corren ramo e elle enson ramo. S suppone per semplcà che u componen sano e bpol, poenos rconurre all'poes meane l'nrouzone crcu equalen e componen a pù ue ermnal. n,n S conser, a esempo, l crcuo n fgura, che è un crcuo el orne (coè conenene un solo elemeno con memora). Applcano la KT per > (coè opo la chusura () ell nerruore T), s oene: a soluzone cercaa è la somma un negrale parcolare p () e ell negrale generale ell equazone omogenea assocaa om (): () p () om (). Se s assume che sa cosane, per calcolare l negrale parcolare è suffcene annullare la eraa: p () /. Per quano rguara l negrale generale ell equazone omogenea assocaa, esso a leroecnca T rcu con memora - 7

8 sempre cercao nella forma un esponenzale reale o mmagnaro. a sosuzone ell esponenzale e λ nella omogenea assocaa ella () pora a screre l equazone caraersca: λ / () / I e / a eermnazone ella cosane I può essere effeuaa se è noo l alore nzale: ( ). Per calcolare ale alore nzale è suffcene conserare l crcuo fgura prma ella chusura ell nerruore T ( < ). È eene che ( ), so che l nerruore T è apero. Ulzzano ora l posulao connuà ell energa è possble affermare che ( ). sula qun: / I I / In conclusone, l anameno emporale ella correne (), mosrao n fgura 5, è sao calcolao (per > ) rame la soluzone ella seguene equazone fferenzale lneare el prmo orne a coeffcen cosan con l alore nzale correne nulla. Il paramero τ / è la cosane empo el crcuo. Nell esponenzale e /τ la cosane empo τ specfca la uraa el fenomeno ransoro: opo un empo par a 5τ la soluzone ha ragguno l 99% el suo alore regme (*), coè el alore lme per. () ( ) e Fgura 5 S conser ora l crcuo rappresenao nella fgura 6.a n cu è presene l nerruore eale T che s chue sananeamene all sane. Per > alla KT sulla magla s ha: (4) Dalla (4) s oene mmeaamene l negrale parcolare: p (). Inolre a sosuzone ell esponenzale e λ nella omogenea assocaa ella (4) pora a screre l equazone caraersca: λ / () A e / (5) oe τ è la cosane empo el crcuo. Per la eermnazone ella cosane A s consera l alore nzale, (che s manene uguale a e a per l posulao connuà ell energa) e s scre la (5) per : τ, τ ( ) A ( ) ( ) e ( ) e (6),, Il grafco ella (6) è mosrao n fgura 6.b. S no che anche n queso caso per > 5τ s può assumere che l ransoro sa esauro e che s sa ragguna la soluzone regme ( ). T Fgura 6.a Fgura 6.b ome s è eo, crcu conenen generaor ploa non sono necessaramene sabl. A olo esempo s conser l crcuo fgura 7.a, n cu l nerruore T s chue all sane e s rapre all sane. S suppone che l crcuo sa a regme (D) per <. anameno emporale ella correne, per, è calcolable rsoleno l seguene ssema, con l alore nzale correne nulla (supponeno k ). ( ) τ ( ) k τ ( ) e (, )/ / (7) (*) o sesso ragonameno è applcable a ognuno egl esponenzal ella soluzone ransora un crcuo lneare orne qualsas, purché sable. Dao che ogn esponenzale ecae con la sua cosane empo, l regme s consera ragguno per > 5τ max, oe τ max è la maggore elle cosan empo. leroecnca T rcu con memora - 8

9 T T k k ( ) anameno emporale ella correne, per, è k k calcolable rsoleno l seguene ssema, con l ( ) ( ) alore nzale correne ( ) ( e (8) ) eucble ( ) alla (7): a (8) mosra che l crcuo è sable solo se k. Nel caso conraro la correne cresce esponenzalmene. Perano, se l crcuo fgura 7 rappresena l moello un sposo fsco, al crescere ella s raggungeranno lm opera el sposo (che s guaserà), oppure s raggungeranno lm el moello lneare e sarà necessaro mofcare la sruura el crcuo. ome caso lme sablà, s conser l crcuo el orne llusrao n fgura 8. Per < (D), s ha: /,,. Dopo l aperura ell nerruore T, per >, l crcuo è cosuo al parallelo ell nuore con l conensaore. Perano,, e l equazone sao è aa a: con le conzon nzal (), () /. Da e([a] λ[]) s oene qun λ /. Poso ω /, s oengono le ue rac, puramene mmagnare, λ ± j ω. S no qun che (λ) e unque le arabl sao non enono a zero, né ergono, ma sono oscllan. / / Per eermnare la soluzone s no nano che la soluzone parcolare è nulla. Per eermnare la soluzone ell omogenea assocaa alla (9) (che conce con l equazone sessa) s calcolano gl auoeor corrsponen agl auoalor, rsoleno ([A] λ[]) u. Per l auoeore u corrsponene jω / u A, all auoalore λ j ω s ha: / jω u, Fgura 8 e ue rghe ella marce sono proporzonal (l eermnane è nullo) qun, conserano la prma rga, s può porre u, e u, j ω (o una qualunque alra coppa proporzonale a quesa). Analogamene, per l secono auoeore s oene u, e u, j ω. Incano con k e k le cosan negrazone s ha qun: Per eermnare la cosan negrazone s ulzzano le conzon nzal all sane (e ): Sosueno s ha qun: Fgura 7.a ( ) ( ) k u e jω k u e jω k k / kjω k e jω e jω jω jω jω ke k e jω kjωe k jωe jω e jω e jω e jω jω e k k ω jω / / e jω jω (9) ( jω) ( jω ) S rconoscono nfne le efnzon elle funzon sen() e cos() n campo complesso (oppure s può proceere sosueno l enà ulero, e jx cos(x) j sen(x)) e s oene la soluzone: ( ) cos( ω ), ( ) sn( ω ) Fgura 7.b T B e j jω. leroecnca T rcu con memora - 9

10 Nel crcuo s nsaura qun un regme peroco con un peroo T π/ω, oero un regme snusoale (o) alla frequenza f /T ω /π. In praca uaa nuor e conensaor real hanno sempre effe parass sspa (pcamene l nuore reale è una sere - e l conensaore reale un parallelo -) che aenuano esponenzalmene le oscllazon, porano a zero le arabl sao. I crcu n fase ransora possono essere ulzza per generare alor ensone o correne molo maggor quell oenbl a regme allo sesso crcuo. : A olo esempo applcao s conser l crcuo accensone classco per un moore a combusone nerna a benzna, mosrao n fgura. Il problema n queso caso è generare ra gl elero ella canela (posa nella camera combusone) una ensone suffcenemene eleaa a nnescare la scarca ( scnlla ) nella mscela ara-benzna (almeno kv) pur aeno a sposzone un generaore a ensone mpressa molo mnore (baera a V). a mscela s può conserare come un maerale elercamene solane fno alla ensone scarca (correne nulla, qun un crcuo apero). Olre quel alore permee l passaggo ella correne e s può rappresenare come un ressore non-lneare. Il crcuo llusrao n fgura basa l suo funzonameno su una nuanza (aolgmeno prmaro ella bobna 'accensone) che, quano è collegaa al generaore (nerruore chuso) raggunge l regme sazonaro enro qualche mllsecono (a regme la ensone sull nuore è nulla, menre la correne raggunge un alore qualche Ampere. Quano è necessaro generare la scnlla, la bobna prmara ene scollegaa alla baera (apreno l nerruore) e posa n sere al conensaore. a ensone a ermnal ell'nuanza raggunge rapamene un alore qualche cennao Vol. a ensone ra gl elero ella canela ( ermnal el seconaro el rasformaore, mensonao con un rapporo rasformazone crca ) cresce qun fno a qualche ecna klovol, suffcene a generare la scnlla n camera combusone e l accensone ella mscela. Dopo la scarca l nerruore è rchuso, causano la scarca rapa el conensaore (sananea se s consera l nerruore chuso equalene a un corocrcuo, la cosane empo pene alla ressenza parassa sulla magla formaa al conensaore e all nerruore) e l rprsno ella correne regme sull nuore. Quesa anals qualaa el crcuo accensone mosra come cò che neressa è eermnare l alore massmo ella ensone e l sane empo n cu queso s erfca. : Per > l nerruore è apero. e caraersche ell'nuore e el conensaore, n cu sono esplcae le erae elle arabl sao, sono: / / / / 5 Supponeno (formalmene) noe le arabl sao, l conensaore può essere sosuo, nel crcuo, con un generaore ensone a ensone mpressa e l nuore con un generaore correne a correne mpressa. Il seconaro el rasformaore è collegao a un crcuo apero (correne nulla) qun anche la correne sul prmaro è nulla. Applcano la K a uno e ermnal ell nuore, s euce che. Inolre, s ha (l segno è ouo alla scela el erso ). Ω V Ω 5 mh V µf (o) Un crcuo è n regme snusoale (o regme A Alernang urren o n correne alernaa) se ue le arabl crcual sono granezze snusoal el empo con lo sesso peroo (o la sessa frequenza). Se n un crcuo lneare sable le granezze mpresse a generaor npenen presen sono funzon snusoal sofrequenzal el empo, opo un ransoro uraa penene a paramer el crcuo sesso, s raggunge una soluzone regme A n cu ue le granezze el crcuo sono funzon snusoal sofrequenzal el empo, con frequenza par a quella e generaor. Infa, ammesso che la soluzone ransora s annull (qun (λ) <, λ auoalore [A]), queso sgnfca mosrare che, se l eore egl ngress è snusoale, anche la soluzone parcolare (che qun è la soluzone regme) è snusoale. A al fne è suffcene supporre b() b cos(ω) b sen(ω), sosure nelle equazon sao, e cercare una soluzone parcolare nella forma x p () x cos(ω) x sen(ω). aggruppano ermn n sen(ω) e cos(ω) e annullanone coeffcen (ao che sono funzon npenen) s perene a un ssema lneare che è soluble solo se l eermnane ella marce e coeffcen ([A] ω []) è non nullo. Incano con j l unà mmagnara (j ) s ha uaa e([a] ω []) e([a] jω[]) e([a] jω[]) e qun l eermnane è nullo solo se almeno uno egl auoalor ella marce sao conce con ± jω, ma queso è mpossble graze all poes (λ) <, λ. leroecnca T rcu con memora -

11 Per eermnare è suffcene applcare la KT sulla magla a prmaro per oenere:. (e qun ). Infne, sosueno nelle caraersche ell'nuore e el conensaore s oengono le equazon sao: e conzon nzal s eermnano suano l crcuo per (n regme D). In quesa conzone funzonameno (nerruore chuso, nuore equalene a un corocrcuo, conensaore equalene a un crcuo apero), che è mosraa n fgura, è charo che ( ) 6 e ( ). Ulzzano l posulao connuà ell energa s ha qun ( ) 6 e ( ). Dao che l ermne noo è cosane, la soluzone parcolare è cosane. Annullano le erae s ha:,p A e,p V. Gl auoalor ella marce sao s oengono agl zer el polnomo caraersco (4 λ) λ 7, per cu λ 447j e λ 447j. Gl auoalor cono compless conuga (s ha qun una sola cosane empo, τ / 5 ms) e la soluzone sarà oscllane. Gl auoeor corrsponen sono u {λ, 5 } T e u {λ, 5 } T. Incano con k e k le cosan negrazone s ha qun: Per eermnare la cosan negrazone s ulzzano le conzon nzal n : Sosueno (e ulzzano l enà ulero, e jx cos(x),p,p ku e λ k u e 6 kλ k λ 5 k k λ 5 λ λ kλe k λ e 5 λ k e k e k k λ j6.68 j6.68 j sen(x)) s oene la soluzone (ala per > ): ( ) 6e cos( 447).68e sn( 447) ( ) e cos( 447).9e sn( 447) Infne unque (per > ) s ha: () 44 e sn(447) [V] ome mosrao a lao () ha un anameno oscllane smorzao. e poszon e massm e e mnm s oengono rsoleno /. Tuaa poché 447 >> s può assumere che l prmo massmo conca crca con l prmo massmo el seno, oero per 447 π/. Qun all sane.5 ms s ha max.5 kv. a soluzone roaa è oamene ala sno a quano non s nnesca la scarca; per emp maggor, l crcuo, le equazon sao e la loro soluzone sono fferen. Anche crcu nsabl possono essere ulzza pracamene; n al caso la sablà el funzonameno el sposo ee essere garana con alr mezz. A esempo s conser l oscllaore (#) Wen mosrao n fgura. S uole eermnare l anameno nel empo ella ensone o, e eermnare n qual conzon quesa è snusoale e l crcuo è sable. Per eermnare le equazon sao s sosusce l crcuo equalene ell A.O. nella regone lneare e s nroucono le arabl sao e. on ers nca n fgura le caraersche e conensaor sono qun: 4 4 / / / / e enson su ressor n basso sono (formalmene) noe e qun alle loro caraersche s eucono le corren, come ncao. Dalla K applcaa al noo A s euce nolre la correne : /. nfne alla KT[AA'BA] s oene: ( / ) ( / ) ( /) ( /) Sosueno nelle caraersche s oengono qun le equazon sao. Poso ω /, s ha: V Ω 6 A V (#) on l ermne oscllaore s nene un crcuo n grao generare una ensone snusoale (o, pù n generale, una forma ona peroca a frequenza assegnaa) senza un segnale ngresso. ome bpolo è equalene a un generaore ensone npenene. leroecnca T rcu con memora -

12 ω ω ω ω Gl auoalor ella marce sao s oengono agl zer el polnomo (ω λ) (λ ω( / )) ω ( / ), per cu λ, ω ( / ) ± jω (( / ) ( / )). Gl auoalor sono compless conuga e la soluzone è oscllane. Se (λ, ) <, coè se > /, l crcuo è sable qun ue le arabl crcual o conergono (oscllano) a zero (##). Vceersa, se (λ, ) >, coè se < /, l crcuo è nsable qun ue le arabl crcual ergono (oscllano). nrambe le suazon sono neserabl: la prma perché è nule, la secona perché pora ceramene a B roura (quano s superano lm opera e componen). Per oenere una soluzone oscllane permanene è qun necessaro che (λ, ) coè /. Analzzamo qun l crcuo supponeno / (eremo nel seguo come è possble realzzare quesa conzone). In ale A conzone le equazon sao enano / ω ω, A' / ω ω. Inolre o ( ) ( / ). o Per eermnare l equazone relaa a o s esprme n funzone e ella sua eraa alla prma equazone sao ( (/ω) /), e s sosusce nella secona ( / (/ω) / ω ω /). Semplfcano e molplcano per, s oene o / ω o. negrale generale / / quesa equazone è, come rcheso, una granezza snusoale (###) : o () V om cos(ω α o ). a sablà el funzonameno s può oenere ulzzano una ermo-ressenza (T) (o ermsore, coè una ressenza foremene penene alla emperaura T el ressore) con /T >. a emperaura ella ermo-ressenza è efna a un blanco poenza ermca sul componene (energa ermca accumulaa per unà empo uguale alla fferenza ra poenza elerca sspaa e poenza ceua all ambene eserno) e la poenza mea P sspaa n regme snusoale sul ressore è proporzonale al alor meo, coè a V om [e seguo] S assuma qun essere n conzon sazonare con T T e cosane, V om V om,e cosane, e (T e ) / cosane. Se, per una ragone qualsas, s ha una perurbazone nel funzonameno el crcuo per cu V om > V om,e, la poenza P cresce e qun anche la emperaura la ermo-ressenza cresce: T > T e. Anche cresce e qun s ha > /, e la pare reale egl auoalor ena negaa. a ensone o () ene smorzaa al faore esponenzale exp[ω ( / )] e unque V om s ruce. Vceersa, se s ha una perurbazone nel funzonameno el crcuo per cu V om < V om,e, la poenza P cala e qun anche la emperaura la ermo-ressenza cala: T < T e. Anche cala e qun s ha < /, e la pare reale egl auoalor ena posa. a ensone o () ene amplfcaa al faore esponenzale exp[ω ( / )] e unque V om aumena. Quesa anals qualaa ella sablà el funzonameno a regme mosra anche come s aa l crcuo: all aameno (quano s aa l crcuo polarzzazone ell A.O.) s ha T < T e qun l crcuo è nsable e è suffcene una perurbazone qualsas (a esempo oua al rumore ermco) per oenere una ensone oscllane e esponenzalmene ergene. a poenza P cresce e qun anche la emperaura la ermo-ressenza cresce fno a quano non s raggunge la conzone regme /.. AOO D OSTANTI DI TMPO (P I IUITI D PIMO D SONDO ODIN) Negl esemp preceen s era neressa alla eermnazone elle enson e elle corren ne crcu n funzone el empo. Pù spesso uaa s è neressa solo al calcolo elle cosan empo (oero alla sablà el crcuo). In al caso, per crcu el prmo orne s possono ulzzare eorem Theenn e Noron come segue. Nel caso n cu un nuore sa connesso al b- (##) Il ermne noo è nullo ao che c sono generaor npenen nel crcuo. Perano la soluzone parcolare (che conce con quella regme) è nulla, come s erfca mmeaamene. (###) a fase α o è rrleane per l funzonameno ell oscllaore (n effe, scegleno opporunamene l orgne e emp, s può sempre annullare). Il alore ell ampezza è eermnao al un blanco poenza sul crcuo; nfa la poenza sspaa su ressor ee essere erogaa all A.O. oero al suo crcuo polarzzazone. leroecnca T rcu con memora -

13 polo lneare (che s suppone conrollao n correne) l applcazone el eorema Theenn (al bpolo ) pora a un crcuo cosuo alla sere el generaore npenene ensone equalene, ella ressenza equalene e ell nuore. ome s è gà so, la cosane empo queso crcuo è τ / eq. S no che non è necessaro calcolare la eq. eq eq τ / eq a meesma proceura è applcable anche nel caso n cu un conensaore sa connesso al bpolo lneare (che s suppone conrollao n ensone) l applcazone el eorema Noron (al bpolo ) pora a un crcuo cosuo al parallelo el generaore npenene correne equalene, ella ressenza equalene e el conensaore. Ulzzano la noa equalenza ra generaor real s oene un crcuo gà analzzao, la cu cosane empo è τ eq. S no che comunque non è necessaro calcolare la I eq. I eq eq eq eq I eq τ eq Nel caso e crcu lnear el secono orne s possono nece ulzzare le rappresenazon e opp bpol complemenar agl elemen con memora. A esempo, s conser un crcuo lneare conenene ue nuor. e granezze mpresse a generaor npenen nel crcuo possono essere annullae, ao che non nfluenzano la marce sao. Perano, l oppo bpolo collegao agl nuor è lneare e omogeneo. appresenanolo rame marce ressenze, la eermnazone ella marce sao è mmeaa: Infa: qun [ ] / [ A] [ ] / a soluzone el polnomo secono grao e([a] λ[]) permee qun eermnare gl auoalor (λ e λ ) e le cosan empo (τ e τ ) ulzzano la relazone λ, /τ, j Ω,. Analogamene, nel caso n cu s abbano ue conensaor o un nuore e un conensaore, s possono ulzzare le rappresenazon rame marce conuanze o bra, rspeamene. / / [ G] [ A] [ G] [] [G] leroecnca T rcu con memora -

14 / / [ A] [ H] [ H] [H]. SOUZION NUMIA D QUAZIONI DI STATO ON I MTODI DI UO ome s è so è possble escrere un crcuo con memora rame equazon sao. Se l crcuo è lneare (coè conene solo componen lnear e generaor npenen) le equazon sao sono lnear nella forma (), con la marce sao cosane e l emne noo che può essere penene al empo. Se l crcuo è non-lneare l equazone sao è non lneare e s può sempre rappresenare come: Il ssema () è eo Problema auchy per ssem equazon fferenzal ornare e rappresena un problema grane rleanza applcaa n u seor ell ngegnera. Infa, a ale problema sono rconucbl mol ssem namc (a esempo, olre a crcu, anche spos meccanc). x f x( ) x (, x) Supponeno che f(, x) sa connua rspeo a enramb gl argomen e con eraa (rspeo al secono argomeno) lmaa, è possble mosrare l essenza una soluzone ella () connua e con eraa connua. Per rsolere numercamene la () sono sa sluppa numeros meo. Tra pù usa sono meo ulero, n cu l'equazone fferenzale ene approssmaa rmpazzano la eraa x/ con un rapporo ncremenale calcolao ra no una grgla passo (che solo s assume cosane): n n (n,,...). In corrsponenza n, la soluzone numerca assume l alore x n che nene approssmare l alore x( n ) ella soluzone. Il moo pù semplce approssmare la eraa è rame l rapporo ncremenale ra ue no n e n : x/ (x( n ) x( n ))/. Tale approssmazone equale a calcolare x( n ) a x( n ) rame lo sluppo Taylor prmo orne cenrao n n : x( n ) x( n ) f( n, x( n )). Dao che x è noo, possamo efnre una soluzone numerca sulla base quesa relazone rcorrenza: Meoo ulero esplco: x n x n f( n, x n ) () Ulzzano la () è possble calcolare le x n per n crescen: x n è efno n moo esplco a parre alle granezze calcolae al passo n-esmo. a eraa x/ s può però approssmare anche con l rapporo ncremenale (a snsra) ra ue no n e n. Tale approssmazone lega x( n ) a x( n ) rame lo sluppo Taylor prmo orne cenrao n n : x( n ) x( n ) f( n, x( n )). Dao che x è noo, possamo efnre una soluzone numerca sulla base quesa relazone rcorrenza: Meoo ulero mplco: x n x n f( n, x n ) () Ulzzano la (), per n crescen, x n è efno n moo mplco (come soluzone una equazone) a parre alle granezze calcolae al passo n-esmo. Per confronare l comporameno e ue meo, conseramo l problema x scalare lneare a esra, la cu soluzone esaa è x() x e λ λx. Supponeno λ < la soluzone esaa ene qun a zero per crescene. x( ) x onfronamo ue meo ulero n ermn conergenza alla soluzone esaa, e conserazone ella propreà qualaa sablà elle soluzon. Per l meoo ulero esplco, s ha x n x n λx n e qun x n ( λ)x n la cu soluzone è aa a x n ( λ) n x. Per l () leroecnca T rcu con memora - 4

15 meoo ulero mplco, s ha nece x n x n λx n e qun x n x n /( λ)la cu soluzone è aa a x n x /( λ) n. Poneno /n (con fssao), e per n n enramb cas s ha conergenza al alore esao: λ Meoo ulero esplco: x( ) lm x n lm x e x n n λ n λ Meoo ulero mplco: x( ) lm x n lm n n n λ n Tuaa, affnché le soluzon numerche conergano a zero per per n, (con λ < e > fssao), è necessaro: n x e Per l meoo ulero esplco, che λ <, coè < / λ Per l meoo ulero mplco, che / λ <, e quesa relazone è sempre sosfaa. Qun, l meoo ulero mplco consera anche nel screo la sablà elle soluzon, menre per l meoo esplco queso accae solo se è suffcenemene pccolo (n caso conraro la soluzone numerca erge al crescere n). Tale propreà conserare nel problema screo la sablà el problema connuo s ce sablà assolua (o sablà numerca). Proceeno come fnora escro s screzzano reamene le equazon sao. S può uaa effeuare l anals un crcuo con memora proceeno a screzzarlo reamene. Queso è possble perché l ssema rsolene s oene ulzzano le egg Krchhoff, che sono ale n ogn sane empo, e le relazon cosue egl elemen pr memora pongono n relazone alor sanane elle arabl crcual. e caraersche fferenzal e componen con memora engono nece rasformae n relazon algebrche ra le alor sanane elle arabl crcual n san ers secono l seguene schema (segueno l meoo ulero mplco). Inuore nuore lneare ha come caraersca nel omno el empo: ( ) ( ) () Ulzzano l meoo ulero mplco, la () s screzza come segue: n (/ ) n ( n / ) (4) oe nca l passo emporale (cosane). Al empo n l crcuo equalene ell nuore s nca qun come n fgura 9.b, specfcano l alore ressenza / e la ensone mpressa n / (che s suppone noa, ao che che n è la correne al empo n ), e sosueno le arabl crcual con rspe smbol al empo n. onnuo Dscreo (empo n ) / n / () n () (a) Fgura 9 Inuore lneare: (a) connuo, (b) screo. onensaore Il conensaore lneare ha come caraersca nel omno el empo: ( ) ( ) (5) Ulzzano l meoo ulero mplco, la (5) s screzza come segue: n n (/ ) n ( n / ) (6) x (b) leroecnca T rcu con memora - 5

16 oe nca l passo emporale (cosane). Al empo n l crcuo equalene el conensaore s nca qun come n fgura.b, specfcano l alore ressenza / e la correne mpressa n / (che s suppone noa, ao che che n è la ensone al empo n ), e sosueno le arabl crcual con rspe smbol al empo n. onnuo Dscreo (empo n ) () () (a) Fgura n / n n / onensaore lneare: (a) connuo, (b) screo. (b) Qun, passano al connuo al screo le K sono formalmene enche salo l fao che n luogo elle granezze enson e corren funzon el empo compaono rspe alor scre. Anche le caraersche screzzae e generaor, sa npenen sa ploa, el rasformaore eale e el ressore sono formalmene enche. Infne nuore e conensaore possono essere screzza con un unco componene lneare che formalmene è un generaore reale. Quese osserazon permeono affermare che u meo soluzone applcabl a crcu pr memora (o n regme sazonaro) nel omno el empo possono essere applca anche a crcu screzza, salo l mpego elle arabl scree. Valgono nolre u eorem e le equalenze sulle re pre memora (sere, parallelo, rasformazon sella-rangolo, Teorem Theenn, Noron, Mllman, ec.) con le ee mofche. Quano eo mosra anche come non sa necessaro, ogn ola che s rsole un crcuo con memora, proceere alla eermnazone elle equazon sao per po screzzarle, poeno screzzare reamene l crcuo. Per llusrare come sa possble screzzare reamene un crcuo s conser l crcuo lneare llusrao n fgura.a, n regme D per <. Sosueno a ogn elemeno crcuale nel connuo l corrsponene componene o crcuo equalene screo s oene l crcuo screzzao al empo n (e fgura.b). /,n /,n Fgura.a Fgura.b a ensone,n è oenble ulzzano l Teorema Mllman:,n /,n / (7) / / / ( / ) Se a el problema sono 4 V, Ω, Ω, µf, erano la (7) a parre alla conzone nzale noa c () c, s oene l approssmazone cercaa. Per quano rguara la scela el passo emporale, è necessaro che sa suffcenemene pccolo rspeo alla scala emporale el problema (n queso caso la cosae empo che è par a τ. ms) a fgura mosra le soluzon numerche oenue per ms e. ms. a cura connua rappresena la soluzone esaa oenua negrano l equazone sao (*). S no che l accuraezza ella soluzone numerca pene alla scela el passo emporale. (*) equazone sao el crcuo è / G / (G G ) /, oe le conuanze G e G sono l nerso elle ressenze e, rspeamene. a soluzone (per > ) a parre alla conzone nzale noa c () è aa a: () G ( e /τ )/(G G ).. a cosane empo è τ /(G G ). leroecnca T rcu con memora - 6

17 a proceura escra funzona anche per l anals e crcu non-lnear. A olo esempo s conser l crcuo mosrao n fgura. nuore non-lneare presene nel crcuo ha come caraersca, con ers assoca ensone e correne, φ()/. a funzone φ (connua e lneare a ra) è mosraa nella fgura. () () () egone lneare φ Saurazone φ I (I) I φ I Saurazone φ I ( I) Fgura Fgura Ulzzano l meoo ulero mplco, la caraersca ell nuore non-lneare s screzza come segue: n φ( n )/ φ( n )/ (8) oe nca l passo emporale (cosane). a (8) al empo n rappresena qun la sere un ressore nonlneare e un generaore ensone npenene, come mosrao n fgura 4. φ( n )/ n φ( n )/ ( n ) φ()/ φ( n )/ ( n ) n n Fgura 4 Fgura 5 equazone necessara per eermnare la correne n è mmeaamene oenble ulzzano la KT applcaa all unca magla presene: φ( n )/ φ( n )/ ( n ) n. a soluzone s può eermnare per a grafca cercano l nersezone (charamene unca) ra le ue cure φ()/ e φ( n )/ ( n ), come mosrao nella fgura 5. Supponeno, a esempo, che a el problema sano () M sen(ω), M V, ω 4.6 ra/s, Ω, e ulzzano.5 ms, l anameno nel empo ella correne e ella ensone sull nuore sono quell mosra nelle fgure. S no come la fase ransora s esaursca urane l prmo peroo e qun s raggunga una soluzone regme peroca, con lo sesso peroo ella ensone mpressa (T π/ω ms). leroecnca T rcu con memora - 7