Trasformate e sistemi lineari

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1 Traformae e em lnear Traformaa d Laplace Funzone d Trafermeno Mod Rpoa Impulva Calcolo dell uca noo l ngreo (ved Marro par.. a.3,.5, C., C.3) (ved Vell-Peernella par. II. a II.4, III. a III.3) Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer-

2 Meod d calcolo baa ulla Traformaa d Laplace S poono operare delle raformazon u egnal nel domno del empo (o dello pazo) n modo da: meere n evdenza le caraerche perodche o peudoperodche del egnale (domno della frequenza); faclare alcune operazon maemache, qual l negrazone o la dervazone, rendendole puramene algebrche. Formalmene la Traformaa d Laplace F() d una funzone f() è l negrale: f() L[ f()] f() e d = = con = σ + jω ( f ( ) =, < ) *hp ecnche: f( ) e ommable: * * σ, :Re[ ] σ f( ) e dè deermnao e fno F () * σ * σ = aca d convergenza Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer-

3 Una Traformaa Fondamenale f()= R S T p e > p può eere anche compleo p> p= p< F( ) = e e d = e = e Re[ ] > Re[ p] = { p} L e = p { jω} L e p ( p) * σ p p = jω ule per raformare n() e co() Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 3

4 Traformae dervae dall eponenzale > δ () = K L { Kδ } ( ) = jω jω e e L{ n ( ω ) } = L = j Gradno, ep, funzone d Heavde: jω jω e + e L{ co ( ω ) } = L = + ω ω + ω Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 4

5 Propreà noevol L c f () + c f () = cl f () + c L f () { } { } { } LINEARITA lm f ( ) = lm F ( ) lm f ( ) = lm F ( ) + TEOREMA del VALORE FINALE (olo e l aca d convergenza d F() è mnore o uguale a zero) TEOREMA del VALORE INIZIALE F * * ( ) F( ) = CONIUGATO Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 5

6 Propreà noevol ESPONENZIALE FUNZIONE del TEMPO exp(-a)n(omega*) { a } ( ) a L e f() = e f() d = F( a) TRASLAZIONE { ( ) ( )} a L δ a f a = e F( ) a Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 6

7 z = = g() f () f () f ( τ) f ( τ) dτ Rappreenazone grafca: f () f () Convoluzone Dm: { ()} = { ()} { ()} L g L f L f G ( ) = f( τ) f( τ) dτ e d= f () f ( -τ) τ = f( τ) f( τ) e d dτ = L d funzone rardaa Il valore d g() n dpende dal paao τ τ τ τ τ τ = f ( ) F ( ) e d = F ( ) f ( ) e d = F ( ) F ( ) Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 7

8 d L f ( ) F ( ) f = ( ) d d df () Dm: negramo per par noando che ( f () e ) = e f() e d d d df () d L f ( ) = e d ( f ( ) e ) d f ( ) e d d = + = d d = f () e + F( ) = f ( ) + F( ) Dervazone d f () F( ) f ( ) = L d 3 per f ( ) = df d = d df d f L ( ) = ( ) ( ) d d d 3 3 f 3 F f = = è empre da leggere - Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 8

9 Inegrazone L f ( ) dτ = F( ) Dm: { } τ τ τ L f ( ) g( ) d = F( ) G( ) e ponamo g () = δ () { } τ δ τ τ { } ( τ) τ = ( ) L f ( ) ( ) d = F( ) L f d F Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 9

10 Rpoa mpulva Inpulo maemaco d Drac: lme d una drbuzone ad area coane unara y()= x( τ) h( τ) dτ Se ponamo l'ngreo par ad un mpulo y()= δ ( τ) h ( τ) dτ = h ( ) (rpoa npulva) Nel domno d Laplace Y() = X() H() Noamo che la raformaa d Laplace dell'npulo vale L{ δ () } = δ () e d = Qund Y() = H() e percò H() è la raformaa d Laplace della rpoa mpulva x() y() h() Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer-

11 δ k k ( ) = (upponendo empre > ) ( k )! k k k d L = L = L ( k)! d ( k)! ( k)! Qund : { δ () } Polnom L{ δ( ) } = (mpulo) L{ δ ( ) } = (gradno) L{ δ ( ) } = (rampa)... L k oppure: { k} L k! = k = L = k ( k )! k + Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer-

12 ( k) p e = Polnom per eponenzal L k ( k )! ( p) Dm: ( k) p ( k) p ( k) e e ( p) L = e d = e d ( k )! ( k )! ( k )! poo - p = ξ p ( k ) e con p< ξ e d = = k k ( k )! ξ ( p) ( p) p e con p< Eono anche pol comple mulpl, con analogo comporameno Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer-

13 Carrellno con aro vcoo e forza applcaa ngreo: fe = δ () Fe() = equazon: Mv& = f () e Dv Eempo elemenare f e f a = M Dx & &x M= D= Coeffcene d aro v()= [ ] M V () v() = F () DV () [ M + D] V () = F () e e L V() = Fe () = M+ D + lm = + Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 3

14 Eempo elemenare V () B A A + A + B = + = = + ( + ) + δ - () δ - -e - L - e - L O L v () = L NM L L () + QP = N M O L O QP + NM QP + = δ e La raformaa della omma è uguale alla omma delle raformae Abbamo rolo l eq. dfferenzale rame un eq. algebrca Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 4

15 Inverone delle L-raformae Paramo da un rapporo d polnom, n quano conderamo em a coan concenrae (n genere ), m n per la caualà a = a n n +a n- n a =a n (-p n )...(-p ) p : pol della raformaa zer del denomnaore F () N() D () = = b a n N () bn R = + D () a ( p) n R :Redu Epanone n frazon parzal: R p N () = lm ( ) e p pj D () 44 3 p n praca pol emplc N( p ) p p a ( p p )...( p p )...( p p ) ( ) n n Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 5

16 Se l k-mo polo compare r vole, lo vluppo prende quea forma: () () ( r ) k k k k k k R R R p ( p ) ( p ) con ( r j) ( j) d r N( ) Rk = lm ( p ) ( r j) k p k ( r j)! d D( ) r Pol Real Mulpl Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 6

17 Eemp pol real mulpl Eempo pco r = R d L N = lm ( pk) Rk lm ( pk ) p d D p () ( ) k k NM O L QP = k NM N D O QP f L δ = = ()a Calcolando redu, rrovano coeff. corre Una raformaa con pol nell orgne R R () ( ) a d = d = ; a f = = = f = Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 7

18 Paramer de pol real emplc Convene defnre de paramer prac per caraerzzare gl andamen Pol real Y ()= b p ( ) a f... y()= Re y&( ) = Rp p R τ R : ampezza del modo τ = Coane d empo p Se l modo è convergene [ p < ] può conderare eno per > 3τ y( 3τ ) = 5% y( ) Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 8

19 Y () = j ϕ d b + a + a (...) ω n =pulazone naurale, ζ :coeffcene d morzameno jϕ Paramer de pol comple conuga Anraformaa R= Re, R* = Re ; p= σ + jω ( j ) ( j ) j( ) j( ) y () Re jϕ σ+ ω e Re jϕ σ ω e Re σ ω + ϕ ω + ϕ = + = e e + = Re σ co( ω+ ϕ ) ( ) Termnologa ( p)( p*) = σ + ω + σ = + ζωn+ ωn ζ pol ono real ζ < dverge p, = ζω n ± ζ ω n ω n Radc p = σ + jω, p ; Redu R, R Re σ π/ω * * ζ = coψ σ ψ ω n I m ω R e Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer- 9

20 Una W() razonale* faorzza n ermn del po: h p R ( p) h nel empo R : e ( h )! Andamen v. pozone de Pol Aenzone: eono W() non razonal! e olo Combnazon Lnear d e compaono nelle evoluzon lbere dello ao e delle uce. La convergenza a dpende da p ed h I * I R R e R e [p] h= h= h=3 / convergen = non convergen Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer-

21 con G() razonale, è omma d Eponenzal Snuod morzae Polnom L G() L = L N M N () D () Polnom x eponenzal Raramene mpul δ( ) e O QP σ e a a n( ω + ϕ),,,... + a + b,,,... 3 e a ( a) (per ) Andamen elemenar. Il loro numero è par al grado del denomnaore (le nuod conano per ). La pozone de pol ul pano, deermna gl andamen 3. La convergenza a dpende da Re[p ] Auomaca ROMA TRE Sefano Panzer-