Trasformate e sistemi lineari

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1 Traformae e em lnear Traformaa d Laplace Funzone d Trafermeno Mod poa Impulva Calcolo dell uca noo l ngreo (ved Marro par.. a.3,.5, C., C.3) (ved Vell-Peernella par. II. a II.4, III. a III.3) Auomaca OMA TE Sefano Panzer-

2 Meod d calcolo baa ulla Traformaa d Laplace S poono operare delle raformazon u egnal nel domno del empo (o dello pazo) n modo da: meere n evdenza le caraerche perodche o peudoperodche del egnale (domno della frequenza); faclare alcune operazon maemache, qual l negrazone o la dervazone, rendendole puramene algebrche. Formalmene la Traformaa d Laplace F() d una funzone f() è l negrale: f() L[ f()] f() e d = = con = σ + jω ( f ( ) =, < ) * hp ecnche: f() ommable z : è deermnao e fno F() = :e[] e[ ] β. S β = aca d convergenza Auomaca OMA TE Sefano Panzer-

3 Una Traformaa Fondamenale f()= S T e p > p può eere anche compleo p> p= p< p F e e d p e ( p ) ( ) = = = e e[ ] > e[ p] p z p Le [ ]= p Le jω = ule per raformare jω n() e co() δ () = ST > L K K = L Kδ () = Gradno, ep, f. d Heavde: δ () Auomaca OMA TE Sefano Panzer- 3

4 Propreà noevol LINEAITA L[c f ()+c f ()]=c F ()+c F () a Le = z a e e d = ESPONENZIALE a SINUSOIDE L M N jω jω L L e n Ω = e P = j O Q Ω + Ω ESPONENZIALE FUNZIONE del TEMPO a ( a) z Le f() = e f() d= F( a) exp(-a)n(omega*) TASLAZIONE L ( a ) f ( a ) = e F ( ) δ a a Auomaca OMA TE Sefano Panzer- 4

5 Propreà noevol TEOEMA del VALOE FINALE TEOEMA del VALOE INIZIALE lm f ( ) = lm F( ) lm f( ) = lm F( ) + INTEGAZIONE DEIVAZIONE L f( ) dτ = F( ) d df L f ( ) = e d = negrando per par = F( ) f () d d d f F f = L ( ) ( ) ( ) d per f ( ) = 3 d 3 L f ( ) F( ) 3 = d è empre da leggere - Auomaca OMA TE Sefano Panzer- 5 df d = (e pare uo da )

6 z g() = f() f() = f( τ) f( τ) dτ appreenazone grafca: f () Convoluzone f () L g() = L f () L f () Dm: z z G () = f( τ) f () τ dτ e d= f () f ( -τ) τ z z = f ( τ) f ( τ) e d dτ = L d funzone rardaa Il valore d g() n dpende dal paao z z τ τ = f () τ F () e dτ = F () f () τ e dτ = F () F () Auomaca OMA TE Sefano Panzer- 6

7 Dmorazon z Lf () = F (); L f( τ) dτ = F () Dm: z L f ()( τ g τ) dτ = F() G() g() = = co ( per > : g() = δ ()) [ ( τ) ] ( ) [ ( )] L f = F L = δ Lf ( ) = F () f( ) Dm: z f ( τ) dτ = f( ) f( ) L f F f ( ) ( ) = () Lf ( ) = F () f( ) Auomaca OMA TE Sefano Panzer- 7

8 Propreà noevol CONVOLUZIONE NEL TEMPO L[ f ( ) g( τ) dτ ] F ( ) G( ) un prodoo! L eg e u a ( τ ).. ( τ ) ulma per l calcolo della rpoa al forzameno (eq. dfferenzale non omogenea) Eempo: L = L N M O z QP = δ () δ ( τ) dτ = dτ = z CONIUGATO F(*)=F*() *= conugao d Eono abelle d raformae e d ANTITASFOMATE :^) Auomaca OMA TE Sefano Panzer- 8

9 Carrellno con aro vcoo e forza applcaa ngreo: equazon: fe = δ () Fe() = Mv = f () e Dv Eempo elemenare f e f a = M Dx x M= D= Coeffcene d aro v()= [ ] M V () v() = F () DV () [ M + D] V () = F () e e L V() = Fe () = M+ D + lm = + Auomaca OMA TE Sefano Panzer- 9

10 Eempo elemenare V () B A A + A + B = + = = + ( + ) + δ - () δ - -e - L - e - L O L v () = L NM L L () + QP = N M O L O QP + NM QP + = δ e La raformaa della omma è uguale alla omma delle raformae Abbamo rolo l eq. dfferenzale rame un eq. algebrca Auomaca OMA TE Sefano Panzer-

11 Inverone delle L-raformae Paramo da un rapporo d polnom, n quano conderamo em a coan concenrae (n genere ), m n per la caualà a = a n n +a n- n a =a n (-p n )...(-p ) p : pol della raformaa zer del denomnaore F () N() D () = = b a n N () bn = + D () a ( p) n :edu Epanone n frazon parzal: p N () = lm ( ) e p pj D () p n praca pol emplc N( p ) p p a ( p p )...( p p )...( p p ) ( ) n n Auomaca OMA TE Sefano Panzer-

12 Se l k-mo polo compare r vole, lo vluppo prende quea forma: () () ( r ) k k k k k k p ( p ) ( p ) con ( r j) ( j) d r N( ) k = lm ( p ) ( r j) k p k ( r j)! d D( ) r Pol eal Mulpl L L M N O Q ( h) ( h) ( h ) p P e = h ( p) ( h )! p ( p) e con p< Eono anche pol comple mulpl, con analogo comporameno Auomaca OMA TE Sefano Panzer-

13 Eemp pol real mulpl Eempo pco r = d L N = lm ( pk) k lm ( pk ) p d D p () ( ) k k NM O L QP = k NM N D O QP L δ = = ()a f Una raformaa con pol nell orgne Calcolando redu, rrovano coeff. corre () ( ) d = d = ; a a f = = = f = Auomaca OMA TE Sefano Panzer- 3

14 Paramer de pol real emplc Convene defnre de paramer prac per caraerzzare gl andamen Pol real Y ()= b p ( ) a f... y()= e y ( ) = p p τ : ampezza del modo τ = Coane d empo p Se l modo è convergene [ p < ] può conderare eno per > 3τ y( 3τ ) = 5% y( ) Auomaca OMA TE Sefano Panzer- 4

15 Y () = j ϕ d Paramer de pol comple conuga b + a + a (...) jϕ adc p = σ + jω, p ; edu, Anraformaa * * = e, * = e ; p= σ + jω ( j ) ( j ) j( ) j( ) y () e jϕ σ+ ω e e jϕ σ ω e e σ ω + ϕ ω + ϕ = + = e e + = e σ co( ω+ ϕ ) ω n =pulazone naurale, ζ :coeffcene d morzameno ( ) Termnologa ( p)( p*) = σ + ω + σ = + ζωn+ ωn ζ pol ono real ζ < dverge p, = ζω n ± ζ ω n ω n e σ π/ω ζ = coψ σ ψ ω n I m ω e Auomaca OMA TE Sefano Panzer- 5

16 Una W() razonale* faorzza n ermn del po: h p ( p) h nel empo : e ( h )! Andamen v. pozone de Pol e olo Combnazon Lnear d e compaono nelle evoluzon lbere dello ao e delle uce. La convergenza a dpende da p ed h I * Aenzone: eono W() non razonal! I e e [p] h= h= h=3 / convergen = non convergen Auomaca OMA TE Sefano Panzer- 6

17 Andamen elemenar L G() L = L N M N () D () con G() razonale, è omma d Eponenzal Snuod morzae Polnom() Polnom x eponenzal aramene mpul δ( ) e O QP σ e a n( ω + ϕ),,,... e a (per ) a + a + b,,,... 3 ( a) Auomaca OMA TE Sefano Panzer- 7. Il loro numero è par al grado del denomnaore (le nuod conano per ). La pozone de pol ul pano, deermna gl andamen 3. La convergenza a dpende da e[p ]