La Stabilita. La stabilità alla Lyapunov dei sistemi Semplice Asintotica Esponenziale Locale Globale. La stabilità dei sistemi linearizzati

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1 La Stablta La stabltà alla Lyapunov de sstem Semplce Asntotca Esponenzale Locale Globale La stabltà de sstem lnearzzat Stabltà nput-output (BIBO) Rsposta mpulsva (ved Marro par..3, ved Vtell-Petternella par. III.1, ved es. n LabVew) Pol sull asse mmagnaro automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 1

2 Sstem non lnear Per un Sstema NL non s parla d stabltà del Sstema (non è un concetto globale). Il pendolo ha due punt d equlbro (PDEq) Per satellt esstono solo alcune orbte geostazonare (traettore stabl e non punt) La stabltà può dpendere (.e., n generale dpende) dall ngresso. ϑ 36 ϑ x = x u u = => Infnt punt d equlbro u <, x = è PDEq stable u >, x = è PDEq nstable automatca ROMA TRE Stefano Panzer-

3 Sstema Autonomo: Ingresso := nullo Defnzon prelmnar x f ( x) = e.g.: sn(t) Funzone d transzone dello stato: ϕ(t, t, x, u(. )) => x(t) Traettora: Inseme de valor {x(t)}, (l tempo non appare) ϑ Moto: tempo & traettora {t, x(t)} ϑ Moto perodco: x(t+nt)=x(t) T=perodo del moto Punto d Equlbro (PDEq), x e : ϕ(t, t, x e, u(. )) =x e t>t automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 3

4 Stabltà d un punto d equlbro Sstema autonomo x = f ( x), x( ) = x x e stable := ε, η: x x < η x( t) x < ε t > comunque (pccolo) s scelga ε, esste η Se noltre: lm xt ( ) x e = t stabltà asntotca d x e. Se po vale Infne, se x X s ha stabltà esponenzale d x e e e allora s parla d stabltà asntotca globale λ < < t : x x η x( t) x εe λ t > e e η x ε automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 4

5 metodo d Lyapunov - defnzon Funz. defnta postva f ( x, t): t, f (, t) =, f ( x, t) > Funz. semdefnta postva f ( x, t) Esemp 1 1 T Mv ; L ; x Q x = qjxx j j Funzone unforme wrt lm f ( x, t) =, unformemente t x Funz. radalmente llmtata lm f ( x, t) = t x automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 5

6 + R S T L d C dv Come vara l energa nel tempo? = vt () = t () 1 1 E = L + Cv de E E = x + t = v, x v = L Cv = L C R S T L d C dv = vt () Rt () = t () de v R L L C = L Cv = R < v,.8 1 automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 6

7 theo d Lyapunov (189) B(ε):= sfera xt () < ε Se V x t V enb x e (, ), contnua, è d.p. ( ε) V è s.d.n l punto x e è (almeno) localmente stable V è d.n l punto x e è localmente asntotcamente stable lm V( x) = x (radalmente llmtata) l punto x e è globalmente stable per l sstema Se non s resce a trovare V, non s può dedurre nulla automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 7

8 w.l.o.g, N= Lnee d lvello d V(x): Lk = {x: V(x)=k} Dmostrazone sono chuse (almeno vcno a xe ) perchè V(x) contnua e V(xe)= sono anndate seguendo la defnzone: ε esste k: L B( ε) L esste η: B( η) L k k Vx ( ) Vxt ( ( )) è non crescente = lo stato non esce dalla Lk x() t B( ε) t > k B( η) η Lk x e x x e B( ε ) ε qund: x x < η x() t x < ε t > e e c.v.d. automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 8

9 Stabltà d un punto d equlbro Esempo + Come vara nel tempo? v R S T L d C dv 1 1 = v E = L + Cv = L v L O O 1 = =, N M O C v QP L N M O Q P E de E dx v L X L Cv = = = = C s.d.n. stabltà semplce v, v E F v = L H L R L I + v R S T L d C dv = v R = K Cv R C = < è s.d.n. n quanto vale zero anche con v, = stabltà semplce automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 9 v, v

10 Stablta Esponenzale Hp: V( xdp ).. Vx ( ) a f a f ε h: V x hv x x B( ) dmostrazone a f a f af ht t ht t Vxt () e Vxt k lm t V x() t = lm x( t) = t Stablta esponenzale globale Hp: V( x) Radalmente llmtata (Garantsce che le curve d lvello san V x x 1 x 1 x automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 1

11 Un sstema NL ha n generale pù PDE Punt d equlbro In partcolare l pendolo ne ha nfnt 8 R S 6 x 1 = x 4 MgL g ϑ T F x = sn x sn x 1 = 1 x = H G I ML L K J ω Vx ( ) = T+ U= 5. MLx + + MgL( 1 cos x ) 1 1 T+U V ( x) = 1 ML x x + ( MgL) x snx = x x1 1 x d 1 1 = ML x x ML x x = x s.d.n.! -5 (Stablta non asntotca) -1 automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 11

12 Studo del sstema lnearzzato La stabltà asntotca dell orgne del sstema lnearzzato (tutt gl autovalor dello Jacobano sono a parte reale negatva) mplca la stabltà asntotca locale dello stato x e del sstema orgnaro. Se l sstema lnearzzato è nstable (almeno un autovalore dello Jacobano ha parte reale postva) allora, nel sstema orgnaro, lo stato x e è nstable Se lo Jacobano non ha autovalor con parte reale postva ma ha qualche autovalore con parte reale nulla (l sstema lnearzzato può essere stable ma non asntotcamente), allora nulla s può dre sulla stabltà dello stato x e del sstema orgnaro (caso crtco) automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 1

13 BIBO: Bounded Input Bounded Output detta anche ILUL: Ingresso Lmtato Uscta Lmtata La Stablta BIBO dato un sstema a rposo per l quale valga y(t)= per u(t)=, S ha stabltà BIBO se applcando un ngresso lmtato u(t) < M u, l uscta y(t) rmane lmtata y(t) < M y CNES: z g( τ ) dτ M < Coè la Rsp. Impulsva è sommable Dm: z t z t z u yt ( ) = u( τ) gt ( τ) dτ u( τ) gt ( τ) dτ M gt ( τ) dτ automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 13

14 E Qund la G(s)? Dalla defnzone z st st Gs () = gte () gt () e z Consderamo s nel sempano destro: Re[s] n modo che sa st e = σt e 1 allora Gs () gt () z (quando Re[s]>) Qund g(t) non può essere sommable se G(s) ha pol nel sempano destro (sarebbe possble porre s=polo perche G(s) La stabltà rchede che G(s) abba solo pol p.r.n. (ved Marro pag.31 per la suffcenza) automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 14

15 E se c sono pol : Re[p]=? Consderamo un caso semplcssmo α Osservamo: 1 1 s s αt 1 s ν Transtoro dvergente Σ nstable CI=α ν =1 U ntegratore 1 Y U: lmtato e a valor medo nullo Y lmtato s α U contene Y contene αt s U = α Qund esste un solo ngresso (l gradno) per cu l uscta dverge = Σ al lmte d stablta Osservazone: Sn(ωt) ω Rsonanza!!!! s + ω automatca ROMA TRE Stefano Panzer- 15