Appunti: Scomposizione in fratti semplici ed antitrasformazione

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1 Appunt: Scomposzone n fratt semplc ed anttrasformazone Gulo Cazzol v0. (AA ) 1 Fratt semplc 1.1 Funzone ntera Funzone razonale fratta strettamente propra Pol semplc compless conugat Forma a pol separat Forma con polo non fattoralzzato Forma con polo a costant d tempo Note sulla rsposta Calcolo de coeffcent 9.1 Metodo d copertura Polo semplce Polo multplo Metodo della moltplcazone ncrocata

2 Fratt semplc e anttrasformazone FratSem t- 1 Fratt semplc Consderamo una funzone razonale reale fratta F (s) N m(s) D n (s) costruta come rapporto tra due funzon polnomal n s a coeffcent real. Il polnomo al numeratore sa d grado m, l polnomo al denomnatore sa d grado n. Rcordando che per data una coppa d polnom A m (s) e B n (s), a coeffcent real, esstono unc altr due polnom Q l (s) (polnomo quozente) e R k (s) (polnomo resto) tal che n cu A m (s) B n (s) Q l (s) + R k (s) l grado del polnomo quozente (Q) vale l m n, l grado del polnomo resto (R) deve essere k < n. Inoltre se: m < n non s applca la dvsone polnomale, n m, polnom Q e R saranno al pù delle costant, R 0, l polnomo A è dvsble per B. Se consderamo una funzone razonale reale fratta mpropra o strettamente propra a coeffcent real, potremo scomporla nella somma del polnomo quozente e d una razonale fratta strettamente propra: F (s) N m (s) D n (s) Q l(s) + N m(s) D n (s) Nel caso d funzone propra, Q sarà al pù una costante. L antrtrasformata della funzone razonale varrà: L -1 F (s) L -1 Q l (s) + N m(s) D n (s) per le propretà d lneartà dell operatore trasformata sarà: L -1 F (s) L -1 Q l (s) + L -1 Nm (s) D n (s) 1.1 Funzone ntera L anttrasformazone d Q l (s) non presenta dffcoltà. Osservando che: ancora una volta per la propretà d lneartà: Q l (s) q l s l + q l 1 s l q 1 s 1 + q 0 L -1 Q l (s) L -1 l 0 q s Il termne d ordne zero s anttrasforma nel delta d Drchelet: L -1 q 0 q 0 δ l q s 0 l L -1 q s 0

3 Fratt semplc e anttrasformazone FratSem t-3 I termn n potenza d s, rcordando la defnzone d trasformazone dell operatore dervata nel tempo, saranno dervate del delta d Drchelet: L -1 q s d q dt δ Pertanto: l L -1 d k Q l (s) q k dt k δ S not che 0 L anttrasformazone del polnomo quozente non è rappresentable grafcamente a meno che non sa l quozente d una funzone razonale propra. 1. Funzone razonale fratta strettamente propra Consderamo una funzone razonale strettamente propra, monca per comodtà: F (s) N m(s) D n (s) sm + b m 1 s m b 0 s n + C n 1 s n C 0 m < n Supposte le molteplctà de pol (r ) e degl zer (q ) anche maggor d uno, la funzone può essere espressa n forma fattoralzzata: F (s) (s z 1) q1 (s z k ) q k k (s p 1 ) r1 (s p l ) r 1 (s z ) q l l 1 (s p ) r con k q m 1 l r n La stessa funzone può essere anche scrtta medante la scomposzone n fratt semplc: l rj C (j) F (s) (s p j ) j1 1 L anttrasformazone d F (s) scrtta nella forma d fratt semplc non presenta dffcoltà, ancora una volta per la propretà d lneartà: r l j L -1 F (s) L -1 C (j) r l j (s p j ) L -1 C (j) (s p j ) j1 1 1 j1 1 Rcordando che: L -1 C (j) (s p j ) C(j) ( 1)! t 1 e pjt L anttrasformata varrà: I coeffcent C (j) complesso. L -1 F (s) l r j j1 1 C (j) ( 1)! t 1 e pjt possono essere numer real o compless a seconda che l polo corrspondente sa reale o NOTA: Il comportamento nel tempo non dpende esplctamente dal valore degl zer, la dpendenza esste nascosta ne coeffcent C. Infatt l numeratore della funzone d razonale fratta può essere scrtto

4 Fratt semplc e anttrasformazone FratSem t-4 alternatvamente: Analogamente nel caso d pol multpl N(s) m (s z ) Pol semplc compless conugat n C 1 j1 j (s p j ) Per un polo complesso (p j C) l coeffcente corrspondente sarà un numero complesso (C (j) C). È noto che per le funzon polnomal n presenza d una radce complessa essterà una seconda radce par al complesso conugato (p σ + j p j p σ j ). Nel caso d funzone razonale con pol compless conugat, rsultano compless conugat pure rspettv coeffcent della espansone n fratt semplc (C C j ). La generca funzone razonale fratta strettamente propra: F (s) avrà rappresentazone n fratt semplc: F (s) N(s) s (σ + j) s (σ j) u + jv s (σ + j) + u jv s (σ j) + Pertanto è suffcente ottenere u e v per ottenere la rappresentazone n fratt semplc del polo complesso conugato. Forma a pol separat Per semplctà consderamo una funzone razonale fratta l cu denomnatore present esclusvamente un coppa d pol compless conugat, scrtta n forma d fratt semplc: F (s) u + jv s (σ + j) + u jv s (σ j) L anttrasformata s ottene come sempre applcando la propretà d lneartà: L -1 F (s) L -1 u + jv + L -1 u jv s (σ + j) s (σ j) usando l antrtrasformata del polo semplce: f(t) (u + jv) e (σ+j)t + (u jv) e (σ j)t Nello spazo de temp s prefersce non avere funzon con coeffcent compless per motv d rappresentazone e leggbltà. I coeffcent de fratt semplc possono essere rscrtt nella forma d Gauss: C u + jv M e jϕ C u jv M e jϕ rcordando le relazon: M u + v cos ϕ u M, sn ϕ v M ϕ arctan ( v u ) Sosttuendo: F (s) M e jϕ s (σ + j) + M e jϕ s (σ j)

5 Fratt semplc e anttrasformazone FratSem t-5 anttrasformando, osservando che M e ϕ sono comunque costant, usando la propretà d lneartà: f(t) L -1 F (s) M e jϕ e (σ+j)t +M e jϕ e (σ j)t M e σt e j(t+ϕ) + e j(t+ϕ) rcordando le formule d Eulero: f(t) M e σt cos (t + ϕ) Allo stesso rsultato s gunge per forza bruta : f(t) L -1 F (s) (u + jv) e (σ+j)t +(u jv) e (σ j)t u e (σ+j)t +u e (σ j)t +jv e (σ+j)t jv e (σ j)t u e σt e jt + e jt + jv e σt e jt e jt u e σt () ejt + e jt + jv e σt (j) ejt e jt j u e σt cos (t) v e σt sn (t) e σt u cos (t) v sn (t) usando le formule d Eulero. Rcordando le relazon tra rappresentazone cartesana e polare: u M cos ϕ v M sn ϕ e le formule d addzone e sottrazone, s ottene: f(t) M e σt cos ϕ cos (t) sn ϕ sn (t) M e σt cos (t + ϕ) rottenendo l espressone dedotta per va della funzone d Gauss. Forma con polo non fattoralzzato La forma n fratt semplc d una coppa d pol compless conugat: F (s) u + jv s (σ + j) + u jv s (σ j) può essere scrtta senza rcorrere a numer compless, eseguendo la somma d frazon, raccoglendo e semplfcando: u + jv F (s) s (σ + j) + u jv s (σ j) (u + jv) s (σ j) + (u jv) s (σ + j) (s σ) (j) us uσ v us (uσ + v) s σs + (σ + ) (s σ) + Bs + C (s σ) + avendo defnto B u e C (uσ + v) Per calcolare l anttrasformata, s rcordano: L -1 b (s a) + b e at sn(bt)

6 Fratt semplc e anttrasformazone FratSem t-6 Attraverso una sere d manpolazon: Usando la solta propretà d lneartà s ha: L -1 s a (s a) + b e at cos(bt) s F (s) B (s σ) + + C 1 (s σ) + B s σ + σ (s σ) + + C s σ B (s σ) + + Bσ + C (s σ) + s σ B (s σ) + + C + Bσ (s σ) + (s σ) + + (s σ) + f(t) e σt B cos (t) + C + Bσ sn (t) Sosttuendo le defnzon d B e C: f(t) e σt uσ v + uσ u cos (t) + sn (t) e σt u cos (t) v sn (t) Rcordando le relazon tra rappresentazone cartesana e polare: u M cos ϕ v M sn ϕ e le formule d addzone e sottrazone, s ottene: Forma con polo a costant d tempo f(t) e σt M cos ϕ cos (t) M sn ϕ sn (t) M e σt cos (t + ϕ) La forma con l denomnatore del secondo ordne: può essere scrtta anche nella forma: F (s) Bs + C (s σ) + Bs + C s σs + σ + Bs + C F (s) s + ξ n s + n I termn ξ e n vengono, come noto chamat, rspettvamente, coeffcente d smorzamento e pulsazone naturale. Affnché le radc sano complesse lo smorzamento deve essere ξ < 1. Dal confronto tra le due forme s ha: sosttuendo la prma nella seconda e rsolvendo : σ ξ n n σ + n (ξ n ) + n 1 ξ la parte mmagnara del polo complesso è par alla pulsazone smorzata s

7 Fratt semplc e anttrasformazone FratSem t-7 Rcordando la formulazone dell anttrasformata: f(t) e σt B cos (t) + C + Bσ sn (t) Sosttuendo le uguaglanze per σ e s, s ha: f(t) e ξnt B cos ( s t) + C Bξ n sn ( s t) s Rcordando le relazon tra B e C e parte reale (u) e mmagnara (v) del coeffcente del polo complesso: B u u B qund C (uσ + v) ( B σ + v) Bσ v rsolvendo per v: v Bσ C Bξ n C s Rcordando, noltre, le relazon tra rappresentazone cartesana e polare: M ( v u + v ϕ arctan u) L espressone dell anttrasformata: può essere ora rscrtta come: f(t) M e σt cos (t + ϕ) f(t) M e ξnt cos ( s t + ϕ) Dove: s n 1 ξ ( ) Bξn C ϕ arctan B s (B ) ( Bξn C M + s ) 1.3 Note sulla rsposta Il comportamento temporale dell anttrasformata (y(t)) d una funzone razonale fratta (Y (s)) dpende dalla poszone de pol n rapporto all asse mmagnaro. I pol anttrasformat hanno termn (mod) d forma Kt h 1 Kt h 1 e σt Kt h 1 e σt sn( t + ϕ) n cu σ e sono le part real ed mmagnara de pol consderat e h è la loro molteplctà.

8 Fratt semplc e anttrasformazone FratSem t-8 Qund per t : 1. Nel caso d polo semplce la y(t) tende a zero se la parte reale del polo è negatva, resta lmta se è nulla e dverge se è postva;. Nel caso d polo multplo la y(t) tende a zero se la parte reale del polo è negatva, dverge se è nulla o postva; 3. l anttrasformata d una funzone razonale fratta rmane lmtata se e solo se la funzone da anttrasformare non presenta alcun polo a parte reale postva e gl eventual pol a parte reale nulla sono semplc Mod della rsposta per una Y (s) caratterzzata da polo d molteplctà uno (sngolo o complesso conugato): Mod della rsposta per una Y (s) caratterzzata da polo d molteplctà uno (sngolo o complesso conugato):

9 Fratt semplc e anttrasformazone FratSem t-9 Calcolo de coeffcent Per la determnazone de coeffcent s può rcorrere a dvers metod, nel seguto s presenta l metodo per copertura e l metodo della moltplcazone ncrocata..1 Metodo d copertura.1.1 Polo semplce Consdero una funzone razonale fratta avente n pol d molteplctà uno (pol semplc): La rappresentazone n fratt semplc s semplfca n: p p j {, j N/, j n, j} F (s) C 1 s p 1 + C s p + + C n s p n Per calcolare l coeffcente C, moltplco entramb membr per s p : qund: F (s)(s p ) C 1 s p 1 (s p ) + + F (s)(s p ) C + C s p (s p ) + + j1 j C j s p j (s p ) C n s p n (s p ) Sosttuendo l valore del polo (s p ) l equazone d destra s rduce al solo coeffcente desderato l cu valore è ottenuto dalla espressone alla snstra Il coeffcente -esmo è l valore della funzone scrtta n forma fattorale depurata del termne contenente l polo, calcolata nel polo medesmo C F (s)(s p ) sp Not coeffcent, l espressone della anttrasformata vale: n L -1 F (s) L -1 C C e pt s p n Polo multplo Per semplctà s consdera una funzone razonale composta da un sngolo polo d molteplctà. F (s) N(s) (s p) C 1 s p + C (s p) Come è evdente l metodo d copertura funzona correttamente per l fratto d ordne ; F (s)(s p) C1 sp s p (s p) + C (s p) (s p) C 1 (s p) + C sp C sp

10 Fratt semplc e anttrasformazone FratSem t-10 ma non per quello d ordne 1: F (s)(s p) sp C1 s p (s p) + C (s p) (s p) C C 1 + C (s p) sp C 1 + C 0 C 1 + Per poter usare l metodo d copertura per l coeffcente d ordne 1 è necessaro elmnare, prma della sosttuzone, la dpendenza dall ordne. Se s consdera la copertura per l ordne, e s dfferenzano entramb termn prma della sosttuzone, l termne d snstra varrà: d F (s)(s p)... ds sp quello d destra:... d C1 ds s p (s p) + C p) (s p) sp (s d ds C 1(s p) + C sp d(s p) C 1 + d C ds ds C 1 sp sp qund C 1 d F (s)(s p) ds sp In senso generale, consderato un polo (p j ) multplo d molteplctà r: Gl r coeffcent C (j) F (s) N(s) r (s p j ) r C (j) (s p j ) 1 del polo multplo s calcolano con: C (j) r k 1 k! d k ds k F (s)(s p j) r k 0 r 1 spj Not coeffcent, l anttrasformata varrà: L -1 F (s) L -1 r 1 C (j) (s p j ) r 1 C (j) ( 1)! t 1 e pjt S può osservare che l metodo rmane valdo anche se l polo è un numero complesso, n questo caso l coeffcente C rsulterà a sua volta un numero complesso.

11 Fratt semplc e anttrasformazone FratSem t-11. Metodo della moltplcazone ncrocata Consderamo una funzone razonale strettamente propra, monca per comodtà, assumamo che pol e gl zer sano sngol: m 1 F (s) (s z m ) n 1 (s p ) j0 b js j n j0 a js N(s) j D(s) Rscrvendo la funzone n fratt semplc: N(s) D(s) n 1 C s p moltplcando entramb termn per l polnomo denomnatore D(s) N(s) D(s) D(s) n rsolvendo prodott e semplfcando s ottene: N(s) 1 C n P 1 (s) 1 n C 1 j1 j P j (s) C P (s) P (s) 1 C P (s) Il numeratore è un polnomo d ordne m n 1, l termne d destra è un polnomo d ordne n 1: n C 1 j1 j n cu coeffcent c j sono combnazon lnear de C. Qund: c j n 1 P j (s) c j s j j0 k,j C j 0... n 1 1 m n 1 b s c j s j 0 Affnché due polnom sano ugual devono essere ugual coeffcent de termn d par potenza. L uguaglanza tra coeffcent d par potenza s traduce n un sstema d n equazon n n ncognte. j0 Pertanto coeffcent C s ottengono rsolvendo l sstema: n j1 k,jc j 0 se n 1 n m. n j1 k,jc j b se m 0 Il metodo della moltplcazone ncrocata rsulta d pù semplce utlzzo nel caso d pol multpl rspetto al metodo d copertura. Ovvamente è possble utlzzare una stratega msta n cu parte de coeffcent s ottengono per copertura e parte medante l metodo d moltplcazone ncrocata, semplfcando l sstema da rsolvere. Indcando coeffcent b e C n notazone vettorale: b T 0 n n m b m... b 0 C T C n... C 1

12 Fratt semplc e anttrasformazone FratSem t-1 e la matrce de coeffcent K: Il problema s può scrvere n notazone matrcale k 0,1 k 0,n K..... k n 1,1 k n 1,n K C b La matrce K è quadrata, nvertble, qund coeffcent C s ottengono rsolvendo: C K 1 b