LA TRASFORMATA DI LAPLACE

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1 LA RASFORMAA DI LAPLACE Per decrivere l evoluzione di un itema in regime tranitorio, oia durante il paaggio delle ucite da un regime tazionario ad un altro, è neceario ricorrere ad un modello più generale ripetto al modello tatico, detto modello matematico dinamico. ale modello è cotituito da una o più equazioni differenziali che legano non olo le variabili incognite di ucita (effetti) con quelle note di ingreo (caue), ma anche le loro derivate ripetto al tempo. Ad eempio un itema SISO lineare tempoinvariante con ingreo x e ucita y può eere decritto nella forma: o, con notazione più compatta n n d y(t) d y(t) dy(t) an + a n n a n + ay(t) = dt dt dt m m d x(t) d x(t) dx(t) = bm + b m m b m + bx(t) dt dt dt n i m i ady(t) i = bdx(t) i. i= i= È quindi indipenabile conocere le proprietà ed i procedimenti di oluzione delle equazioni differenziali (lineari a coefficienti cotanti) al fine di determinare l ucita y(t) di un itema dinamico in ripota ad un dato egnale di ingreo x(t). Oltre ai metodi claici derivati dall'analii matematica, per riolvere una equazione differenziale lineare a coefficienti cotanti, quale quella decritta precedentemente, i può utilizzare l operatore di traformazione econdo Laplace. Si tratta di un procedimento che preenta numeroi vantaggi ripetto alle tecniche claiche dell analii. In particolare, eo traforma equazioni integro-differenziali in equazioni algebriche, di più emplice rioluzione. La traformata di Laplace è una traformazione funzionale. ale traformazione tabilice una corripondenza biunivoca tra funzioni oggetto (funzioni del tempo) e funzioni immagine: f(t): [,+ [ F(): Copyright 2 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del

2 ì da aociare a funzioni del tempo f(t), in generale a valori complei, funzioni complee F() della variabile complea. In tal modo ad un problema oggetto definito nel dominio del tempo, peo di difficile oluzione, viene aociato un problema immagine, definito nel dominio della variabile complea, più emplice da riolvere. Dalla oluzione immagine i può quindi ricavare la oluzione oggetto con l'operazione di antitraformazione o traformazione invera. PROBLEMA OGGEO PROBLEMA IMMAGINE traformazione funzionale L SOLUZIONE DEL PROBLEMA OGGEO SOLUZIONE DEL PROBLEMA IMMAGINE traformazione invera L - Si conideri ora la generica funzione f(t): definita per t [,+ [ generalmente continua in [,+ [ aolutamente integrabile in ogni intervallo [,]: f(t) dt <+ > Sia inoltre = σ + jω una variabile complea e i conideri il eguente integrale di Laplace: Copyright 2 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 2

3 + t t = + e f (t)dt lim e f (t)dt Queto integrale può convergere o divergere. Poono verificari i eguenti cai: a. l integrale converge b. l integrale converge A, con A c. l integrale non converge in alcun punto Nei primi due cai poiamo definire una nuova funzione che A è definita come: F: A + t F() = e f (t)dt La funzione F i dice traformata di Laplace della funzione f(t). ale traformata i indica anche con: F() = L{f(t)} CONDIZIONI SUFFICIENI PER L'ESISENZA DELLA RASFORMAA DI LAPLACE Le condizioni ufficienti per l'eitenza della traformata di Laplace F() ono elencate di eguito e ono oddifatte da quai tutte le funzioni f(t) che vengono analizzate nella pratica nei controlli automatici. I. Funzione cauale : qualiai per t<+ f(t) = per t< Copyright 2 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 3

4 ale condizione è necearia per la biunivocità della traformazione, cioè perché i poa ricavare f(t) con l'operazione invera: f(t) = L - {F()} Ea può eere facilmente ottenuta con un'opportuna celta dell'origine dell'ae dei tempi, oia effettuando eventualmente una tralazione dell'ae verticale. II. Funzione continua a tratti: [,] f(t) ha un numero finito di dicontinuità III. Funzione limitata al finito: M R+ tale che t R+: f(t) <M con t t IV. Funzione di ordine eponenziale all'infinito: M r+ σ R t R + tale che f(t) < M e-σt con t t e t finito EOREMA DEL DOMINIO DI CONVERGENZA Si è vito che l integrale di Laplace ha un dominio di convergenza A, in cui eo converge e in cui la traformata di Laplace è quindi definita. Si può dimotrare che la traformata di Laplace F() eite per tutti i valori di tali che: Re{}>σc, σc Α ovvero il dominio di convergenza A è dato da un emipiano che coincide con la parte del piano compleo pota alla detra della retta verticale individuata da σc, detta acia di convergenza. Evidentemente nel cao particolare σc=- i ha A e la traformata di Laplace F() è definita in tutto il piano compleo (cao a di pagina 3), Copyright 2 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 4

5 mentre per σc=+ i ha A e la traformata di Laplace F() non è definita (cao c di pagina 3). Nel eguito ignoriamo il problema dell individuazione dell acia di convergenza degli integrali di Laplace coniderati, dando per contato che ei vengono analizzati empre all interno del ripettivo dominio di definizione. SEGNALI CANONICI ipicamente nei controlli automatici per tetare un itema dinamico i utilizzano dei egnali detti canonici o di aggio, utilizzati come funzioni elementari in combinazione delle quali viene compoto il generico ingreo. Infatti, aumendo che il itema ia lineare, il principio di ovrappoizione degli effetti permette di tudiare eparatamente l effetto di tali egnali. Inoltre l ipotei di linearità aicura che l ucita del itema i componga unicamente dei modi elementari e dei modi dell ingreo, come i vedrà nell analii di tabilità dei itemi lineari tazionari, pertanto le caratteritiche dinamiche dell ucita di un itema ono analoghe in corripondenza di diveri ingrei, a meno dei modi introdotti da queti ultimi. I egnali canonici vengono elencati di eguito. ) Il più comune egnale canonico è il gradino o calino unitario, che modella la bruca variazione di un egnale, dovuta ad eempio alla chiuura di un interruttore o all accenione di un motore elettrico. Eo è dunque un egnale dicontinuo. ( t ) = e e t < t Copyright 2 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 5

6 2) Un ulteriore egnale canonico piuttoto comune è la funzione rampa unitaria, che modella l aumento cotante di un egnale. Un eempio tipico i ha negli altoforni per la lavorazione dei metalli, in cui la temperatura aumenta in modo imile all andamento di una rampa. r ( t ) = t e e t < t 3) Un altro egnale di aggio è la funzione rampa parabolica unitaria, che modella l aumento continuo di un egnale. p ( t ) = 2 t 2 e e t < t 4) Un ulteriore egnale di aggio è la funzione inuoidale, che modella l ocillazione continua di un egnale ed è comunemente uata per tetare la ripota di reti elettriche e itemi di controllo audio e video. x ( t e ) = inωt t < =inωt (t). e t 5) Di analogo uo è la funzione coinuoidale. x ( t e ) = coωt t < =coωt (t). e t Copyright 2 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 6

7 6) Importante è poi la funzione impulo di ampiezza finita p (t), data dalla combinazione di due gradini, che ottende un area unitaria. e t< ;t> p (t) = e t / p (t) Si oerva che qualiai ia la durata della funzione impulo di ampiezza finita ea ha empre area unitaria, oia vale la relazione: + p (t)dt =. 7) Il egnale impulo di Dirac è un egnale ideale che approima un impulo di area unitaria e i etingue in un tempo infiniteimo. Eo modella fenomeni itantanei come fulmini o urti improvvii. δ( t ) = lim p ( t ) Valgono le eguenti proprietà, alcune delle quali ono intuitive: +. δ( t )dt = + 2. f ( t ) δ( t )dt = f ( ) d( t ) δ ( t ) = ; 3. ( t ) = t δ( τ ) dτ dt dr( t ) ( t ) = ; 4. r( t ) = t ( τ ) dτ dt Copyright 2 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 7

8 5. 6. dp( t ) r ( t ) = ; 5. p( t ) = t r( τ ) dτ dt β f(a) e a [ α, β] f(t) δ(t - a) dt = e a [ α, β] α In particolare, oervando la proprietà 3, è evidente che in ea l operatore di derivata indica la derivata generalizzata, poiché l impulo di Dirac è dicontinuo tra - e + e in eo aume valore infinito. Quindi l impulo di Dirac è in realtà una ditribuzione, non una funzione vera e propria. RASFORMAE NOEVOLI Riportiamo di eguito le traformate di funzioni notevoli. Ee i poono ricavare applicando la definizione di integrale di Laplace, come è indicato nel cao del gradino unitario. a) raformata della funzione gradino unitario f(t) = (t) = per t per t < F() = Infatti dalla definizione di traformata i ha: + -t F() = () = (t) e dt= lim e dt= + t - - ( ) = lim - e = lim - e = lim e t e poiché Copyright 2 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 8

9 riulta: lim + e - = e Re{} > F() = con σc = b) raformata dell impulo di Dirac f(t) = δ(t) F ( ) = Infatti dalla definizione di traformata e applicando la proprietà 2 di pagina 6 i ha: + -t + -t t F() = () = δ(t) e dt= δ (t) e dt= e = = c) raformata della funzione rampa unitaria f(t) = r(t) = t (t) F() = 2 d) raformata della funzione rampa parabolica f(t) = p(t) = /2 t2 (t) F() = 3 e) raformata della funzione eponenziale (a ) f(t) = e -at (t) F ( ) = + a Copyright 2 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 9

10 Infatti dalla definizione di traformata i ha: e poiché riulta: + at -t -(+a)t ( + a)t F() = e (t) e dt= lim e dt = lim - e = +a + + -(+a) ( ) = lim - e = lim e + +a +a +a + + -(+a) -(+a) lim e = e Re{} > -Re{a} F ( ) = con σc = -Re{a} + a f) raformata delle funzioni inuoidali ω f(t) = [en (ωt)] (t) F() = 2 + ω 2 f(t) = [co (ωt)] (t) F() = 2 + ω 2 Per la traformazione i fruttano le formule di Eulero, rappreentando le funzioni inuoidali come omme di eponenziali complei. Infatti per le formule di Eulero i ha: inω t = e jωt e 2 j jωt, coωt = e jωt + e 2 jωt quindi Copyright 2 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del

11 L{in(ωt)}= L{ j t e ω }- L{ jω t e }= = 2 j 2 j 2 j jω 2 j + jω + jω + jω 2 jω ω = = =. 2 j ω j + ω + ω Analogamente i ha: L{co(ωt)}= L{ j t e ω }+ L{ jωt e }= + = jω 2 + jω + jω + jω 2 = = = ω + ω + ω PROPRIEÀ E REGOLE DI RASFORMAZIONE a) Vale la eguente relazione: F(*) = F*() dove il imbolo * indica l'operazione di coniugazione di numeri complei: i ricordi che F() è una funzione a valori complei. b) Proprietà di linearità La combinazione lineare tramite i coefficienti complei a e b di due funzioni f(t) ed f2(t), aventi traformate F() ed F2(), ha come traformata la tea combinazione lineare delle funzioni F() ed F2(): f(t) = a f(t) + b f2(t) F() = a F() + b F2() Infatti l integrale è un operatore lineare. Copyright 2 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del

12 c) eorema della tralazione nel tempo Data una funzione f(t) con traformata F(), la funzione f(t) ritardata nel tempo di τ econdi ha la eguente traformata: g(t) = f(t-τ) G() = e-τ F() quindi l operatore e -τ modella un ritardo puro nel dominio della frequenza complea. d) eorema della tralazione complea Data una funzione f(t) con traformata F() e coniderato a, i ha: g(t) = e-at f(t) G() = F(+a) Si noti che la traformata notevole della funzione eponenziale vita nel paragrafo precedente è un cao particolare di queto teorema, quando i conidera f(t)=(t). Altri cai particolari ono i eguenti: g(t) = (e-at) en(ωt) G() = ( ) a + ω g(t) = (e-at) co(ωt) ( + a) G() = 2 2 ( + a) + ω e) eorema del cambiamento di cala Data una funzione f(t) con traformata F(), la funzione da ea ottenuta cambiando la cala dei tempi di una quantità a ha la eguente traformata: g(t) = f(t/a) G() = a F(a ) ω Copyright 2 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 2

13 f) eorema della moltiplicazione per tn Cai particolari: g(t) = t f(t) G( ) = g(t) = tn f(t) G( ) = ( ) n d df( ) d ( n ) [ F( )] n d I) raformata della potenza: g(t) = tn (t) n! G ( ) = n+ Per eempio: rampa g(t) = t (t) = r(t) parabola g(t) = t2 (t) = 2 p(t) G ( ) = G ( ) = II) g(t) = tn (e-at) G ( n! ) = ( + a ) n+ g) eorema della traformata della derivata Sia f(t) una funzione definita e derivabile per t ; e eite la traformata F() di f(t), allora eite la traformata della ua derivata prima, che vale: L {f () (t)} = F() - f() Generalizzando per le derivate ucceive, con un procedimento di iterazione i ottiene: Copyright 2 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 3

14 L {f (2) (t)} = 2 F() - f() - f () () L {f (3) (t)} = 3 F() - 2 f() - f () () - f (2) () L {f (n) (t)} = n F() - n- f() - n-2 f () () f (n-2) () - f (n-) () Per eempio: δ(t) = d( t ) dt L {δ(t)} = =. Si nota che la condizione iniziale i calcola empre come f( - ), anche e la f(t) è dicontinua in, come nel cao del gradino. Infatti le condizioni iniziali ono coniderate empre prima dell applicazione dell ingreo. h) eorema della traformata dell'integrale Se f(t) ha traformata F(), allora vale la regola: i(t) = t f(τ) dτ I() = F() Per eempio: r(t) = ( t τ)dτ L {r(t)} = p(t) = r( t τ)dτ L {p(t)} = = ; 2 =. 2 3 Copyright 2 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 4

15 i) eorema della funzione periodica Sia f(t) una funzione periodica di periodo a valori in. Si conideri la funzione f (t), ottenuta retringendo il dominio di definizione di f(t) all'intervallo [,]: f (t): [,] Pertanto vale la eguente epreione: f(t) = k= f (t k) = f (t) + f (t )+ f (t 2)+ Si ipotizzi che f (t) ia traformabile con traformata F (). Allora i ha: 2 f(t) F( ) = F ( ) ( + e + e +...) = + n F () F () ( e ) = e n= dove i è applicata la nota regola delle erie econdo cui + n ( x ) =. n= x l) Prodotto di convoluzione Date due funzioni f (t) ed f 2 (t), il prodotto di convoluzione tra loro è definito come egue, dove il imbolo indica il prodotto di convoluzione: f ( t ) = f ( t ) f 2 ( t ) = + f ( τ ) f 2 ( t τ ) dτ Se f(t) ed f2(t) hanno traformate F() ed F2(), vale la eguente regola: f(t) F() = F () F 2 () Copyright 2 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 5

16 IMPULSI DI ORDINE SUPERIORE Analogamente all impulo di Dirac i poono definire impuli di ordine uperiore, dove δ(t) indica l impulo di ordine uno. In generale l'impulo di ordine n-eimo vale: n n n d δn-(t) d δ(t) d δ(t) d (t) δ n (t) = = = = dt n n n dt dt dt ed ha traformata (che i ottiene facilmente applicando la proprietà di traformazione della derivata di una funzione riportata a pagina 2): L {δn(t)} = n() = n- Grazie agli impuli è quindi poibile antitraformare i polinomi in. EOREMI DEL VALORE FINALE E DEL VALORE INIZIALE I. eorema del valore finale Se f(t) è traformabile econdo Laplace con traformata F() ed è derivabile, e e eite il limite per t + di f(t), allora vale la eguente relazione: lim f (t) = lim F(). t + II. eorema del valore iniziale Nell'ipotei che eitano i eguenti limiti: lim t f ( t ) lim F( ) allora vale la eguente relazione: lim t f(t) = lim F() Copyright 2 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 6

17 ESEMPI Calcolare la traformata di Laplace del eguente egnale: La funzione f(t) è periodica di periodo =4. Quindi F ( ) F( ) = e = F4( ) 4 e dove f 4 (t): [,] R è la funzione eguente: f 4 (t)=(t)-2 (t-)+(t-4) f 4 (t) con 4 4 2e + e F 4 ()= 2 e + e = da cui 4 F ( ) e e F()= = 4 4 e ( e ) Copyright 2 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 7

18 Calcolare la traformata di Laplace del eguente egnale a dente di ega: f(t) f(t) t t La funzione f(t) è periodica di periodo =. Quindi F ( ) F( ) = e F ( ) = e dove f (t): [,] R è la funzione eguente: f (t)=r(t)-r(t-)-(t-) con F ()= 2 e 2 e e e = 2 da cui F ) e e F()= ( = 2 e ( e ) Copyright 2 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 8

19 Calcolare la traformata di Laplace del eguente egnale ottenuto da un raddrizzatore a ingola emionda: f(t) f(t) /2 t /2 t La funzione f(t) è periodica di periodo. Quindi F ( ) F( ) = e dove f (t): [,] R è la funzione eguente: e f (t)=inωt (t)+inω (t-/2) (t-/2), con ω= 2π ω ω F ()= e 2 ω + = ( + e 2 ) ω + ω + ω da cui F F()= ( ) ω + e 2 = 2 2 e + ω e Copyright 2 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 9

20 Calcolare la traformata di Laplace del eguente egnale ottenuto da un raddrizzatore a doppia emionda: f(t) f(t) t t La funzione f(t) è periodica di periodo. Quindi F ( ) F( ) = e dove f (t): [,] R è la funzione eguente: e f (t)=inω t (t)+inω (t-) (t-), con 2π ω' = 2 π = ω' ω' ω' F ()= + e = ( + e ) ω' + ω' + ω' da cui F F()= ( ) ω' + e = 2 2 e + ω' e Copyright 2 Mariagrazia Dotoli. L autore garantice il permeo per la riproduzione e la ditribuzione del 2