La trasformata di Laplace

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1 CAPITOLO 5 La traformata di Laplace 5. Definizioni e traformate elementari Definizione 5. Sia f : I C, definita u R + I R. Diciamo che f è traformabile econdo Laplace e eite un C tale che f(x)e x L (R + ). In tal cao chiamiamo integrale di Laplace di f l integrale f(x)e x dx. Si vede ubito che e l integrale converge per un certo C converge per tutti gli C tali che Re > Re, poiché e x = e ( Re )x. Definizione 5.2 L inieme degli C per cui l integrale converge è dunque un emipiano detro di C. È quindi poibile definire una quantità σ[f] = inf{ Re, C tali che l integrale di Laplace converge }. σ[f] prende il nome di acia di convergenza di f. Definizione 5.3 Se f : I C, R + I è traformabile econdo Laplace, per ogni C tale che Re > σ[f] definiamo la funzione F () = f(x)e x dx. F () i dice traformata di Laplace di f(x) e la indicheremo con il imbolo L[f]() o con f(). Onde evitare confuione con la traformata di Fourier privilegeremo la prima notazione. Definizione 5.4 Una funzione f : I C i dice di ordine eponenziale α e f(x) M e αx per un certo M >. L ordine eponenziale è trettamente legato all acia di convergenza σ di una funzione. Se f è una funzione di ordine eponenziale α, allora e x f(x) e σx Me αx = Me (σ α)x. Quindi f(x)e x è integrabile u R + e α > σ. Letto in termini di acia di convergenza, σ[f] α. 83

2 DEFINIZIONI E TRASFORMATE ELEMENTARI Eempio 5. Funzione di Heaviide { e x H(x) =. altrove Con una notazione più intetica, H(x) = χ R +(x). H(x) è una funzione eponenziale di ordine zero: H(x) e x. Figura 5. L integrale di Lebegue di H converge per Re >, σ[h(x)] =. Calcoliamo la traformata di Laplace di H(x) utilizzando la definizione 5.3: L[H]() = e x dx = e x =, Re () >. Eempio 5.2 Funzioni eponenziali f(x) = e ax, con a = α + iβ C. La traformata di Laplace di f è definita e e (a )x è integrabile per x >, ovvero per gli C tali che Re (a ) < cioè α < Re. L acia di convergenza di f è dunque α. L[f]() = e ( a)x dx = e ( a)x a = a. Si oervi che per a = i ritrova il riultato dell eempio 5. per la funzione di Heaviide. Eempio 5.3 Funzioni caratteritiche di intervalli. Calcoliamo la traformata di Laplace della funzione caratteritica di un intervallo: f(x) = χ [,h) (t) = H(x) H(x h). Per, L[f]() = per =, L[f]() = h h e x dx = e h ; dx = h e h Oerviamo che lim = h; la ingolarità per = è eliminabile. Per quanto riguarda l acia di convergenza i noti che f è a upporto compatto. Lo teo vale anche per f(x)e x che quindi è integrabile per qualiai valore di C: σ[f] =. Eempio 5.4 Delta di Dirac. Conideriamo la funzione dell eempio precedente e normalizziamo in modo da avere impuli f h di area unitaria qualunque ia il valore di h >, ovvero, f h (x) = hχ [,h) (x). Paando alle traformate, e h, L[f h ]() = h., =

3 5.. DEFINIZIONI E TRASFORMATE ELEMENTARI 85 Sia δ(x) = lim h f h (x); δ(x) prende il nome di delta di Dirac; paando al limite ulle traformate, lim h L[f h ](). Il candidato naturale ad eere la traformata di Laplace della delta di Dirac è dunque la funzione identicamente uguale ad. Il procedimento eguito in queto eempio non cotituice però una dimotrazione di quale ia la traformata della delta per almeno un paio di ragioni evidenti: non abbiamo dimotrato che la traformata di Laplace del limite è il limite delle traformate di Laplace; inoltre la delta non è una funzione bení una ditribuzione. L argomento è più delicato di quanto poa apparire e andrebbe trattato con cura. Il riultato è comunque corretto e nel eguito ne faremo uo. Propoizione 5. (Linearità dell operatore L) Siano f ed f 2 funzioni traformabili econdo Laplace, con acia di convergenza σ[f ] e σ[f 2 ] ripettivamente. La funzione c f + c 2 f 2 è traformabile econdo Laplace per ogni c, c 2 C ed è definita almeno per gli C tali che Re () max{σ[f ], σ[f 2 ]}. Inoltre, L[c f + c 2 f 2 ]() = c L[f ] + c 2 L[f 2 ], σ[c f + c 2 f 2 ] max{σ[f ], σ[f 2 ]}. Dimotrazione È una diretta coneguenza della linearità dell integrale. Oervazione 5. Come coneguenza della propoizione 5., l inieme delle funzioni che ammettono traformata di Laplace formano uno pazio vettoriale. Eempio 5.5 Traformata delle funzioni trigonometriche Dall eempio 5.2 appiamo che la traformata di Laplace di f(x) = e ±iωx, ω R, è ± iω, per Re () >. Ricordando le formule di Eulero poiamo fruttare queto riultato per ricavare le traformate di Laplace delle funzioni trigonometriche: [ e iωx e iωx ] L[in(ωx)]() = L = { 2i 2i + iω } = iω [ e iωx + e iωx ] L[co(ωx)]() = L = 2 2 { + iω + } = iω ω 2, Re () >, + ω2 2, Re () >. + ω2 Eempio 5.6 Traformata delle funzioni iperboliche Procedendo analogamente all eempio 5.5, la traformata di Laplace di f(x) = e ωx, ω R, è, nel emipiano Re () > ω. Da queto riultato è facile dedurre la traformata di ω Laplace di eno e coeno iperbolici: [ e ωx e ωx ] L[inh(ωx)]() = L = { 2 2 ω } ω = + ω 2 ω 2, Re () > ω, [ e ωx + e ωx ] L[coh(ωx)]() = L = 2 2 { ω + } = + ω 2 ω 2, Re () > ω. Oervazione 5.2 Il valore della traformata di Laplace di una funzione f(x) dipende oltanto dai valori che la funzione aume per x. Queto ignifica che poiamo modificare la f a piacimento per gli x < enza che la traformata ne rienta. Nel reto del capitolo, enza preciarlo di volta in volta, upporremo empre f(x) identicamente nulla per x <. Ad eempio, quando criviamo f(x) = x n ci riferiremo in realtà alla funzione f + (x) = H(x)f(x). Le funzioni f : R C nulle per x < prendono il nome di egnali.

4 PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE Eempio 5.7 Traformate delle funzioni polinomiali Calcoliamo la traformata di Laplace di f(x) = x n. Procediamo per ricorione: L[x n ]() = x n e x dx = e x xn + n x n e x dx = n L[xn ](), dato che il termine finito i annulla in entrambi gli etermi. Nell eempio 5. abbiamo già calcolato la traformata della funzione di Heaviide: L[]() = L[x ]() =. Sotituendo, L[xn ]() = n! n Proprietà della traformata di Laplace Prima di entrare nei dettagli vale la pena di oervare i legami tra la traformata di Laplace e la traformata di Fourier. Teorema 5. Sia f una funzione traformabile econdo Laplace. Per ogni α > σ[f], la funzione e αx f(x) L (R) ovvero è traformabile econdo Fourier. Inoltre L[f](α + iβ) è la ua traformata di Fourier, ovvero L[f](α + iβ) = F[e αx f(x)](β). Dimotrazione La dimotrazione è preoché immediata e viene laciata per eercizio. La maggior parte delle proprietà della traformata di Laplace potrebbero eere dedotte da quelle della traformata di Fourier grazie al teorema 5.. Data però la emplicità della maggior parte delle dimotrazioni preferiamo dimotrarle direttamente. Si rifletta comunque ulle molte omiglianze tra i due tipi di traformata. Propoizione 5.2 Sia f una funzione traformabile econdo Laplace con acia di convergenza σ[f] e ia α > σ[f]. Valgono le affermazioni eguenti i) L[f]() è limitata in modulo nel emipiano Re () α. ii) lim L[f]() =. Re () Dimotrazione Cominciamo dalla prima affermazione: L[f]() e x Re () f(x) dx e αx f(x) dx L ultimo integrale è convergente per la definizione di acia di convergenza e non dipende da. Segue quindi la i). Per dimotrare la ii) conideriamo una ucceione { n } tale che lim n Re ( n ) = e Re ( n ) > α per ogni n. Per ogni n e per quai ogni t, e nx f(x) = e x Re ( n) f(x) e αx f(x). L ultimo membro è integrabile e indipendente da n. Per il teorema di Lebegue è poibile paare al limite otto l integrale. Poiché Re ( n ) egue ubito la ii).

5 5.2. PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE 87 Propoizione 5.3 Sia f una funzione traformabile econdo Laplace, nulla per x <, con acia di convergenza σ[f]. Allora: L[f(cx)]() = c L[f(x)] ( c ) per c >, Re () > c σ[f] (5.) L[f(x x )]() = e x L[f(x)]() per x >, Re () > σ[f] (5.2) L[e ax f(x)]() = L[f(x)]( a) per a C, Re () > σ[f] + Re (a). (5.3) Dimotrazione La dimotrazione è del tutto analoga a quella delle corripondenti proprietà enunciate nel paragrafo 4.2 nel cao delle traformate di Fourier ed è quindi laciata al lettore. Eempio 5.8 Nell eempio 5.5 abbiamo calcolato la traformata di Laplace delle funzioni trigonometriche. Queto riultato unito alla (5.3) ci permette di calcolare L[e ax in(ωx)]() = L[e ax co(ωx)]()= ω ( a) 2, Re () > Re (a) + ω2 a ( a) 2, Re () > Re (a). + ω2 Sempre come coneguenza della (5.3), per Re () > σ[f], L[f(x) in(ωx)]()= L [f(x) eiωx e iωx ] () = { } L[f]( iω) L[f]( + iω), 2i 2i L[f(x) co(ωx)]()= L [f(x) eiωx + e iωx ] () = { } L[f]( iω) + L[f]( + iω). 2 2 Propoizione 5.4 Sia f un egnale periodico per x con periodo T, ovvero tale che f(x + T ) = f(x) per ogni x. Supponiamo f L (, T ). Per Re () >, i ha Dimotrazione L[f]() = = = L[f]() = e x f(x) dx = T e T e x f(x) dx. (5.4) n= (n+)t nt { } T e x nt f(x + nt ) dx = n= n= e x f(x) dx = { } T e nt e x T f(x) dx = e T e x f(x) dx, dove i è fatto uo della (5.2).

6 PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE Oervazione 5.3 Proponiamo anche una dimotrazione alternativa della propoizione 5.4. Oerviamo che T e x f(x) dx = e x f(x) dx T = e x f(x) dx = ( e T ) e x f(x) dx. e x f(x) dx = Dividendo entrambi i membri per e T egue ubito la (5.4). e (x+t ) f(x + T ) dx = Eempio 5.9 Calcoliamo la trformata di Laplace dell onda quadra: f(x) = {, e 2n x 2n +, n N, altrimenti. L onda quadra f(x) è un egnale periodico di periodo 2. Utilizziamo la propoizione 5.4 per calcolarne la traformata. Quindi, 2 f(x)e x dx = L[f]() = e e x dx = e x 2 Figura 5.2 = e. e 2 = ( + e ). Eempio 5. Calcoliamo la traformata di Laplace del egnale periodico {, e 2n x 2n +, n N f(x) =, altrimenti. Anche in queto cao abbiamo a che fare con un egnale periodico di periodo 2. Procedendo in maniera analoga all eempio 5.9, 2 f(x)e x dx = Di coneguenza, e x dx 2 e x dx = = (e 2 2e + ) = ( e ) 2. L[f]() = ( e ) 2 e 2 = ( ) tanh. 2 2 Figura 5.3 3

7 5.3. TEOREMI DI DERIVAZIONE, CONVOLUZIONI Teoremi di derivazione, convoluzioni Propoizione 5.5 Sia f traformabile econdo Laplace con acia di convergenza σ[f]. Allora la funzione F () = L[f]() è olomorfa nel emipiano Re () > σ[f]. Inoltre, la funzione g(x) = xf(x) è ancora traformabile econdo Laplace, empre con acia di convergenza σ[f], e i ha: ovvero d d e x f(x) dx = e x ( xf(x)) dx, F () = d L[f]() = L[ xf(x)](). (5.5) d Dimotrazione Calcoliamo la derivata a primo membro come limite del rapporto incrementale: L[f]( + h) L[f]() e hx = e x f(x) dx, h C. (5.6) h h Mediante una erie di calcoli, che per brevità omettiamo, poiamo maggiorare l integranda con una funzione integrabile e non dipendente da h. Poiamo paare al limite otto l integrale nella (5.6). Di coneguenza, - il limite del rapporto incrementale eite ovvero la funzione L[f]() è derivabile in eno compleo; - l integrale a econdo membro nella (5.6) converge per Re () > σ[f] cioè g() è traformabile ed ha la tea acia di convergenza di f; e hx - ricordando che lim = x egue la (5.5). h h La propoizione 5.5 può eere generalizzata alle derivate di ordine uperiore: Corollario 5. Sia f traformabile econdo Laplace con acia di convergenza σ[f]. Inoltre, la funzione g(x) = x n f(x) è ancora traformabile econdo Laplace, empre con acia di convergenza σ[f], e i ha: ovvero d n d n e x f(x) dx = e x ( ) n x n f(x)) dx, F (n) () = dn d n L[f]() = ( )n L[x n f(x)](). Dimotrazione È ufficiente applicare più volte la propoizione 5.5. Propoizione 5.6 Se la funzione f(x)/x è traformabile econdo Laplace, allora [ ] f(x) L () = L[f](τ) dτ, Re () > σ[f]. (5.7) x Prima di procedere con la dimotrazione vera e propria i rifletta ul ignificato dell integrale che compare nella (5.7): i tratta di un integrale eteo ad un cammino nel piano compleo. Dalla propoizione 5.5 appiamo che L[f]() è olomorfa nel emipiano

8 TEOREMI DI DERIVAZIONE, CONVOLUZIONI di convergenza e ha limite zero all infinito. L integrale non dipende quindi dal particolare cammino celto; ecco perché poiamo crivere emplicemente. Dimotrazione La funzione g(x) = f(x)/x è traformabile. Dalla propoizione 5.5 applicata a g(x): L[xg(x)]() = d d L[g](), cioè L [ ] f () = c x λ L[f](t) dt Poiché f(x) [ f è traformabile, lim x L x Di coneguenza [ ] f L () = L[f](t) dt x λ ] () = e quindi λ per Re (λ) > σ[f]. L[f](t) dt = λ L[f](t) dt = c. L[f](t) dt. Propoizione 5.7 Sia f una funzione definita per x > continua, di clae C a tratti e traformabile econdo Laplace. Allora, con Re () > max{σ[f], σ[f ]} i ha: Dimotrazione Si verifica facilmente che L[f ]() = L[f]() f( + ). (5.8) e x f (x) = (e x f(x)) + e x f(x). Quindi, L[f ]() = e x f (x) dx = [ e x f(x) ] + e x f(x) dx. (5.9) Per Re () > σ[f], lim x e x f(x) =. Di coneguenza, L[f ]() = L[f]() f( + ). Si oervi infine che per la convergenza dell integrale a econdo membro della (5.9) dobbiamo richiedere che Re () > σ[f ] e quindi la (5.8) ha eno oltanto per Re () > max{σ[f], σ[f ]}. Oervazione 5.4 La propoizione 5.7 può eere etea alle derivate di ordine uperiore al primo. Applicando due volte la propoizione 5.7 i dimotra ad eempio che L[f ]() = L[f ]() f ( + ) = ( L[f]() f( + ) ) f ( + ) = = 2 L[f]() f( + ) f ( + ). Generalizzando, n L[f (n) ]() = n L[f]() n k f (k) ( + ). k= Anche nel cao delle traformate di Laplace vale un riultato ulla traformata della convoluzione di due funzioni traformabili del tutto analogo a quello della propoizione 4.9:

9 5.4. L INVERSIONE DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE 9 Propoizione 5.8 Siano f e g due egnali traformabili, con acia di convergenza σ[f] e σ[g] ripettivamente. La funzione f g è traformabile nel emipiano Re () > max{ σ[f], σ[g] } e i ha: L[f g]() = L[f]() L[g](). (5.) Dimotrazione Per dimotrare la (5.) i procede in modo del tutto analogo a quello uato nella propoizione 4.9. Per quanto riguarda l acia di convergenza di f g, i verifica facilmente che e x (f g)(x) = ( e x f(x) ) ( e x g(x) ). Se Re () > max{ σ[f], σ[g] } entrambe le funzioni a econdo membro ono integrabili. Inoltre la convoluzione di due funzioni L è ancora una funzione L, quindi e x (f g)(x) è integrabile per Re () > max{ σ[f], σ[g] }. Segue σ[f g] = max{ σ[f], σ[g] }. Corollario 5.2 Sia f(x) una funzione traformabile econdo Laplace. Anche la funzione F (x) = x f(t) dt è traformabile econdo Laplace e i ha: L[F ]() = L[f](), Re () > max{ σ[f], }. Dimotrazione Una volta oervato che F (x) = (f H)(x), dove H è la funzione di Heaviide (cfr. eempio 5.), l enunciato egue immediatamente dalla propoizione 5.8. Eempio 5. Le traformate di Laplace delle funzioni trigonometriche poono eere dedotte l una dall altra utilizzando il corollario 5.2: in(ωx) = ω x Si faccia attenzione però che co(ωx) co() = ω co(ωt) dt, quindi, L[in(ωx)]() = x in(ωt) dt, da cui L[co(ωx)]() = ω 2 + ω 2 = ω 2 + ω 2. ω ω 2 + L[](), da cui volgendo i calcoli ritroviamo il riultato già ottenuto nell eempio 5.5. Sempre fruttando il corollario 5.2 i poono dedurre l una dall altra le traformate di Laplace delle funzioni iperboliche o le traformate delle funzioni polinomiali. La verifica è laciata per eecrizio. 5.4 L inverione della traformata di Laplace Come nel cao della traformata di Fourier è intereante il problema dell inverione della traformata: data una funzione g(): C C olomorfa per Re () > σ vogliamo determinare una funzione f(x) tale che L[f] = g. Si oervi che non tutte le funzioni g olomorfe in un emipiano ono la traformata di Laplace di una funzione. Ad eempio, g() = pur eendo olomorfa u tutto C non oddifa la econda ipotei della propoizione 5.2 e quindi non può eere la traformata di Laplace di una funzione. D altra parte appiamo (cft. eempio 5.4) che g è la traformata della delta di Dirac che non è una funzione ma una ditribuzione. Perché una funzione olomorfa g() ia la traformata di Laplace di una funzione è neceario che g() tenda a zero abbatanza velocemente per.

10 L INVERSIONE DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE Teorema 5.2 Sia g() una funzione analitica nel emipiano compleo Re () > σ e tale che g() = O ( / k) per, con k >. Allora, per ogni t > σ la funzione f definita da f(x) = 2πi t+i t i e x g() d (5.) è un egnale continuo u R indipendente da t tale che L[f(x)]() = g(). La (5.) prende il nome di formula di Riemann-Fourier. Traccia della dimotrazione La condizione di decrecenza rapida all infinito ci aicura la convergenza dell integrale (5.). L integrale di e x g() ul cammino in figura 5.4 è nullo dato che l integranda è olomorfa per Re () > σ. Per la condizione di decrecenza all infinito l integrale ui tratti orizzontali tende a zero per R, quindi R R σ t t 2πi t+i t i e x g() d = 2πi t+i t i e x g() d. Figura 5.4 Utilizzando il teorema dei reidui (teorema.7) i verifica facilmente che la (5.) definice una funzione f(x) nulla per x <. La dimotrazione i completa verificando per via diretta che la traformata di Laplace di f(x) è effettivamente g(). Oervazione 5.5 Se partiamo dall ipotei che eita una f traformabile econdo Laplace tale che g() = L[f(x)]() con f(x) continua, il problema di determinare f può eere riolto utilizzando il teorema 5. e la formula di inverione per la traformata di Fourier, F [ e xt f(x) ] [ ] (y) = L[f](t + iy) e quindi e xt f(x) = F L[f](t + iy). Sia = t + iy tale che t = Re () > σ. Allora f(x) = e xt[ e xt f(x) ] [ ] = e xt F L[f](t + iy) = = e xt e iyx g(t + iy) dy = e (t+iy)x g(t + iy) dy 2πi 2πi L ultimo integrale può eere interpretato come l integrale compleo ul cammino y t + iy per y R che ha come upporto una retta verticale paante per il punto (t, ). Vale quindi la formula (5.). Oervazione 5.6 Se f è un egnale oltanto regolare a tratti, con traformata g() ed acia di convergenza σ[f], i può dimotrare che per ogni t > σ[f] i ha: 2πi v.p. t+i t i e x g() d = 2( f(x + ) + f(x ) ). In queto cao g() = O(/) per (i peni ad eempio alle funzioni di dell eempio 5.3).

11 5.4. L INVERSIONE DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE Inverione nel cao delle funzioni razionali fratte Nel cao in cui la traformata g() ia una funzione razionale fratta non è neceario ricorrere alla formula 5. per antiraformare. Supponiamo g() = P () R() = T () + Q() Q() dove P (), Q(), R(), T () ono polinomi e R() ha grado minore di quello di Q(). Supponiamo inoltre che R() e Q() non abbiano zeri in comune. Oerviamo innanzitutto che e T () viene a mancare la condizione di decrecenza all infinito. L antitraformata di g() in queto cao è una funzione ma una ditribuzione. Ci limiteremo al cao T () = ovvero al cao in cui la funzione razionale ia propria. Dalla teoria ull integrazione delle funzioni razionali fratte appiamo che R()/Q() può eere compota in fratti emplici. Nel cao in cui gli zeri, 2,..., k di Q() iano tutti emplici poiamo crivere R() Q() = k i= A i dove A i = lim ( i ) R() i i Q() = lim R() i Q (). [ ] R() k Ricordando l eempio 5.2, egue immediatamente che L = A i e ix. Nel cao in Q() i= cui ia preente uno zero di molteplicità n >, ad eo, nello viluppo in fratti emplici, B i corriponderanno n termini del tipo ( ) i per i =,..., n con B i cotanti opportune. Utilizzando il riultato dell eempio 5.7 e la (5.), [ ] L B i ( ) i = B i (i )! ex x i. Eempio 5.2 Calcoliamo l antitraformata f(x) di g() =. La frazione è propria, quindi f(x) è una funzione. Il denominatore i annulla per = ed =, entrambi ( ) zeri emplici. Decomponendo in fratti emplici, g() =, da cui f(x) = L [g] = H(x) e x H(x) = H(x)(e x ). Eempio 5.3 Calcoliamo l antitraformata di g() = Per prima coa criviamo g() come omma di fratti emplici: il denominatore ha uno zero emplice = ed uno doppio 2 =. Determiniamo A, B e B 2 cotanti tali che Dai calcoli, + 2 A = lim d d (3 2 ) = 3, ( ) = A + B + B 2 2. B = lim ( g() B ) 2 2 =. B 2 = lim g() = 2, Quindi, g() = e la ua antitraformata è L [g](x) = (3e x x + )H(x).

12 APPLICAZIONI A EQUAZIONI DIFFERENZIALI ED INTEGRALI 5.5 Applicazioni a equazioni differenziali ed integrali 5.5. Equazioni ordinarie a coefficienti cotanti Ci occuperemo dell utilizzo della traformata di Laplace per la oluzione di problemi di Cauchy per equazioni ordinarie a coefficienti cotanti. I egnali traformabili ono definiti per valori poitivi, parleremo quindi di problemi di Cauchy in avanti intendendo la oluzione definita oltanto per valori di t non negativi. Per fiare le idee conideriamo il generico problema di Cauchy per equazioni del econdo ordine: { y + ay + b = f(x) y() = y, y () = y (5.2) Supponiamo che il egnale f(x) ia traformabile e paiamo alla traformata di Laplace di entrambi i membri dell equazione (5.2). Sia ŷ() la traformata di y(x). Dalla propoizione 5.7, ( 2ŷ() y y ) + a ( ŷ() y ) + bŷ() = f() cioè ŷ() = f() + y + y + ay 2. (5.3) + a + b Il problema è ricondotto a determinare l antitraformata della (5.3). Nel cao in cui f() ia una funzione razionale fratta i poono applicare le tecniche del paragrafo Eempio 5.4 Conideriamo il problema di Cauchy: { y 4y + 3y = y() = 2, y () =. Paando alle traformate, 2 ŷ() ( ŷ() 2 ) + 3ŷ() =, Semplificando e componendo in fratti emplici, ŷ() = ( ) = / /3 3. La oluzione del problema di Cauchy è allora y(x) = L [ŷ()](x) = 3 + 3ex 4 3 e3x. Eempio 5.5 Conideriamo il problema di Cauchy { y + 4y = in(x) y() =, y () =. Paando alle traformate, 2 ŷ() + 4ŷ() = 2 + e ŷ() = ( 2 + )( 2 + 4).

13 5.5. APPLICAZIONI A EQUAZIONI DIFFERENZIALI ED INTEGRALI 95 Il denominatore ha quattro zeri emplici. Potremo procedere come nell eempio precedente componendo nella omma di quattro fratti emplici. La preenza di coppie di zeri complei coniugati offre però una poibile alternativa. Sappiamo calcolare elementarmente l antitraformata di frazioni del tipo g() = a( ) + b ( ) 2 + c 2, a, b, c, R, c. Ricordando le traformate di Laplace delle funzioni trigonometriche (cfr. eempi 5.5 e 5.8), [ ] b L [g()] = L c c ( ) 2 + c 2 + a ( ) 2 + c 2 = ( ) b = in(cx) + a co(cx) e x. c In generale, nel cao di una coppia di zeri emplici complei coniugati = ±i, due fratti emplici relativi a tali zeri poono eere otituiti nella decompoizione da una frazione del tipo di g() con a e b cotanti reali opportune determinabili con le tee tecniche uate per l integrazione delle funzioni razionali. Nel notro cao = ; facendo i calcoli, In bae alle coniderazioni precedenti infine ŷ() = ( 2 + )( 2 + 4) = + 2/ / y(x) = 6 in(2x) + co(2x) + 3 in(x). Eempio 5.6 Funzione di traferimento di un circuito Per tudiare un circuito RCL olitamente i tudia un equazione differenziale in cui l incognita è la carica q del condenatore. Se R, C ed L ono ripettivamente i valori di reitenza, capacità e induttanza e V (t) rappreenta la f.e.m., evetualmente variabile con il tempo, giungiamo ad una equazione differenziale del econdo ordine a coefficienti cotanti Lq (t) + Rq (t) + q(t) = V (t). (5.4) C Nello tudio dei circuiti RCL non ha grande interee lo tudio del tranitorio cioè del comportamento per tempi piccoli. Interea invece il comportamento a regime, per tempi grandi. Letta in termini matematici, queta affermazione ignifica che non hanno grande interee le condizioni iniziali del problema di Cauchy per la (5.4). Per emplicità poiamo upporre q() = q () =. Se q = L[q], procedendo come negli eempi precedenti, V () q() = L 2 + R +, dove V () = L[V ](). C Si oervi che al variare del termine noto V il denominatore non cambia. La funzione T () = L 2 + R + C è quindi una caratteritica intrineca del circuito e prende il nome di funzione di traferimento del circuito. La funzione di traferimento è la ripota del circuito quando V () =,

14 APPLICAZIONI A EQUAZIONI DIFFERENZIALI ED INTEGRALI ovvero quando V (t) è la delta di Dirac. Una volta nota T () iamo in grado di ricavare il comportamento del circuito relativamente a tutte le V (t) traformabili econdo Laplace; e q è la oluzione della (5.4) con condizioni iniziali nulle, q() = T () V () e quindi q(t) = ( L [T ] V ) (t) Equazioni integrali di tipo convolutorio Le equazioni integrali di tipo convolutorio ono equazioni del tipo K u = f dove K ed f ono funzioni traformabili aegnate mentre u è l incognita. K è detta nucleo di convoluzione. Eplicitando il ignificato della convoluzione, l equazione aume la forma t K(t τ)u(t) dτ = f(t), t >. (5.5) Paando alle traformate di Laplace, l equazione (5.5) aume la forma [ ] L[f] L[K] L[u] = L[f], da cui u(t) = L (t). L[K] La oluzione della (5.5) i riduce in pratica al calcolo di una antitraformata. Non c è neun motivo a priori per cui L[f]/ L[K] debba eere la traformata di Laplace di una funzione. Ad eempio, e K(t) = H(t ) ed f(t) = H(t) abbiamo L[u]() = e. Viene a mancare la condizione di decrecenza rapida richieta nel teorema 5.2; quindi u non è una funzione. In queto cao diciamo che l equazione 5.5 non ammette neuna oluzione traformabile. Eempio 5.7 Riolviamo l equazione t e t τ u(τ) dτ = t 2, t >. In queto cao, K(t) = e t e f(t) = t 2. Paando alle traformate, L[K]() =, L[f]() = 2 ; di coneguenza, L[u]() = 3 3. L antitraformata può eere calcolata con le tecniche del paragrafo 5.4.: determinando A, A 2, A 3, B reali tali che û() = 3 = A + A A 3 3. Data la particolare forma di û() è però evidente, enza neceità di ulteriori calcoli che Quindi A =, A 2 =, A 3 =. u(t) = L [ 2 3 ] (t) = t t2 2. Il metodo decritto può eere eteo ad equazioni, empre in forma di convoluzione, riconducibili al tipo (5.5) dopo aver utilizzato opportune proprietà della traformata di Laplace.

15 5.5. APPLICAZIONI A EQUAZIONI DIFFERENZIALI ED INTEGRALI 97 Eempio 5.8 Riolviamo il problema t (t τ) ( u (t) 2u(t) ) dτ = t u() =, t >. (5.6) Oerviamo innanzitutto che L [ u (t) 2u(t) ] = ( 2)û u(). Senza la condizione iniziale u() = aremo in grado olo di crivere la oluzione generale del problema, imilmente a quanto avviene per le equazioni differenziali del primo ordine. A queto punto poiamo precedere come nell eempio 5.7: L[t]() (( 2)û() ) = L[t](), cioè û() = 2. La oluzione del problema (5.6) è u(t) = e 2t.

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