24. La sfera e la circonferenza nello spazio.

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1 4. La fera e la circonferenza nello pazio Definizione. Diremo fera l inieme di tutti e oli i (il luogo dei) punti dello pazio che hanno la tea ditanza > (detta raggio della fera) da un fiato punto (detto centro della fera). 4.. Lemma. Sia (O, i, j, k) un riferimento carteiano ortonormale dello pazio. Se è una fera di centro (x, y, z ) e raggio >, allora un punto P (x, y, z ) dello pazio appartiene alla fera e e olo e la terna delle ue coordinate è una oluzione dell equazione ( ) (x x ) + (y y ) + (z z ) = Dimotrazione. P (x, y, z ) d(p, ) = > [d(p, )] = (x x ) + (y y ) + (z z ) = (x, y, z ) è una oluzione di ( ) Teorema. Sia (O, i, j, k) un riferimento carteiano ortonormale dello pazio. Il luogo dei punti dello pazio le cui coordinate oddifano un equazione del tipo ( ) x + y + z + ax + by + cz + d = è una fera e e olo e a + b + c 4d >. a b c Inoltre, tale fera ha il centro nel punto ( 1,, ) e raggio = a b + + c 4d. Dimotrazione. L equazione ( ) è equivalente ad ognuna delle equazioni eguenti x + ax + y + by + z + cz + d = [x + (a/)] (a/) + [y + (b/)] (b/) + [z + (c/)] (c/) + d = [x ( a/)] + [y ( b/)] + [z ( c/)] = (a + b + c 4d)/4 Quet ultima, potoo x := a/, y := b/, z := c/ e δ = (a + b + c 4d)/4 i ricrive coì ( ) (x x ) + (y y ) + (z z ) = δ Ora, i oervi che per ogni terna (x, y, z) di numeri reali il primo membro dell equazione ( ) è empre maggiore o uguale a zero. Quindi, l equazione ( ) ha infinite oluzioni e e olo e δ >. Per cui, l equazione ( ) rappreenta una fera e e olo e δ > ovvero (a + b + c 4d) >. Eendo δ >, poiamo porre := δ = 1 a + b + c 4d e l equazione ( ) i ricrive coì ( ) (x x ) + (y y ) + (z z ) = che è l equazione della fera di centro ( a/, b/, c/) e raggio = 1 a + b + c 4d.

2 4.4. Oervazione. Per ogni numero reale α non nullo, l equazione αx + αy + αz + (αa)x + (αb)y + (αc)z + (αd) = è equivalente (cioè ha le tee oluzioni) all equazione x + y + z + ax + by + cz + d =. Tenendo conto del Teorema 4.3 e dell Oervazione 4.4 è ben pota la eguente 4.5. Definizione. Sia (O, i, j, k) un riferimento carteiano ortonormale dello pazio. Se è una fera i cui punti hanno coordinate che ono tutte e ole le oluzioni dell equazione ( ) x + y + z + ax + by + cz + d = con a + b + c 4d > allora diremo che ( ) è l equazione carteiana della fera Oervazione. (mutua poizione di un piano e una fera). Sia (O, i, j, k) un riferimento carteiano ortonormale dello pazio. Siano un piano e una fera di centro (x, y, z ) e raggio >. Si ha che: (1) d(, ) > = il piano è eterno alla fera; () d(, ) = = {P } il piano è tangente alla fera in un punto P ; (3) d(, ) < = il piano incide la fera in una circonferenza. P 4.7. orollario. (piano tangente ad una fera in un uo punto) Il piano tangente nel punto P (x, y, z ) ad una fera di centro (x, y, z ) ha equazione (x x )(x x ) + (y y )(y y ) + (z z )(z z ) = Dimotrazione. Il piano appartiene alla tella a(x x ) + b(y y ) + c(z z ) = di piani per P. Poiché il vettore [P ] è perpendicolare al piano, cegliamo (a, b, c) = (x x, y y, z z ).

3 Oervazione. (mutua poizione di un retta e una fera). Sia (O, i, j, k) un riferimento carteiano ortonormale dello pazio. Siano una retta e una fera di centro (x, y, z ) e raggio >. Si ha che: (1) d(, ) > = la retta è eterna alla fera; () d(, ) = = {P } la retta è tangente alla fera in un punto P ; (3) d(, ) < = {A, B} la retta incide la fera in due punti A e B. A P B 4.9. Oervazione. (mutua poizione di due fere aventi lo teo raggio). Sia (O, i, j, k) un riferimento carteiano ortonormale dello pazio. Siano e due fere aventi lo teo raggio >. Indicati con (x, y, z ) e (x, y, z ) i loro centri, i ha che: (1) d(, ) = le due fere coincidono; () < d(, ) < l interezione delle due fere è una circonferenza ; (3) d(, ) = le fere ono tangenti eternamente in un punto P ; (4) d(, ) > le fere ono eterne fra loro. () P (3) (4)

4 Oervazione. (mutua poizione di due fere aventi due raggi diveri). Sia (O, i, j, k) un riferimento carteiano ortonormale dello pazio. Siano e due fere aventi raggi e tali che > >. Indicati con (x, y, z ) e (x, y, z ) i loro centri, i ha che: (1) d(, ) = la fera è interna e concentrica alla fera ; () < d(, ) < la fera è interna alla fera ; (3) d(, ) = la fera è interna e tangente in P alla fera ; (4) < d(, ) < + l interezione delle due fere è una circonferenza ; (5) d(, ) = + le fere ono tangenti eternamente in un punto P ; (6) d(, ) > + le fere ono eterne fra loro. ' ' ' ' P (1) () (3) ' ' ' P ' (4) (5) ' ' (6)

5 4.11. Oervazione. (equazioni carteiane di una circonferenza nello pazio). Nell Oervazione 4.6 abbiamo vito che l interezione di una fera di centro e raggio > ed un piano tale che d(, ) < è una circonferenza. Per cui e a x + b y + c z + d = è l equazione del piano e x + y + z + ax + by + cz + d = è l equazione della fera allora i punti della circonferenza ono tutti e oli i punti le cui coordinate oddifano il itema x + y + z + ax + by + cz + d = ( ) a' x + b' y + c'z + d' = Le equazioni ( ) vengono dette equazioni carteiane di una circonferenza nello pazio. 5 Il raggio r della circonferenza è r = [d(, )]. La retta paante per il centro della fera e perpendicolare a ha equazioni parametriche : x = y = z = Il centro della circonferenza è il punto d interezione della retta con il piano. { } = : a' t b' t c' t x = a' t y = b' t z = c' t a' x + + x + y + z c c. c + x + y + z + c'z + d' = b' y (a',b',c') (a',b',c') d(, ) r '

6 4.1. Oervazione. (retta tangente ad una circonferenza nello pazio). Sia una circonferenza dello pazio avente equazioni carteiane 6 x + y + z + ax + by + cz + d = : a' x + b' y + c'z + d' = interezione della fera : x + y + z + ax + by + cz + d = e del piano : a x + b y + c z + d =. Siano P (x, y, z ) un punto della circonferenza e t è la retta tangente in P alla circonferenza. Se (x, y, z ) è il centro della fera, allora il piano tangente in P alla fera ha equazione : (x x )(x x ) + (y y )(y y ) + (z z )(z z ) = Si vede ubito che la retta t i può rappreentare come interezione del piano col piano, per cui la retta t tangente in P alla circonferenza ha equazioni carteiane t : a'x + b' y + c'z + d' = (x x)(x x) + (y y )(y y ) + (z z )(z z ) = ' t P