corso di Terminali per i Trasporti e la Logistica Umberto Crisalli

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1 coro di Terminali per i Traporti e la Logitica ELEMENTI DI TEORIA DELLE CODE Umberto Crialli crialli@ing.uniroma.it

2 INTRODUZIONE Simulazione dei terminali In generale, un terminale è cotituito da un inieme di punti di ervizio per gli utenti che poono eere dipoti in: erie parallelo miti (erie-parallelo o parallelo-erie) U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica

3 INTRODUZIONE Simulazione dei terminali pita di decollo procedure di decollo gate imbarco cale mobili di acceo percori di acceo agli imbarchi controlli icurezza. check-in biglietteria U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 3

4 INTRODUZIONE Definizione del problema In ogni punto di ervizio vengono volte delle attività che: richiedono un certo tempo di ervizio capacità impegnano delle riore capacità: maimo numero di utenti che è poibile ervire nel periodo di riferimento coniderato E. barriera autotradale (unico canale) tempo medio di ervizio 3 veic./min capacità del punto di ervizio 180 veic./h tao medio degli arrivi: numero medio di utenti in arrivo nel itema tao medio degli arrivi > tao medio di ervizio coda E. barriera autotradale (unico canale) arrivano 400 veic/h capacità 180 veic./h 0 veic/h in coda U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 4

5 INTRODUZIONE Definizione del problema tao medio degli arrivi > tao medio di ervizio (condizioni di ovraaturazione) Se quete condizioni permangono nel tempo la coda crece indefinitivamente ora arrivi capacità coda veic. veic. veic coda (veic.) condizioni di ovraaturazione tempo (h) U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 5

6 INTRODUZIONE Definizione del problema La coda può eere maltita olo e tao medio degli arrivi < tao medio di ervizio (condizioni di ottoaturazione) Se permangono quete condizioni, dopo un certo periodo di tempo, la coda può eere maltita. ora arrivi capacità coda veic. veic. veic coda (veic.) tempo (h) 90 0 U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 6

7 INTRODUZIONE Definizione del problema Si noti che, eendo il numero di arrivi ed il tempo di ervizio delle variabili aleatorie, anche in condizioni di ottoaturazione può generari una coda Eempio (1/) 0<arrivi<60 ec. 0<T<30 ec. arrivi ervizio cumulata arrivi 1 0 itema ad un unico canale tempo (ec) U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 7

8 INTRODUZIONE Definizione del problema Si noti che, eendo il numero di arrivi ed il tempo di ervizio delle variabili aleatorie, anche in condizioni di ottoaturazione può generari una coda Eempio (/) 0<arrivi<60 ec. 0<T<30 ec. 4 arrivi ervizio cumulata arrivi itema ad un unico canale CODA tempo (ec.) 398 U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 8

9 INTRODUZIONE Obiettivo Dimenionare la capacità dei punti di ervizio per: evitare fenomeni di ovraaturazione contenere i tempi di attea entro tandard prefiati capacità di un punto di ervizio capacità del itema Sitema S con più punti di ervizio p IN SERIE CAP S = capacità del itema S cap p = capacità del punto di ervizio p CAP S = min p [cap p ] p S La capacità di un itema cotituito da punti di ervizio in erie è pari alla più baa delle capacità dei ingoli punti di ervizio che compongono il itema. U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 9

10 INTRODUZIONE Simulazione dei terminali Lo tudio dei terminali di traporto, e dei ingoli punti di ervizio al uo interno, può eere effettuata utilizzando: modelli analitici (teoria delle code) modelli perimentali (imulazione) U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 10

11 INTRODUZIONE I itemi a barriera Caratteritiche del itema modello degli arrivi meccanimo del ervizio diciplina della coda U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 11

12 Modello degli arrivi Occorre definire: il tempo intercorrente tra un itante qualiai e un arrivo ucceivo il numero di arrivi in un intervallo fiato di tempo t variabili aleatorie con una data ditribuzione U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 1

13 Modello degli arrivi alla Poion (1/3) Una ucceione nel tempo di arrivi prende il nome di proceo di Poion con parametro α quando: la probabilità che i verifichi un arrivo nell'intervallo (t, t+δt), al tendere di δt a 0 è proporzionale all'ampiezza δt dell'intervallo tramite α, a meno di un infiniteimo di ordine uperiore, ovvero: lim 0 prob δ t [ N( t, t + δt) = 1] = αδt + O( δt).. (continua) U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 13

14 Modello degli arrivi alla Poion (/3) Una ucceione nel tempo di arrivi prende il nome di proceo di Poion con parametro α quando: la probabilità che i verifichi più di un arrivo tende ad un infiniteimo di ordine uperiore: lim prob 0 δ t [ N ( t,t + δ t ) > 1 ] = O ( δ t ) e quindi la probabilità che non i verifichi alcun arrivo è: lim 0 prob δ t [ N( t, t + δt) = 0] = 1 αδt.. (continua) U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 14

15 Modello degli arrivi alla Poion (3/3) Una ucceione nel tempo di arrivi prende il nome di proceo di Poion con parametro α quando: la probabilità di un arrivo nell'intervallo (t, t+δt) è indipendente da ciò che è accaduto negli intervalli precedenti (la probabilità condizionata è uguale alla probabilità emplice): lim 0 prob δ t [ N( t, t + δt) = 1/ N( t δt, t) = i] = prob[ N( t, t + δt) = 1] = αδt + O( δt).. (continua) U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 15

16 Modello degli arrivi alla Poion Se il proceo degli arrivi degli utenti è un proceo di Poion con tao medio α il numero di arrivi in un intervallo fiato di tempo t è una v.a. dicreta di Poion Il tempo intercorrente tra un itante qualiai e un arrivo ucceivo è una v.a. continua eponenziale negativa con media l/α arrivi completamente cauali U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 16

17 Meccanimo di ervizio numero di canali erventi tempo di ervizio t Tempi di ervizio cotanti (approccio determinitico) il tempo di ervizio vale t per tutti gli utenti ed il tao medio di ervizio, ed il numero di utenti che può eere ervito nell unità di tempo è pari a 1/t Tempi di ervizio variabili (approccio tocatico) il tempo di ervizio è una variabile aleatoria, di cui occorre definire la ditribuzione. Speo ci i può ricondurre alle leggi di probabilità di Erlang (e quindi all eponenziale negativa nel cao K=1); e t è il tempo medio di ervizio, il tao medio di ervizio è 1/ t Se i tempi di ervizio ono ditribuiti econdo una eponenziale negativa, il proceo delle partenze è un proceo di Poion di parametro σ = 1/ t U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 17

18 Diciplina della coda itemi ad un canale acceo al ervizio in ordine di arrivo (FIFO); acceo in modo cauale; l ultimo arrivato è il primo ervito (LIFO); eitono utenti che hanno priorità ripetto agli altri. itemi a più canali unica coda con acceo al primo canale libero; una coda per ogni canale con celta libera da parte degli utenti con celta vincolata da regole predeterminate (ad eempio uddiviione per lettera alfabetica) U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 18

19 Denominazione dei itemi (Codice Kendall) dove: A indica il modello degli arrivi (M=arrivi alla Poion) B indica il modello di ervizio A/B/m; n/c (M=tempi di ervizio eponenziali negativi; EK=tempi di ervizio alla Erlang con parametro K) m indica il numero di canali di ervizio; n il numero maimo di utenti che poono eere accolti in coda; C indica la diciplina del ervizio (FIFO, LIFO, RIFO, ecc.) Ad eempio: M/M/1; /FIFO U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 19

20 Variabili di itema Definizioni: intenità di traffico ρ : ρ = α / σ dove: α = tao medio di arrivo per canale; σ = 1/ t tao medio di ervizio (capacità o potenzialità) U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 0

21 Eempio Per un caello autotradale con un olo poto di eazione i ha un tao medio di arrivo 3 veicoli al minuto e un tao medio di ervizio di 6 veicoli al minuto..(continua) unico canale ervente α = 3 σ = 6 ρ = α / σ = 0.5 U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 1

22 Variabili di itema Definizioni: tempo di attea w A : tempo intercorrente tra l ingreo dell utente nel itema e l inizio del ervizio tempo di permanenza nel itema w : tempo intercorrente tra l arrivo dell utente e la fine del ervizio w = w A + t U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica

23 Variabili di itema Definizioni: n n A w w A = numero medio di utenti nel itema = numero medio di utenti in attea = tempo medio di permanenza nel itema = tempo medio di attea w w A = n / α = n / α wa = w n A n = A t ρ U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 3

24 Miura delle caratteritiche di funzionamento del itema Dato un punto di funzionamento del itema occorre determinare: media e ditribuzione dei tempi di attea w A ; media e ditribuzione del numero n di utenti preenti nel itema ed n A preenti in coda ad ogni itante; media e ditribuzione dei tempi in cui i canali ono occupati da utenti. U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 4

25 RISULTATI DELLA TEORIA DELLE CODE Equazioni di equilibrio del itema [M/M/1;,FIFO] P n (t) = probabilità che il itema i trovi alla tato A n al tempo t la probabilità che nell intervallo (t, t+δt) il itema pai dallo tato: A n A n+1 è pari a αδt; A n A n-1 è pari a σδt A n A n+ è pari a 0 A n A n- è pari a 0 i può verificare olo uno dei eguenti eventi: 1 arrivo, con probabilità αδt 1 partenza, con probabilità σδt, 0 arrivi e 0 partenze, con probabilità 1 - (αδt + σδt) U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 5

26 RISULTATI DELLA TEORIA DELLE CODE Equazioni di equilibrio del itema [M/M/1;,FIFO] itema in equilibrio =P n (t-1) = P n (t) = = P n ( t) [ 1- ( α + σ) δt] + P ( t) αδt + P ( t) σδt Pn (t + δt) = Pn n-1 n+ 1 dpn ( t) = Pn ( t)( α + σ) + Pn 1( t) α + Pn + 1( t)σ dt Equazioni di equilibrio: αp0 + σp1 = 0 α + σ + αp + σp ( ) P1 0 = ( α + σ) + αp + σp 0 Pn n 1 n+ 1 = P i =1 P = n P 0 ρ n U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 6

27 RISULTATI DELLA TEORIA DELLE CODE Sitemi ad unico canale [M/M/1;,FIFO] arrivi alla Poion e tempi di ervizio eponenziali α = tao medio arrivi σ = tao medio ervizi poiché n Pn = P 0 ρ n Pn = P0ρ = n= 0 n= 0 n 1 ρ = per ρ 1 n= 0 ( 1 ρ) P P 0 = 1 ρ n = (1 ρ) ρ n 1 U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 7

28 RISULTATI DELLA TEORIA DELLE CODE Sitemi ad unico canale [M/M/1;,FIFO] arrivi alla Poion e tempi di ervizio eponenziali VARIABILI DI SISTEMA numero medio di elementi nel itema ρ n = np = n( 1 ρ) ρ n n = ρ n= 0 n= 0 1 n n ρ eendo ρ = n= 0 ( 1 ρ) ( ) numero medio di elementi in attea n a = n 1 ( 1 P ) 0 = n ρ = ρ ( 1 ρ) U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 8

29 RISULTATI DELLA TEORIA DELLE CODE Sitemi ad unico canale [M/M/1;,FIFO] arrivi alla Poion e tempi di ervizio eponenziali VARIABILI DI SISTEMA funzione di ditribuzione F N dei numero di elementi nel itema F r r N n ρ 1 n= 0 n= 0 n r+ 1 ( r) = P[ n r] = P = ( 1 ρ) = ρ probabilità di avere più di N utenti in attea P(n A > N) = P(n > N +1) = ρ N+ probabilità P A di attendere P A = P (n >1) = ρ U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 9

30 RISULTATI DELLA TEORIA DELLE CODE Sitemi ad unico canale [M/M/1;,FIFO] arrivi alla Poion e tempi di ervizio eponenziali VARIABILI DI SISTEMA tempo medio di permanenza nel itema w ( 1 ρ ) α = n 1 α = ρ 1 tempo medio di permanenza in attea w A ( 1 ρ) α = ρ 1 U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 30

31 RISULTATI DELLA TEORIA DELLE CODE Sitemi ad unico canale [M/M/1;,FIFO] arrivi alla Poion e tempi di ervizio eponenziali VARIABILI DI SISTEMA K-mo percentile del numero di elementi nel itema ( r ) = P [ n r ] k / 100 F N = 1-ρ ρ r r+1 = r+1 = K/100 = 1- K/100 [ ln(l - K/100)/lnρ ]-1 U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 31

32 Eempio Per un caello autotradale con un olo poto di eazione i ha un tao medio di arrivo 3 veicoli al minuto e un tao medio di ervizio di 6 veicoli al minuto: nell ipotei che gli arrivi cotituicano un proceo di Poion e che i tempi di ervizio iano ditribuiti in modo eponenziale negativo calcolare: il numero medio di elementi nel itema n ed in atteana il tempo medio di permanenza nel itema w ed in attea la probabilità che ci iano 1,3,5 veicoli nel itema la probabilità di attendere la probabilità di avere in attea più di 1,,3 veicoli wa U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 3

33 ESEMPIO E poibile calcolare: numero medio di elementi nel itema Sitemi ad unico canale [M/M/1;,FIFO] arrivi alla Poion e tempi di ervizio eponenziali Eempio (1/4) ρ n = = ( 1 ρ) ( 1 0.5) numero medio di elementi in attea 0.5 n = 1veic. n A ρ = 1 ( ρ) n 0.5 A = = ( 1 0.5) 0.5 veic. U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 33

34 ESEMPIO Sitemi ad unico canale [M/M/1;,FIFO] arrivi alla Poion e tempi di ervizio eponenziali Eempio (/4) E poibile calcolare: tempo medio di permanenza nel itema w ρ 1 = 1 ρ α w w = = min tempo medio di permanenza in attea w A ρ 1 = 1 ρ α w A w A = = min U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 34

35 ESEMPIO Sitemi ad unico canale [M/M/1;,FIFO] arrivi alla Poion e tempi di ervizio eponenziali Eempio (3/4) E poibile calcolare: Probabilità che ci iano n elementi nel itema P n (1 ρ) funzione di ditribuzione F N dei numero di elementi nel itema r 1 ( r) = P[ n r] = ρ + FN 1 n = ρ P1 = (1 0.5) 0.5 = P3 = (1 0.5) 0.5 = P = (1 0.5) = U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 35

36 ESEMPIO Sitemi ad unico canale [M/M/1;,FIFO] arrivi alla Poion e tempi di ervizio eponenziali Eempio (4/4) E poibile calcolare: probabilità di avere più di N utenti in attea probabilità P A di attendere N+ P(nA > N) = P(n > N +1) = ρ P(nA > 1) = 0.5 = P(nA > ) = 0.5 = P(n > 3) = PA = P (n >1) = ρ PA = 0.5 = A = U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 36

37 APPLICAZIONI Modifiche ai itemi di coda Modifiche al meccanimo degli arrivi Modifiche al meccanimo di ervizio Modifica alla diciplina della coda U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 37

38 APPLICAZIONI Modifiche ai itemi di coda Meccanimi di arrivo riduzione del tao medio degli arrivi (ad e. ecludendo alcune categorie di utenti) controllo dei tempi di arrivo con un itema ad appuntamento modifica al tao di arrivo cercando di ottenere un fluo più regolare ( ad. e. cercando di appiattire i fenomeni di punta) incoraggiare o coraggiare gli utenti a econda della lunghezza della coda U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 38

39 APPLICAZIONI Modifiche ai itemi di coda Meccanimi di ervizio diminuire il tempo media di ervizio ridurre il coefficiente di variazione del tempo di ervizio ridurre i tempi di ervizio in maniera più enibile nei periodi di punta aumentare la capacità del ervizio quando i oerva una congetione elevata o quando ci i apetta un numero di utenti maggiore del numero media U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 39

40 APPLICAZIONI Modifiche ai itemi di coda Diciplina della coda dare o togliere la priorità agli utenti più importanti dare priorità agli utenti con tempi di ervizio più corti ditribuire gli utenti alle varie code a econda dei preunti tempi di ervizio cambiare la dipoizione di erventi U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 40

41 APPLICAZIONI Modifiche ai itemi di coda a = tempi di arrivo e di ervizio cotanti b = arrivi cotanti e tempi di ervizio eponenziali c= arrivi cauali e tempi di ervizio cotanti d = arrivi cauali e tempi di ervizio eponenziali U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 41

42 RISULTATI DELLA TEORIA DELLE CODE Sitemi ad unico canale arrivi alla Poion e tempi di ervizio qualiai n w = αt = t α t σ ( αt ) α t + σ + 1 αt ( ) = ρ + ρ 1 [ ] 1+ C v ( ρ) σ = varianza di t C v = coeff. variazione U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 4

43 RISULTATI DELLA TEORIA DELLE CODE Sitemi ad unico canale arrivi alla Poion e tempi di ervizio cotanti σ = 0 n = αt + α = ρ + ρ ( αt ) ( 1 ρ) 1 t w = t + ρt 1 = t + ρ ( ρ) α( 1 ρ) U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 43

44 Riultati della teoria delle code Limiti SISTEMI REALI impoibilità di ricavare formulazioni analitiche in forma chiua, a meno di notevoli approimazioni SIMULAZIONE U. Crialli - Terminali per i Traporti e la Logitica 44