CAPITOLO 4 - TRASFORMATA DI LAPLACE

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1 CAPITOLO 4 - TRASFORMATA DI LAPLACE pag. /8 CAPITOLO 4 - TRASFORMATA DI LAPLACE INTRODUZIONE La traformata di Laplace è un metodo matematico molto potente applicato, di regola, a itemi dinamici lineari invarianti. La caratteritica fondamentale del metodo conite nel trattare in modo algebrico gli operatori di derivazione e di integrazione nel tempo. L analii che i avvale della traformata di Laplace viene anche chiamata analii nel dominio delle frequenze (o brevemente analii in frequenza). La traformata di Laplace ricorre diffuamente nella Teoria dei Sitemi ed in Automatica, principalmente attravero il concetto di funzione di traferimento, fondamentale per l analii claica della dinamica e tabilità dei itemi. Il metodo è particolarmente adatto a trattare dicontinuità e andamenti impulivi. Può eere efficacemente utilizzato nella rioluzione di regime e in tranitorio delle reti lineari invarianti. Nel eguito i introdurranno olamente le nozioni direttamente utili per le più uuali applicazioni alle reti elettriche. Si introdurranno anche in queto ambito le nozioni di funzioni generalizzate e di funzioni cioidali, argomenti in linea di principio indipendenti dalla traformata di Laplace. DISCONTINUITÀ E FUNZIONI GENERALIZZATE Per rappreentare e trattare analiticamente andamenti dicontinui i introducono alcune funzioni particolari. Quete non fanno parte della teoria della traformata di Laplace, ma ono particolarmente utili in queto ambito, per le proprietà e le potenzialità di quet ultima. Le definizioni che eguono ono riferite all origine dei tempi (t =) come itante caratteritico. La tralazione nel tempo conente di generalizzarle ad itanti caratteritici generici. Gradino unitario Si definice gradino unitario nell origine la funzione del tempo u( nulla per t<, uguale ad per t> ed indeterminata per t =. u ( = per t > per t < Il gradino unitario all itante generico t i indica con u t t ). u( t t ) = per t > t per t < t (

2 CAPITOLO 4 - TRASFORMATA DI LAPLACE pag. /8 u( u(t-t ) t t Fig. 4.. Gradino unitario. Rampa unitaria La rampa unitaria nell origine è l integrale del gradino unitario nell origine. = t t per t rampa( u( = per t < La rampa unitaria all itante generico t i indica con rampa t t ). rampa( t t ) = t t per t t u( t t ) = per t < t t ( t rampa( rampa(t-t ) t t Fig. 4.. Rampa unitaria. t Mediante ulteriori integrazioni i ottengono altre funzioni empre nulle per t< o t<t Impulo unitario L impulo unitario o funzione Delta di Dirac i definice formalmente come la derivata del gradino unitario. du( δ ( = (4.) o come la funzione tale che, integrata, ricotruice il gradino unitario. u ( = t δ( (4.)

3 CAPITOLO 4 - TRASFORMATA DI LAPLACE pag. 3/8 δ( δ(t-t ) t t t Fig Impulo unitario. Dal punto di vita matematico, il gradino u( ha derivata nulla ovunque, tranne che nell origine, in cui non è derivabile. Pertanto, come funzione, l impulo nell origine è nullo in tutti gli itanti, tranne che per t= in cui non è definito. L impulo va coniderato matematicamente una funzione generalizzata o ditribuzione. Nella teoria delle ditribuzioni, generalizzazioni delle funzioni ordinarie, l operazione di derivazione è empre definita, anche nelle dicontinuità. Le ditribuzioni ono empre ovunque illimitatamente derivabili e le loro derivate ono ancora ditribuzioni. Più intuitivamente, l impulo è rappreentabile da un andamento divero da zero in un intervallo molto piccolo e di ampiezza molto elevata, tale che la propria area ia unitaria. Il limite, facendo tendere a zero l intervallo ed all infinito l ampiezza con area empre unitaria, definice l impulo unitario. In intei, l impulo generico Aδ ( t t ) è caratterizzato dall itante di tempo t in cui i preenta e dalla propria area A. L impulo unitario preenta la eguente importante proprietà (detta a volte proprietà di campionamento). Coniderato l itante t all interno di un intervallo a-b, vale la b f ( δ( t t ) = f ( t ) (4.3) a Impuli di ordine uperiore Derivando (nel eno delle ditribuzioni) ulteriormente l impulo di Dirac (impulo del primo ordine) i ottengono impuli di ordine uperiore. La derivata n-eima del gradino unitario definice l impulo di ordine n: δ ( n) ( = n d u( n TRASFORMATA DI LAPLACE Si introducono nel eguito le definizioni formali e le proprietà principali della traformata, limitandoi a quanto è di interee per le reti elettriche, enza approfondirne gli apetti matematici né i limiti di applicabilità, in quanto ininfluenti per le applicazioni propote.

4 CAPITOLO 4 - TRASFORMATA DI LAPLACE pag. 4/8 La traformata di Laplace è applicabile anche alle ditribuzioni (funzioni generalizzate). In particolare le funzioni impulive (impuli del primo ordine e di ordini uperiori) poiedono traformate particolarmente ignificative. La traformata di Laplace di una funzione del tempo f( è per definizione la eguente funzione della variabile complea = σ + jω : F t = f ( e (4.4) =. Si noti che l integrale di definizione opera da un itante iniziale, aunto di regola come itante zero, in avanti. Quindi la traformata non dipende dai valori della funzione prima dell itante zero. Segue che funzioni uguali tra loro dall itante zero (compreo) in poi, ono inditinguibili nel dominio di Laplace. e i indica con la imbologia F L[ f ( ] Nella (4.4) e in molte formule che eguiranno il imbolo - indica il limite initro dell itante iniziale. In tal modo i comprendono anche le eventuali dicontinuità di tipo impulivo preenti nella funzione (generalizzata) all itante iniziale. Dalla formula (4.4) i nota che la variabile di Laplace è dimenionalmente l invero di un tempo, cioè una frequenza o pulazione. La relazione tra la variabile di Laplace e le uuali pulazioni è, in realtà, ancora più tretta, come i vedrà in eguito. Da ciò il nome di analii in frequenza alle formule e ai metodi che i baano ulla traformata di Laplace. La traformata F( di una variabile f( ha le dimenioni fiiche della f( moltiplicate per un tempo. = L. La formula generale di antitraformazione ha interee puramente teorico: L antitraformata i indica con la imbologia f ( [ F( ] σ+ j f ( = π F e t d j σ j La definizione data implica che uite corripondenza biunivoca tra funzioni del tempo e corripondenti traformate olo per le funzioni del tempo nulle per tempi negativi. Proprietà principali della traformata di Laplace Linearità La (4.4) e le proprietà dell integrale aicurano la linearità della traformazione. Segue che la traformata di una combinazione lineare di funzioni del tempo è uguale alla tea combinazione lineare delle ripettive traformate: L [ c f + c f ( + + c f ( ] = c F + c F + c F ( ) ( n n + n n

5 CAPITOLO 4 - TRASFORMATA DI LAPLACE pag. 5/8 Ad eempio: la omma di funzioni ha come traformata la omma delle traformate; una cotante moltiplicativa paa inalterata attravero la traformazione. Si ricordano ora le principali proprietà della traformata. Le dimotrazioni, non riportate, i ottengono facilmente dalla definizione (4.4). Derivazione nel tempo df ( L = F( f ( ) (4.5) Queta è la relazione fondamentale che giutifica l utilità della traformazione, in quanto traforma relazioni differenziali in algebriche. Integrazione nel tempo t F( L f ( = t F( f L f ( f = + + (4.6) E l invero della proprietà (4.5). Si notino nella (4.5) e (4.6) le cotanti aggiuntive legate ai valori iniziali. La congruenza di queti i può riconocere applicando la (4.5) al riultato (4.6). Derivazione di ordine generico Applicando iterativamente la (4.5) i ottiene la traformata della derivata n-eima n d f ( L = n = n F( n k= n F( nk d k n f ( f ( ) k ) n df ( ) n3 d f ( ) d f ( ) n n = (4.7) Tralazione nel tempo t [ f ( t t )] = e F( ) L (4.8) La (4.8) è valida per funzioni tali che f(= per t<, quindi, tralando, f(t-t )= per t<t. Tralazione nelle frequenze [ e ] at f ( = F( a) L (4.9)

6 CAPITOLO 4 - TRASFORMATA DI LAPLACE pag. 6/8 Limiti iniziale e finale Se i limiti indicati eitono (attenzione, vi ono importanti eccezioni), valgono le Lim f ( = Lim F( t Lim f ( = Lim F( t (4.) (4.) Tabelle di traformate comuni Come detto, la traformata opera u t. La tabella i riferice quindi, indifferentemente, alle funzioni indicate e alle tee moltiplicate per il gradino unitario nell origine (che annulla tutti i valori per tempi negativi). Le funzioni ono indicate di ampiezza unitaria. Per la linearità, è immediato coniderare l eventuale cotante moltiplicativa. Traformate di funzioni f( F( f(u( t t 3 t n n! (n intero poitivo) n+ e at a t n e at n! (n intero poitivo) n+ ( ) coωt en ωt coh ωt enh ωt a + ω ω + ω ω ω ω

7 CAPITOLO 4 - TRASFORMATA DI LAPLACE pag. 7/8 Traformate di ditribuzioni f( F( δ ( ( n) δ ( n- Le tabelle date e le proprietà della traformata conentono di ottenere molte altre corripondenze. La formula (4.8) di tralazione nel tempo conente la generalizzazione ad itanti generici delle funzioni in tabella. Si riportano alcuni riultati ignificativi. Traformate di tralazioni nel tempo f( F( ( t t ) t δ e ( n) δ t t ) n- t ( u( t t ) ϕ co( ωt + ϕ) u ( t + ) ω ϕ en( ωt + ϕ) u ( t + ) ω e e t e + ω ω + ω Come detto, le traformate di una funzione o della tea moltiplicata per il gradino unitario coincidono, in quanto le funzioni coincidono ul emiae poitivo dei tempi. Ciò non è più vero per le loro derivate: ee poono differire per l eventuale dicontinuità al tempo zero. Per comprendere come operare e verificare la proprietà di derivazione (4.5), i coniderino eguenti eempi. Eempio. Sia f ( = coωt per < t < +. Notare che f ( ) = d Sappiamo che ( co ω = ωenωt Traformati ambo i membri della uguaglianza, per la (4.5) i ha [ co ωt] = ωl[ enωt ] L La otituzione con le traformate di Tabella verifica l uguaglianza. Eempio. Sia f ( = u( coωt. Notare che f ( ) = La derivazione deve tenere conto della dicontinuità al tempo zero. Infatti, con le regole di derivazione del prodotto e ricordate le (4.) e (4.3), i ottiene: e ϕ ω ϕ ω

8 CAPITOLO 4 - TRASFORMATA DI LAPLACE pag. 8/8 d [ u( coωt] = δ( coωt ωu( en ωt = δ( ωu( en ωt Traformati ambo i membri della uguaglianza, per la (4.5) i ha [ co ωt] = ωl[ enωt ] L La otituzione con le traformate di Tabella verifica l uguaglianza. Traformata di Laplace ed equazioni differenziali Si illutra in modo diretto con eempi la relazione tra equazioni differenziali ed epreioni traformate. Eempio. Sia data la equazione differenziale nella funzione incognita y( : 3 d y d y dy + a + b + cy = f ( 3 E noto che per la integrazione di una equazione differenziale è richieta la conocenza delle condizioni iniziali. Nel cao pecifico devono eere dati i valori all itante zero dell incognita e delle ue derivate fino al econdo ordine: dy() d y() y ( ) = y = y ' = y" Si traformano ambo i termini della uguaglianza e i fruttano le regole di derivazione (4.5), (4.7): 3 Y y y ' y" + ay ay ay ' + by by + cy = F( Riolvendo nella variabile incognita in funzione della forzante e delle condizioni iniziali i ottiene la epreione riolvente da antitraformare F + ( + a + b) y + ( + a) y ' + y" Y = 3 + a + b + c Eempio. Sia data la relazione tra variabili traformate c + e Y = F( + a + b Si moltiplicano ambo i termini per il denominatore. Si ottiene Y + ay + by = cf( + ef( Si antitraforma tenendo preente la proprietà (4.5) di derivazione d y dy df ( + a + by = c + ef ( Si noti dagli eempi che la otituzione formale d = conente rapidamente la traformazione e la antitraformazione, purché le condizioni iniziali iano tutte nulle (o a meno delle condizioni iniziali).

9 CAPITOLO 4 - TRASFORMATA DI LAPLACE pag. 9/8 APPLICAZIONE ALLE RETI ELETTRICHE Conideriamo una rete elettrica cotituita da componenti lineari ed invarianti. Queta è governata da relazioni lineari invarianti: relazioni di Kirchhoff e relazioni cotitutive. A tutte le variabili e alle relazioni corripondenti i può applicare la Traformata di Laplace, ottenendo coì la rete traformata (o rete nel dominio della frequenza). Tenioni, correnti ed altre variabili di rete, quali funzioni del tempo, ono traformabili econdo Laplace. Le traformate i indicano con la imbologia V(, I(, ecc. Le dimenioni fiiche di V( ono [V] (voltxecondo), le dimenioni del fluo concatenato. Le dimenioni fiiche di I( ono [A] (amperexecondo), le dimenioni della carica elettrica. Per la linearità della traformazione, le relazioni di Kirchhoff continuano a valere nella tea forma ulla rete traformata. Ciò aicura la validità delle formule di compoizione degli elementi di rete e di tutti i teoremi che i fondano ulla linearità. Le traformate delle relazioni cotitutive aumono i nomi di impedenze generalizzate e ammettenze generalizzate (o imboliche o anche operatoriali). Oervazione importante. La linearità della traformata conerva le relazioni formali olo tra variabili legate da relazioni lineari. Le funzioni quadratiche, come le potenze, energie, forze, non hanno un corripettivo nel dominio di Laplace, ma ono valutabili unicamente dalle grandezze nel dominio del tempo. TRASFORMATE DI BIPOLI E MULTIPORTA ELEMENTARI Variabili o parametri in forma vettoriale o genericamente matriciale ono traformati in vettori e matrici corripondenti di dimenioni invariate: ogni termine della matrice traformata è la traformata di Laplace del corripondente termine della matrice originaria. Si eaminano ora i componenti elementari. Per i limiti di applicabilità della traformata di Laplace, è necearia l ipotei di linearità ed invarianza. Multiporta reitivi E ovvio, per la linearità della traformazione, che la relazione cotitutiva del reitore v=ri i traduce nella identica relazione nelle variabili traformate V = RI( (4.) La relazione matriciale del multiporta reitivo v=ri i traduce nella relazione matriciale traformata V = RI( (4.3) Analogamente per le altre forme algebriche matriciali.

10 CAPITOLO 4 - TRASFORMATA DI LAPLACE pag. /8 Multiporta induttivi La relazione in forma differenziale dell induttore (4.5) diventa di v = L per la regola di derivazione V = LI LI = Ψ (4.4) LI ( ) dove I e Ψ = LI ono ripettivamente la corrente ed il fluo all itante iniziale. Nella (4.4) appaiono eplicitamente le condizioni iniziali (o, meglio, lo tato iniziale) dell induttore. t La relazione in forma integrale i = Γ v + I per la regola di integrazione (4.6) diventa Γ I I I = V + = V + (4.5) L La (4.5) è la (4.4) riolta nella corrente. Si oervi la potenzialità della traformazione di Laplace: le relazioni differenziale e integrale dell induttore ono traformate in due relazioni algebriche equivalenti, comprendenti anche l informazione ullo tato iniziale. La (4.4) è interpretabile circuitalmente come la erie di una impedenza L e di un generatore di tenione impulivo (cotante nel dominio di Laplace) di ampiezza Ψ. Ciò dà luogo al eguente circuito equivalente dell induttore carico, viualizzato nel dominio del tempo e delle frequenze (Fig. 4.4): L Φ o δ( L Φ o + + i( v( I( V( Fig Equivalente erie dell induttore carico. Analogamente la (4.5) è interpretabile come il parallelo della tea impedenza con un generatore di corrente cotante di ampiezza I (Fig. 4.5). Il multiporta induttivo traformato è governato dalle relazioni in forma matriciale V = LI = Ψ (4.6) LI LI( ) V I( ) = L + I (4.7)

11 CAPITOLO 4 - TRASFORMATA DI LAPLACE pag. /8 L L Ι o Ι o i( v( I( V( Fig Equivalente parallelo dell induttore carico. In modo analogo al bipolo, le cotanti iniziali non nulle nel multiporta induttivo ono rappreentabili da un inieme di generatori indipendenti in erie o in parallelo ad ogni porta. Il mutuo induttore, doppio bipolo induttivo, preenta le eguenti relazioni eplicite ed i circuiti equivalenti di Fig V L = V L I I M L = L L L M I I Φ Φ LM M L V I + V I con Φ Φ L = L M L L M I I I ( Φ o + L L Φ o + I ( I ( L L I ( V ( V ( V ( Ι o Ι o V ( L m L m Fig Equivalenti del mutuo induttore. Multiporta capacitivi La relazione in forma differenziale del condenatore (4.5) diventa dv i = C per la regola di derivazione I = CV CV = q (4.8) CV

12 CAPITOLO 4 - TRASFORMATA DI LAPLACE pag. /8 dove V e q = CV ono ripettivamente la tenione ed la carica all itante iniziale. Nella (4.4) appaiono eplicitamente le condizioni iniziali (o, meglio, lo tato iniziale) del condenatore. t La relazione in forma integrale v = S i + V per la regola di integrazione (4.6) diventa S V V V = I( + = I( + (4.9) C La (4.9) è la (4.8) riolta nella tenione. La (4.8) è interpretabile circuitalmente come il parallelo di una impedenza /C e di un generatore di corrente impulivo di ampiezza q. Ciò dà luogo al eguente circuito equivalente del condenatore carico, viualizzato nel dominio del tempo e delle frequenze (Fig. 4.7): i( I( v( q δ( C V( q C Fig Equivalente parallelo del condenatore carico. Analogamente la (4.9) è interpretabile come la erie della tea impedenza con un generatore di tenione cotante di ampiezza V (Fig. 4.8). i( I( v( V + C V( V + C Fig Equivalente erie del condenatore carico. Il multiporta capacitivo traformato è governato dalle relazioni in forma matriciale I( ) = CV CV = q (4.) CV ( )

13 CAPITOLO 4 - TRASFORMATA DI LAPLACE pag. 3/8 V ( ) = C I( + V (4.) In modo analogo al bipolo, le cotanti iniziali non nulle nel multiporta capacitivo ono rappreentabili da un inieme di generatori indipendenti in erie o in parallelo ad ogni porta. RETE TRASFORMATA Per quanto vito, la rete traformata è cotituita da un inieme di impedenze od ammettenze (funzioni di oggette alle uuali regole di compoizione. La rete elettrica cotituice un itema dinamico, pertanto alla rete i applicano la terminologia e le proprietà dei itemi dinamici. Le forzanti (ingrei del itema dinamico cotituito dalla rete) ono di due tipi: forzanti eterne e condizioni iniziali. Le forzanti eterne ono le traformate dei generatori indipendenti. Ad ei vanno aggiunti generatori di tenione o corrente (di tipo impulivo o gradino), che rappreentano le condizioni iniziali degli elementi dinamici. Nella Teoria dei Sitemi il rapporto (funzione di fra la traformata di una ucita e la traformata di un ingreo prende il nome di funzione di traferimento (f. di t.). Nel notro cao l ucita è una qualiai tenione o corrente di interee, l ingreo è un generatore indipendente (forzante eterna o condizione iniziale). Dato l ingreo U( e l ucita Y(, vale la Y = F( U( (4.) La F( è chiamata funzione di traferimento (f. di t.) tra la coppia ingreo-ucita coniderata. Dato che l impulo unitario ha per traformata l unità, per ingreo impulivo unitario la (4.) i riduce alla Y = F(. Ciò rivela il eguente importante ignificato fiico: la f. di t. è la traformata della ripota all impulo unitario. Per la linearità del itema, la ripota a più forzanti imultanee i ottiene per ovrappoizione dalla omma di termini del tipo (4.) con differenti f. di t. Nelle reti le funzioni di traferimento ono di quattro tipi: impedenze, ammettenze, rapporti di tenione, rapporti di corrente. Le impedenze/ammettenze a loro volta i ditinguono in autoimpedenze/autoammettenze quando mettono in relazione variabili della tea porta elettrica, mutue impedenze/mutue ammettenze in cao contrario. Proprietà delle f. di t. di reti a parametri concentrati In reti lineari tempo-invarianti e a parametri concentrati (cioè cotituite da multiporta reitivi, induttivi, capacitivi dei tipi viti) valgono le eguenti proprietà: - le f. di t. ono funzioni razionali in a coefficienti cotanti (cioè rapporti di due polinomi in a coefficienti cotanti); - le autoimpedenze e autoammettenze ono rapporti tra due polinomi in il cui grado differice al maimo di una unità. Poli e zeri delle f. di t. Conideriamo le f. di t. cotituite dal rapporto tra due polinomi in.

14 CAPITOLO 4 - TRASFORMATA DI LAPLACE pag. 4/8 - Le radici del denominatore (cioè i valori di che annullano il denominatore) ono chiamati poli. L ucita valutata per queti valori di tende all infinito. - Le radici del numeratore (cioè i valori di che annullano il numeratore) ono chiamati zeri della f. di t. L ucita valutata per queti valori di i annulla. Dato che i coefficienti delle f. di t. ono reali, i poli e gli zeri ono reali o a coppie complei coniugati. La parte immaginaria di una coppia di poli complei coniugati corriponde ad una pulazione di rionanza della rete. I poli ono particolarmente importanti. Sono una caratteritica del itema dinamico dato (quindi della rete completa data). Infatti tutte le f. di t. di un dato itema dinamico preentano lo teo inieme di poli (lo teo denominatore a meno di una cotante moltiplicativa), mentre gli zeri dipendono dalla coppia ingreo-ucita coniderata. I poli determinano le caratteritiche dinamiche ed in particolare la tabilità del itema. Prendono il nome di modi propri o modi caratteritici della rete (o anche frequenze proprie o frequenze caratteritiche in eno generalizzato). Reti algebriche Grazie alla traformata, le relazioni cotitutive dei componenti di rete ono relazioni algebriche, analogamente alle reti reitive e alle reti nei faori in regime inuoidale. Pertanto tutti i componenti ono algebrici (con parametri funzioni di anziché cotanti). Reti di queto tipo ono chiamate reti algebriche. Per ee valgono le proprietà ed i teoremi per reti reitive lineari tempo-invarianti. Tra i principali i ricordano: - ovrappoizione - teorema di otituzione - teorema di Thevenin-Norton - reciprocità. Una importante coneguenza della traformazione in algebriche delle relazioni differenziali è che in tal modo i bipoli e i multiporta dinamici ono controllabili ia in tenione che in corrente (contrariamente alle formulazioni nel dominio del tempo che preentano una ola forma di controllo). Ciò conente di trattare anche le configurazioni di tipo degenere. Teorema di Thevenin-Norton Ha le tee proprietà formali e le tee regole di calcolo delle reti reitive ed in regime alternato inuoidale nei faori. I generatori equivalenti e le impedenze/ammettenze ono funzioni di. Nei generatori equivalenti ono comprei i generatori rappreentativi delle condizioni iniziali. Valgono le uuali formule di traformazione erie-parallelo (Fig. 4.9). Si noti che le coppie delle Fig e delle Fig i corripondono nella traformazione erie-parallelo. Reciprocità Vale il teorema di reciprocità applicato alle f. di t. Una rete compota unicamente da elementi reciproci è reciproca.

15 CAPITOLO 4 - TRASFORMATA DI LAPLACE pag. 5/8 + Z ( eq E eq ( A I( V( J eq ( Y eq ( A I( V( B B Fig Equivalenti di Thevenin e di Norton. Traformata e algebra faoriale. Ripota in frequenza Si oervi la analogia formale tra le relazioni cotitutive a condizioni iniziali nulle e le corripondenti dell algebra faoriale, e i opera la otituzione = jω. Si può dimotrare che tale relazione ha validità generale e vale la eguente importante proprietà: Una funzione di traferimento tra variabili di rete, e valutata per = jω, fornice, in regime inuoidale alla pulazione data, la relazione complea tra i faori corripondenti alle tee variabili. In regime inuoidale alla pulazione ω iano U e Y i faori dell ingreo e dell ucita. Allora la (4.) i traduce nella Y = F ( jω) U (4.3) La relazione tra faori (4.3), e coniderata funzione della pulazione variabile, fornice la ripota in frequenza. Ovvero l andamento, in modulo e fae, del faore Y al variare della frequenza del egnale inuoidale U di ingreo. FUNZIONI CISOIDALI La proprietà vita per il regime inuoidale i generalizza nel modo eguente. Le funzioni cioidali ono del tipo (γ cotante reale o complea): u( = Ue γt Comprendono le cotanti e, mediante l operatore Parte Reale, le inuoidi. Si hanno i cai particolari: γ = funzione cotante u ( = U γ = α (α cotante poitiva) eponenziale crecente γ = α (α cotante poitiva) eponenziale decrecente γ = j ω vettore rotante (funzione complea) u( = Ue u( = Ue u( = Ue Le funzioni inuoidali ono combinazioni lineari di funzioni cioidali, pecificamente di due vettori rotanti controruotanti. Per la formula di Eulero: αt αt jωt

16 CAPITOLO 4 - TRASFORMATA DI LAPLACE pag. 6/8 j t j t u( U M co( t ) [ Ue ω ω jϕ = ω + ϕ = + Ue ] dove U = U M e / è il faore Più emplicemente, mediante l operatore Parte Reale, anche la inuoide i conidera una cioide: jωt γ = j ω funzione inuoidale u( = U M co( ωt + ϕ) = Re[ Ue ] γ = α + j ω funzione inuoidale morzata αt ( α+ jω) t u( = U e co( ωt + ϕ) = Re[ Ue ] M L importanza delle funzioni cioidali riiede nella proprietà di derivazione. d γt γt Ue = γue La derivata di una funzione cioidale è pari alla funzione tea moltiplicata per la cotante caratteritica γ. Si vedrà più dettagliatamente nel capitolo dedicato ai tranitori, che l andamento completo nel tempo di una variabile è la omma di un termine forzato, dello teo tipo della forzante, più il tranitorio proprio (o ripota libera). Per termine forzato i intende l integrale particolare dell equazione differenziale che governa la dinamica e coincide con il regime per forzanti periodiche. Il termine forzato dovuto a una funzione cioidale i ottiene dalla f. di t. valutata per =γ, ovvero riferendoi alla (4.) y = γ) γt ( F( Ue (4.4) La (4.4) è valida purchè γ non coincida con alcun polo della f. di t. Come cao particolare il regime per ingreo cotante è y ( = Y = F() U. La (4.4) rende ragione del metodo dei faori in regime inuoidale. Infatti le forzanti inuoidali ono combinazioni lineari di due funzioni cioidali coniugate: j t jωt Dalla inuoide u( = [ Ue ω + Ue ] per ovrappoizione l ucita è jωt jωt y( = [ F ( jω) Ue + F ( jω) Ue ]. Poiché F( è funzione analitica reale di variabile jωt complea, F ( jω) = F( jω), quindi y( = Re[ F ( jω) Ue ]. Per la definizione di faore i ritrova la (4.3). USO DELLA RETE TRASFORMATA Quanto dicuo finora ha fornito l inquadramento teorico della Traformata di Laplace applicata alle reti elettriche. Operativamente il metodo va vito quai come un inieme di regole pratiche per getire in modo emplice relazioni differenziali lineari a coefficienti cotanti.

17 CAPITOLO 4 - TRASFORMATA DI LAPLACE pag. 7/8 La rete traformata inerte conite in un inieme di relazioni cotitutive da comporre per formulare rapidamente relazioni tra le variabili di interee (f. di t.). Nel cao di bipoli elementari i hanno le impedenze generalizzate R, L, /C da comporre. Le traformate delle variabili di ingreo e di ucita quai mai neceitano di eere eplicitate, almeno per le uuali forme delle forzanti. Le f. di t. nelle reti ono utilizzate principalmente nelle tre applicazioni eguenti. Per le prime due i richiedono le f. di t. dai oli ingrei eterni. Il terzo cao richiede di coniderare anche i generatori equivalenti alle condizioni iniziali. A) F. di t. del itema. Le f. di t. della rete come itema dinamico ono uno trumento importante per l analii intetica delle caratteritiche dinamiche, la tabilità e la mea a punto del controllo. Queti apetti trovano applicazione in altri cori. B) Analii di regime. Per l analii di regime, ed in generale dei termini forzati con ingrei cioidali, i opera, come vito, direttamente ulle epreioni delle f. di t. ponendo = in continua, = jω in inuoidale, = γ in generale. Grazie alla linearità, il regime dovuto a qualiai forzante periodica viluppabile in erie di Fourier è calcolabile nello teo modo per ovrappoizione di funzioni inuoidali. C) Studio di tranitori. L andamento tranitorio completo di una variabile di rete i ottiene in linea di principio per antitraformazione del prodotto (4.) tra la f. di t. e l ingreo, comprei i generatori corripondenti alle condizioni iniziali. Ciò richiede la traformazione delle forzanti, la moltiplicazione per le f. di t. appropriate, indi la antitraformazione dei prodotti. Nei cai di interee le traformazioni/antitraformazioni i poono ottenere con emplici regole tandard e utilizzando la tabella delle traformate. Calcolo imbolico (operatoriale) Come i è vito, le epreioni chiave ono le f. di t. Nelle reti elettriche quete ono le funzioni di rete (impedenze, ammettenze, rapporti di tenione, rapporti di corrente) già note nell algebra dei faori, con la variabile al poto di jω. Si conidera quindi la eguente Traformazione Simbolica. Sia una rete inerte lineare invariante dinamica con relazioni di tipo integro-differenziale uuali. La rete i traforma in rete imbolica con la otituzione dell operatore derivata ripetto al tempo con il imbolo, dell operatore integrale nel tempo con il imbolo /. In altre parole, ugli induttori e condenatori i coniderano, ripettivamente, le impedenze L e /C (ammettenze /L e C) e analoghe forme matriciali per i multiporta induttivi e capacitivi. La rete imbolica e tutti i componenti riultano algebrici, anziché con relazioni integrodifferenziali. Il imbolo va coniderato variabile algebrica e manipolabile come tale. Dopo di che le funzioni di rete richiete i ottengono dalla rete con i metodi uuali di analii e compoizione di impedenze/ammettenze. Da notare che la traformazione imbolica i applica alla rete inerte. I generatori indipendenti non ono traformati. Le relazioni ottenute i chiamano impedenze, ammettenze, ecc. imboliche (o anche operatoriali), e il relativo calcolo, calcolo imbolico o calcolo operatoriale.

18 CAPITOLO 4 - TRASFORMATA DI LAPLACE pag. 8/8 In realtà in metodo i potrebbe chiamare traformazione di Laplace. Ma i preferice la dizione imbolico in quanto non i vuole implicare tutta la teoria di Laplace, oprattutto per quanto riguarda le condizioni di traformabilità dipendenti dalla forma delle forzanti. Rimangono valide le limitazioni della traformata di Laplace: il calcolo imbolico è applicabile a relazioni lineari e tempo-invarianti. La rete imbolica è quindi lineare, invariante, non dinamica. Le relazioni imboliche ono di validità generale: - Con la otituzione = jω i ottengono le relazioni in inuoidale nei faori. - Con la otituzione banale = i ottengono le relazioni in regime cotante (in continua). - Fornicono l integrale forzato con forzanti cioidali. - Sono le funzioni di traferimento, utilizzabili nei controlli. - Contengono l informazione delle frequenze caratteritiche della rete (radici del denominatore). - Sono utilizzabili per l analii completa di tranitorio (i richiedono gli ingrei traformati). Il calcolo imbolico perde l informazione delle condizioni iniziali delle variabili di tato. Per tenerne conto i poono aggiungere i generatori equivalenti alle condizioni iniziali.