Dispense del corso di Analisi II

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1 Dipene del coro di Analii II verione preliminare Paolo Tilli Diparimeno di Maemaica Poliecnico di Torino gennaio 25

2 Capiolo 5 Traformaa di Laplace 5. Inroduzione Sia x() una funzione coninua a rai e definia almeno ulla emirea [, + ). Scelo un numero reale, l inegrale improprio (5.) x()e d può eiere o non eiere, a econda del valore del paramero. L inieme D dei numeri per cui ale inegrale eie finio coiuice il dominio di una nuova funzione X(), dea raformaa di Laplace di x(), definia dall uguaglianza X() = x()e d, D. Chiaramene, il dominio D della raformaa di Laplace X() dipenderà dalla funzione x().! Eempio 5.. Se x() = e, l inegrale improprio X() = x()e d = e ( ) d eie finio olo per >, e quindi il dominio D della raformaa è dao dalla emirea apera (, ). Se invece x() = e 2 /( + 2 ), l inegrale X() = x()e d = e (2 ) + 2 d eie finio e e olo e 2, e quindi D è la emirea chiua [2, ). Ancora, per x() = e 2 l inegrale improprio X() = x()e d = e 2 d 5

3 eie finio per ogni, e perano i ha D = R. Infine, e x() = e 2, l inegrale improprio X() = x()e d = e 2 d non è finio per alcun valore di, e quindi il dominio D della raformaa i riduce all inieme vuoo. Negli eempi precedeni il dominio D della raformaa di Laplace era empre una emirea della forma (, ) oppure della forma [, ), coniderando l inera rea reale e l inieme vuoo come cai limie. In effei, queo accade in generale: in alre parole, e l inegrale improprio (5.2) x()e d eie finio per un cero, allora è poibile dimorare che eie finio anche l inegrale x()e d per ogni valore di ale che >, e quindi il dominio D della raformaa di Laplace è empre una emirea. Riaumiamo quano deo nella eguene definizione. Definizione 5..2 Daa una funzione x(), definia almeno per e coninua a rai, indichiamo con D la emirea (evenualmene degenere) definia da D eie finio l inegrale improprio x()e d. Si chiama raformaa di Laplace della funzione x(), e la i indica con uno dei imboli L [x() o X, la nuova funzione (5.3) L [x() () = X() = def x()e d, D avene l inieme D come dominio di definizione. Quando D è non vuoo, la funzione x() i dice raformabile econdo Laplace. Il ermine raformaa oolinea il fao che i coruice, a parire da una daa funzione x(), una nuova funzione X(), dea appuno raformaa di x(), econdo lo chema raformaa x(), X(), D La raformaa di Laplace rova numeroe applicazioni, ad eempio nella rioluzione eplicia di alcune equazioni differenziali. Il puno cruciale, a queo propoio, è la poibilià di ricoruire la funzione x(), conocendo la ua raformaa di Laplace X(). Quea pecie di operazione invera, dea aniraformaa di Laplace, opera econdo econdo lo chema x(), aniraformaa 6 X(), D

4 Se i inerprea x() come un egnale in funzione del empo, analizzao per empi poiivi, i vede dalla formula (5.3) che la variabile ha le dimenioni di una frequenza, dao che il prodoo (per poerne calcolare l eponenziale) deve eere adimenionale. Perano, i può penare alla raformaa di Laplace come a uno rumeno che permee di rappreenare un egnale nello pazio delle frequenze. Concludiamo quea inroduzione con il calcolo direo di alcune raformae di Laplace. Quei eempi elemenari, combinai con le proprieà generali della raformaa che udieremo nei paragrafi egueni, coneniranno di calcolare le raformae di Laplace di funzioni anche piuoo complee.! Eempio 5..3 (funzione a gradino) Conideriamo la coiddea funzione a gradino, definia da { e <, (5.4) U() = e. Quea funzione rivee un ruolo fondamenale nella eoria dei egnali, in quano rappreena un egnale di inenià uniaria, che inizia al empo zero e perie per un empo illimiao. Uando la definizione 5..2, calcoliamo la raformaa di Laplace di U(). Si ha U()e d = e d e l inegrale improprio eie finio e e olo e > : in queo cao, l inegrale vale /, come i verifica facilmene. Allora il dominio della raformaa L [U() è la emirea apera (, ), e i ha (5.5) L [U() () =, >.! Eempio 5..4 (eponenziale) Calcoliamo la raformaa di Laplace della funzione eponenziale x() = e a, dove a è un paramero reale. Si ha e a e d = e (a ) d = a > a, alrimeni l inegrale improprio non è convergene. Quindi il dominio della raformaa è la emirea apera (a, ) e (5.6) L [ e a () = a, > a. 7

5 ! Eempio 5..5 (funzioni rigonomeriche) Calcoliamo la raformaa di Laplace di x() = in. L inegrale improprio (in )e d è convergene e e olo e >, quindi il dominio della raformaa di Laplace di in è la emirea apera (, ). Per calcolare l inegrale improprio, calcoliamo prima di uo una primiiva (in )e d = e ( in co ). 2 + Quindi, per > i rova l (in )e d = lim (in )e e l ( in co ) d = lim l l 2 + ( ) e l ( in l co l) = lim e ( in co ) = l e la raformaa è quindi daa da (5.7) L [in () = 2 +, >. In maniera del uo analoga, i verifica che (5.8) L [co () = 2 +, >.! Eempio 5..6 Calcoliamo la raformaa di Laplace della funzione x() =. L inegrale improprio e d è convergene e e olo e >. Inolre, inegrando per pari i rova che la funzione e ( )/ 2 è una primiiva di e, quindi per > i ha l e d = lim e d = lim l = lim l La raformaa di Laplace è allora daa da e ( ) l 2 ( e l ( l ) e ( ) 2 2 (5.9) L [ () = 2, >. 8 l ) =. 2

6 Non empre è agevole deerminare eaamene il dominio della raformaa di Laplace di una daa funzione x(). In ogni cao, un crierio uile per abilire e x() è raformabile econdo Laplace conie nello udiare il uo ordine di crecia. Si dice che una funzione x() ha crecia eponenziale e eiono due coani M e α ali che valga la maggiorazione x() Me a. Inolre, l eremo inferiore degli eponeni α per cui è poibile avere una ima di queo ipo, viene deo ordine di crecia della funzione x(). Si può verificare facilmene che, e una funzione ha ordine di crecia, allora ea è raformabile econdo Laplace, almeno nella emirea apera (, ) (quea condizione è in generale olano ufficiene e non necearia ai fini della raformabilià). Eempio 5..7 Se x() è una funzione limiaa, cioè e eie una coane M ale che x() M, allora x() ha crecia eponenziale, e il uo ordine di crecia (come i verifica facilmene) è minore o uguale a zero. Quindi, qualiai funzione coninua a rai e limiaa, è raformabile econdo Laplace, almeno ulla emirea poiiva (, ).! Eempio 5..8 (ordine delle funzioni iperboliche) Le funzioni iperboliche inh def = e e, coh def = e + e 2 2 hanno enrambe crecia eponenziale e ordine di crecia. Infai, i ha per > inh = e e 2 2 e, e coh = e + e e, 2 e il numero in e = e non può eere oiuio da alcun faore più piccolo. Le funzioni iperboliche inh e coh, quindi, ono raformabili econdo Laplace nella emirea (, ): L [inh () = (inh )e d, L [coh () = (coh )e d, >. Il calcolo delle ripeive raformae verrà effeuao nel proimo paragrafo, uando la proprieà di linearià. Eercizi 5.. Calcolare, uilizzando la definizione, la raformaa di Laplace delle egueni funzioni, indicandone ogni vola il dominio di definizione: in 2, +, 2e 4 3 co 4, U( 3), Deerminare e le egueni funzioni hanno crecia eponenziale e, in cao affermaivo, deerminarne l ordine di crecia: e 5, 2e + 4, 2 +, ( + 3 )e 3, e 2 +2, e inh 2, in 9

7 5.2 Proprieà fondamenali La raformaa di Laplace gode di alcune proprieà fondamenali, che conenono di ridurre noevolmene il volume di calcolo che arebbe richieo e, per calcolarla, i facee ricoro unicamene alla definizione (5.3). La prima proprieà della raformaa di Laplace è quella di linearià. Linearià. Se x () e x 2 () ono due funzioni con raformae di Laplace X () e X 2 () nei ripeivi dominî D e D 2, allora una qualiai loro combinazione lineare ax () + bx 2 () è a ua vola raformabile, nel dominio dao dall inerezione dei due dominî, e vale: (5.) L [ax () + bx 2 () () = ax () + bx 2 (), D D 2. Eempio 5.2. Combinando la (5.6) e la (5.7), i ha L [ 2e in () = , > 3 (i noi che il dominio di raformabilià è dao dall inerezione dei due dominî (3, ) e (, )).! Eempio (funzioni iperboliche) Calcoliamo la raformaa di Laplace delle funzioni iperboliche inh a e coh a, dove a è un paramero reale. Si ha inh a = ea e a 2 = 2 ea 2 e a, quindi inh a è una combinazione lineare di due funzioni eponenziali, di cui abbiamo già calcolao la raformaa di Laplace. In paricolare, uando due vole la (5.6) (prima con a, poi con a) roviamo: L [ e a () = a, > a, e L [ e a () = + a, > a. I due dominî di raformabilià ono quindi le due emiree (a, ) e ( a, ), e la loro inerezione è la emirea ( a, ), indipendenemene dal egno di a. Applicando la proprieà di linearià (5.), i oiene quindi (5.) L [inh a () = 2 ( a ) + a = a 2 a 2, > a. In maniera del uo analoga, i rova (5.2) L [coh a () = ( 2 a + ) = + a 2 a 2, > a.

8 Paiamo ora in raegna alcune alre proprieà della raformaa di Laplace, con relaive dimorazioni ed eempi. Anche e quee non ono le ipoei oimali, upporremo empre che x() ia una funzione coninua a rai u [, ) con crecia eponenziale del ipo (5.3) x() Me per un cero numero. In queo modo, per > riula enz alro definia la ua raformaa di Laplace X() = x()e d, >. Ricalameno. Se a > è un paramero reale, allora (5.4) L [x(a) () = a X(/a), > a. Dimorazione. Baa effeuare il cambiameno di variabile z = a nella definizione di raformaa di Laplace. Infai, e > a, abbiamo L [x(a) () def = x(a)e d = a x(z)e z/a dz def = a X(/a).! Eempio (funzioni rigonomeriche) Vogliamo calcolare la raformaa di Laplace della funzione in a, dove a > è un paramero reale. Ponendo x() = in, dalla (5.7) appiamo che X() = 2 +, >. Applicando la proprieà di ricalameno (5.4), roviamo quindi (5.5) L [in a = a (/a) 2 + = Analogamene, parendo dalla (5.8) i rova (5.6) L [co a = a /a (/a) 2 + = a 2 + a 2, >. 2 + a 2, >. Proprieà di ralazione. Se a > è un paramero reale poiivo, allora (5.7) L [x( a)u( a) () = e a X(), >. Si noi che, ricordando la (5.4), i ha x( a)u( a) = { x( a) e a, e < a.

9 Il grafico della funzione x( a)u( a) u [, ), perano, i oiene ralando il grafico di x()u() di una quanià pari ad a vero dera (e quindi la funzione ralaa arà nulla u [, a)). In paricolare, e x()u() rappreena un egnale che inizia al empo =, la funzione x( a)u( a) rappreena un egnale idenico ma riardao nel empo (cioè, un egnale di forma idenica che inizia al empo a). Per queo moivo, la (5.7) è noa anche come formula del riardo. Dimorazione. È ufficiene noare che U( a) = per < a e U( a) = per a, e poi effeuare il cambiameno di variabile z = a nell inegrale: L [x( a)u( a) () def = = a = e a x( a)u( a)e d x( a)e d = x(z)e a z dz x(z)e z dz def = e a X(), >.! Eempio (gradino ralao) Fiao a, calcoliamo la raformaa di Laplace della funzione a gradino ralaa, ovvero { e < a, U( a) = e a. Noiamo che i ha U( a) = U( a)u( a), quindi poiamo uare la formula del riardo (5.7) con x() = U(), oenendo L [U( a) () = L [U( a)u( a) () = e a L [U() (). D alra pare, la raformaa L [U() () della funzione a gradino è già aa calcolaa nella (5.5), quindi i oiene (5.8) L [U( a) () = e a, >.! Eempio Calcoliamo la raformaa di Laplace della funzione { e <, x() = 2e 3 e. Per far queo, noiamo che i ha x() = 2e 3 U( ) = 2e 3 e 3( ) U( ). Applicando prima la linearià e poi la formula del riardo con a =, oeniamo L [x() () = 2e 3 L [ e 3( ) U( ) () = 2e 3 e L [ e 3 (), 2

10 e baa quindi calcolare la raformaa di Laplace di e 3. Del reo, fruando la (5.6) i rova L [ e 3 () = 3, > 3 e quindi e L [x() () = 2e 3 3, > 3. Modulazione. Se a è un paramero reale, allora (5.9) L [ e a x() () = X( a), > + a. Il ignificao della (5.9) è che la moliplicazione per una funzione di ipo eponenziale i riflee, nella raformaa di Laplace, in una ralazione nel dominio delle frequenze. Per queo moivo, la proprieà di modulazione è anche dea econda formula del iardo. Dimorazione. Si raa di una emplice verifica, uilizzando la definizione di raformaa di Laplace: L [ e a x() () def = e a x()e d = x()e ( a) d def = X( a), > + a.! Eempio Calcoliamo la raformaa di Laplace della funzione x() = e 2 in 3. Applicando prima la proprieà di modulazione (5.9) (con a = 2) e poi la formula (5.5) (con a = 3), i rova L [ e 2 in 3 () = L [in 3 ( 2) = 3 ( 2) = 3 ( 2) 2 + 9, > 2. Moliplicazione per. Si ha (5.2) L [x() () = X (), >. Applicando ripeuamene la (5.2), i oiene (5.2) L [ n x() () = ( ) n dn d n X(), >, n inero poiivo. Una dimorazione eauriene della proprieà (5.2) eula dai nori copi, in quano richiede rumeni piuoo avanzai di eoria dell inegrazione. Tuavia, è facile 3

11 fornire una giuificazione inuiiva della (5.2), oenua cambiando i imboli di derivaa e inegrale: X () def = d ( ) x()e d ( d = ) x()e d d d = x()e d def = L [x() (). Per rendere complea la dimorazione, arebbe neceario giuificare adeguaamene la econda uguaglianza, cioè il fao che la derivaa ripeo a dell inegrale in d (in cui compare come paramero), ia uguale all inegrale della funzione derivaa.! Eempio (poenze di ) Dao un inero poiivo n, calcoliamo la raformaa di Laplace della funzione n. È ufficiene applicare la (5.2), cegliendo x() = U(), cioè la funzione a gradino la cui raformaa è già aa calcolaa nella (5.5): ( ) L [ n () = L [ n U() () = ( ) n dn = n!, >. d n n+ Ad eempio, i ha cegliendo n =, 2, 3 L [ = ( ) = 2, L [ 2 = ( ) = 2 3, L [ 3 = ( ) = 6, >. 4! Eempio Calcoliamo la raformaa di Laplace di in 3. Dalla (5.5) con a = 3, i ha L [in 3 () = , > e quindi uando la (5.2) i rova L [ in 3 () = ( ) 3 = ( 2 + 9) 2, >. Coì come la moliplicazione per i raduce, nella raformaa di Laplace, in una derivazione e in un cambiameno di egno, la diviione per i raduce in una inegrazione: Diviione per. Se il limie dero eie finio, allora [ x() (5.22) L () = x( + x() ) def = lim + X(S) ds, >. 4

12 ! Eempio Calcoliamo la raformaa di laplace della funzione in()/. Il limie dero in lim + eie finio, quindi poiamo applicare la (5.22): [ in L () = L [in (S) ds. Ricordando la (5.7), oeniamo [ in L () = S 2 + ds = arcan(s) (5.23) = π arcan = arcan(/), >. 2 Oervazione 5.2. Se nella ima (5.3) i ha <, allora poiamo cegliere = nella (5.22), oenendo [ x() L () = X() d. Ma ricordando la definizione della raformaa di Laplace (5.3), poiamo crivere quea relazione nel modo eguene: (5.24) x() d = X() d. La (5.24) coninua a valere anche quando =, ma in queo cao biogna upporre che i due inegrali impropri iano convergeni.! Eempio 5.2. Per calcolare l inegrale improprio in che appiamo eere convergene, i può uare la (5.24). Infai, ponendo x() = in la (5.3) è verificaa con =, e i ha X() = /( 2 + ) per > grazie alla (5.7). Applicando la (5.24), i oiene d, in d = 2 + d = arcan = π 2. 5

13 Traformaa della derivaa. Se x() è coninua u [, ) ed è di clae C in (, + ), allora (5.25) L [x () () = X() x(), >. Dimorazione. Fiiamo un numero l >. Inegrando per pari, i ha l x ()e d = x()e l l l + x()e d = x(l)e l x() + x()e d. Per la (5.3), i ha lim l x(l)e l =, >, e quindi per definizione di raformaa di Laplace l ( l ) L [x () () def = lim x ()e d = lim x(l)e l x() + x()e d l l l = x() + lim x()e d def = x() + X(), >, l cioè la (5.25). Oervazione Ferme reando le alre ipoei, e x() è coninua in (, ) ed eie finio il limie dero allora la (5.25) rea valida nella forma x( + ) def = lim x(), + (5.26) L [x () () = X() x( + ), >. Inolre, e i fanno analoghe ipoei ulle derivae di ordine maggiore al primo, la (5.26) può eere applicaa ripeuamene, per calcolare la raformaa di Laplace delle derivae di ordine più alo. Ad eempio, e anche la derivaa x () oddifa le ee ipoei di x() i ha L [x () () = L [ (x ()) () = L [x () () x ( + ) = 2 X() x( + ) x ( + ) e quindi (5.27) L [x () = 2 X() x( + ) x ( + ), >. Faremo uo di quea relazione più avani, per la rioluzione eplicia di alcune equazioni differenziali. 6

14 ! Eempio Ricalcoliamo, in maniera divera, la raformaa di Laplace della funzione x() = in a, dove ora a è un paramero reale qualiai. Si ha x () = a 2 in a, x() =, x () = a. Per linearià, applicando la (5.27) quindi i ha a 2 L [in a () = L [x () () = 2 L [x() () a, e quindi riolvendo ripeo a L [x() () i oiene L [in a () = L [x() () = a 2 + a 2, >, in accordo con la (5.5) (che era aa dimoraa olano per a > ). Traformaa dell inegrale. Si ha [ (5.28) L x(r) dr () = X(), > max{, }. Dimorazione. Fiiamo un numero l > e poniamo g() = x(r) dr. Dao che g () = x() e g() =, inegrando per pari i ha l g()e d = g()e l + l g ()e d = g(l)e l l + l x()e d. Paando al limie per l i oiene la (5.28), dao che, in bae alla (5.3), l { l g(l) = x() d M e M/ e <, d Mle e, e quindi e > max{, } i ha g(l)e l lim l l Si noi che, nella (5.28), l ipoei che ia > max{, } non può eere oiuia dall ipoei più debole >. Infai, conideriamo ad eempio x() = e, che verifica la (5.3) con =. Allora i ha g() = e, e la raformaa di Laplace di g() ha dominio (, ) e non (, ). =. 7

15 ! Eempio (eno inegrale) Calcoliamo la raformaa di Laplace della funzione eno inegrale in r I() = dr,. r Ponendo x() = (in )/, la (5.3) è verificaa con = ; perano, applicando la (5.28) e ricordando la (5.23), oeniamo L [I() () = arcan(/), >. Funzioni periodiche. Se x() è periodica di periodo T u [, ), allora i ha (5.29) L [x() () = T x()e d e T, >. Dimorazione. Oerviamo anziuo che una funzione periodica e coninua a rai è limiaa, quindi raformabile econdo Laplace per >. Se n è un inero poiivo, col cambiameno di variabile = z + nt roviamo nt +T nt x()e d = T T x(z + nt )e (z+nt ) dz = e nt x(z)e z dz, avendo uao la periodicià. Sommando u N periodi conecuivi, i ha quindi NT x()e d = N n= nt +T nt ( T x()e d = ) N x(z)e z dz n= e nt, e la (5.29) egue ubio paando al limie per N, e ricordando la formula per la omma di una erie geomerica di ragione e T.! Eempio Calcoliamo la raformaa di Laplace dell onda quadra di periodo T e ampiezza A, definia ul periodo [, T ) come { A e < T/2, x() = A e T/2 < T. Per applicare la (5.29), calcoliamo T T x()e 2 d = A e quindi per la (5.29) T e d A e d = A 2e T/2 + e T T 2 = A ( e T/2 ) 2 ( ) e T/2 2 L [x() () = A ( e T ) = A e T/2 ( + e T/2 ), >. 8

16 Concludiamo quea raegna con due proprieà che meono in relazione i valori limie, nel puno zero e all infinio, di x() e della ua raformaa X(). Valore iniziale. Si ha (5.3) x( + ) def = lim x() = lim X(). + Dimorazione. Noiamo prima di uo che il primo limie eie finio, in quano x() è coninua a rai u [, ). Col cambiameno di variabile z =, i ha X() def = D alra pare, per qualiai z > i ha x()e d = lim x(z/) = lim x() = x(+ ). + Perano, cambiando il limie con l inegrale, i ha ( ) X() = lim x(z/)e z dz = lim = x( + )e z dz = x( + ) x(z/)e z dz. ( ) lim x(z/)e z dz e z dz = x( + ) e la (5.3) è dimoraa. Oerviamo però che, nella econda uguaglianza, biognerebbe giuificare adeguaamene la poibilià di cambiare ra loro l operazione di limie e quella di inegrale: una giuificazione rigoroa richiederebbe rumeni piuoo avanzai, e per queo moivo viene omea. Valore finale. Se, i ha (5.3) lim x() = lim + X() a pao che i limii in queione eiano. La proprieà del valore finale può eere giuificaa in maniera analoga a quano fao per la condizione iniziale; i noi uavia che qui biogna upporre che i limii eiano. Riaumiamo le proprieà della raformaa di Laplace nella Tabella 5.. Si enga però preene che alcune proprieà richiedono qualche ipoei aggiuniva olre la (5.3): per queo, i rimanda alla raazione più deagliaa epoa precedenemene. 5.3 Aniraformaa di Laplace La raformaa di Laplace arebbe di ben poca uilià e non foe poibile rialire alla funzione x(), conocendo la ua raformaa di Laplace X(). L operazione che permee di paare da X() a x() è dea aniraformaa di Laplace: una raazione deagliaa dell aniraformaa eula dai nori copi, in quano richiederebbe la eoria delle funzioni di variabile complea. Qui ci limieremo a fornire alcuni eempi ed alcune ecniche euriiche per il calcolo dell aniraformaa. 9

17 Linearià L [ax () + bx 2 () () = ax () + bx 2 () Ricalameno L [x(a) () = a X(/a), > a Tralazione L [x( a)u( a) () = e a X(), > Modulazione L [e a x() () = X( a), > + a Moliplicazione per L [x() () = X (), > [ x() Diviione per L () = X(S) ds, > Traformaa della derivaa L [x () () = X() x( + ), > Traformaa dell inegrale [ L x(r) dr () = X(), > max{, } Valore iniziale Valore finale lim x() = lim X() + lim x() = lim X() + Tabella 5.: Principali proprieà della raformaa di Laplace. Definizione 5.3. Sia X() una funzione definia almeno u una emirea apera del ipo (, ). Diciamo che x() è una aniraformaa di X() e criviamo x() = L [X() (), e x() è una funzione coninua a rai u [, ), raformabile econdo Laplace, e ale che X() = L [x() (), >. Va ubio noao che, quando eie, l aniraformaa di Laplace di X() non è mai univocamene deerminaa. Infai, dao che la raformaa di Laplace è definia ramie l inegrale (5.3), e x() è una aniraformaa di X(), allora qualiai funzione oenua modificando i valori di x() in un numero finio di puni è ancora una aniraformaa di X(). Tuavia, quea non è una evera limiazione, in quano i può dimorare che, e x() è una aniraformaa, allora la regolarizzaa di x() è univocamene deerminaa. Per queo moivo, parleremo peo della aniraformaa di Laplace, anziché di una aniraformaa. Si enga poi preene che, nella definizione di raformaa di Laplace (5.3), inervengono olano i valori di x() con : perano, conocendo la raformaa X(), 2

18 non i può avere alcuna informazione ull aniraformaa x() per valori negaivi di. Perciò, nel eguio, ue le aniraformae verranno coniderae, impliciamene, olano ulla emirea poiiva. Dao che l aniraformaa di Laplace è l operazione invera della raformaa, le proprieà fondamenali dell aniraformaa di Laplace i ricavano facilmene da quelle della raformaa. Per facilià di conulazione, le riporiamo in modo ineico nella Tabella 5.2: i noi però che quee proprieà vanno applicae cum grano ali, facendo paricolare aenzione alle ipoei e ai dominî di definizione. Linearià Ricalameno L [ax () + bx 2 () () = ax () + bx 2 () L [X(a) () = a x(/a) Tralazione L [e a X() () = x( a)u( a) Modulazione Aniraformaa della derivaa Aniraformaa dell inegrale Moliplicazione per Diviione per L [X( a) () = e a x() L [X () () = x() [ L X(S) ds () = x() L [X() x( + ) () = x () [ X() L () = x(r) dr Tabella 5.2: Principali proprieà dell aniraformaa di Laplace. Confronando le due abelle 5. e 5.2, va noao come la proprieà di moliplicazione per della raformaa diveni la proprieà di aniraformaa della derivaa, menre la proprieà di diviione per della raformaa divena la proprieà di aniraformaa dell inegrale (e, vicevera, relaivamene alla moliplicazione e alla diviione per ). Nel calcolare le aniraformae di Laplace, può eere uile fare riferimeno alla Tabella 5.3.! Eempio Deerminiamo l aniraformaa della funzione X() =

19 Funzione x() Traformaa di Laplace X() Dominio U() e α (a R) n (n N) in(a) (a R) co(a) (a R) inh(a) (a R) coh(a) (a R) e a in(b) (a, b R) e a co(b) (a, b R) in > a > a n! n+ > a 2 + a 2 > 2 + a 2 > a 2 a 2 > a a 2 a 2 > a b ( a) 2 + b 2 > a a ( a) 2 + b 2 > a arcan(/) > Tabella 5.3: Alcune funzioni e le loro raformae di Laplace Ricordando la (5.6) (i veda anche la Tabella 5.3), abbiamo per linearià [ [ 3 L () = 3L () = 3e ! Eempio Calcoliamo l aniraformaa di Laplace della funzione 2. Guardando la abella (5.3), i oiene ubio che [ L () = inh. 2 In alernaiva, i può decomporre la funzione in frai emplici: 2 = ( + )( ) = ( 2 ). + 22

20 Per linearià dell aniraformaa, i ha quindi [ [ ( L () = L = [ 2 L ) () () 2 L [ + (). Dao che /( ) è la raformaa di e menre /( + ) è la raformaa di e, i ricava L [ /( 2 ) () = 2 e 2 e = inh. Concludiamo queo paragrafo con una lunga erie di eempi di calcolo delle anriraformae di Laplace, meendo in luce le proprieà dell aniraformaa che vengono di vola in vola uilizzae. Inolre, i farà implicio riferimeno alla abella 5.3 per quano riguarda le raformae delle funzioni elemenari.! Eempio (linearià) Calcoliamo l aniraformaa della funzione Uando la linearià, i oiene [ 4 L () [ [ [ = 4L () 3L () + 5L () [ [ = 4L () 3L () + 52 [ L () = 4e 2 3 co in 2. 2! Eempio (ricalameno) Calcoliamo l aniraformaa della funzione Dao che [ [ L () = L () = co 4, per la proprieà di ricalameno dell aniraformaa roviamo [ [ L () = L () = 3 [ (3) L () = 3 ( ) 43 (3) co. 23

21 ! Eempio (ralazione) Calcoliamo l aniraformaa della funzione Dao che dalla proprieà di ricalameno i oiene L [ e π/3 + 2 e π/ [ L () = in, 2 + () = U( π/3) in( π/3) = { in( π/3) e π/3, e < π/3.! Eempio (modulazione) Calcoliamo l aniraformaa della funzione Per prima coa, compleiamo il quadrao a denominaore: Dao che = ( ) [ L () = in 2, dalla proprieà di modulazione oeniamo [ [ L () = L ( ) () = 2 e in 2.! Eempio (aniraformaa della derivaa) Calcoliamo l aniraformaa della funzione ( 2 + ) 2. Dao che i ha e quindi per linearià [ L () = in 2 + e ( ) d = 2 d 2 + ( 2 + ), 2 [ L 2 () = in ( 2 + ) 2 [ L () = in. ( 2 + )

22 ! Eempio (aniraformaa della derivaa) Calcoliamo l aniraformaa della funzione, a R, ed n inero poiivo. ( a) n+ Se n =, i ha chiaramene [ L () = e a. a Se invece n >, è imporane riconocere nella frazione /( a) n+ la derivaa (a meno di una coane moliplicaiva) di ordine n della funzione /( a). Più preciamene, i ha ( )n = ( a) n+ n! ( ) d n. d n a Quindi, applicando n vole la proprieà di aniraformaa della derivaa, oeniamo Ad eempio, per n = e n = 2 i rova [ L () = n ( a) n+ n! ea. [ [ (5.32) L () = e a, L ( a) 2 ( a) 3 () = 2 2 ea.! Eempio 5.3. (aniraformaa dell inegrale) Calcoliamo l aniraformaa della funzione ( ) + log. Noiamo che i ha ( ) + log = ( S ) ds S + e appiamo calcolare l aniraformaa della funzione inegranda, dao che [ L () = U() e. + Perano, per la proprieà dell aniraformaa dell inegrale, i oiene ( ) + L [log () = e. 25

23 ! Eempio 5.3. (moliplicazione per ) Calcoliamo l aniraformaa della funzione ( ) 2 +. Dao che, in bae alla abella 5.3, i ha [ L () = e in ( ) 2 + e x() = e in verifica x + () =, poiamo applicare la proprieà di moliplicazione per, oenendo [ L () = d ( e in ) = e (co + in ). ( ) 2 + d! Eempio (diviione per ) Calcoliamo l aniraformaa della funzione Dao che ( 2 + 4). [ L () = in 2, applicando la proprieà di diviione per oeneniamo [ L () = ( 2 + 4) 2 in 2r dr = 4 co 2. 4 Per calcolare l aniraformaa di 3 ( 2 + 4), baa applicare ancora due vole la proprieà di diviione: [ L ( () = 2 ( 2 + 4) 4 ) co 2r dr = 4 4 in 2, 8 e quindi [ L () = 3 ( 2 + 4) ( r 4 ) in 2r dr = co 2 6.! Eempio (frai emplici) Per calcolare l aniraformaa della funzione razionale = ( 3)( + ) 26

24 decomponiamola come omma di frai emplici, cioè deerminiamo A e B ali che (5.33) ( 3)( + ) = A 3 + B +. Per deerminare i numeri A e B, i può riolvere un iema lineare. In alernaiva, i può moliplicare la (5.33) per 3 e poi fare il limie per 3, oenendo lim 3 + = A + lim ( 3)B 3 + e quindi A = 4. Per oenere B, moliplichiamo la (5.33) per + e poi facciamo il limie per, oenendo lim 3 e quindi B =. Si ha allora L [ = 4L [ 3 ( 3)(2 + ) = lim 3A( + ) 3 () = L [ 4 () L [ + = A + B = B 3 + () = 4e 3 e. ()! Eempio (frai emplici) Per calcolare l aniraformaa della funzione razionale ( + )( 2) 3 decomponiamola come omma di frai emplici, cioè deerminiamo A, B, C e D ali che (5.34) ( + )( 2) = A B ( 2) + C 3 ( 2) + D 2 2. Per deerminare A, procediamo come nell eempio precedene: moliplichiamo per + e prendiamo il limie per, oenendo A = lim = ( 2) 3 3. Per deerminare B, analogamene, moliplichiamo per ( 2) 3 e poi paiamo al limie per 2, oenendo Trovai A e B, la (5.34) divena B = lim ( 2) 3 = ( + )( 2) = / ( 2) + C 3 ( 2) + D

25 Per deerminare C, occorre prima porare a primo membro la frazione 7/( 2) 3 e meere a faor comune, oenendo (5.35) ( + )( 2) = / C ( 2) + D 2 2. Ora i può moliplicare per ( 2) 2 e fare il limie per 2, oenendo C = lim 2 ( + )( 2) = lim 8 2 ( 2) + ( + ) = 4 (il limie è ao calcolao con la regola di De L Hôpial). La (5.35) divena quindi ( + )( 2) 3 = / ( 2) 2 + D 2 e per deerminare D occorre porare a primo membro la frazione 4/( 2) 2, oenendo ( + )( 2) = /3 ( + )( 2) D 2. Ora, moliplicando per 2 e paando al limie per 2, uando due vole la regola di De L Hôpial i oiene D = lim ( + )( 2) ( + )( 2) 2 8 4( + ) 4( 2) = lim 2 ( 2) 2 + 2( + )( 2) 4 4 = lim 2 2( 2) + 2( + ) + 2( 2) = 3. Perano, ricordando la (5.32) i ha [ 5 L 2 5 () ( + )( 2) [ 3 [ [ /3 =L () + L 7 () + L 4 + ( 2) 3 ( 2) 2 = [ [ [ 3 L () 7L () + 4L + ( 2) 3 = 3 e e 2 + 4e e2. [ /3 () + L 2 ( 2) 2 () () + 3 L [ 2 () Eercizi 5.3. Deerminare l aniraformaa di Laplace delle egueni funzioni (la ripoa è indicaa ra parenei): a) (3e 4 ) b) 2 5 ( 2 e5/2 ) c) (8 co 4) d) 5 ( 4 /24)

26 5.3.2 Verificare che le funzioni dell eercizio precedene ono le raformae di Laplace delle corripondeni funzioni indicae ra parenei Deerminare l aniraformaa di Laplace delle egueni funzioni (la ripoa è indicaa ra parenei): 6 a) (3 in 2) b) (3 co in 2 2) c) (2 coh inh 3) Verificare che le funzioni dell eercizio precedene ono le raformae di Laplace delle corripondeni funzioni indicae ra parenei Deerminare l aniraformaa di Laplace delle egueni funzioni (la ripoa è indicaa ra parenei): a) ( 3 4 co 5/2 4 5 in 5/2) b) ( 5 9 coh 4/ inh 4/3) Verificare che le funzioni dell eercizio precedene ono le raformae di Laplace delle corripondeni funzioni indicae ra parenei Deerminare l aniraformaa di Laplace delle egueni funzioni (la ripoa è indicaa ra parenei): a) (3 co 2 4 in 2 4 coh inh 4) b) ( 7 3 e 2/3 ) Verificare che le funzioni dell eercizio precedene ono le raformae di Laplace delle corripondeni funzioni indicae ra parenei Deerminare l aniraformaa di Laplace delle egueni funzioni (la ripoa è indicaa ra parenei): 3 4 a) (e (3 co 2 4 in 2)) b) (e 8 3e 4 ) 5.3. Verificare che le funzioni dell eercizio precedene ono le raformae di Laplace delle corripondeni funzioni indicae ra parenei. 29