SOLUZIONI PROVA SCRITTA DI AUTOMATICA I (Prof. Bittanti, BIO A-K) 21 Luglio 2008

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1 SOLUZIONI PROVA SCRITTA DI AUTOMATICA I (Prof. Biani, BIO A-K) Luglio 8. Si conideri il eguene iema dinamico lineare a empo coninuo: x () x() 36 x() + u() x () x() x 3() x() x3() u() y () 5 x() x().a Si deermini la funzione di raferimeno dall ingreo u() all ucia y()..b Il iema è ainoicamene abile? Perché?.c Si auma che u () in + ca (), ovvero u () in( ) + co( ) ca (). Si deermini l epreione analiica della ripoa y() del iema, cegliendo quella correa ra le alernaive A, B, 4 C, D di eguio propoe: 6 6 A. y() in( ) ca() co( ) ca() e ca() e ramp() B. y () in( ) ca () + co( ) ca () + e ramp () 6 () in () + co () () + () C. ( ) ( ) D. ( ) ( ) y e ca e ca e ca ramp 6 6 y () e in ca () + e co ca () + e ca () + e ramp () Si giuifichi accuraamene la ripoa, evidenziando ui i paaggi che occorrono per arrivare all epreione cela. Soluzione.a Per deerminare la funzione di raferimeno richiea, raformiamo membro a membro econdo Laplace le equazioni del iema dao, nell ipoei che le condizioni iniziali iano nulle, oia che x () x () x () : 3 x ( ) x( ) 36 x( ) + u( ) X( ) X( ) 36 X( ) + U( ) x() x() X( ) X() x 3() x() x3() u() X3( ) X() X3() U() y ( ) 5 x( ) x( ) Y( ) 5 X( ) X( ) da cui X() X() 36 X() + U () X() X() X 3() X() X 3() U () Y() 5 X() X()

2 (come i noa, X () 3 non ha influenza u Y()) e quindi X() U() X() U() X() X() X 3() X() X 3() U () 5 Y( ) 5 X( ) 5 U( ) U( ) Perano, la funzione di raferimeno dall ingreo u() all ucia y() del iema è 5 Y( ) 5 3 G (). U( ) ( + In via dello volgimeno dell eercizio.b, oerviamo che ea ha due poli coincideni, pari ciacuno a 6..b Il iema è ainoicamene abile, perché gli auovalori della ua marice dinamica A ono ui a pare reale reamene negaiva (condizione necearia e ufficiene per l ainoica abilià del iema). Infai, i ha che 36 A, il cui polinomio caraeriico è λ + 36 λ + 36 de( λi A) de λ ( λ+ ) de λ λ + ( λ+ ) ( λ+ ) λ+ 36 ( λ+ )( λ + λ+ 3 che è nullo e e olo e λ+ λ + λ+ 36, oia gli auovalori di A ono λ λ,3 6, che ono ui reali negaivi. Si noa che i poli di G() ono un ooinieme dell inieme degli auovalori di A, perciò a priori non è ufficiene, in queo cao, valuare olo il egno della pare reale dei poli di G() per concludere circa la abilià ainoica del iema..c Poiché u () in + ca () in ( ) + co( ) ca( ), i ha 4 + U() Y( ) 5 5 Eendo, poi, G (), i ha U() ( Y() G() U() ( ( + ( + 4)

3 5 +. ( ) ( + ( + 4) I poli di Y() ono 6, 6 e ±j; perano, in y() non poono eere preeni egnali inuoidali modulai da eponenziali del ipo e o Decomponiamo Y() econdo Heaviide (i noi che, eendo e, e quindi le epreioni C e D vanno carae. un faore moliplicaivo ed eendo la raformazione di Laplace lineare, i può, in alernaiva, decomporre ed aniraformare Y( ) 5 Y + ():, in modo che i calcoli iano un poco più emplici di quelli che eguono; i ( + ( + 4) oiene poi allora y() come y () y ()): A B C+ D A( + ( + 4) + B( + 4) + ( C+ D)( + Y() ( ( + ( + 4) 3 3 A ( ) + B ( + 4) + C ( ) + D ( ; ( ) ( + ( + 4) perciò, idenificando le due epreioni ( ) e ( ) di Y(), 3 ( ) A+ C ( ) 6A+ B+ C+ D 5 (*) ( ) 4A+ 36C+ D ( ) 4A+ 4B+ 36 D ( ) Riolviamo queo iema nei quaro parameri incognii (A,B,C,D): A C A C A C 4C+ 4B+ 4D 4 5 6C+ B+ D 5 4C+ 4B+ 4D C 3C D 3C D D C+ 4 B+ 36 D ( ) 48 C 3 D 8 3 C 48C 3 8 A C 4C+ 4B+ 4D 4 5 B 5 D 6C C 3 D 6 C 6 3

4 Perano, Y() ( ( , ( ( + da cui, aniraformando, i oiene 6 6 y() in( ) ca() co( ) ca() e ca() e ramp() + +, che è l epreione A. Oervazione: poibile rioluzione alernaiva: vio che, delle due epreioni A e B rimae ra cui cegliere, la B è più breve, i può provare a verificare e ea ia quella giua: raformando dunque econdo Laplace il egnale 6 y () in( ) ca () + co( ) ca () + e ramp (), i ha Y() + +, (**) ( + da cui + ( Y() ( + 4)( + 3 ( ( + 4)( (7 + ) + (8 + ) ( + 4)( + che non coincide con l epreione ( ) 5 + Y() ; ( + ( + 4) perano, l alernaiva B è da carare, e quindi è la A quella correa. Un alro modo per concludere che l alernaiva B è da carare è oervare che, nell epreione (**), il ruolo dei parameri A, B, C e D è volo dalle egueni quanià: A B C D e allora, oiuendo ali valori nel iema (*), i vede che già la prima equazione, A+C, non è oddifaa. Se i raforma l alernaiva A, invece, i ha Y() ( ( +, da cui 4

5 A B C D che oddifano il iema (*).. Si conideri il eguene iema reroazionao: d() y () _ e() R() G() + + y() ( )( 8+ 9) con G (), R (). 9 ( ).a Facendo uo della cara emilogarimica oo riporaa, i raccino i diagrammi di Bode ainoici, del modulo e della fae, aociai alla funzione d anello L (). Si giuifichi la ripoa..b Mediane il crierio di Bode, i deermini e il iema in anello chiuo ia ainoicamene abile oppure no..c Si deermini il valore a raniorio eaurio di e() quando d( ).5 ca( ) ramp( ) e y (). Si giuifichi opporunamene la ripoa. Soluzione.a La funzione d anello del iema è ( )( 8+ 9) L () RG () (), 9 ( ) i cui zeri ono + e 9 ± ± j8.68 ed i cui poli ono (ovvero il ipo è g) e ± 44 4 ± j6. Scriviamola in modo opporuno per il racciameno dei diagrammi di Bode, evidenziando il guadagno e le coani di empo: L (), da cui µ. Le pulazioni non nulle da coniderare per il racciameno dei diagrammi richiei ono ω rad/, ω 4 rad / e ω 9 3 rad /. In bae alle noe regole di racciameno dei diagrammi di Bode ainoici, i ricava quano egue: - coruzione del diagramma ainoico del modulo: 5

6 µ o per bae pulazioni, i conidera olo log log g ( jω) jω : i raa di una rea con pendenza, ovvero db/decade, e che inereca l ae db per ω : infai, i ha che log log ω ; jω ω ω in alernaiva, per individuare univocamene la rea, baa deerminare, olre alla ua pendenza, un qualunque uo puno: ad eempio, per ω, l ordinaa vale log log db ; j o a parire da ω rad/, i ha anche il conribuo di uno zero emplice, perciò la pendenza del diagramma aumena di db/dec ripeo a prima, e quindi divena di db/dec; o a parire da ω rad/, i ha anche il conribuo di due poli complei coniugai, perciò la pendenza del diagramma diminuice di 4dB/dec ripeo a prima, e quindi divena di 4dB/dec; o a parire da ω 3 rad/, i ha anche il conribuo di due zeri complei coniugai, perciò la pendenza del diagramma aumena di 4dB/dec ripeo a prima, e quindi divena di db/dec; - coruzione del diagramma ainoico della fae: µ o per bae pulazioni, i conidera olo 9 9 ; g ( jω) jω o a parire da ω rad/, i ha anche il conribuo di uno zero emplice poiivo, perciò la fae diminuice di 9 ripeo a prima, e quindi divena 8 ; o a parire da ω rad/, i ha anche il conribuo di due poli complei coniugai a pare reale negaiva, perciò la fae diminuice di 8 ripeo a prima, e quindi divena 36 ; o a parire da ω 3 rad/, i ha anche il conribuo di due zeri complei coniugai a pare reale poiiva, perciò la fae diminuice di 8 ripeo a prima, e quindi divena 54. Nelle due figure qui oo, i diagrammi di Bode ainoici, del modulo e della fae ripeivamene, ono racciai in verde, menre quelli eai ono racciai in blu. 3 Diagramma di Bode - Modulo db pulazione 6

7 -5 Diagramma di Bode - Fae gradi pulazione.b La funzione d anello non ha poli a pare reale poiiva, ed il uo diagramma di Bode del modulo ha una ola inerezione con l ae db; perano, i può applicare il crierio di Bode. Dal diagramma di Bode ainoico del modulo (i veda il puno.a), può imare che la pulazione criica del iema ia ω c. rad / ; in corripondenza, dal diagramma di Bode ainoico della fae (i veda ancora il puno.a), i può imare che la fae criica, ovvero L( jω c ), ia ϕ c 9 ; perano, il margine di fae riula ϕm 8 ϕc > ; dunque, vio che anche il guadagno è poiivo, il iema in anello chiuo è ainoicamene abile. Oervazione: verifichiamo la bonà dell approimazione appena effeuaa riguardo alla pulazione criica: ovviamene, è jω 8 ω jω 9 9 L( jω) ; 4 ω jω + jω 4 4 per definizione, ω c ω c ωc L( jωc ) ; ω c ω c 4 + ωc 4 4 allora, oiuendo ω. rad /, i ha c L( j.) Per quano riguarda, poi, la fae criica, i ha 7

8 j. 8. j. 9 9 ϕc L( j.) 4. j. + j. 4 4 j j. ( j.) + j (.5. / +. rad.67rad , valore che non è molo dicoo da 9..c Deerminiamo innanziuo la funzione di raferimeno dal egnale d() al egnale e(), aumendo che y () : E () D () + RG () () ( )( 8 + 9) + 9 ( ) 9 ( ) 9 ( ) + ( )( 8+ 9) 9 ( ) ( ) 9 ( ) I uoi poli, per incio, ono ± j5.74 e -.6, quindi ui a pare reale negaiva; come già rovao al puno.b, infai, il iema in anello chiuo è ainoicamene abile. Eendo d( ).5 ca( ) ramp( ), da cui.5.5 D (), i ha che E () D () + RG ( ) ( ).5 ( )( 8+ 9) + 9 ( ) 9 ( ).5 9 ( ) + ( )( 8+ 9) 9 ( ) ( ) Si può dunque applicare il eorema del valore finale: lim e ( ) lim E ( ) lim D ( ) + + RG ( ) ( ) 8

9 .5 lim ( )( 8+ 9) + 9 ( ) lim 9 ( 4 4) ( )( 8 9) ( ).5 9( ) 9 4 lim (.5 ) ( ) 9 ( ) + ( )( 8+ 9) 9 oppure, equivalenemene, uando direamene l epreione finale rovaa per E(), 9( ) lim e ( ) lim E ( ) lim ( ) Si conideri queo iema dinamico: y () G() + R() _ + d() y() Si auma che G (), R (). ( )( + 6) 3.a Uando il meodo dei veori, i deermini quale ia, ra i egueni A, B, C, D, il diagramma di Nyqui della funzione d anello L (). Si giuifichi la ripoa. Si evidenzi anche, ul grafico deignao, il diagramma polare di L (). Nyqui Diagram Nyqui Diagram Imaginary Axi. -. Imaginary Axi A B Imaginary Axi Real Axi Nyqui Diagram Real Axi C Imaginary Axi Real Axi Imaginary Axi Nyqui Diagram Nyqui Diagram Real Axi Real Axi D

10 3.b Uando il crierio di Nyqui, i dica e il iema in anello chiuo è ainoicamene abile oppure no. 3.c Si auma che y () imp() (e d()) e i conideri la corripondene ucia y() del iema. Si deerminino i valori y () e y () e i indichi come i calcola y () (non è richieo il valore di y () ). Si giuifichi accuraamene la ripoa. Soluzione 3.a La funzione d anello del iema è L () RG () (), ( )( + 6) oia L () (***) ( + 5)( + 9)( + 6) che ha un olo zero in (il ipo è g-) e re poli, in 5, 9 e 6; nella (***), ea è già cria in modo opporuno per il racciameno del diagramma polare e di Nyqui. La coane di raferimeno è ρ. Uiamo il meodo dei veori per deerminare innanziuo il diagramma polare di L( jω ). Tracciamo la mappa dei poli e degli zeri nel piano compleo; congiungiamo poli e zeri al generico puno jω (ω>) del emiae immaginario poiivo e conideriamo i veori coì oenui, morai nella figura ooane inieme alle loro fai, oia agli angoli, poiivi in eno aniorario, che ei formano a parire dal emiae reale poiivo: Pole-Zero Map.8 jω Imag Axi.6.4 v α v β. v γ ω α β γ Real Axi + Cominciamo a valuare due puni noevoli del diagramma polare: L( j ) e L( + j ): + + j L( j ) j L( j ), L( j ) ( j + 5)( j + 9)( j + 6) 7 ( + j ) L( + j ) L( + j ), L( + j ) ( + j + 5)( + j + 9)( + j + 6)

11 Con l aiuo del diagramma opra riporao, inolre, i può ricavare l andameno della fae di L( jω ) in funzione di ω: jω L( jω) ( jω+ 5)( jω+ 9)( jω+ 6) ( ) + ( jω) ( jω+ 5) ( jω+ 9) ( jω+ 6) γ β α 9 γ β α (9 + γ + β + α) che è monoonamene decrecene al crecere di ω (i puni del diagramma polare i ueguiranno quindi in eno orario). Per quano riguarda il modulo di L( jω ), poi, i ha jω ω ω L( jω) ( jω+ 5)( jω+ 9)( jω+ 6) jω+ 5 jω+ 9 jω+ 6 vγ vβvα che preena, al crecere di ω, un conribuo crecene al numeraore e ben re conribui anch ei creceni a denominaore, che coiuicono re conribui decreceni per il modulo di L( jω ) ; perano, icuramene, a parire da una cera ω in poi, il modulo decrecerà, per effeo dei re poli, nonoane l incremeno iniziale dovuo allo zero. Inegrando ue le informazioni finora raccole, i può concludere che il diagramma polare di L( jω ) ha il eguene andameno: Nyqui Diagram Imaginary Axi Real Axi e quindi il diagramma di Nyqui è il eguene, che è rappreenao nella figura D propoa nel eo dell eercizio: Nyqui Diagram.8 Imaginary Axi Imaginary Axi Nyqui Diagram Real Axi Real Axi

12 Noa: riporiamo qui oo, come complemeno, i diagrammi di Bode, del modulo e della fae, di L( jω ), dai quali i può, per verifica, dedurre il diagramma polare Diagramma di Bode - Modulo db pulazione Diagramma di Bode - Fae - -5 gradi pulazione 3.b L () non ha poli a pare reale poiiva, perciò P; il diagramma di Nyqui di L( jω ) non fa giri aorno al puno (il iema è reroazionao negaivamene, quindi è queo il puno aorno a cui valuare il numero di giri del diagramma), perciò N; quindi, NP, e allora, per il crierio di Nyqui, i deduce che il iema in anello chiuo è ainoicamene abile. 3.c Eendo y () imp() (e d()), per deerminare la corripondene ucia y() del iema baa deerminare la funzione di raferimeno da y () a y(): i ha cioè

13 Y G G Y () + RG () () + RG () () ( )( + 6) () () () ( )( + 6) Y() Y () + ( )( + 6) Applicando ora il eorema del valore iniziale ripeivamene a y (), y (), y (), i oiene y() lim Y( ) lim lim 3 ( )( + 6) 3 y () lim ( Y( ) y() ) lim lim 3 ( )( + 6) 3 y() lim ( Y( ) y() ) y() lim ( )( + 6) ( ) 74 lim lim Noa: nel eo dell eercizio non era richieo il calcolo del valore y () (era richiea olo la formula); uavia, l abbiamo riporao qui per compleezza. Analogamene, riporiamo, nella figura oo, l andameno di y():..8 Impule Repone Ampliude Time (ec) 4. Si conideri il eguene iema dinamico non lineare a empo coninuo: x () u () f( x ()) y () x() 3 ove la funzione f ( x ( )) in ( x ( )) + in( x ( )) è definia per x ed è diegnaa nella figura eguene: 3

14 .4 f(x) x 4.a Si deerminino gli ai e le corripondeni ucie di equilibrio del iema, in corripondenza dell ingreo coane u. Per ciacuno degli ai di equilibrio deerminai, i dica e eo ia ainoicamene abile oppure no, in bae ad opporune coniderazioni grafiche u f. 4.b Si conideri, ra i puni di equilibrio deerminai nell eercizio 4.a, quello caraerizzao dal valore minore dello ao. Si criva il corripondene iema linearizzao nell inorno di ale puno. In bae ad opporune coniderazioni ulla marice dinamica di ale iema, i dica e lo ao di equilibrio coniderao ia ainoicamene abile oppure no. 4.c Si dica e e come cambiano le ripoe di cui al puno 4.a nel cao in cui i conideri u. Soluzione 4.a Gli ai e le corripondeni ucie di equilibrio del iema coniderao ono quei egnali x, y coani ali per cui, a frone di un ingreo coane u, i ha u f( x) y () x In corripondenza, in paricolare, dell ingreo u, i ha f( x) (in x + in x) f( x) in x(in x + ) in x in x + y () x y () x 3 da cui, vio che la funzione f è definia per x, i rovano i egueni re puni di equilibrio: x x x y y y 4 Si noi che i re ai di equilibrio i poono individuare facilmene ul grafico della funzione f, che è la derivaa di x quando u ; ali ai coincidono con i puni in cui il grafico di f, ovvero di f, inereca l ae x (il faore, ovviamene, non ha effeo ulla poizione di ali inerezioni). Per quano riguarda l analii di abilià, ragionando ul egno della derivaa prima di x, ovvero ul egno di f, ovvero ul egno di f, nell inorno dei re ai di equilibrio, i giunge facilmene alla concluione che x, x, x ono ai di equilibrio ainoicamene abile, inabile e inabile ripeiva- 4

15 mene. Conideriamo, infai, il eguene grafico, ove le frecce rivole vero inira (dera, ripeivamene) indicano derivaa negaiva (poiiva) e quindi funzione x decrecene (crecene): f(x) x Se i pare inizialmene da uno ao in un inorno iniro di x, la derivaa prima di x è poiiva, quindi lo ao ende ad aumenare e quindi ad avvicinari ad x ; inolre, e i pare inizialmene da uno ao in un inorno dero di x, la derivaa prima di x è negaiva, quindi lo ao ende a diminuire e quindi ad avvicinari ad x ; compleivamene, dunque, comunque i para da uno ao iniziale in un inorno compleo di x, lo ao i evolve endendo ad andare vero x eo, che quindi è uno ao di equilibrio ainoicamene abile. Se i pare inizialmene da uno ao in un inorno iniro di x, la derivaa prima di x è negaiva, quindi lo ao ende a diminuire e quindi ad allonanari ad x ; inolre, e i pare inizialmene da uno ao in un inorno dero di x, la derivaa prima di x è poiiva, quindi lo ao ende ad aumenare e quindi ad allonanari da x ; compleivamene, dunque, comunque i para da uno ao iniziale in un inorno compleo di x, lo ao i evolve endendo ad allonanari da x, che quindi è uno ao di equilibrio inabile. Se i pare inizialmene da uno ao in un inorno iniro di x, la derivaa prima di x è negaiva, quindi lo ao ende a diminuire e quindi ad allonanari da x ; e i pare inizialmene da uno ao in un inorno dero di x, la derivaa prima di x è ancora negaiva, quindi lo ao ende a diminuire e quindi ad avvicinari ad x ; compleivamene, dunque, non i può dire che, comunque i para da uno ao iniziale in un inorno compleo di x, lo ao i evolva endendo ad andare vero x, benì x è uno ao di equilibrio inabile. 4.b Tra i puni di equilibrio deerminai nell eercizio 4.a, quello caraerizzao dal valore minore dello x ao è. Il iema linearizzao nell inorno di un puno di equilibrio è y [ u ( ) f( x ( ))] [ u ( ) f( x ( ))] x () x() + u() x u ( xu, ) ( xu, ) x () x () y () x () + u () x u ( xu, ) ( xu, ) 5

16 { [ ]} x ( ) u( ) in( x( ))co( x( )) + co( x( )) x( ) + [in ( x( )) + in( x( ))] u( ) ( xu, ) ( xu, ) y () [ x ()] () () ( xu, ) x + ( xu, ) u x ( ) u[ in( x)co( x) + co( x) ] x ( ) + [in ( x) + in( x)] u ( ) y () x x () che, nel cao del puno di equilibrio coniderao, divena x () [ ( ) + ( ) ] x() + [ + ] u() x() y () x () La marice dinamica di queo iema è lo calare, che è minore di, perciò lo ao di equilibrio x è ainoicamene abile, come del reo già rovao per via grafica nell eercizio 4.a. 4.c Nel cao in cui i conideri u, i puni (ai e ucie) di equilibrio del iema non lineare coniderao i ricavano riolvendo il iema u f( x) f ( x) (in x + in x) y () x y () x e quindi riulano gli ei ripeo al cao dell eercizio 4.a. Tuavia, la funzione x non è più pari a f, ma a f, il cui udio grafico pora alla concluione che x, x, x ono ai di equilibrio inabile, ainoicamene abile e inabile ripeivamene; infai, come riporao nella figura eguene, f(x) x i ha che - e i pare inizialmene da uno ao in un inorno iniro di x, la derivaa prima di x è poiiva, quindi lo ao ende ad aumenare e quindi ad avvicinari ad x ; inolre, e i pare inizialmene da uno ao in un inorno dero di x, la derivaa prima di x è negaiva, quindi lo ao ende a diminuire e quindi ad avvicinari ad x ; compleivamene, dunque, comunque i para da uno ao iniziale in un inorno compleo di x, lo ao i evolve endendo ad andare vero x eo, che quindi è uno ao di equilibrio ainoicamene abile; - e i pare inizialmene da uno ao in un inorno iniro di x, la derivaa prima di x è negaiva, quindi lo ao ende a diminuire e quindi ad allonanari ad x ; inolre, e i pare inizialmene da uno ao in un inorno dero di x, la derivaa prima di x è poiiva, quindi lo ao ende ad aumenare e quindi ad allonanari da x ; compleivamene, dunque, comunque i para da uno ao iniziale in un inorno compleo di x, lo ao i evolve endendo ad allonanari da x, che quindi è uno ao di equilibrio inabile; 6

17 - e i pare inizialmene da uno ao in un inorno dero di x, la derivaa prima di x è poiiva, quindi lo ao ende ad aumenare e quindi ad allonanari da x ; e i pare inizialmene da uno ao in un inorno iniro di x, la derivaa prima di x è ancora poiiva, quindi lo ao ende ad aumenare e quindi ad avvicinari ad x ; compleivamene, dunque, non i può dire che, comunque i para da uno ao iniziale in un inorno compleo di x, lo ao i evolve endendo ad andare vero x, benì x è uno ao di equilibrio inabile a Si dia, nel modo più precio poibile, la definizione di raformaa Zea di un egnale a empo dicreo. Si ui poi ale definizione per calcolare la raformaa dello calino dicreo. 5.b Dao un iema lineare a coefficieni coani a empo dicreo, i decrivano almeno due procedimeni per ricavare i campioni della ua ripoa all impulo. Soluzione Ci riferica alla eoria. 7