Esercizi di supporto al modulo di Comunicazioni Elettriche

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1 Eercizi di upporo al modulo di Comunicazioni Eleriche Diplomi Univeriari eledidaici Dario Farina A.A. 3/4 Indirizzo per corripondenza: Dario Farina Dip. di Eleronica Poliecnico di orino Coro Duca degli Abruzzi 4, orino, 9 el Fax arina@ahena.polio.i

2 Inroduzione La eguene raccola di eercizi è coiuia da alcuni dei problemi aegnai agli udeni durane le eerciazioni in aula e i compii d eame del modulo di Comunicazioni Eleriche enuo a orino per il coro di Diploma eledidaico in Ingegneria Elerica nell anno accademico /3. I principali argomeni raai ono: rumore ermico e doppi bipoli eoria del campionameno quanizzazione eoria dell inormazione e codiica di orgene modulazioni numeriche inererenza inerimbolica Sono ornie le oluzioni di ui gli eercizi. Inolre in alcuni cai i uggerice di eendere i problemi propoi con imulazioni numeriche da eeguiri con il programma MALAB. In quei cai i ornicono emplici indicazioni ugli apei che i poono aronare numericamene per inerpreare i riulai eorici e i morano alcuni riulai rappreenaivi oenui in imulazione. Le pari di imulazione numerica richiedono una conocenza di bae del linguaggio di programmazione MALAB. Gli eercizi ono indicai con numeri progreivi menre le imulazioni numeriche uggerie ono indicae con la leera M e numeri progreivi. 5 eembre 3 Dario Farina

3 Eercizio Dao il egnale deerminiico x con banda B 5 khz conenene una componene coninua, i deermini la minima requenza di campionameno per ricoruire il egnale x dai uoi campioni uilizzando un ilro con unzione di raerimeno H: H < > dove è il periodo di campionameno, 5 khz, 7 khz. Il ilro ha unzione di raerimeno coane nella banda del egnale. Lo pero X c del egnale campionao è: n X c X n Dall equazione riula che lo pero del egnale campionao è coiuio dalla ripeizione periodica dello pero del egnale analogico. Per n nell equazione i oiene lo pero del egnale analogico. Quea componene non è diora dal ilro H iccome la unzione di raerimeno di H è coane nella banda del egnale. I ermini che i oengono per n ono ui eliminai dal ilro di ricoruzione e vale la eguene relazione: B Soiuendo i valori numerici i oiene / khz.

4 Eercizio Si conideri un proceo cauale con pero nullo per > 3kHz. Si deermini il minimo bi rae qualora i quanizzi il proceo con un quanizzaore uniorme a 8 livelli. Si calcoli inolre il rapporo egnale rumore di quanizzazione nel cao di bi rae minimo 8 livelli di quanizzazione e nel cao in cui i ramea ad un bi rae di 36 kbi/, campionando empre alla requenza di Nyqui. La denià di probabilià del proceo è uniorme con xmax 5. La requenza minima di campionameno requenza di Nyqui per il proceo in eame è 6 khz, come i oiene immediaamene dall inormazione ulla banda del egnale. Se i uilizzano 8 livelli di quanizzazione, ogni imbolo viene rameo ramie log 8 3 bi. Il numero di bi ramei al econdo è quindi 3 bi * 6 khz 8 kbi/. Il rapporo egnale rumore di quanizzazione nel cao di quanizzaore uniorme può eere approimao dalla eguene epreione: P x SQNR 3 / dove P x è la poenza del proceo cauale e è l inervallo di quanizzazione. Il calcolo della poenza egue dall inormazione ulla denià di probabilià delle ampiezze del proceo: P { x } xmax x E x dx x max x max x max 3 L inervallo di quanizzazione è dao da: dove M è il numero di livelli di quanizzazione. x max M Soiuendo i valori numerici i oiene SQNR M 64 8 db nel cao di quanizzaore a 8 livelli. Si noi che il rapporo egnale rumore di quanizzazione non dipende dalla dinamica del

5 proceo i giuiichi il riulao ulla bae della deinizione di rapporo egnale rumore di quanizzazione. Se i ramee a 36 kbi/ empre alla requenza di Nyqui ogni livello viene codiicao con 36 kbi//6 khz 6 bi. Il numero di livelli codiicabili è in queo cao M 6 64, per cui i ha SQNR M db. Eercizio M Si generi una realizzazione di un proceo cauale con la denià di probabilià delle ampiezze decria nell eercizio e campioni indipendeni pero bianco. Si criva una unzione che imuli un quanizzaore uniorme con un deerminao numero di livelli di quanizzazione. Si quanizzi il egnale e i imi numericamene il rapporo SQNR a parire dalla deinizione. Si eeguano imulazioni con M4, 8, 6, 3, 64 e 8 e i accia un graico del riulao oenuo SQNR in unzione del numero di livelli. Si conronino i riulai oenui numericamene con la ormula 3 che è approimaa per denià di probabilià di ampiezza generiche. Si inerprei il riulao oenuo. Si acciano coniderazioni ugli apei numerici della imulazione per eempio ul ao che la ima dei valori aei dipende dal numero dei campioni della realizzazione del proceo. Si generi poi un proceo dello eo ipo ma con diribuzione gauiana delle ampiezze i ronchi la gauiana a ±3σ coniderando 3σ come x max e i ripeano le imulazioni del cao precedene. Nuovamene i conronino i riulai con quelli oenui con la ormula approimaa e con quelli oenui nel cao di diribuzione uniorme delle ampiezze. raccia per la oluzione Con la unzione rand di MALAB i poono generare numeri cauali con diribuzione uniorme delle ampiezze ra e. Moliplicando i numeri coì oenui per un opporuno aore e aggiungendo una deerminaa quanià i oengono numeri diribuii uniormemene in qualunque inervallo. La unzione che imula il quanizzaore è baaa emplicemene ull aegnazione del

6 livello di quanizzazione il cui valore di rierimeno per eempio il cenro dell inervallo di quanizzazione è il più vicino al valore di ingreo. La ima del SQNR i oiene oiuendo le operazioni di media d inieme con medie ui campioni della realizzazione la ima è ano più accuraa quano maggiore è il numero dei campioni. Si oiene che per diribuzione uniorme delle ampiezze la ormula 3 è eaa. Per il cao di diribuzione gauiana roncaa i può ar uo della unzione randn che genera numeri cauali con diribuzione gauiana di media e varianza da cui i poono oenere numeri con diribuzione gauiana di media e varianza generiche. Si deve crivere una emplice unzione che limii i valori generai nell inervallo indicao. Eercizio 3 Si conideri un proceo cauale con banda B khz e diribuzione uniorme nell inervallo [-A,A] dell ampiezza. Il proceo viene campionao e quanizzao. Si deermini il numero minimo di bi di un quanizzaore uniorme per oenere un rapporo egnale rumore di quanizzazione uperiore a 6 db. Nella ea condizione i calcoli il minimo bi rae. Uilizzando la ormula 3 e i paaggi dell eercizio i oiene SQNR M, con M il numero dei livelli di quanizzazione. Imponendo SQNR i oiene M. Il numero minimo di bi per imbolo neceari per oenere il rapporo egnale rumore indicao è quindi n log bi il imbolo indica l arroondameno all inero uperiore. La minima requenza di campionameno è B khz, per cui il minimo bi rae è R b n kbi/.

7 Eercizio 4 Si conideri un proceo cauale con banda B5 khz e con la eguene denià di probabilià: X / 4x / x / 4x / x < x Il proceo viene campionao e quanizzao. Si deermini: il minimo bi rae per oenere un rapporo egnale rumore di quanizzazione non ineriore a db. le probabilià di emiione dei diveri livelli di quanizzazione imboli nelle condizioni del puno precedene l enropia della orgene upponendo che i imboli vengano emei in modo indipendene con le probabilià calcolae nel puno precedene il maimo rapporo egnale rumore di quanizzazione upponendo di rameere ad un bi rae di 4 kbi/ Uilizzando la ormula 3 P SQNR x / dove P x è la poenza del proceo cauale e è l inervallo di quanizzazione. Il calcolo della poenza egue dall inormazione ulla denià di probabilià delle ampiezze del proceo: P x E { x } x / x dx -/4x / /4 x dx / 3 L inervallo di quanizzazione è dao da: x 4 max M M

8 dove M è il numero di livelli di quanizzazione. Si oiene quindi: SQNR M / La condizione SQNR deermina M 5, per cui il minimo numero di bi per oddiare le richiee è n 4. La minima requenza di campionameno è 3 khz. Il minimo bi rae è R b n kbi/. Le probabilià di emiione dei diveri livelli di quanizzazione i oengono dalla denià di probabilià del proceo. In paricolare la probabilià di emiione dei livelli poiivi è daa dalla eguene epreione: P i i / / 4x / dx i,...,3 i / Si oiene: P i 7 i i,...,3 5 I livelli negaivi hanno le ee probabilià di emiione di quelli poiivi daa la immeria della denià di probabilià. Applicando la deinizione di enropia al veore di probabilià rovao i oiene HX.749. Con un bi rae di 4 kbi/ i dipone, campionando alla requenza minima, di 8 bi di quanizzazione. Il rapporo egnale rumore è quindi SQNR M / 6 / db. Eercizio M Si imuli un proceo cauale con denià di probabilià delle ampiezze riangolare come indicao nell eercizio 4. Si applichi al proceo un quanizzaore uniorme e i imi il rapporo egnale rumore di quanizzazione nei cai M4,8,6,3,64,8. Si conroni il riulao con quello che i oiene applicando la ormula approimaa 3.

9 Si imuli un quanizzaore non uniorme con inervalli di quanizzazione deerminai in modo che ui i livelli di quanizzazione iano equiprobabili. Si imi il rapporo egnale rumore di quanizzazione nei cai M4,8,6,3,64,8 e i conronino i riulai con quelli oenui con quanizzazione uniorme. raccia di oluzione Il procedimeno per la imulazione è imile a quello dell eercizio M. In queo cao però il proceo ha denià di probabilià riangolare. Un modo per generare numeri cauali indipendeni con una deerminaa denià di probabilià X x conie dei egueni pai:. Si calcola dalla denià di probabilià X x la unzione di riparizione F X u: F X u u X x dx. Si deermina la unzione invera di F X u: u F y 4 3. Si generano numeri cauali con diribuzione uniorme nell inervallo [,] 4. Si applica ai numeri generai con diribuzione uniorme la unzione 4 I numeri coì oenui ono realizzazioni di una variabile cauale con denià di probabilià X x. Nel cao della denià riangolare dell eercizio 4 i oiene: X F X u u / 4x / dx / 8 u / 4x / dx u 4u 4 u < / 4x / dx / 8 u 4u 4 u Per deerminare gli inervalli di quanizzazione che rendono equiprobabili i livelli di quanizzazione i può procedere coniderando olo valori poiivi gli inervalli corripondeni a valori negaivi i oengono per immeria. Indicando con x i i,,m/ le oglie di quanizzazione poiive la condizione di livelli equiprobabili è:

10 xi xi 4 i x x i M Imponendo poi la condizione che gli inervalli di quanizzazione coiuicano una parizione dell inervallo di variazione del proceo, i oiene il eguene iema di equazioni: i l i M l i i li li i,..., M / i,..., M / 5 dove i e l i ono l ampiezza e il puno medio dell inervallo i-eimo. Riolvendo il iema 5 i oiene la parizione di M inervalli dell inieme di variazione del proceo. La probabilià di emiione di ogni livello è pari a /M. La Figura mora il conrono ra il rapporo egnale rumore oenuo con quanizzazione uniorme di un proceo con denià di probabilià uniorme e riangolare e il rapporo egnale rumore oenuo quanizzando un proceo con denià delle ampiezze riangolare con il quanizzaore deinio dal iema 5. Si noa che il quanizzaore non uniorme propoo peggiora le preazioni ripeo al quanizzaore uniorme per ogni cela di M. Le preazioni peggiorano nonoane con il quanizzaore non uniorme gli inervalli di ampiezza più probabili iano quanizzai con minore errore. Si veriichi il riulao numerico per eercizio analiicamene nel cao M4; inolre i veriichi che per opporune cele degli inervalli di quanizzazione i poono migliorare le preazioni ripeo alla quanizzazione uniorme che quindi in queo cao non è oima. Eercizio 5 Un iema di ramiione binario uilizza un alabeo X con due imboli x e x con probabilià di emiione p.5 e p.95 ripeivamene. Si deermini l enropia della orgene.

11 Si calcoli l eicienza di codiica η nel cao in cui i uilizzi un codice che divide ringhe di imboli emei in re clai: ringhe con meno di imboli x, ringhe con imboli x e ringhe con più di imboli x. Si aocia ad ogni ringa delle re clai una codiica a lunghezza ia più bi di ideniicazione della clae. Si dimori, enza derivare la codiica, che il codice di Human applicao a X deermina un eicienza di codiica uperiore a quella oenua con il codiicaore decrio nel puno precedene. Si calcoli l eicienza di codiica η nel cao di codiica di Human di X. Figura. Eercizio M Rapporo egnale rumore di quanizzazione per un proceo con denià di probabilià delle ampiezze uniorme e quanizzaore uniorme e per un proceo con denià riangolare e quanizzaore uniorme e non-uniorme come deinio dal iema 5. Dalla deinizione di enropia HX -p log p - p log p.864. L eicienza di codiica è deinia nel eguene modo H X η 6 n

12 dove n è il numero medio di bi uilizzao per codiicare un imbolo dell alabeo X. Per calcolare n occorre abilire qual è il numero medio di bi per codiicare una ringa di imboli con la codiica indicaa. Il numero di ringe N, N, N 3 appareneni alle re clai indicae i oiene acilmene uilizzando riulai del calcolo combinaorio: N N N S S S N S N S All inerno della clae i i,,3 le ringhe devono eere codiicae con ni log N Si bi il imbolo indica l arroondameno all inero uperiore. Aggiungendo i due bi di codiica della clae i oiene che le ringhe della prima clae ono codiicae con 9 bi, le ringhe della econda clae con 5 bi e le ringhe della erza clae con bi. Per calcolare il numero medio di bi per la codiica di ringhe da imboli occorre deerminare le probabilià di emiione delle ringhe appareneni alle re clai. La probabilià di emiione di una ringa apparenene alla prima clae è: per la econda clae i oiene: p k k S p p. 37 k k 98 p p p S.8 La probabilià di emiione di ringhe appareneni alla erza clae è p S3 - p S - p S.887. Il numero medio di bi per codiicare ringhe di imboli è quindi n p S N S p S N S p S3 N S da cui n.948. L eicienza di codiica è η.3.

13 Il numero medio di bi di codiica per il codice di Human applicao a una orgene X generica oddia la relazione n HX. Se i applica la codiica alla orgene X r vale la relazione r n rhx, da cui n HX / r. L eicienza di codiica per il codice di Human applicao a X r oddia quindi la relazione η. Per r i oiene η. 36, per cui l eicienza è in rh X queo cao icuramene uperiore a quella oenua dal codiicaore del puno. La Figura ripora lo chema di calcolo della codiica di Human. Si oiene che la coppia di imboli x x viene codiicaa con bi, la coppia x x con bi e le coppie x x e x x con 3 bi. In Figura ono anche riporae le probabilià di emiione di ue le coppie di imboli. Il numero medio di bi per codiicare imboli con codiica di Human è quindi n *.95*.4753*.4753*.5.475, da cui n.574 che deermina un eicienza di codiica η.5. Figura. Schema di calcolo della codiica di Human eercizio 5. Eercizio 6 Si conideri una orgene con alabeo X di due imboli { x emiione del imbolo x. Si deermini:, x }. Sia Px.9 la probabilià di

14 l enropia di X; l eicienza di codiica nel cao in cui i uilizzi un codice che divide ringhe di N5 imboli in due clai: ringhe con un numero di imboli x maggiore o uguale a 4 e ringhe con meno di imboli x. Si aocia ad ogni ringa delle due clai una codiica a lunghezza ia più un bi di ideniicazione della clae. Ripeere il calcolo dell eicienza nel cao N, 6; la codiica di Human di X e la ua eicienza. Si oiene HX.469. Procedendo in modo imile all eercizio 5 i ha: N N S S N S 6 Il numero di bi per codiicare ringhe della prima e della econda clae è 4 e 6 ripeivamene incluo il bi di riconocimeno della clae. Le probabilià di emiione di ringhe appareneni alle due clai è: P P S S P S Dai calcoli precedeni i oiene il numero medio di bi neceari per la codiica di una ringa n 4.6. L eicienza di codiica è in queo cao η HX/ n /5.56. Per N con paaggi analoghi i oiene N S 696, N S 438, P S.96, n 4.3, η HX/ n /.65. La codiica di Human di X i oiene con un procedimeno imile a quello morao in Figura. Si oiene che il numero di bi aociai alle erne di imboli è, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5 con le erne in ordine di probabilià decrecene. Il numero medio di bi i oiene dalle probabilià aociae a

15 ciacuna erna ed è n.59. L eicienza di codiica del codice di Human è in queo cao η HX/ n /3.88. Eercizio 7 Si conideri una orgene con alabeo X di 8 imboli aveni le egueni probabilià: {/;/4;/8;/6;/3;/64;/8;/8} Si deermini: l enropia di X; la codiica di Human di X; l eicienza della codiica di Human; il guadagno in ermini di rapporo ra le lunghezze medie ra i due cai ra la codiica a lunghezza ia e la codiica di Human. Dalla deinizione di enropia HX - log - log 4-3 log 8-4 log 6-5 log 3-6 log 64-7 log 8-8 log 8 7/64. La codiica di Human di X i oiene con un procedimeno imile a quello morao in Figura. Si oiene che il numero di bi aociai ai imboli dell alabeo è,, 3, 4, 5, 6, 7, 7 ripeivamene. Il numero medio di bi i oiene dalle probabilià aociae a ciacun imbolo ed è n 7/64. L eicienza di codiica del codice di Human è in queo cao maima η. Un codice a lunghezza ia aocia 3 bi ad ogni imbolo. Il guadagno con codiica di Human è 3/7/64 9/7. Eercizio 8 Si conideri un iema di modulazione numerica che uilizza 4 egnali elemenari, rappreenai in una cera bae dai egueni veori:

16 A,, A A, 3, A Si calcoli lo union bound ulla probabilià di errore in unzione dell energia per bi e della varianza di rumore. Lo union bound è epreo dalla relazione: P e M d min Q σ n 7 dove M è il numero di egnali della modulazione, σ n è la deviazione andard di rumore, d min è la dianza minima ra i egnali della modulazione e u / Q x e du. x π Geomericamene i oiene ubio d min A. L energia media della coellazione di egnali è E A e l energia per bi E b A /. Soiuendo in 7 i oiene: P e 3Q σ E b n Eercizio M3 Si imuli il iema numerico decrio nell eercizio 8. In paricolare i coniderino uguali le probabilià di emiione dei 4 egnali, i auma un canale con rumore addiivo gauiano e i implemeni un deciore oimo. Si deermini numericamene la probabilià di errore del iema in unzione del rapporo egnale rumore energia per bi / varianza di rumore e i conroni il riulao oenuo con lo union bound calcolao nell eercizio. Si ripeano le imulazioni nel cao di rmore laplaciano addiivo e i conronino i riulai.

17 raccia per la oluzione Il rameiore i imula generando i valori auni da una variabile aleaoria dicrea che aume 4 valori equi-probabili. Per eempio i poono generare numeri cauali ra e 4 con l iruzione 4*rand e arronondare all inero ineriore con l iruzione loor. Fiaa ad eempio a la varianza di rumore, il rapporo egnale rumore è deerminao dall energia per bi. Il canale con rumore gauiano addiivo i imula ommando ai veori dei egnali di due componeni due componeni di rumore gauiano indipendeni generae con la unzione randn. Il deciore oimo in ricezione i bae emplicemene ul crierio di minima dianza ra veori, per cui viene celo il imbolo più vicino a quello ricevuo. La probabilià di errore i ima imulando un numero uiciene di ramiioni e calcolando il rapporo ra il numero di errori in ricezione e il numero di ramiioni. Nel cao di rumore laplaciano i egue la ea procedura ma occorre generare variabili cauali con denià di probabilià di Laplace. Per queo di può adoare lo eo procedimeno che i è decrio nell eercizio M. In paricolare la denià di probabilià di Laplace è X x λ λ x e. La varianza della variabile cauale dipende dal paramero λ come i può veriicare per eercizio σ. Ovviamene nel conrono ra rumore gauiano e laplaciano occorre iare lo eo λ rapporo egnale rumore. La unzione di riparizione di una variabile laplaciana i oiene nel eguene modo: F X u u λ e λ e λx λx dx dx u e λu λ e λx u < dx e λu u Poi i poono applicare i pai decrii nell eercizio M.

18 La Figura 3 mora i veori ricevui in una imulazione con rumore gauiano e in una imulazione con rumore laplaciano a parià di rapporo egnale rumore. La Figura 4 mora il conrono ra le preazioni oenue nel cao di rumore addiivo gauiano e nel cao di rumore addiivo laplaciano per diveri rappori egnale rumore. Si noi che la probabilià di errore nel cao di canale gauiano è maggiore ripeo a quella oenua con canale laplaciano per bai rappori egnale rumore menre è minore nel cao di ali rappori egnale rumore. In Figura 4 è anche morao lo union bound nel cao di rumore gauiano addiivo. Figura 3. Veori ricevui in due imulazioni nel cao di canale con rumore gauiano e laplaciano addiivo. La modulazione numerica è quella udiaa nell eercizio 8. Figura 4. Conrono ra le probabilià di errore ul imbolo oenue in imulazione con rumore gauiano e laplaciano con il iema di modulazione udiao nell eercizio 8. Lo union bound per il cao di rumore gauiano è anche riporao. SNR E / σ. b n

19 Eercizio 9 Si calcoli l energia e la dianza dei egueni egnali: Ap Ap co co π π con e aumendo. alrimeni p >> Si calcoli inolre la probabilià di errore di una modulazione numerica che uilizza quei due egnali e i deermini la rappreenazione geomerica dei due egnali. L energia di i oiene calcolando il eguene inegrale: A A A E d 4 co d co d π π dove i è auno: d 4 co π in quano il periodo della unzione inuoidale ad argomeno dell inegrale è molo minore dell inervallo di inegrazione. >> Per i oiene in modo analogo: A A A E d 4 co d co d π π La dianza ra i due egnali è daa dal eguene inegrale:

20 A E E E E E E d d co co d d d π π La probabilià di errore di una modulazione numerica che uilizzi due egnali è daa dallo union bound: n d Q e P σ dove σ n è la deviazione andard di rumore, d è la dianza ra i due egnali della modulazione e x u u x Q d e / π. Nel cao peciico A d. Inolre E / A E E E E b b energia per bi, E energia media dei due egnali. Si oiene quindi: n E b Q e P σ I due egnali ono orogonali per cui la loro rappreenazione geomerica ha dimenione. I due egnali ono rappreenai dai egueni veori:,, E E Eercizio Si conideri un iema di modulazione numerica che uilizza 4 egnali, rappreenai in una cera bae dai egueni veori: - i A, - j A i, j, Si calcoli lo union bound ulla probabilià di errore in unzione dell energia per bi e della varianza di rumore.

21 Si oiene: E A Eb A d min A E b da cui P e 3Q σ E b n Eercizio Si conideri un iema di modulazione numerica che uilizza 8 egnali, rappreenai in una cera bae dai egueni veori: Acokπ/4, Ainkπ/4 k,.,7 Si calcoli lo union bound ulla probabilià di errore in unzione dell energia per bi e della varianza di rumore. Lo union bound è dao dalla relazione 7. Nel cao peciico i oiene che ui i egnali della modulazione hanno la ea energia EA. L energia per bi è E b A / log M A / 3 M è il numero di egnali della modulazione. I egnali ono rappreenai da veori dipoi u una circonerenza di raggio E. La dianza minima è la dianza ra due egnali conecuivi. Geomericamene i oiene d min Ain π / 8 analogamene i può calcolare, direamene dalla deinizione, la dianza ra i egnali corripondeni a k e k per eempio. Soiuendo in 7: P e 7Q 3E b in π/8 σ n Eercizio M4

22 Si imuli il iema di ramiione numerico dell eercizio e i imi la probabilià di errore per diveri rappori egnale rumore. Si conronino i riulai con lo union bound e con quelli oenui per il iema di ramiione udiao nell eercizio M3. Si analizzi il cao di canale con rumore gauiano addiivo e il cao di canale con rumore laplaciano addiivo. raccia di oluzione La oluzione dell eercizio numerico non preena diicolà aggiunive ripeo a quano deo per l eercizio M3. L unica dierenza è che il rameiore genera caualmene oo imboli invece che quaro. Eercizio M5 Si imuli un iema che quanizza un proceo cauale con diribuzione riangolare delle ampiezze come quello udiao nell eercizio M. I livelli di quanizzazione ono codiicai in bi e ramei con un iema di ramiione con una deerminaa probabilià di errore ul bi. Si imi numericamene il rapporo egnale rumore di quanizzazione per il proceo ricevuo che iene cono cioè della quanizzazione iniziale e degli errori di ricezione. Si eeguano imulazioni per M4,8,6,3,64,8. raccia di oluzione Il iema di quanizzazione i imula come decrio nell eercizio M. Ad ogni livello di quanizzazione i aocia una ringa di bi. Ogni bi viene ricevuo in modo errao con una cera probabilià probabilià di errore ul bi P b e. In paricolare ogni bi viene ricevuo errao e, per eempio, una realizzazione di una variabile cauale con denià uniorme ra e è minore di P b e. La ringa di bi viene riconveria in ormao decimale e viene calcolao l errore ripeo al valore di ampiezza del proceo poono eere uili le unzioni MALAB decbin e bindec che converono un numero in ormao decimale in una ringa binaria e vicevera.

23 In Figura 5 è morao il rapporo egnale rumore di quanizzazione al variare della probabilià di errore ul bi per M4,8,6,3,64,8. Si noi come all aumenare del numero di livelli di quanizzazione ia necearia una probabilià di errore più baa per raggiungere preazioni vicine a quelle oenue in aenza di errori di ricezione. Figura 5. Rapporo egnale rumore per un iema coiuio da un quanizzaore uniorme e canale rumoroo che deermina una cera probabilià di errore ul bi eercizio M5. Sono morai i cai M4,8,6,3,64,8. Eercizio Si deermini la cira di rumore della cacaa di un ampliicaore con guadagno g db e cira di rumore F5 db e di una linea aenuane con aore di aenuazione α3 db. Si ripea il calcolo nel cao in cui la poizione dell ampliicaore e della linea aenuane è inveria. Nel primo cao i oiene: Nel econdo cao: F o F α, F F 3.7 5dB g g

24 F o F, F α F 6.3 8dB g / α Eercizio 3 Si conideri un iema di ramiione -PAM. Il egnale rameo è n v α n n dove u-u- e le variabili α n aumono in modo indipendene ed equiprobabile i valori ±A. Il egnale viene rameo u un canale con ripoa all impulo c. Il egnale ricevuo viene ilrao con un ilro con ripoa all impulo g e campionao agli iani k k. Dao < τ h c g alrove abilire l iane che maimizza il campione di egnale uile. Per queo valore i deermini la diorione di picco. Il egnale ricevuo è: n v α x n n dove / < x * h / < τ τ τ / τ < τ > τ Il maimo di x i oiene per τ, che è quindi l iane che maimizza il campione uile. Per queo iane di campionameno c è un olo ermine inererene che corriponde a xτ. La diorione di picco è quindi:

25 D x τ τ p x τ. τ