SOLUZIONE. La soluzione del problema viene affrontata secondo due diverse modalità: 1. Approccio analitico; 2. Approccio numerico.

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Annunciata Blasi
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1 Eicienza di alee piane (esercizio di Fundamenals o Hea and Mass Transer, F.P. Incropera, D.P. Dei, T.. Bergman, A.S. avine, 6h Ediion, Wiley, 2007). Un alea piana, cosruia in lega d alluminio 2024 (k 185 W/(m K)), ha uno spessore alla ase 3 mm, ed una lunghezza 15 mm. a emperaura della ase è T 100 C, ed è esposa ad un luido per il quale T 20 C ed il coeiciene di scamio ermico conveivo è pari a h 50 W/(m2 K). In ali condizioni, e nelle ipoesi di alea di larghezza uniaria, si conroni il lusso ermico, l eicienza ed il volume per alee di proilo reangolare, riangolare e paraolico. SOUZIONE a soluzione del prolema viene aronaa secondo due diverse modalià: 1. Approccio analiico; 2. Approccio numerico. Per ue le due modalià, le ipoesi sempliicaive sono le segueni: Prolema sazionario; Proprieà ermoisiche cosani; Coeiciene di scamio ermico conveivo uniorme; Scamio ermico per irraggiameno assene o rascuraile. 1. APPROCCIO ANAITICO Nell approccio analiico, l uleriore ipoesi sempliicaiva consise nel rienere la conduzione monodimensionale, o in alre parole T ( x, y) T ( x) eicienza di un alea η è deinia dalla q q η q ha θ max dove q è il lusso ermico scamiao dall alea, q max è il lusso ermico massimo che poree venire scamiao dall alea se ua la sua supericie si rovasse alla medesima emperaura della ase, A è la supericie di scamio ermico dell alea e θ T - T. Nel nosro caso, operando con alee di larghezza uniaria ( 1 m), l eicienza è espressa dalla q q η (2) q ha θ max dove q q, q max q max e A A. Perciò, una vola noa l eicienza, il lusso ermico scamiao si ricava dalla q A η θ (3) Il volume dell alea, per una larghezza uniaria, è dao semplicemene dalla (1) 1/5

2 (4) V A p dove A p è l area della sezione longiudinale (parallela all asse x) dell alea. eicienza η dipende, per un assegnaa geomeria, dal valore di m, deinio dalla ( hp) ( ) m k A c (5) e dal prodoo m. Nella (5), A c rappresena la sezione dell alea. Nel caso in cui quesa non sia cosane, come per le alee riangolari o paraoliche, essa viene valuaa alla ase dell alea sessa. e espressioni dell eicienza, dell area di scamio ermico e dell area della sezione per alee piane reangolari, riangolari e paraoliche, sono riporae in igura 1. m 2h k Recangular c + A 2 c A p ( 2) η anhmc mc Triangular A 2 + A p ( 2) [ ( ) ] η 1 I1 m I0 ( 2m) ( 2m) Paraolic ( )( ) 2 y 2 1 x [ ( ) 2 ] 1 2 [ C1 + 2 ln( C ) C 1 1+ A + A p ( 3) ( ) ( ) 1 x η 2 [ 4( m) 2 + 1] Figura 1: Eicienza di alee piane. 2/5

3 1.1 Alea reangolare Per un alea reangolare, nell ipoesi di esremià adiaaica, si ha ( m) anh η (6) m Nell ipoesi, invece, più realisica di convezione dall esremià, si ha ( m) + ( h / mk) cosh( m) ( m) + ( h / mk) sinh( m) 1 P sinh η (7) m A cosh Tuavia, visa la complessià dell espressione (7), è comune uilizzare la più semplice relazione (6), ma con l avverenza di usare, al poso della lunghezza, una lunghezza correa dell alea c +/2 per un alea reangolare 1. a correzione è asaa sull ipoesi di equivalenza ra scamio ermico dall eeiva esremià, e scamio ermico da un alea più lunga ma conn esremià adiaaica. Con ale ipoesi, la (6) divena ( m ) anh c mc η (8) errore associao a ques approssimazione è rascuraile se, per un alea piana 2, (h/k) Nel nosro caso (h/k) << , quindi l ipoesi è ampiamene soddisaa. Uilizzando l espressione approssimaa (8), ed osservando che per >> si ha si oiene P A A c P ( ) ( k) m 2h c m m m c η A 2 c m q W/m V Ap m 2 Uilizzando, per veriica, l espressione esaa (7) si oiene η che non dierisce da quano rovao con la relazione approssimaa. 1 Per un alea a spillo di diamero D, la lunghezza correa è c +(D/4). 2 Per un alea a spillo l approssimazione è acceaile se (hd/2k) /5

4 1.2 Alea riangolare Nel caso di alea a sezione riangolare, il valore dell eicienza, riporao in igura 1, vale ( 2m) ( 2m) 1 I η 1 (9) m I0 dove I 0 è la unzione di Bessel modiicaa, di ordine zero, del primo ipo, ed I 1 è la unzione di Bessel modiicaa, del primo ordine, del primo ipo. Per il calcolo delle unzioni di Bessel modiicae del primo ipo, si possono uilizzare le aelle disponiili su moli esi (ad esempio, la aella B.5 del eso Fundamenals o Hea and Mass Transer, di F.P. Incropera, D.P. Dei, T.. Bergman, A.S. avine, 6h Ediion, Wiley, 2007), oppure, più comodamene, la unzione esseli(nu, Z) disponiile in MATAB, dove nu rappresena l ordine e Z l argomeno in generale complesso. In alernaiva, può essere uilizzaa la unzione BESSE.I(X; n) disponiile EXCE o OpenOice, con X argomeno ed n ordine della unzione. Si oiene (v. igura 1) I ( 2m) I ( 2m) η A q [ + ( 2) ] W/m m V Ap ( 2) m Alea paraolica Per l alea a sezione paraolica il valore dell eicienza, riporao in igura 1, vale Si oiene (v. igura 1) 2 η (10) η [ 4( m) + 1] [ + ( ) ] 1 C A [ C1 + ( ) ln( + C ) 1 ] m q W/m V Ap ( 3) m 2 4/5

I risulai oenui, per ciò che riguarda η, q e V, sono pereamene coincideni con i risulai analiici, e perano non vengono riporai.

5 2. APPROCCIO NUMERICO Il medesimo prolema, per ue le re geomerie, è sao aronao con il package agli Elemeni Finii COMSO Muliphysics 3.3, nell ipoesi di conduzione sazionaria idimensionale a proprieà ermoisiche cosani. I risulai oenui, per ciò che riguarda η, q e V, sono pereamene coincideni con i risulai analiici, e perano non vengono riporai. Nelle igure segueni sono riporai, a scopo illusraivo, il campo di emperaura (isoerme) ed il lusso ermico (veori) per le re diverse geomerie. Risula evidene, in paricolare conronando il lusso ermico per l alea reangolare e per l alea riangolare, come per ques ulima il modulo del veore lusso ermico si manenga cosane, ad indicare un migliore uilizzo del maeriale. Figura 2: Campo di emperaura e lusso ermico per alea reangolare, riangolare e paraolica. 5/5

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