RISPOSTA IN FREQUENZA DEI SISTEMI LTI. 1 Fondamenti Segnali e Trasmissione

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1 RISPOSTA IN FREQUENZA DEI SISTEMI LTI Fondameni Segnali e Trasmissione

2 Risposa in requenza dei sisemi LTI Se il segnale d ingresso di un sisema Lineare Tempo-Invariane LTI e un esponenziale complesso l uscia sara ancora un esponenziale complesso con la sessa requenza, ma con ampiezza e ase modiicae. A { ϑ } o Sisema LTI h B { ϕ } o Risposa in requenza: E la unzione della requenza che descrive come vengono modiicae ampiezza e ase di un esponenziale complesso quando passa araverso un sisema LTI. Fondameni Segnali e Trasmissione

3 Risposa in requenza dei sisemi LTI { } x Sisema L T I { } y x τ h τ dτ τ { } h τ dτ { } h τ { τ} y { } dτ L uscia di un sisema LTI alimenao da un ingresso esponenziale complesso e ancora un esponenziale complesso con la sessa requenza dell ingresso. L ampiezza e la ase iniziale dell uscia dipendono dalla risposa in requenza del sisema LTI. 3 Fondameni Segnali e Trasmissione

4 Risposa in requenza di sisemi reali Se il sisema LTI ha risposa all impulso h reale, la risposa in requenza e una unzione con simmeria complessa coniugaa: *- come si veriica acilmene dalla deinizione di. Dunque il modulo di e pari simmerico rispeo all origine e la ase di e dispari anisimmerica rispeo all origine. - ase - ase - 4 Fondameni Segnali e Trasmissione

5 5 Fondameni Segnali e Trasmissione Risposa in requenza di sisemi reali ase ϕ { } { } [ ] { } { } [ ] { } { } [ ] { } { } [ ] ϕ ϕ ϕ h x y x cos cos

6 Risposa in requenza e banda passane La risposa in requenza e una unzione complessa della requenza che dipende solo dalla risposa all impulso del sisema h. { } d h La risposa in requenza consene d inrodurre il conceo di banda passane di un sisema LTI ipicamene un canale di rasmissione. Il modulo della risposa in requenza avra valori piu elevai in una banda di requenze dea banda passane e relaivamene piu bassi alle alre requenze. All uscia del sisema LTI, gli esponenziali complessi con requenza compresa nella banda passane del sisema avranno ampiezza molo maggiore di quelli con requenza eserna a ale banda. Si usa dire che i primi passano araverso il sisema, menre i secondi no. 6 Fondameni Segnali e Trasmissione

7 Trasormaa di Fourier L operaore che consene di oenere la risposa in requenza a parire dalla risposa all impulso del sisema h, viene deo rasormaa di Fourier. La rasormaa di Fourier puo essere calcolaa per un generico segnale x, non solo per la risposa all impulso di un sisema LTI: X { } d x L operaore che consene di rioenere il segnale x a parire dalla sua rasormaa di Fourier X viene deo rasormaa inversa di Fourier: x X { } d Si noi che la rasormaa di Fourier e la sua inversa sono uguali, a pare il segno dell esponene. 7 Fondameni Segnali e Trasmissione

8 Segnali come somma di esponenziali complessi La rasormaa Inversa di Fourier x X { } d ha la seguene inerpreazione: un qualsiasi segnale x puo essere scomposo nella somma inegrale di esponenziali complessi le cui ampiezze ininiesime e asi iniziali in unzione della requenza sono dae dalla rasormaa di Fourier X : Ampiezza : X d Fase iniziale : X 8 Fondameni Segnali e Trasmissione

9 Sisemi LTI: legame ingresso-uscia in requenza - Se l ingresso e un esponenziale complesso x A { }, l uscia e y A { } - Un generico segnale x puo essere scomposo nella somma inegrale di esponenziali complessi di ampiezza ininiesima del ipo X { } d 3 - L uscia y di un sisema LTI per un generico segnale d ingresso x e daa dalla somma inegrale di esponenziali complessi X { } d 4 - L uscia y, come ui i segnali, puo essere scomposa nella somma di esponenziali complessi del ipo Y { } d Quindi: Y X Queso risulao corrisponde ad una imporane propriea della rasormaa di Fourier, che verra ripresa nel seguio: la rasormaa della convoluzione y h x e il prodoo delle rasormae Y X. 9 Fondameni Segnali e Trasmissione

10 Esercizi sui sisemi LTI. La sinusoide x sin / T è l ingresso di un sisema LTI con risposa in requenza: T T Si deermini l uscia. Si calcolino valor medio e poenza di ingresso e di uscia.. Un sisema LTI con risposa all impulso riceve in ingresso un segnale a scalino x Au. Si calcoli l uscia. Si calcolino energia, poenza e valor medio, di ingresso e uscia. 3. Un sisema LTI con ingresso A ha come uscia A cos per ogni valore di requenza. Qual é la risposa in requenza del sisema? 4. Un sisema LTI ha risposa in requenza e ingresso x pari a: x cos 6 T T calcolare l uscia y la sua poenza media, e la poenza media di x. Fondameni Segnali e Trasmissione h / T T, alrove sin