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1 Segnali e rasformae - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Segnali e rasformae DEIS-Universià di Bologna el crossi@deis.unibo.i URL: www-lar.deis.unibo.i/~crossi Segnali e rasformae - Segnali empo coninui Sono funzioni reali di variabile reale: la variabile indipendene rappresena il empo x = x () x(): i descrivono l andameno emporale delle variabili di ineresse imporane caraerizzarne le proprieà Segnali canonici: normalmene nulli per < gradino uniario rampa parabola < ( ) = < r () = Segnali periodici cosinusoide: caraerizzaa da ampiezza, pulsazione e fase M cos( ω + ϕ) < r () = / Segnali e rasformae - 3 Segnali periodici Un segnale si dice periodico di se. f ( + ) = f(). è il più piccolo numero reale per cui la è verificaa Un segnale cosane è periodico di nullo π Pulsazione caraerisica ω = Periodica di Inroduzione

2 Segnali e rasformae - 4 Segnali periodici Proprieà: dae due funzioni periodiche con periodi ra loro commensurabili (ovvero ali che con ineri), la loro somma risula essere una funzione periodica di Segnali e rasformae - 5 Segnali periodici In generale la combinazione lineare di funzioni sinusoidali è un segnale periodico di Segnali e rasformae - 6 La serie di Fourier Risulao fondamenale: Daa una funzione complessa di variabile reale periodica con, si ha jnω jnω () n n () f = F e F = f e d { F } { } La successione n è lo spero di Fourier del segnale, F n è lo spero di ampiezza e { arg ( Fn )} è lo spero di fase La conoscenza dello spero di ampiezza e fase permee di ricosruire il segnale originario Se il segnale è reale, si ha F n = Fn n =,, jnω jnω f() = F + F ne + Fne Inroduzione

3 Segnali e rasformae - 7 Formulazioni alernaive La serie di Fourier f ( ) = F + Fn cos( nω) + jsin ( nω) + Fn cos ( nω) jsin ( nω) = F + Re( Fn) cos( nω) Im( Fn) sin( nω) si oiene la forma rigonomerica F = f() d Fcn = Re ( Fn ) = f( )cos ( nω) d f( ) = F + Fcn cos( nω) + Fsn sin( nω) Fsn = Im ( Fn ) = f( )sin( nω ) d f () = F + Fn cos n + argfn ( ω ) La serie di Fourier e l analisi armonica Segnali e rasformae - 8 Ogni segnale periodico è scomponibile nella somma di una cosane, la componene coninua, e di una infinià numerabile di cosinusoidi, le armoniche, a pulsazioni muliple dell armonica fondamenale Il peso di ogni armonica è sabilio dallo spero di ampiezza Proprieà Una funzione pari è sviluppabile in soli serie di seni, cioè F cn = Una funzione dispari è sviluppabile in soli serie di coseni, cioè F sn = eorema di Parseval f () d F Fn = + La poenza media associaa al segnale, se esise, è definia dallo spero di ampiezza La serie di Fourier e l analisi armonica Segnali e rasformae - 9 Per analisi armonica si inende lo sudio dello spero, cioè la rappresenazione del segnale nel dominio delle frequenze e non del empo Esisono segnali il cui sviluppo in serie e composo da un numero finio di ermini Si definisce banda del segnale l inervallo di pulsazioni compreso ra la minima e la massima pulsazione dei ermini non nulli Segnali con un numero infinio di ermini non nulli sono in principio a banda illimiaa se il segnale è a poenza finia, l ampiezza dello spero di fase ende necessariamene a zero al crescere della pulsazione da un puno di visa praico, si parla di banda del segnale, la cosiddea banda essenziale, inendendo la banda in cui è confinaa una percenuale daa, soliamene il 95% o il 99%, della poenza oale del segnale Inroduzione 3

4 Segnali e rasformae - Esempi di speri La presenza di armoniche a frequenze elevae è legaa alla derivaa del segnale emporale: a segnali più bruschi corrispondono speri che si esendono a frequenze più elevae Segnale emporale 5 Spero serie di Fourier ( ) Segnali e rasformae - Segnale emporale smussao Esempi di speri 5 Speri serie di Fourier ( ) Segnali e rasformae - La rasformaa di Fourier Daa un segnale (a valori reali o complessi) si definisce rasformaa di Fourier la funzione complessa di variabile reale definia come jω F ( ω) = F ( f() ) = f() e d Rappresena l esensione ai segnali non periodici della serie di Fourier Non ui i segnali ammeono rasformaa, l inegrale deve esisere rasformazione inversa jω f ( ) = F ( F( ω) ) = F( ω) e dω π Spero di ampiezza F ( ω) Spero di fase arg ( F ( ω) ) Per segnali reali è sufficiene la conoscenza dello spero per pulsazioni posiive jω jω f ( ) = F ( F( ω) ) = ( F( ω) e + F( ω) e ) dω π Inroduzione 4

5 Segnali e rasformae - 3 La rasformaa di Fourier Linearià F( ω) = F ( α f( ) + β f( ) ) = = αf ( f() ) + βf ( f() ) = αf( ω) + βf( ω) Forma rigonomerica f ( ) = F( ω) cos( ω arg F( ω) ) dω π + Un segnale che ammee rasformaa di Fourier è esprimibile come somma non numerabile di funzioni elemenari cosinusoidali Si può definire il conceo di banda limiaa e banda essenziale di un segnale analogamene a quano fao per segnali periodici Un segnale diverso da zero in un inervallo di empo finio può avere banda illimiaa eorema di Parseval f () d = F( ω) dω π Segnali e rasformae - 4 Esempio Impulso reangolare a < a f() = alrove x() a F() = d = a a a jω a jω e F( ω) = e d = jω a a sin ( ω a) = a ω a F(w) ime (s) w Segnali e rasformae - 5 La rasformaa di Laplace La rasformaa di Fourier ha una chiara inerpreazione fisica, ma non ui i segnali di ineresse sono rasformabili La rasformaa di Laplace si applica ad una qualunque funzione a valori complessi coniugai o reali e di variabile reale s f () = σ '() + jω'() F() s = L ( f()): = f() e d s = σ + jω esise per praicamene ui i segnali di ineresse risula definia per ogni s apparenene al semipiano del piano di Gauss poso a desra di una rea parallela alla asse immaginario la cui posizione dipende da f() (dominio di convergenza) Inroduzione 5

6 Segnali e rasformae - 6 La rasformaa di Laplace Soo alune (non resriive) ipoesi la rasformaa di Laplace risula univoca e la rasformazione inversa risula definia come dove è una qualunque ascissa apparenene al dominio di convergenza di Noazione: Le due funzioni hanno lo sesso conenuo informaivo (rasformazione biunivoca). Proprieà della rasformaa di Laplace Segnali e rasformae - 7 Linearià Derivazione Inegrazione raslazione emporale eorema valore iniziale eorema valore finale rasformazione segnali elemenari Segnali e rasformae - 8 Inroduzione 6

7 rasformazione segnali elemenari Segnali e rasformae - 9 Riferimeno a abella per rasformazioni meno elemenari Segnali e rasformae - Esempi rasformazione funzioni complesse Segnali e rasformae - La soluzione delle equazioni differenziali lineari rasformaa di Laplace srumeno uile Esempio: equazione omogenea di ordine asys () y + ays () = a y () + a y() = y y y() = y Y() s = = as+ a a s+ a / a Anirasformazione uilizzo della formula: scomodo si sfruano funzioni elemenari di cui si conosce la rasformaa a y ( a / a () [ ()] () ) f = e L f = y = e s+ a a per ordini più elevai si sfrua la formula di derivazione ricorsivamene necessario conoscere ue le condizioni iniziali necessarie L[ y ( )] = sl[ y ( )] y () = ss [ L[ y ( )] y()] y () = sy( s) sy y Inroduzione 7

8 x Segnali e rasformae - La soluzione delle equazioni differenziali lineari A parire da EDO lineari omogenee, si oengono sempre rasformae di Laplace per la soluzione in forma razionale fraa Equazioni non omogenee con condizioni iniziali nulle asys () + ays () = bus () a y () + a y() = bu() b y() = Y() s = U() s as + a conoscendo la rasformaa della u() si ricava Y(s) e poi per anirasformazione la y() nel caso di U(s) razionale fraa, anche la Y(s) sarà ancora razionale fraa per quano viso nella lezione precedene, per calcolare il segnale è sufficiene conoscere l anirasformaa dei ermini elemenari s r r s s p ( s p) aenzione, se il polo è complesso si oiene un segnale complesso Segnali e rasformae - 3 Anirasformazione di funzioni razionali frae Si uilizza lo sviluppo in frai semplici calcolo dei coefficieni di ogni ermine dello sviluppo già viso poli semplici reali k k Y() s = y() = k() = s < p k p ke Y() s = y() = ke () = s p < poli semplici complessi coniugai jϕ jϕ k k Me Me Y() s = + = + s p s p s σ jω s σ + jω jϕ σ jω jϕ σ jω y() = M e e e + M e e e σ j( ω+ ϕ) j( ω+ ϕ) σ = Me e + e = Me cos ω + ( ) ( ϕ ) Segnali e rasformae - 4 Rappresenazione grafica (moleplicià ) Inroduzione 8

9 x ime (s ec) Segnali e rasformae - 5 Anirasformazione di funzioni razionali frae poli mulipli reali k Y() s = y() = k s r ( r! ) r k Y() s = y() = k e r ( s p) ( r! ) poli mulipli complessi coniugai r k k M e M e Y() s = + = + r r r r ( s p) ( s p) ( s σ jω) ( s σ + jω) r jϕ σ y () = M e cos( ω+ ϕ) ( r! ) p jϕ Segnali e rasformae - 6 Rappresenazione grafica (moleplicià > ) Inroduzione 9