FORMULARIO CAPITOLO 2 V.08 26/05/2005

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1 Formulario FLC Capitolo FORMULARIO CAPIOLO V.8 6/5/5 CARAERISICHE DEI SEGNALI Media temporale Media temporale per segnali periodici + a w t lim wdt t w t wdt t + a dove a è una costante reale arbitraria. Vale anche per a Valore medio temporale o componente continua di un segnale w t Wm Wdc wt Valore medio temporale per una orma d onda isicamente realizzabile t Wm w t dt t t t Valore eicace rms W e wt DeciBel Guadagno in decibel di un circuito Pout Vout db log db log Pin Vin Rapporto segnale/rumore in db Psegnale Ve, segnale S N db log log Prumore Ve, rumore dbm Livello di potenza in dbm dbm Potenza media in Watt log 3 Fasori Dato un segnale sinusoidale { j ω w t c cos ω t + θ Re ce t } FASORE FASORE ROANE: jθ c c e jω t c e c c Convoluzione w 3 τ w * w τ w t w τ t dt Funzioni OROGONALI b * dove: ϕ n t ϕm t dt Kn δ nm a se n m δ nm Delta di Kronecker se n m Se K FUNZIONI ORONORMALI n

2 Formulario FLC Capitolo RASFORMAA DI FOURIER E SPERI RASFORMAA DI FOURIER j πt W I{ w t } w t e dt in FORMA REANGOLARE W X + jy in FORMA POLARE W W e jθ detta anche spettro bilatero di w t W X + Y θ tan Y X ANIRASFORMAA DI FOURIER w t W e j π t d PROPRIEÀ Simmetria Hermitiana: se w t è REALE * W W W è PARI cioè W W θ è DISPARI cioèθ θ se w t è REALE e PARI W è REALE e PARI se w t è REALE e DISPARI W è IMMAGINARIA PURA e dispari EOREMI UILI eorema di Parseval * * w t w t dt W W d eorema di Raileigh E w t dt W d per il calcolo dell energia nel dominio della requenza

3 Formulario FLC Capitolo ENERGIA E POENZA Potenza istantanea associata ad un circuito p t v t i t Potenza media P p t v t i t Potenza media normalizzata potenza per R Ω Potenza per carichi resistivi v t V e P i t R I R R Potenza di picco P ma v t i t picco { } e R V e I e P w t lim w t dt dove w t v t oppure w t i t Energia normalizzata totale E lim w t dt Segnali a potenza o a energia inita Se w t ha P inita E E inita P Potenza normalizzata per un segnale periodico Densità spettrale di potenza DSP per un segnale periodico P w cn n w t w P cn δ n n 3

4 Formulario FLC Capitolo DENSIÀ SPERALE DI ENERGIA E POENZA FUNZIONE DI AUOCORRELAZIONE Densità spettrale di energia DSE E W w Densità spettrale di potenza DSP W P w lim dove: W I{ w t } w t se t w t w t Π se t > t Relazione IMPORANE P w t We P w d R ww Funzione di autocorrelazione eorema di Wiener-Khintchine I{ Rww τ } Pw Rww τ w t w t + τ lim w t w t + τ dt DSP di una sinusoide o di una cosinusoide t Asin ω t oppure t Acos ω t w w A A P w I cosωτ δ + 4 [ δ + ] 4

5 Formulario FLC Capitolo SEGNALI NOEVOLI Funzione DELA di DIRAC DEFINIZIONE : w δ d w DEFINIZIONE : δ d δ DEFINIZIONE 3: ± j π y δ e dy se se PROPRIEÀ CAMPIONARICE w δ d w Segnale a gradino unitario se t > u t se t se t < Segnale segno se t > sgn t se t se t < NOA: t d dt δ d u t u t δ t Segnale impulso rettangolare t se t Π se t > SPERO W sinc Segnale impulso triangolare t t se t Λ se t > SPERO W sinc Segnale Sa sin Sa SPERO Saπ t Π 5

6 Formulario FLC Capitolo Segnale sinc sin π sinc π SPERO sinc t Π Impulso esponenenziale t e t w t t < Sinusoide smorzata SPERO W + j π SPERO Impulso sinusoidale SPERO A + j sinc sinc F F W 6

7 Formulario FLC Capitolo Sinusoide jϕ + jϕ sin π t +ϕ j a e δ + e δ a [ ] Cosinusoide 7

8 Formulario FLC Capitolo SERIE DI FOURIER Un segnale ENERGIA FINIA può essere rappresentato in ] a, a + [ dalla serie di Fourier w t n c n e jnω t [rappresentazione in orma complessa] dove a+ jnω t cn w t e dt a sono i COEFFICIENI COMPLESSI DELLO SVILUPPO Serie di Fourier in orma rettangolare w t a cosnω t + b sin nω t n n n Relazione orma rettangolare <> orma complessa c se n an Re{ cn} se n b Im{ c } n n n n dove an b a+ a a+ a w t dt w tcosnω t dt a n + a w tsin nω t dt se n se n eorema di Parseval a+ P w t a dt n c n Se la orma d onda è PERIODICA. con periodo, la rappresentazione vale su tutto l asse temporale. la scelta di a è arbitraria es. a, a 3. Frequenza ondamentale: 4. n-esima armonica: n n 5. c : valore medio della orma d onda PROPRIEÀ * Se w t è REALE cn c n Se w t è REALE e PARI cn REALI Se w t è REALE e DISPARI c n IMMAGINARI PURI rasormata di Fourier di un segnale periodico di periodo W cn δ n SPERO A RIGHE n 8

9 Formulario FLC Capitolo COEFFICIENI DI FOURIER di un segnale periodico dalla trasormata di Fourier di una porzione di segnale limitata ad un singolo periodo c n H n jnωt w cn e n n dove t h t n w t h t H I{ ht } se t < altrimenti Potenza normalizzata per un segnale periodico Densità spettrale di potenza DSP per un segnale periodico P w cn n w t w P cn δ n n ONDA QUADRA o RENO DI IMPULSI REANGOLARI Coeicienti di Fourier A jnπ cn e sinc n rasormata di Fourier DSP A w P sinc n δ n n 9

10 Formulario FLC Capitolo Densità spettrale di potenza per un treno di impulsi rettangolari PRIMA FORMULA DI SOMMA DI POISSON n j πkt t n X k e k SECONDA FORMULA DI SOMMA DI POISSON jπn s ns e X k s n s k Repliche nel tempo e campionamento in requenza Campionamento nel tempo e repliche in requenza SEGNALE PEINE ~ t t n s δ δ s n RASFORMAA DI I δ t k k FOURIER δ n s s n s

11 Formulario FLC Capitolo SEGNALI A BANDA LIMIAA Segnale a banda limitata W per B Segnale a durata limitata w t per t EOREMA: Se un segnale è a BANDA LIMIAA, allora NON è di DURAA LIMIAA Se un segnale è di DURAA LIMIAA, allora NON è a BANDA LIMIAA INERPOLAZIONE DI UNA SEQUENZA ˆ t w[ n] p t n dove w [ n] w n s w n s INERPOLAZIONE A MANENIMENO t s p t Π s j k Wˆ π s sinc s e W Distorsione del segnale originale k s INERPOLAZIONE A SENO CARDINALE P s Π s Π k Wˆ W assenza di distorsione se si iltra nella banda di interesse s k s EOREMA DEL CAMPIONAMENO: Se un segnale w t è a BANDA LIMIAA B, può essere ricostruito esattamente a partire dai propri campioni, purchè la requenza di campionamento sia: s B Inatti si ha: wˆ t w n n t n s [ ] sinc s dove w [ n] w n s

12 Formulario FLC Capitolo Campionamento ideale mediante impulsi delta di Dirac Deiniamo ws t w t δ t ns w ns δ t ns n Allora: Ws W n s n s n EOREMA DELLA DIMENSIONALIÀ: Quando il prodotto B è grande, un segnale reale può essere completamente speciicato da N B inormazioni indipendenti che descrivono il segnale su un intervallo di durata.

13 Formulario FLC Capitolo 3 SISEMI LINEARI Legame ingresso-uscita * t h t t y H X Y Spettro della risposta di un segnale periodico Se n c X n n δ ALLORA n n H c Y n n δ DSP all uscita di un sistema lineare H y P P Risposta in potenza di un sistema lineare H G y h P P rasmissione senza distorsione d H j j d H Ae H e A X Y t A t y d d ˆ costante ˆ ˆ ˆ π θ π π

14 Formulario FLC Capitolo DEFINIZIONI DI BANDA. BANDA ASSOLUA di un segnale rigorosamente limitato in banda: B dove: W per < e > W > per. BANDA A 3 db di un sistema: B dove: H < ma{ H } per < e > H ma{ H } per 3. BANDA A 6 db di un segnale: B dove: X < ma{ X } per < e > X ma{ X } per 4. BANDA AL PRIMO NULLO per i segnali in banda base W B 5. BANDA NULLO-NULLO per i segnali in banda passante: 6. BANDA A db: B dove: W < db del ma{ H } per < e > W db del ma{ H } per 7. BANDA AL 99%: B dove e delimitano l intervallo in cui viene a trovarsi il 99% della potenza totale del segnale 4

15 Formulario FLC Capitolo FORMULARIO DI ANALISI I [inserito da Emilio Pavia]. rigonometria Formule di addizione: sen α + β senα cos β + cosα senβ cos α + β cosα cos β senα senβ tgα + tgβ tg α + β tgα tgβ ctgα ctgβ ctg α + β ctgα + ctgβ Formule di sottrazione: sen α β senα cos β cosα senβ cos α β cosα cos β + senα senβ tgα + tgβ tg α β + tgα tgβ ctgα ctgβ + ctg α β ctgβ ctgα Formule di duplicazione: sen α senα cosα cos α cos α sen α sen α cos α tg tgα α tg α ctgα ctgα ctgα Formule di bisezione: α α cos cos sen α 5

16 Formulario FLC Capitolo sen α α cosα α cosα sen sen ± cos α α + cosα cos Formule parametriche: tan tan sin cos + tan + tan 3 Formule di Werner: cosα senβ senα senβ cosα cos β [ sen α + β sen α β ] [ cos α β cos α + β ] [ cos α + β + cos α β ] Formule di prostaeresi: p + q p q senp + senq sen cos p + q p q senp senq cos sen p + q p q cos p + cos q cos cos p + q p q cos p cos q sen sen. Funzioni inverse più importanti: arcsin : arccos : arctan : [ ; + ] π π ; + [ ; + ] [ ; π ] π π [ ; ] ; + 6

17 Formulario FLC Capitolo Funzioni iperboliche: e sinh e e cosh + e + + sett sinh log + sett cosh log + sinh + cosh. Proprietà dei logaritmi log a log a log a log a + log a log a α α log a log a log c b log a b ormula del cambiamento di base del logaritmo log a c 3. Limiti notevoli sin lim cos lim lim + lim + e e log + lim log a + lim log lim log a a lim log e e + lim α α a e 7

18 Formulario FLC Capitolo 4. Derivate ondamentali α D α α D log a log e a D e e D a a log Dsin cos D cos sin D tan cos e a D arccos D arctan + Dsinh cosh D cosh sinh D sett sinh + D sett cosh D cot sin D arcsin 5. Integrali indeiniti immediati α + d α d + c cot + c α + sen d log + c sin d cos + c d + arctan + c d arcsin + c cos d sin + c cosh d sinh + c a a d log e d e e + c + c a d tan + c cos sinh d cosh + c d tanh + c cosh 8

19 Formulario FLC Capitolo FORMULARIO [inserito da Giovanni Cutuli] 9

20 Formulario FLC Capitolo

21 Formulario FLC Capitolo

22 Formulario FLC Capitolo

23 Formulario FLC Capitolo 3

24 Formulario FLC Capitolo 4

25 Formulario FLC Capitolo 5

26 Formulario FLC Capitolo 6

27 Formulario FLC Capitolo 7

28 Formulario FLC Capitolo 8

29 Formulario FLC Capitolo 9

30 Formulario FLC Capitolo 3

31 Formulario FLC Capitolo Metodi di integrazione indeinita per parti Oriana Cirrone 3

32 Formulario FLC Capitolo Scelta del attore inito e del attore dierenziale Oriana Cirrone 3