Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici. Stabilità interna di sistemi dinamici

Transcript

1 Equilibrio e sabilià di sisemi dinamici Sabilià inerna di sisemi dinamici

2 Sabilià inerna di sisemi dinamici Inroduzione allo sudio della sabilià Sabilià inerna di sisemi dinamici TC Sabilià inerna di sisemi dinamici TD Sabilià dell equilibrio 2

3 Sabilià inerna di sisemi dinamici Inroduzione allo sudio della sabilià

4 Inroduzione allo sudio della sabilià (1/2) Nell analisi di un sisema dinamico, bisogna saper valuare qualiaivamene se il suo comporameno risuli indifferene a perurbazioni ageni sullo sao iniziale, sugli ingressi e sui parameri preseni nelle varie equazioni che descrivono il sisema sesso La proprieà di sabilià inerna del sisema, così come definia dal maemaico russo Lyapunov alla fine dell Ooceno, fa riferimeno agli effei sul movimeno dello sao provocai da perurbazioni sullo sao iniziale, assumendo che gli ingressi e i parameri siano cosani e noi 4

5 Inroduzione allo sudio della sabilià (2/2) Un sisema è deo sabile se la sua evoluzione è poco sensibile a perurbazioni sullo sao iniziale, per cui piccole perurbazioni iniziali danno luogo a piccole variazioni nella sua successiva evoluzione Un sisema è deo insabile se la sua evoluzione è molo sensibile a perurbazioni sullo sao iniziale, per cui piccole perurbazioni iniziali allonanano decisamene la sua successiva evoluzione dalla siuazione dinamica corrispondene all assenza di perurbazioni 5

6 Sabilià inerna di sisemi dinamici Sabilià inerna di sisemi dinamici TC

7 Sabilià inerna di sisemi dinamici TC (1/2) Dao un sisema dinamico, a dimensione finia, MIMO, a empo coninuo, non lineare, sazionario, descrio dall equazione di sao x () = f( x (), u ()), se ne considerino due diverse evoluzioni emporali: Un movimeno nominale x () oenuo applicando un ingresso nominale u () al sisema poso in uno sao iniziale nominale x ( = ) = x Un movimeno perurbao x () oenuo applicando lo sesso ingresso nominale u () uno sao iniziale differene ( perurbao ) x x La differenza fra i due diversi movimeni cosiuisce la perurbazione sullo sao del sisema: n δx () = x () x () x () = x () + δx () al sisema poso in 7

8 Sabilià inerna di sisemi dinamici TC (2/2) In base all effeo di una perurbazione sullo sao iniziale δx ( ), un movimeno nominale x () è Sabile se la perurbazione sullo sao δx() resa sempre limiaa nel empo Insabile se la perurbazione sullo sao δx() non resa limiaa nel empo (anzi, ipicamene diverge) Asinoicamene sabile se la perurbazione sullo sao δx(), olre a resare sempre limiaa nel empo, ende anche ad annullarsi asinoicamene ( ) Globalmene asinoicamene sabile se, per qualsiasi perurbazione iniziale, la perurbazione δx() resa limiaa e ende ad annullarsi asinoicamene Semplicemene sabile se la perurbazione δx() è limiaa ma non ende ad annullarsi asinoicamene 8

9 Movimeno sabile Un movimeno x () i si dice sabile se, per ogni ε >, esise un γ > ale che, per ui gli sai iniziali per cui risula δx ( = ) = x x γ, si abbia δ x () = x () x () movimeno nominale sabile γ = movimeno perurbao x1 9

10 Movimeno sabile Un movimeno x () i si dice sabile se, per ogni ε >, esise un γ > ale che, per ui gli sai iniziali per cui risula δx ( = ) = x x γ, si abbia δ x () = x () x () ε, movimeno nominale sabile ε γ = movimeno perurbao 1

11 Movimeno sabile Un movimeno x () i si dice sabile se, per ogni ε >, esise un γ > ale che, per ui gli sai iniziali per cui risula δx ( = ) = x x γ, si abbia δ x () = x () x () ε, movimeno nominale sabile ε x ( 1 ) x ( 1 ) movimeno perurbao 1 11

12 Movimeno sabile Un movimeno x () i si dice sabile se, per ogni ε >, esise un γ > ale che, per ui gli sai iniziali per cui risula δx ( = ) = x x γ, si abbia δ x () = x () x () ε, movimeno nominale sabile ε x ( 2 ) x ( 2 ) movimeno perurbao 2 12

13 Movimeno sabile Un movimeno x () i si dice sabile se, per ogni ε >, esise un γ > ale che, per ui gli sai iniziali per cui risula δx ( = ) = x x γ, si abbia δ x () = x () x () ε, movimeno nominale sabile ε x ( 3 ) x ( 3 ) movimeno perurbao 3 13

14 Movimeno sabile Un movimeno x () i si dice sabile se, per ogni ε >, esise un γ > ale che, per ui gli sai iniziali per cui risula δx ( = ) = x x γ, si abbia δ x () = x () x () ε, movimeno nominale sabile ε γ movimeno perurbao 14

15 Movimeno insabile Un movimeno x () i si dice insabile se non soddisfa le condizioni di sabilià. In al caso, esise almeno un ε > ale che, per ogni γ >, almeno uno degli sai iniziali per cui δx ( = ) = x x γ è ale che : δx() = x() x() movimeno perurbao γ = movimeno nominale insabile 15

16 Movimeno insabile Un movimeno x () i si dice insabile se non soddisfa le condizioni di sabilià. In al caso, esise almeno un ε > ale che, per ogni γ >, almeno uno degli sai iniziali per cui δx ( = ) = x x γ è ale che : δx() = x() x() > ε = movimeno perurbao ε γ movimeno nominale insabile 16

17 Movimeno insabile Un movimeno x () i si dice insabile se non soddisfa le condizioni di sabilià. In al caso, esise almeno un ε > ale che, per ogni γ >, almeno uno degli sai iniziali per cui δx ( = ) = x x γ è ale che : δx() = x() x() > ε movimeno perurbao x ( 1 ) x ( 1 ) ε movimeno nominale insabile 1 17

18 Movimeno insabile Un movimeno x () i si dice insabile se non soddisfa le condizioni di sabilià. In al caso, esise almeno un ε > ale che, per ogni γ >, almeno uno degli sai iniziali per cui δx ( = ) = x x γ è ale che : δx() = x() x() > ε movimeno perurbao ε x ( 2 ) x ( 2 ) movimeno nominale insabile 2 18

19 Movimeno insabile Un movimeno x () i si dice insabile se non soddisfa le condizioni di sabilià. In al caso, esise almeno un ε > ale che, per ogni γ >, almeno uno degli sai iniziali per cui δx ( = ) = x x γ è ale che : δx() = x() x() > ε movimeno perurbao x ( 3 ) ε x ( 3 ) movimeno nominale insabile 3 19

20 Movimeno insabile Un movimeno x () i si dice insabile se non soddisfa le condizioni di sabilià. In al caso, esise almeno un ε > ale che, per ogni γ >, almeno uno degli sai iniziali per cui δx ( = ) = x x γ è ale che : δx() = x() x() > ε movimeno perurbao ε γ movimeno nominale insabile 2

21 Movimeno asinoicamene sabile Un movimeno x () i si dice asinoicamene sabile se, per ogni ε >, esise un γ > ale che, per ui gli sai iniziali per cui δx ( = ) = x x γ, si abbia: 1) δx () = x () x () ε, 2)lim δx () = lim x () x () = movimeno perurbao γ = movimeno nominale asinoicamene sabile 21

22 Movimeno asinoicamene sabile Un movimeno x () i si dice asinoicamene sabile se, per ogni ε >, esise un γ > ale che, per ui gli sai iniziali per cui δx ( = ) = x x γ, si abbia: 1) δx () = x () x () ε, 2)lim δx () = lim x () x () = = movimeno perurbao ε γ movimeno nominale asinoicamene sabile 22

23 Movimeno asinoicamene sabile Un movimeno x () i si dice asinoicamene sabile se, per ogni ε >, esise un γ > ale che, per ui gli sai iniziali per cui δx ( = ) = x x γ, si abbia: 1) δx () = x () x () ε, 2)lim δx () = lim x () x () = movimeno perurbao ε x ( 1 ) x ( 1 ) movimeno nominale asinoicamene sabile 1 23

24 Movimeno asinoicamene sabile Un movimeno x () i si dice asinoicamene sabile se, per ogni ε >, esise un γ > ale che, per ui gli sai iniziali per cui δx ( = ) = x x γ, si abbia: 1) δx () = x () x () ε, 2)lim δx () = lim x () x () = movimeno perurbao ε x ( 2 ) x ( 2 ) movimeno nominale asinoicamene sabile 2 24

25 Movimeno asinoicamene sabile Un movimeno x () i si dice asinoicamene sabile se, per ogni ε >, esise un γ > ale che, per ui gli sai iniziali per cui δx ( = ) = x x γ, si abbia: 1) δx () = x () x () ε, 2)lim δx () = lim x () x () = movimeno perurbao x ( 3 ) x ( 3 ) ε movimeno nominale asinoicamene sabile 3 25

26 Movimeno asinoicamene sabile Un movimeno x () i si dice asinoicamene sabile se, per ogni ε >, esise un γ > ale che, per ui gli sai iniziali per cui δx ( = ) = x x γ, si abbia: 1) δx () = x () x () ε, 2)lim δx () = lim x () x () = movimeno perurbao ε γ movimeno nominale asinoicamene sabile 26

27 Movimeno globalmene asinoicamene sabile Un movimeno x () i si dice globalmene asinoicamene sabile se: 1) è sabile, cioè per ogni ε >, esise un γ > ale che, per ui gli sai iniziali per cui risula che δx ( = ) = x x γ, si abbia 2) δx () = x () x () ε, lim () = lim () x () =, x X In queso caso, ogni movimeno perurbao x () converge quindi asinoicamene ( ) al movimeno nominale x (), quale che sia l enià della perurbazione iniziale δx( ) 27

28 Movimeno semplicemene sabile Un movimeno x () i si dice semplicemene sabile se è sabile ma non asinoicamene, cioè se non soddisfa la seconda condizione richiesa per poer risulare asinoicamene sabile 28

29 Classificazione dei movimeni Le precedeni definizioni permeono di classificare i movimeni a seconda delle diverse caraerisiche di sabilià inerna: globalmene asinoicamene sabile asinoicamene (non globalmene) sabile sabile movimeno semplicemene sabile insabile asinoicamene sabile 29

30 Sabilià inerna di sisemi dinamici Sabilià inerna di sisemi dinamici TD

31 Sabilià inerna di sisemi dinamici TD (1/3) Definizioni analoghe valgono anche nel caso di sisemi dinamici, a dimensione finia, MIMO, a empo discreo, non lineari, sazionari, descrii da equazioni di sao del ipo xk ( + 1) = f ( xk ( ), uk ( )), di cui si considerino due diverse evoluzioni emporali: Un movimeno nominale xk ( ) oenuo applicando un ingresso nominale uk ( ) al sisema poso in uno sao iniziale nominale xk ( = ) = x Un movimeno perurbao xk ( ) oenuo applicando lo sesso ingresso nominale uk ( ) al sisema poso in uno sao iniziale differene ( perurbao ) x x La differenza fra i due diversi movimeni cosiuisce la perurbazione sullo sao del sisema: n δxk ( ) = xk ( ) xk ( ) xk ( ) = xk ( ) + δxk ( ) 31

32 Sabilià inerna di sisemi dinamici TD (2/3) Un movimeno x () i si dice sabile se, per ogni ε >, esise un γ > ale che, per ui gli sai iniziali per cui risula δxk ( = ) = x x γ, si abbia δxk ( ) = xk ( ) xk ( ) ε, k Un movimeno x () i si dice insabile se non soddisfa le condizioni di sabilià Un movimeno x () i si dice asinoicamene sabile se, per ogni ε >, esise un γ > ale che, per ui gli sai iniziali per cui δxk ( = ) = x x γ, si abbia: 1) δxk ( ) = xk ( ) xk ( ) ε, k 2) lim δxk ( ) = lim xk ( ) xk ( ) = k k 32

33 Sabilià inerna di sisemi dinamici TD (3/3) Un movimeno x () i si dice globalmene asinoicamene sabile se: 1) è sabile, cioè per ogni ε >, esise un γ > ale che, per ui gli sai iniziali per cui risula che δxk ( = ) = x x γ, si abbia 2) δxk ( ) = xk ( ) xk ( ) ε, k lim δx ( k ) = lim xk ( ) xk ( ) =, x X k k Un movimeno x () i si dice semplicemene sabile se è sabile ma non asinoicamene 33

34 Sabilià inerna di sisemi dinamici Sabilià dell equilibrio

35 Sabilià dell equilibrio Si parla di sabilià dell equilibrio nel caso in cui il movimeno nominale considerao sia uno sao di equilibrio corrispondene ad un ingresso di equilibrio Un sisema dinamico non lineare può presenare sai di equilibrio con caraerisiche di sabilià inerna differeni si parla di sudio della sabilià locale Ad ogni sao di equilibrio asinoicamene sabile è associaa una regione di arazione (o regione di asinoica sabilià), cosiuia da quegli sai iniziali che danno origine a movimeni perurbai convergeni asinoicamene allo sao d equilibrio In corrispondenza di un dao ingresso di equilibrio, un sisema dinamico ammee al più un unico sao di equilibrio globalmene asinoicamene sabile 35

36 Esempio #1 di sudio della sabilià dell equilibrio Sao di equilibrio asinoicamene sabile 1.5 x _

37 Esempio #2 di sudio della sabilià dell equilibrio Sao di equilibrio semplicemene sabile 1.5 x _

38 Esempio #3 di sudio della sabilià dell equilibrio Sao di equilibrio insabile 1.5 x _