Modelli stocastici per la volatilità

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1 Modelli socasici per la volailià Inroduzione ai modelli GARCH Generalized AuoRegressive Condiional Heeroschedasiciy In un modello GARCH si assume che i rendimeni siano generai da un processo socasico con volailià condizionaa variabile nel empo. Nei modelli ARMA abbiamo supposo che la media condizionaa dei rendimeni fosse variabile nel empo meendola in relazione con alcune variabili esplicaive. La componene d errore del modello è consideraa omoschedasica, cioè: Var = σ Idea fondamenale dei modelli GARCH: aggiungere una seconda equazione a quella della media condizionaa equazione della varianza condizionaa. Perciò: Var = σ voluzione emporale della varianza condizionaa della componene erraica

2 AuoRegressive Condiionally Heeroscedasic ARCH Models Base di parenza: σ =Var -, -,...=[ - -, -,...] Poichè assumiamo che =0 si ha che σ = Var -, -,...=[ -, -,...] Quesio: da cosa porebbe plausibilmene dipendere il valore correne della varianza dei disurbi? Dai quadrai dei disurbi precedeni. Ciò conduce al modello AuoRegressivo a eroschedasicià Condizionaa per la varianza dei disurbi: σ = α 0 + α - Tale modello viene indicao con la sigla ARCH. Inroduzione ai modelli GARCH La variabile dipendene di un modello GARCH per la volailià è sempre una serie di rendimeni. Un modello GARCH è formao da due equazioni: quazione per la media condizionaa quazione per la varianza condizionaa

3 Inroduzione ai modelli GARCH 3 L equazione per la media condizionaa Poiché l aenzione nei modelli GARCH si concenra sulla varianza condizionaa, soliamene l equazione per la media condizionaa è molo semplice: r = μ + In ale caso la cosane è pari alla media dei rendimeni nel periodo considerao. Se la funzione di auocorrelazione presena valori significaivi per alcuni sfasameni si porebbe uilizzare una media condizionaa auoregressiva. Soliamene un modello AR si rivela adeguao. Inroduzione ai modelli GARCH L equazione per la varianza condizionaa Diverse ipologie di modelli GARCH in base alla forma dell equazione per la varianza condizionaa Disinzione fra GARCH simmerici e GARCH asimmerici simmerici caurano il volailiy clusering ordinario; l equazione per la media condizionaa e quella per la varianza condizionaa possono essere simae separaamene; Ai ii il l ff l i l di Asimmerici caurano il leverage effec; l equazione per la media condizionaa e quella per la varianza condizionaa devono essere simae congiunamene; 3

4 Il modello ARCH eroschedasicià condizionaa auoregressiva Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy r = μ + quazione per la media condizionaa = z h z ~ IID0, h = ω + α z evenualmene normale quazione per la varianza condizionaa dove ω > 0, α 0 per garanire la non negaivià della varianza I ~ IID0, h per cui I h = condizionaamene eeroschedasico. Si può dimosrare che la varianza non condizionaa di è una cosane σ. Il modello ARCH Alcune considerazioni sui modelli ARCH = z h Affinchè la varianza esisa finia deve essere α < 3 per α = 0 la serie degli è condizionaamene omoschedasica

5 Il modello ARCH 3 I modelli ARCH caurano il volailiy clusering Sosiuendo la nella si ha: = z ω + α Shock elevai bassi in valore assoluo endono ad essere seguii da shock elevai bassi. 3 Modello ARCH simulao con α = 0.7, T= ARCH I modelli ARCH I modelli ARCH caurano la lepocurosi delle serie finanziarie a La curosi di è sempre superiore a quella di z [ h ] z [ ] = z h z = N.B.: Ricordare disuguaglianza di Jensen e legge dei valori aesi ierai Per cui si può scrivere: [ ] z = 3 b per i modelli ARCH si può anche dimosrare che la curosi di è daa da: 3 α β = = 3α [ ] poiché α > α allora β 3 3 sempio di simulazione ARCH > 5

6 I modelli ARCH 5 mediana 0.00 varianza minimo massimo 0.89 asimmeria curosi.085 jarque-bera 7.3 p-value jb n.oss 999 La forma disribuiva di un processo ARCH simulao Coefficiens: simae Sd. rror value Pr> Sima di un modello ARCH a0.60e-0 5.e < e-6 *** su dai reali NI a.398e-0 3.0e e- *** I modelli ARCH 6 Sruura di dipendenza dei quadrai degli shock in un modello ARCH Funzione di auocorrelazione per gli in un modello ARCH Rappresenazione AR di un processo ARCH Un modello ARCH può essere riscrio come un modello AR rispeo a Infai, aggiungendo ad ambo i membri della si oiene: = ω + α dove v h = h z = h = ω + α + v Poiché un ARCH può essere scrio come un AR, per garanire la sazionarieà del processo deve essere α < la quanià h L auocorrelazione al lag k per è pari a k α 6

7 Dal processo ARCH ai processi ARCHp Correlogramma sui rendimeni al quadrao del NASDAQ Correlogramma per i quadrai di un ARCH simulao Caraerisiche della funzione di auocorrelazione per i rendimeni al quadrao delle aivià finanziarie: - Valore basso al primo lag - Valore decrescene molo lenamene Il modello ARCH non riesce a riprodurre ale andameno perché un basso valore al primo lag implicherebbe una riduzione molo rapida della funzione di auocorrelazione. Dal processo ARCH ai processi ARCHp -Caraerisiche del processo ARCH rispeo alle proprieà osservae empiricamene su mole serie soriche finanziarie sazionarieà sì OK incorrelazione sì OK correlazione quadrai sì! indipendenza no OK normalià no OK lepocurosi sì OK prevedibilià della media cond. no OK della varianza cond. sì OK - La correlazione dei quadrai non è del ipo osservao empiricamene - Limiare la memoria del processo ad un solo isane può essere riduivo - Un passo avani consise nel considerare p riardi Modelli ARCHp 7

8 I processi ARCHp = z h z ~ IID0, z h + α + + = ω + α... α p p ω > 0, αi 0, per i =,,..., p per la non negaivià della varianza z ~ NID0, I ~ N 0, h I I processi ARCHp Rappresenazione ARp = ω + α + α α p p + v per cui σ = ω α α... - sisono dei risulai i che forniscono le condizioni i i per l esisenza dei momeni, in paricolare del momeno quaro. Quando ques ulimo esise, evidenzia lepocurosi. - Il processo ARCHp lineare con ω > 0, α 0, per i =,,..., p è debolmene sazionario se e solo se α + α α p < - Quesa condizione coincide con la richiesa che ue le radici dell equazione caraerisica associaa al polinomio auoregressivo della rappresenazione AR di risulino eserne al cerchio di raggio uniario nel caso di parameri posiivi. - ha una funzione di auocorrelazione simile a quella di un ARp classico. Risulao uile a formulare una sraegia per l idenificazione preliminare dell ordine p del processo ARCH. - Procedura Box-Jenkins sulle auocorrelazioni dei quadrai. α p 8

9 I processi ARCHp 3 Correlogramma per i quadrai di un ARCH5 simulao Sima di un modello ARCH5 su dai reali NI Coefficiens: simae Sd. rror value Pr> a0 6.e e < e-6 *** a.e-0.36e e-08 *** a.e-0.77e e-06 *** a3.7e-0.57e e-07 *** a.85e e e-0 *** a5.6e e e-06 *** 9