La procedura Box-Jenkins

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Graziano Ferrario
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1 La procedura Box-Jenkins La selezione del modello - Procedura di Box e Jenkins (1976): procedura per cosruire, a parire dall osservazione dei dai, un modello ARMA ao ad approssimare il processo generaore della serie sorica. - Si ipoizza che la serie sia già saa resa sazionaria araverso una serie di rasformazioni preliminari (se necessarie) Idenificazione Sima dei parameri Conrollo diagnosico - Quando il conrollo diagnosico non è soddisfacene il modello deve essere rispecificao per cui le re fasi principali possono essere ripeue più vole in maniera ieraiva; - Quando il modello risula soddisfacene si passa alla fase del suo uilizzo per scopi descriivi e previsivi. 1

2 Idenificazione -Specificazione dell ordine del modello (parameri p e q) -Principali srumeni da usare: ACF e PACF simae -Se le auocorrelazioni endono ad annullarsi molo lenamene (o non si annullano affao) è probabile che il processo generaore sia non sazionario (Es: prezzi degli srumeni finanziari, ved. correlogramma su ENI) Esempio NASDAQ passando ai rendimeni si ha: Sruura ipica di un processo non sazionario

3 Esempio NASDAQ () il cui correlogramma è Esempio NASDAQ (3) Se eleviamo al quadrao i rendimeni abbiamo il cui correlogramma è: 3

Operazioni preliminari Serie generaa da un

non sazionarieà avua dall osservazione del

4 Operazioni preliminari Serie generaa da un PS ARIMA(1,1,0), cioè ΔY y = φ Δ + ε Y 1 y 1 = 0.7( y 1 y ) + ε L impressione è quella di una serie non sazionaria in media. Il correlogramma conferma l impressione di non sazionarieà avua dall osservazione del grafico della serie. Operazioni preliminari () il cui correlogramma è il seguene differenziamo la serie e oeniamo il seguene grafico che è il correlogramma ipico di un processo AR(1). 4

5 La fase di sima dei parameri -Minimi quadrai ierai o massima verosimiglianza (ipoesi di normalià) -Fase complicaa numericamene e affidaa ai calcolaori -Le sime dei parameri si indicano con il cappello (ha) per cui un modello ARMA(1,1) può essere scrio: yˆ ˆ = ˆ + + c φ1 y 1 θ1 ˆ ε 1 ˆ dove ŷ è il valore simao al empo. Sima dei parameri () Correlogramma di una serie generaa da un processo ARMA(1,1) proviamo un MA(6). coef s.e..sa p.value ma E-195 ma E-60 ma E-4 ma E-10 ma ma inercep Si può pensare ad un MA(q) 5

6 La significaivià dei parameri Durane la fase di sima è necessario verificare se i coefficieni simai sono significaivamene diversi da zero. H 0 : φi = 0 ˆ φi 0 H1 : φi 0 ~ m var( ˆ φ ) dove m è il numero di parameri simai. Rule of humb: α = 0.05 i φ ˆ i > il paramero simao è significaivamene var(ˆ ) ifi diverso da zero. φ i Osservazione: var( φ ˆ i ) = sandard error (s.e.) di φˆ i Il crierio della parsimonia I polinomi AR: ( 1 φ L... φ L p 1 p ) q e MA: ( + θ L θ L q ) 1 1 non devono avere radici comuni. Esempio. ARMA(1,1) ( 1 0.7L) Y = ( 1 0.7L) φ1 = 0.7 e θ1 = 0.7 Y ε = ε la serie è W. N. In generale, se nel modello ARMA(p,q) φk θ k k=1,,,min(p,q) allora il modello e sovraparamerizzao. 6

7 Esempio 1: non significaivo il paramero di ordine superiore ΔY = L L (0.1) (0.1) ε sandard errors 0.86 > significaivo 0.1 < non significaivo Il modello finale sarà il seguene: ΔY = ( B) ε Esempio : non significaivo il paramero di ordine inferiore Y Δ = L 0.86 L ε (0.1) (0.1) E' significaivo θ, ma non θ1 Osservazione. Soliamene i parameri di ordine inferiore sono indispensabili nella procedura di sima, di conseguenza occorre cauela prima di eliminarli. ρ θˆ θˆ Se (, ) 1 1 Bisogna analizzare ρ( θˆ, θ ) 1 ˆ anche la loro sima è sreamene correlaa, di conseguenza è possibile oenere buoni risulai (in ermini di descrizione dei dai) anche usando un solo paramero anziché due. Se, ad esempio ρ( θ, θ ) il modello divena: ΔY = ( L) ˆ ˆ 1 = ε 7

8 Riprendendo l esempio su ARMA(1,1) simulao: parsimonia avevamo provao un MA(6) coef s.e..sa p.value ar ma inercep Modello ARMA(1,1) più flessibile e parsimonioso Esempio su NASDAQ: parsimonia Proviamo un AR(4) sul quadrao dei rendimeni del NASDAQ proviamo quindi un ARMA(1,1): coef se s.e. sa.sa p.value ar ar ar coef s.e..sa p.value ar ma ar inercep inercep Anche qui il rischio è quello di sovraparamerizzazione 8

9 Conrollo diagnosico sui residui -Verifica dell adeguaezza del modello simao: analisi dei residui ˆ ε = y yˆ -Presenza di auocorrelazione residua. H 0 : ˆε ~ WN es sui singoli valori della funzione di auocorrelazione simaa sui residui, cioè ρ ( ˆ) ε k ˆ ε ˆ ε k = k + 1 = ˆ ε = 1 -Verifica complessiva di assenza di auocorrelazione nei residui con il es Q di Ljung-Box: H 0 : assenza di correlazione nei residui fino al lag m. H 1 : presenza di correlazione nei residui fino al lag m. Saisica-es: Q( m) = ( + ) m ρk ( k = 1 ˆ) ε k Soo l ipoesi nulla Q ( m) ~ χ m Esempio su NASDAQ (coninua) Correlogramma dei residui con i due modelli simai sui quadrai dei rendimeni del NASDAQ. Residui del modello AR(4) Residui del modello ARMA(1,1) 9

10 Esempio su ARMA(1,1) simulao Correlogramma dei residui con il modello adeguao su una serie simulaa da un ARMA(1,1) Conrollo sull omoschedasicià dei residui Cosanza della varianza dei residui nel empo. In caso conrario eeroschedasicià dei residui In ale caso: 1) la significaivià dei parameri non può essere valuaa con il es ; ) gli inervalli di confidenza delle previsioni non sono cosani nel empo Si uilizza il es di McLeod e Li: idenico al es di Ljung-Box, ma fao sui quadrai dei residui 10

11 Esempio Calcolo di un AR(1) sui rendimeni del MIDEX coef s.e..sa p.value ar E-08 c es di McLeod e Li (es di LB sui residui al quadrao) Lag ACF Q-Sa Prob E I residui non sono omoschedasici Conrollo sulla normalià dei residui -Indice di asimmeria di Fisher con M μ s ( ˆε ) = s = 1 e γ = 1 M μ 3 3 σ σ = 1 = ( ˆε ) Asimmeria posiiva o negaiva se maggiore o minore di zero. -Indice di curosi Normale curosi = 3 M 4 β = Plaicurica curosi < 3 M μ Lepocurica curosi > 3 β M μ 1 - es di Jarque-Bera JB = γ 1 + ( β 3) 6 4 Soo l hp di normalià JB si disribuisce come una chi-quadrao con gdl. Ipoesi nulla: normalià della serie. 11

Esempi Isogramma dei residui di un ARMA(1,1) sul quadrao

modello ARMA(1,1) su una serie generaa da un processo

Correlogramma dei residui di un MA(5) su una serie

12 Esempi Isogramma dei residui di un ARMA(1,1) sul quadrao dei rendimeni del NASDAQ Isogramma dei residui di un modello ARMA(1,1) su una serie generaa da un processo ARMA(1,1) Adaameno del modello ai dai osservai Correlogramma dei residui di un MA(5) su una serie generaa da un processo ARMA(1,1) Isogramma dei residui dello sesso modello 1

13 La scela fra modelli alernaivi Come scegliere il modello migliore fra MA(5) e ARMA(1,1)? -Crieri di scela per p e q, che engono cono del rade-off fra parsimonia (numero di parameri) e capacià previsiva del modello Asympoic Informaion Crierion (Akaike, 1974) AIC( r) = ln ˆ σ + r 1 con r = p + q + 1 e σˆ = ˆ ε = 1 Bayesian Informaion Crierion (Schwarz, 1978) BIC( r) = ln ˆ σ + r ln -Ciascun crierio assegna un coso all inroduzione di ogni nuovo paramero addizionale. I valori di p e di q che minimizzano i crieri rappresenano l ordine del modello -Il crierio BIC impone una penalià più ala di AIC per l inclusione di nuove variabili Esempio su ARMA(1,1) simulao (coninua) SIMA DI UN ARMA(1,1) coef s.e..sa p.value ar ma inercep AIC BIC coef s.e..sa p.value ma ma ma ma ma inercep AIC BIC AENZIONE: R calcola AIC in modo diverso: -*loglik+*(r+1) I valori minori di AIC e di BIC si hanno per il modello ARMA(1,1). 13

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