Università degli studi di Padova. Facoltà di scienze statistiche. Corso di laurea in Statistica e tecnologie informatiche

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1 Universià degli sudi di Padova Facolà di scienze saisiche Corso di laurea in Saisica e ecnologie informaiche Tesi di laurea Sudio di una cara di conrollo EWMA sui residui di dai auocorrelai Relaore: Prof.ssa Giovanna Capizzi Laureando: Ruffa Marco Anno accademico 2004/2005

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3 Indice 1 Concei generali La variabilià nei processi produivi Le care di conrollo La cara di conrollo EWMA Applicabilià Calcolo della cara EWMA Inerpreazione Valuazione di una cara EWMA Procedura per il disegno di una cara di conrollo EWMA Il puno di cambio 14 2 Cara EWMA per dai auocorrelai Il Problema dei dai auocorrelai L uso dell EWMA per dai correlai L approccio ramie i residui Calcolo dei residui 17 3 I risulai Inroduzione La procedura per la sima del puno di cambio τ I risulai Conclusioni 23 Appendice 25 3

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5 Inroduzione La cara di conrollo Ewma (Robers, 1959) viene ipicamene implemenaa assumendo che i parameri del processo siano noi e che i dai non siano correlai ra loro. Soliamene i parameri sono incognii e quindi la cara di conrollo viene disegnaa sosiuendo ai parameri delle loro sime. Spesso accade che le X non sono indipendeni ma serialmene correlae ρ(x, X +h ) 0 In al caso i empi di risposa nominali (Average Run Lengh, ARL), oenui per osservazioni dipendeni, non sono più comparabili a quelli oenui nel caso di dai incorrelai. Una possibilià per superare il problema dell auo-correlazione è applicare una cara di conrollo ai residui oenui dall adaameno di un conveniene modello per serie soriche. Il seguene sudio raa un applicazione di una cara di conrollo Ewma ai residui di un dao modello ARMA(p,q). L obieivo principale del conrollo saisico di processo è individuare, nel minor empo possibile, lo shif del processo in modo che possano essere prese azioni correive. Il primo capiolo è una descrizione generale della cara di conrollo Ewma. 5

6 Nel secondo capiolo è esposo il problema della cosruzione di care di conrollo per dai auocorrelai; Nel erzo capiolo sono esposi i risulai e le conclusioni. 6

7 Capiolo 1 Concei generali 1.1 La variabilià nei processi produivi I dai dei processi produivi hanno sempre una cera variabilià. Quando quesa variabilià è il risulao di faori casuali in grado di deerminare una variazione minima del processo senza influenzarne l andameno generale, essa è chiamaa variabilià naurale. Un processo nel quale si presena solo quesa variabilià è deo soo conrollo (in conrol, IC). Esisono alre cause di variabilià che incidono maggiormene sul prodoo e quindi sul suo livello di qualià e in primo luogo sono riconducibili a guasi dei macchinari, errori degli operaori e maeriali difeosi. Quesa variabilià è più evidene di quella precedene e può porare a loi di produzione difeosi. Un processo che presena una variabilià dovua a faori specifici, è deo fuori conrollo (ou of conrol, OC). L obieivo principale del conrollo della qualià è quindi conrollare la produzione, araverso la misurazione delle sue caraerisiche e di 7

8 alcune saisiche a loro associae, per individuare evenuali variazioni di ampiezza δ nella saisica di conrollo. Lo srumeno più uilizzao e più affidabile per deerminare se un processo ha subio un cambiameno, è la cara di conrollo. 1.2 Le care di conrollo La cara di conrollo consise in un grafico nel quale sono riporai i valori della saisica di conrollo, in funzione del empo,. Essa è cosiuia da: - una saisica di conrollo, ω, corrispondene ad una funzione delle osservazioni della caraerisica del processo in esame; - CL (Cenral Line), una linea cenrale che rappresena il valore nominale della saisica per il processo in conrollo; - UCL (Upper Cenral Line), una linea superiore che rappresena il valore di soglia al di sopra del quale viene segnalao uno sao di fuori conrollo del processo; - LCL (Lower Cenral Line), una linea inferiore che rappresena il valore di soglia al di soo del quale viene segnalao uno sao di fuori conrollo del processo; I valori UCL e LCL sono dei limii di conrollo. Essi rappresenano quegli indici con cui la saisica di conrollo viene confronaa ad ogni isane. La cara di conrollo non è alro che una sequenza di es di verifica d ipoesi per saggiare se il processo risula in conrollo o meno. Daa una saisica di conrollo ω che misuri la caraerisica X: ω = f(x 1 + x n ) Si considera dunque il seguene problema di verifica d ipoesi: 8

9 H 0 : ω (LCL; UCL) H 1 : ω (LCL; UCL) Non appena una saisica di conrollo cade al di fuori dei limii di conrollo, viene lanciao l allarme di una possibile anomalia nel processo. Esisono diversi ipi di care di conrollo. Una prima disinzione viene faa ra care di conrollo per variabili nel caso in cui si raino variabili coninue, e care di conrollo per aribui, nel caso si raino variabili discree. In seguio le care per variabili sono disine in care di conrollo con memoria o senza memoria. Le prime uilizzano le informazioni provenieni dai campioni precedeni in aggiuna a quella del campione auale e permeono di cogliere cambiameni anche di piccole dimensioni (0 < δ < 1,5), menre le seconde uilizzano solamene l informazione derivane dal campione correne e sono adae ad individuare cambiameni più ampi δ > 1, La cara di conrollo EWMA Applicabilià La cara di conrollo EWMA (Exponenially Weighed Moving Average) fu inrodoa da Robers (1959) per individuare piccoli cambiameni nella media nei processi produivi. Essa può essere uilizzaa in due diversi modi, (1) come srumeno per moniorare il processo produivo, (2) come previsore per le successive osservazioni del processo. Tipicamene per una correa applicazione della cara EWMA viene assuno che le osservazioni del processo siano disribuie come una 9

10 Normale con parameri, media e deviazione sandard noi. Nel seguene sudio si assume che le osservazioni siano correlae ra loro e che i parameri non siano noi Calcolo della cara EWMA Si assuma che le osservazioni della caraerisica di qualià di ineresse, denoaa con X, siano indipendeni ed idenicamene disribuie secondo una normale di media µ e varianza, σ x dove il valore µ indica che la media delle osservazioni può subire dei cambiameni nel empo. Il valore della saisica EWMA al empo, che indicheremo come Q, è definia quindi come: Q ( λ ) Q + λy = 1 1 (1.1) dove λ è la cosane di lisciameno esponenziale apparenene all inervallo 0 < λ < 1 che deermina quano peso assegnare alle osservazioni passae nel calcolo di Q. Più il suo valore sarà piccolo più memoria avrà la saisica. L equazione (1.1) può essere scria come: Q = λ 1 i= 0 i ( 1 λ) + ( 1 λ) Q 0 (1.2) dove Q 0 è pari al valore arge della saisica. Assumendo che Q 0 = µ è facile dimosrare che dall equazione (1.2) risula E[Q ] = µ, menre la varianza è pari a: I limii di conrollo risulano pari a: σ [ 1 ( 1 λ) ] λ = (1.3) 2 λ Q σ X 10

11 2 [ 1 ( 1 λ) ] λ UCL = µ + hσ X (1.4) 2 λ 2 [ 1 ( 1 λ) ] λ LCL = µ hσ X (1.5) 2 λ dove h è la cosane che deermina l ampiezza dei limii di conrollo. Dal momeno che la quanià ( 1 ) 2 λ 1 1 per si oiene la varianza asinoica: 2 2 λ σ Q = σ X (1.6) 2 λ ed i limii di conrollo asinoici risulano pari a: λ UCL = µ + hσ X (1.7) 2 λ λ LCL = µ hσ X (1.8) 2 λ Inerpreazione Gli andameni non casuali all inerno del processo moniorao vengono segnalai usualmene con la fuoriuscia della saisica dai limii di conrollo. Quando si uilizza una cara EWMA andameni non casuali possono essere individuai anche sudiando la disribuzione della saisica all inerno dei limii di conrollo. Infai, i valori della saisica EWMA fluuano aorno alla linea cenrale, quando il processo risula in conrollo, menre quando vi è un cambiameno essa si sposa lenamene verso il nuovo livello. L individuazione di cambiameni nel processo può avvenire evidenziando la presenza di andameni cresceni o decresceni della saisica di conrollo. 11

12 1.3.4 Valuazione di una cara EWMA Per oenere una cara di conrollo EWMA che sia in grado di raggiungere deerminae performance, è necessario individuare la coppia di parameri, λ e h oimali. I crieri per valuare le capacià di una cara sono basai maggiormene sulla disribuzione della Run Lengh. La Run Lengh, T, di una cara di conrollo è una variabile casuale che rappresena il primo isane emporale in corrispondenza del quale la saisica dii conrollo fuoriesce dai limii di conrollo. Queso eveno è segnale di una poenziale condizione di fuori conrollo. In realà la disinzione ra un falso allarme ed un vero fuori conrollo non è sempre individuabile, si cerca così di cosruire una cara che segnali il minor numero di falsi allarmi e che riesca e individuare un vero cambiameno il prima possibile. La più comune misura per valuare le capacià di una cara di conrollo è l ARL, Average Run Lengh, pari al valore aeso di T. Per un processo in conrollo è desiderabile oenere il più alo valore possibile dell ARL (ovvero la più bassa percenuale di falsi allarmi). Di conro, quando il processo risula fuori conrollo, l ARL deve risulare molo bassa così da cogliere il prima possibile il cambiameno avvenuo. Per effeuare un confrono ra diverse care di conrollo è usualmene fissao uguale, per ue le care, l ARL in conrollo come anche il cambiameno da individuare. La cara con ARL fuori conrollo minore risula essere la migliore. 12

13 1.3.5 Procedura per il disegno di una cara di conrollo EWMA Il disegno saisico di una cara di conrollo consise nella deerminazione dei limii di conrollo che devono essere oimali in ermini di ARL, in conrollo e fuori conrollo, nella scela della dimensione dei campioni e nel deerminare la frequenza di campionameno. Per un ARL in conrollo fissao, i limii di conrollo vengono deerminai in modo che l ARL fuori conrollo risuli il più piccolo possibile per un cambiameno di grandezza fissaa. Per una cara EWMA ciò consise nella deerminazione delle cosani (λ, h). Il numero di combinazioni di λ e h per oenere una cara EWMA con un deerminao ARL in conrollo sono infinie, ma è necessario individuare quella combinazione in grado di produrre il minor ARL fuori conrollo quando un cambiameno è effeivamene avvenuo. L approccio generale per il disegno di una cara EWMA è il seguene: sabilire l ARL in conrollo della cara; deerminare il cambiameno minimo che la cara deve individuare; rovare la cosane di lisciameno, λ *, uilizzando le avole appropriae di Crowder (1987b, 1989) o di Lucas e Saccucci (1990); dao λ, rovare il valore di h che soddisfa il vincolo sull ARL in conrollo; 13

14 La combinazione oimale di parameri, (λ *,h * ), è dunque ale da produrre per un dao ARL in conrollo, l ARL fuori conrollo minimo per il cambiameno prefissao. 1.4 Il puno di cambio Le care di conrollo segnalano all isane T la presenza di una causa specifica. A al puno è uile procedere alla sima dell isane emporale in cui è avvenuo il cambiameno. Per simare il puno di cambio usiamo la proposa faa da Nishina (1992). La cara EWMA è definia come una sequenza di puni che si aggirano aorno alla linea cenrale in siuazione di conrollo del processo. Una vola segnalao un allarme si propone come puno di cambiameno { : ω } ˆ τ max µ EWMA = 0 14

15 Capiolo 2 Cara EWMA per dai auocorrelai 2.1 Il Problema dei dai auocorrelai Le assunzioni alla base di un correo uso delle care di conrollo sabiliscono che i dai generai da un processo in sao di conrollo sono indipendeni e seguono una disribuzione normale di media µ e deviazione sandard σ. Sia µ che σ sono considerae cosani e ignoe. Una condizione di fuori conrollo compora un cambiameno (shif) del livello medio µ, oppure di σ, oppure enrambe. Perano quando il processo è in conrollo la caraerisica di qualià x al empo può essere rappresenaa dal modello: x = µ + ε = 1,2, dove le ε sono idenicamene e indipendenemene disribuie con media nulla e deviazione sandard σ. Quando quese assunzioni sono soddisfae, si posso applicare le care di conrollo convenzionali, le cui proprieà saisiche cosiuiscono un agevole guida all inerpreazione dell andameno del processo. Anche in presenza di violazioni dell assuno di normalià della disribuzione di x alcune care, quali l EWMA, coninuano a 15

16 funzionare in modo soddisfacene. L assunzione più imporane è quella dell indipendenza delle osservazioni, in mancanza della quale la cara non funziona in modo correo. In paricolare, se i dai sono correlai, ale cara fornisce risulai fuorviani, in ermini di frequenza roppo elevaa di falsi allarmi. Sforunaamene le assunzioni di indipendenza e di incorrelazione non sono soddisfae in mole siuazioni reali. Ad esempio, i processi di produzione dell indusria chimica presenano ipicamene osservazioni foremene correlae, come pure le procedure auomaiche di ispezione e conrollo. Fondamenalmene ui i processi produivi risenono di elemeni inerziali, e quando la frequenza delle osservazioni diviene elevaa ciò compora la presenza di correlazione seriale. 2.2 L uso dell EWMA per dai correlai L approccio per serie emporali a vole può risulare difficoloso. Tipicamene, vengono applicae le care di conrollo a mole variabili del processo, cosicché lo sviluppo di modelli per serie emporali per ogni variabile di ineresse porebbe risulare poenzialmene roppo dispendioso. In generale, se le osservazioni sono correlae posiivamene e la media del processo non cambia roppo velocemene di livello, la cara EWMA con un valore opporuno di λ cosiuisce un eccellene previsore a un passo. Di conseguenza, ci si può aendere che moli processi caraerizzai da una dinamica del primo ordine (cioè sali di livello molo piccoli) siano ben inerpreai dall EWMA. 16

17 La procedura in queso caso consise nel cosruire una cara di conrollo sugli errori di previsione a un passo oppure una sui residui di un conveniene modello di serie soriche. Noi ci baseremo su queso secondo approccio. 2.3 L approccio ramie i residui Calcolo dei residui Un approccio che si è rilevao uile nel raare dai auocorrelai, è quello di descrivere direamene la sruura di correlazione con appropriai modelli di serie emporali, con i quali rimuovere la presenza di auocorrelazione e in seguio applicare una cara di conrollo (EWMA) ai residui. Soliamene il modello usao è di ipo auoregressivo a media mobile ARMA(p,q), Box e Jenkins y = η + ψ 1 *(y -1 -η)+ + ψ p *(y -p -η) + u + φ 1 u φ q u -q dove -1 < ψ i < 1 e -1 < φ i < 1 sono cosani noe simae e con le u disribuie indipendenemene e normalmene, con media nulla e deviazione sandard σ e con η cosane noa pari alla media del processo: E ( y ) = η Con i valori ŷ calcolai dalla sima del processo calcoliamo i residui ramie la differenza ra i dai (valori simulai in precedenza) e quelli simai e = y yˆ 17

18 i residui sono indipendeni e hanno disribuzione normale con media nulla e deviazione sandard σ. Si può dunque procedere all applicazione di due ipi di care di conrollo: a) Una cara del ipo CCC (Cara di Conrollo delle Cause Comuni): ale cara viene applicaa ai valori adaai ŷ e non ha limii di conrollo, fornisce solamene indicazioni sul livello medio del processo e sulla sua evoluzione nel empo. b) Una cara del ipo SCC (Cara di Conrollo delle Cause Speciali): ale cara viene applicaa ai residui e = y yˆ in assenza di cause speciali i residui dovrebbero essere indipendeni e idenicamene disribuii, in presenza di qualche causa speciale, invece, i residui ne dovrebbero fornire una cera evidenza. Le care di conrollo convenzionali vengono dunque applicae a ali residui. 18

19 Capiolo 3 I risulai 3.1 Inroduzione Un assuno imporane nell applicazione delle care di conrollo sui residui è che il modello di serie soriche che usiamo per descrivere i dai sia il più vicino possibile alla disribuzione reale dei dai. Molo imporane è la sensibilià della cara di conrollo sui residui, infai moli auori hanno punualizzao che la cara sui residui risula poco sensibile a sali di livello di ampiezza moderaa. Per migliorare dea sensibilià si raccomanda l uso delle CUSUM o delle EWMA sui residui (come facciamo in quesa simulazione), in luogo delle care Shewhar. Mongomery e Masrangelo (1991) suggeriscono l uso di procedure supplemenari, dee racking signals, per ener cono, nel modo più compleo possibile, della presenza di auocorrelazione da usarsi in combinazione alle care sui residui. 3.2 La procedura per la sima del puno di cambio τ La procedura per la sima del puno di cambio è sviluppaa con il programma saisico R 1.8.1, ale procedura è riporaa ineramene in appendice. 19

20 Queso programma fornisce la sima del puno di cambio, inolre si divide in 6 pari che sono qui approfondie: 1. La prima pare serve per creare e inizializzare delle variabili sia di ipo numerico che di ipo veoriale. Precisamene, nsim è il numero di simulazioni che farà il nosro programma, ncampione è la numerosià del campione nel quale ci saranno 150 osservazioni in conrollo e le resani 4850 fuori conrollo. I valori di h e λ sono sceli dalle avole Lucas-Saccucci dopo aver fissao l ARL in conrollo pari a 500 ed il valore del cambiameno δ che la cara deve individuare (i valori sono riporai sulla abella 3.1). Poi ci sono due array di ipo numerico, i residui e i valori della saisica EWMA, w, che hanno numerosià pari a quella del campione. Per finire ci sono alre due variabili veoriali, au e T, che rispeivamene conengono le sime del puno di cambiameno ed i valori osservai della run lengh. Ovviamene quesi veori hanno ani elemeni come il numero di simulazioni che eseguiamo. Qui dobbiamo inizializzare il primo elemeno del veore w a 0 perché la nosra saisica EWMA ha come valore iniziale la media dei residui che è per l'appuno 0. Poi nnofuori e nprima sono due conaori, inizializzai a 0, che forniscono rispeivamene il numero di fuori conrollo non segnalai e il numero di falsi allarmi. Per finire c è la variabile i inizializzaa a 1 che è il conaore delle simulazioni. 2. Nella seconda viene generao un ciclo, che si ripeerà nsim vole, nel quale inizialmene si genera ncampione valori da un modello ARMA(1,1) con parameri ψ = -0,9 e φ = 0,4. In un secondo momeno, a parire dall osservazione 150 in poi, viene sommao il valore dello shif δ pari compreso ra 0,5 e 3 20

21 3. La erza pare è quella del calcolo dei residui. Prima, a parire dalla prime ceno osservazioni, adaiamo un conveniene modello ARMA(p,q) e calcoliamo, per mezzo della funzione arima, le sime ψˆ e φˆ. Poi, calcoliamo i residui con la funzione filer usaa due vole la prima filrando la pare relaiva alla componene auoregressiva poi quella della componene media mobile. 4. In quesa pare del programma c è un ciclo nel quale si calcola la saisica EWMA w ( 1 λ) * w 1 = λ * e + Con un alro ciclo e una condizione si confrona la saisica EWMA con i limii della cara, -h e h. Se la condizione rova un valore che è al di fuori dei limii si memorizza sul veore T il puno in cui si realizza un segnale di fuori conrollo. Successivamene si conrolla se ci sono sai falsi allarmi e poi si genera un alra condizione che serve per verificare un fuori conrollo, se la condizione è vera si incremena il conaore dei fuori conrollo non segnalai e si decremena quello delle simulazioni. Se invece la condizione è falsa si genera un ulimo ciclo che serve per calcolare la sima del puno di cambio τ: { : ω } ˆ τ max µ EWMA = 0 dove µ 0 =0. Quese operazioni (a pare quelle descrie nel puno 1) saranno ripeue nsim vole. 5. Alla fine delle simulazioni il veore T coniene ui i puni di fuori conrollo e il veore au conerrà ui i puni di cambio 21

22 simai. Di ali veori calcoliamo la media e la deviazione sandard. Alla fine conrolliamo anche i conaori del numero di fuori conrollo non segnalai e del numero di falsi allarmi. Tabella 3.2 Parameri oimali per la cara EWMA con ARL in conrollo pari 500 δ 0,5 1,0 2,0 3,0 λ 0,05 0,15 0,37 0,7 h 2,616 2,907 3,047 3, I risulai Vengono eseguie delle simulazioni per oenere la sima del puno di cambio di un processo auocorrelao avene un ARL in conrollo pari a 500. Al variare dello shif si vuole verificare in quali casi è più efficiene la cara EWMA applicaa ai residui. Per le nosre simulazioni abbiamo usao il programma descrio in precedenza dando i risulai descrii nella abella 3.2 Tabella simulazioni, Puno di cambio τ =150 δ E(T) s.e.(t) ˆ τ EWMA s.e.( ˆ τ EWMA ) 0,5 228,15 450,73 143,61 16,37 1,0 26,82 76,82 142,85 10,22 2,0 1,91 2,23 146,60 3,97 3,0 0,73 0,68 147,78 1,97 22

23 Guardando la abella possiamo noare che per valori piccoli shif la cara di conrollo EWMA su residui non fornisce dei buoni risulai per la sima della run lengh T e anche se abbiamo una sima di τ abbasanza vicina al vero puno di cambio ma con una variabilià ampia. Invece per valori dello shif grandi (2,0 e 3,0) abbiamo delle buone sime sia della run lengh T che del puno di cambiameno enrambe con una bassa variabilià anche se per quesi due shif sono sai segnalai dei falsi allarmi che nel programma non sono sai considerai. La simulazione faa con shif pari a 1,0 risula quella migliore perché le sime 2 sime sono abbasanza buone e non sono mai sai generai falsi allarmi. 3.4 Conclusioni Possiamo concludere che usando una cara EWMA sui residui, con un modello iniziale negaivamene auocorrelao se si verifica un cambiameno in media, la cara sui residui reagisce bene nello simare il puno di cambiameno. In sinesi la cara di conrollo EWMA sui residui per la sima del puno di cambiameno di una serie auoregressiva a media mobile (con paramero di regressione negaivo e paramero della media mobile posiivo) per la sima è da considerasi un buon meodo di conrollo per dai auocorrelai. 23

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25 Appendice #ARL=500 nsim<-1000 ncampione<-5000 h< la<-0.7 residui<-c(rep(0,ncampione)) w<-c(rep(0,ncampione)) au<-c(rep(0,nsim)) T<-c(rep(0,nsim)) w[1]<-0 no<-0 i<-1 dopo<-0 prima<-0 while(i<=nsim) { x <- arima.sim(lis(order=c(1,0,1),ar=-0.9,ma=0.4), n = ncampione) xin<-x[1:149] xou<-3+x[150:5000] y<-c(xin,xou) mb<-arima(xin[1:100],c(1,0,1)) phi<-mb$coef[1] hea<-mb$coef[2] residui<-filer((filer(y,(1- phi))),hea,mehod="recursive") for ( in 2:ncampione) { w[]<-((la*residui[])+((1-la)*w[-1])) } l<-1 while((l<ncampione)&&(t[i]<150)) { if((abs(w[l]))>h) T[i]<-l l<-l+1 } 25

26 if(!(all((abs(w[1:149]))<h))) prima<-prima+1 } if(all((abs(w))<h)) { no<-no+1 i<-i-1 } else { for (k in 1:T[i]) { if(w[k]<=0) { au[i]<-k } } } i<-i+1 T au mean(t-150) sqr(var(t)) mean(au) sqr(var(au)) no prima 26

27 Bibliografia Conrollo saisico della qualià, Douglas C. Mongomery Lucidi di meodi saisici per il conrollo della qualià, Giovanna Capizzi Lucidi di Analisi delle serie emporali, Guido Masaroo Esimaion of he Change Poin of a Normal Process Mean in SPC Applicaions, Joseph J. Pignaiello jr. and Thomas R. Samuel, Journal of Qualiy Technology gennaio 2001 The Changepoin Model for Saisical Process Conrol, Douglas M. Hawkins, Peihua Qiu and Chang Wook Kang Journal of Qualiy Technology oobre 2003 Run-Lengh Disribuions of Special-Cause Conrol Chars for Correlaed Processes, Don G. Wardell, Herber Moskowiz and Rober D. Plane, Technomerics Febbraio 1994 EWMA conrol char for monioring he mean of auocorrelaed processes, Chao-Wen Lu and R. Reynolds, jr. Journal of Qualiy Technology aprile