SISTEMI A TEMPO DISCRETO. x t + = f x( t ),u( t ) = Ax( t ) + Bu( t ), x( t ) = x R y(t) = η x(t),u(t) = Cx(t) + Du(t)

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1 Assumiamo la variabile emporale discrea; sia f lineare. Si consideri la seguene rappresenazione implicia: 1 x f x,u Ax Bu, x x R y η x,u Cx Du n 1 1

2 Rappresenazioni equivaleni Si consideri la rasformazione: z Tx ovvero x T z 1. Applicaa ale rasformazione al sisema 1 si oiene: 1 1 z TAT z TBu 1 y CT z Du 2

3 Passaggio al modello esplicio Le evoluzioni descrie dal modello 1 possono anche essere indicae dal modello esplicio: con: 1 x Φ x H τ u τ y Ψ x W τ u τ 3

4 Φ A 1 H Φ 1 B A B Ψ C Φ CA 1 W C Φ 1B CA B, > W D Valgono le segueni considerazioni del uo analoghe a quano già viso nel caso empo coninuo: le rispose nello sao e in uscia si possono separare in evoluzione libera ed evoluzione forzaa; per le rispose forzae vale il principio di sovrapposizione degli effei; le marici H e W sono le marici delle rispose impulsive nello sao e nell uscia 4

5 La soluzione del sisema 1 esise ed è unica e può essere così indicaa: x A x 1 Ai Bu 1 i i Approssimazioni lineari di sisemi non lineari Dao un sisema discreo non lineare: x 1 f x,u, f x,u x y h x,u, h x,u h e e e e e e 2 5

6 la sua rappresenazione linearizzaa nell inorno di un puno di equilibrio e e e Poso: x,u é: f f x xe f x,u f x e,ue x u L u u e x,u e f f f x e,ue x xe u ue L x e x,u u x,u e e e e h h x xe h x,u h x e,ue x u L u u e x,u e e 6

7 si ha il sisema linearizzao: dove: z x x v u u e e y y h x,u a e e 1 z Az Bv y Cz Dv a A f x, x e u e B f u, x e u e C h x, x e u e D h u, x e u e 7

8 Campionameno di sisemi a empo coninuo Si consideri un sisema empo coninuo: ovvero: x e A x x & Ax Bu, x x y Cx τ Bu τ dτ e A Si desidera considerarne l evoluzione in isani di campionameno,, T, 2T,, kt,.. assumendo che l ingresso sia cosane in ogni inervallo di campionameno, ad esempio u u~ kt, kt < k 1 T 8

9 Poso: kt k 1 T e u τ u~ k, kt τ < k 1 T si ha: x k 1 T T τ ea ξ Bu~ k k T eat x kt ea k 1 T Bu kt dτ eat x kt 1 dξ Definendo kt x k kt x si oiene: x k 1 A D y k Cx k x k B D u~ k con: 9

10 AT T Aξ AD e BD e Bdξ CD C Problema: scela del empo di campionameno T Per i sisemi lineari una scela soddisfacene è pari a.1 del empo di salia per ingresso cosane pari a 1. Campionameno con il meodo di Eulero L idea è quella di approssimare la derivaa con il rapporo incremenale: x k 1 T x kt T E quindi il sisema lineare approssimao è: 1

11 x k 1 T I TA x kt TBu kt Quindi si può considerare il sisema empo discreo a segnali campionai: x k 1 Ax k y k Cx k Bu k Con: A I TA B TB Il meodo di Eulero si può applicare anche a sisemi non lineari 11

12 Ruolo della poenza della marice dinamica Osserviamo che: e AT I AT T 2 2 A T A L L 2! n! n n La sruura della marice A svolge un ruolo cenrale nel caraerizzare il comporameno di un sisema a empo discreo. Sia D una marice avene sulla diagonale gli auovalori di A ; esise una rasformazione T ale che D TAT 1 ; dunque si ha: 1 A T D T. 12

13 Deo: jϑ λ α jω σe σ cosϑ jsinϑ Si ha: α ω cosϑ sinϑ σ ω α sinϑ cosϑ e quindi: α ω cosϑ sinϑ σ ω α sinϑ cosϑ Risula quindi: 13

14 D λ1 λ m1 σ1cosϑ1 σ1 sinϑ1 σ sinϑ σ cosϑ O O σ m cosϑ σm sinϑ σ m sinϑ σm cosϑ Sviluppando i calcoli si ha: m1 m2 λi i i σ p ϑp ap ap bp bp ϑp ap ap bp bp i 1 p 1 A uv ' cos u v ' u v ' sin u v ' u v ' 14

15 Modi naurali Si consideri l evoluzione libera del sisema: Con x l λ l n1 n2 A x iuici i 1 j 1 j j [ sin ϑ ϕ u cos ϑ ϕ u ] λ λ m jϑl λ e, ϑ, π l l j j ja j j jb Si hanno i segueni modi naurali: auovalori reali posiivi modi aperiodici moo lungo una rea dalla sessa pare dello zero auovalori reali negaivi modi alernani moo lungo una rea, alernandosi da una pare all alra rispeo allo zero auovalori complessi modi pseudoperiodici 15

16 Analisi nel dominio della variabile complessa Sia f una funzione definia nel dominio Z ; si definisce la rasformaa Z di f la funzione di variabile complessa: [ ] Z f Fz f z, z > ρ f dove ρ f è il raggio di convergenza associao alla funzione f. Vale la seguene proprieà eorema della raslazione a desra: [ ] Z f 1 zfz zf 16

17 L applicazione della rasformaa Z ad una rappresenazione implicia empo discreo fornisce: Si noi che si ha: 1 1 Xz zi A zx zi A BUz 1 1 Yz C zi A zx C zi A B D Uz 1 Z A zi A z La risposa a regime permanene per i sisemi a empo discreo Risposa a regime ad ingressi periodici: Assegnao l ingresso: u sinϑ 17

18 la risposa in regime permanene è daa da: r jϑ jϑ ϑ ϑ ϑ Φ ϑ y We sin We M sin Risposa a regime ad ingressi canonici k 1 2 L k 1 Assegnao l ingresso: u k! k! la risposa in regime permanene è daa da: k k 1 y r c i i k 1! 18

19 Sabilià Nel caso dei sisemi empo discreo valgono i segueni risulai. L origine dello spazio di sao in una rappresenazione lineare sazionaria a dimensione finia di un sisema a empo discreo è sabile se e solo se: gli auovalori di A con moleplicià geomerica uniaria hanno modulo inferiore o uguale a uno; gli auovalori di A con moleplicià geomerica maggiore di uno hanno modulo inferiore a uno. 19

20 L origine dello spazio di sao in una rappresenazione lineare sazionaria a dimensione finia di un sisema a empo discreo è sabile asinoicamene se e solo se gli auovalori di A hanno ui modulo inferiore a uno. N.B. Si ha sabilià asinoica se e solo se gli auovalori sono ui inerni al cerchio uniario; si ha sabilià se non vi sono auovalori eserni al cerchio uniario e se quelli evenualmene preseni sul cerchio uniario hanno moleplicià geomerica non superiore a 1. 2

21 Il crierio di Jury permee di sabilire se le radici di un assegnao polinomio d λ sono ue con modulo inferiore ad uno. Quindi può essere applicao al polinomio caraerisico per la verifica della sabilià asinoica di una rappresenazione lineare e sazionaria di un sisema a empo discreo. Si basa sulla cosruzione della seguene abella: a a a a L a a a a a a a L a a a b b1 b2 b3 L bn 2 bn 1 bn 1 bn 2 bn 3 bn 4 L b1 b c c1 c2 L L cn 2 cn 2 cn 3 cn 4 L L c L L L L L L s s1 s2 s3 s3 s2 s1 s n 2 n 1 n n n 1 n 2 n

22 dove a a a a a a b b b n n 1 n k 1 LL k an a an a1 an ak c b b b n 1 b n 1 ecc. Condizione necessaria e sufficiene perchè le radici di d λ abbiano modulo minore di 1 è che si abbia: 22

23 d 1 > n n 1 d 1 > M a b > > a b n 1 > 2 23

24 Raggiungibilià nei sisemi a empo discreo Si consideri il seguene sisema lineare empo discreo: x k 1 Ax k Bu k y k Cx k Du k 3 con: n p q x k R, u k R, y k R, k Z Tenendo presene la definizione generale di raggiungibilià e l evoluzione forzaa del sisema, la condizione di raggiungibilià è la seguene: k 1 h A k 1 h Bu h x 4 24

25 Il sisema 1 è raggiungibile se e solo se: [ ] 2 n 1 B AB A B A B n rango P rango L Per ogni sao raggiungibile x del sisema 3 esise una funzione di ingresso u ale da soddisfare 4 per kn ed esise per qualunque k>n 25

26 Osservabilià nei sisemi a empo discreo Il sisema 3 è osservabile se e solo se: rango Q C CA 2 rango CA M n CA 1 n Infai si ha: 26

27 n Du Bu CA x CA n y Du CBu CABu x CA y Du CBu CAx y Du Cx y n n L M Queso sisema ha n equazioni e n incognie il veore x; ha soluzione se e solo se la marice di osservabilià è non singolare.