SEGNALI E SISTEMI (a.a ) Prof. M. Pavon Esercizi risolti 6 Attenzione: u(t) = 1l(t)

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1 SEGNALI E SISTEMI (a.a. 9-) Prof. M. Pavon Esercizi risoli 6 Aenzione: u() = l(). Si deermini il periodo fondamenale T e i coefficieni di Fourier a k del segnale a empo coninuo sen + 4 cos + cos(6 π 4 ). Svolgimeno. Il segnale sen + 4 cos + cos(6 π 4 ). è somma di segnali periodici, di periodi rispeivamene: qualunque, π, π e π/. Poichè i periodi degli addendi sono in rapporo razionale il segnale è periodico. Il periodo fondamenale è T = π, minimo comune muliplo dei periodi degli addendi. La base per lo sviluppo in serie di Fourier è φ k () := e jk, k Z. Riscrivendo il segnale x( ) facendo uso delle formule di Eulero, ej e j j + 4 ej + e j ej( π 4 ) + e j( π 4 ) +, i coefficieni a k, che godono della simmeria hermiiana viso che x() è reale, si deerminano per ispezione a =, a = a = + j, a = a = e j π 4 = j, a k = per ogni alro k.. Si deermini il periodo fondamenale T del segnale a empo coninuo 5 cos( 6π 5 π 4 ) + e j 9π 5 π jk T e se ne rovino i coefficieni di Fourier rispeo alla famiglia φ k () = e, k Z}. Svolgimeno. Il segnale x () + x () + x () è la somma di re addendi, il primo dei quali x () = 5 è cosane e quindi periodico di periodo T qualunque. Il secondo addendo x () = cos( 6π π) è un segnale sinusoidale di pulsazione ω 5 4 = 6π e periodo 5 fondamenale T = π ω = 5, menre il erzo addendo x () = e j 9π 5 è un esponenziale complesso di pulsazione ω = 9π e periodo fondamenale T 5 = π ω =. Poiché il 9 rapporo T T = è razionale, il segnale x() risula periodico: il periodo fondamenale si calcola come il minimo comune muliplo di quelli degli addendi, cioè T = mcm(t, T ) = T = T =, da cui si ricava la pulsazione fondamenale ω = π T = π. (In alernaiva, 5 dal rapporo razionale ω ω = si ricava la pulsazione fondamenale come il massimo comun divisore di quelle degli addendi, cioè = MCD(ω, ω ) = ω = ω = π, da cui 5 T = π = ). I coefficieni di Fourier si rovano poi per ispezione, usando le formule di Eulero. Infai, scrivendo ( 5 e j[ 6π 5 π 4 ] + e j[ 6π 5 π ]) 4 + e j 9π 5 = 5 e j π 4 e j 6π 5 ej π 4 e j 6π 5 + e j 9π 5 = 5 e j π 4 e j ej π 4 e j + e j

2 si oiene a = 5, a = e j π 4 = +j, a = ej π 4 = j, a =, a k =, k, ±,. Dire se il seguene segnale è periodico e, in caso affermaivo, rovarne il periodo fondamenale e i coefficieni di Fourier: e j cos, R. Svolgimeno. Il segnale a empo coninuo x() è il prodoo di due segnali elemenari, il primo periodico di periodo fondamenale T = π, il secondo periodico di periodo fondamenale T = π. Poiché i periodi T e T dei due faori sono in rapporo razionale, anche x() è un segnale periodico, per il quale un possibile periodo è dao da T = mcm(t, T ) = π. In effei, applicando la formula di Eulero per il coseno, il segnale e j cos = e j (ej + e j ) = ej + e j appare come combinazione lineare di (due) esponenziali in relazione armonica. Per ispezione, si oiene lo sviluppo in serie di Fourier a k e jk, con pulsazione fondamenale =, periodo fondamenale T = π a = a =, a k = per k,. = π e coefficieni Noare che ai coefficieni di Fourier a k reali corrisponde un segnale (complesso) a simmeria hermiiana x( ). 4. Un segnale a empo coninuo x() ha periodo. Si calcolino i coefficieni di Fourier di x, sapendo che, se <, se < Svolgimeno. Poichè il periodo è T = le funzioni base sono φ k () := e jπk, k Z. I coefficieni sono a = x()d = d = e, per k, a k = x()e jπk d = e jπk d = e jπk e jπk jπk Osservando che e jπk = e che e jπk = ( ) k possiamo scrivere: ovvero a k = e jπk e jπk jπk = j ( )k πk j, se k = ±, ±,... a k = πk, se k = ±, ±4,... I coefficieni a k, k sono immaginari puri, come ci si doveva aspeare, viso che x() è dispari. Nauralmene, i coefficieni si poevano calcolare da quelli dell onda quadra canonica y(), come fao a lezione, osservando che x() è una raslazione amplificaa di y().

3 5. Si consideri la serie di Fourier ( ) k e j π k, se ne deermini il periodo fondamenale e si calcoli l energia su ale periodo. Svolgimeno. Il segnale + a k e jωk ( ) k = e j π k appare avere pulsazione fondamenale = π, quindi periodo fondamenale T = π = 6 e coefficieni di Fourier a k = k, k Z. Il eorema di Parseval permee ora di calcolare l energia del segnale sul periodo come + E x = x() d = T a k T = k = 6( + 4 k ) = 6( + k= ) = Si calcolino i coefficieni della serie di Fourier per il segnale x(), di periodo, definio da, <. Suggerimeno: Si ricordi che il segnale y() = della seguene figura: k Z,dispari jπk ejπk, R, è l onda quadra y() Soluzione. La seguene figura ripora il grafico di x(). x()

4 È immediao verificare che y() = d dx x(). Dei c k e c k i coefficieni di Fourier di x() e di y() rispeivamene, vale la relazione c k = jπkc k per ogni k. Il suggerimeno fornisce c k = jπk per e c k = per k pari. Si oiene quindi c k = per k pari e, per, c k = jkπ c k = (jπk) = π k Il coefficiene c si oiene calcolando il valore medio di x() su un periodo e vale c =. Lo sviluppo in serie di Fourier di x() è π k Z,dispari k ejπk, R. 7. Si racci il grafico e si calcolino i coefficieni di Fourier del segnale a empo coninuo x(), periodico di periodo T =, così definio su un periodo: Suggerimeno:, [, ) Si calcolino prima i coefficieni di Fourier della derivaa generalizzaa y() = d x(), R. d Svolgimeno. Il grafico del segnale x() è il seguene dene di sega : x() In ogni inervallo (k, k+) con k Z, il segnale x() è linearmene crescene con pendenza d uniaria, di modo che la derivaa (ordinaria!). Inolre, in ogni isane di d disconinuià k Z, la derivaa (generalizzaa!) presena un impulso δ( k). In conclusione, y() = d d δ( k) Ora, i coefficieni di Fourier b k, k Z} del segnale y di periodo T = si calcolano come e b k = T T T b = T T T y()e jkπ d = y() d = [ δ()] d = [ δ()]e jkπ d =, k dove si è scelo il periodo di inegrazione eviando di avere agli esremi un impulso di Dirac e si è enuo cono delle proprieà formali di queso. Infine, i coefficieni di Fourier a k, k Z} del segnale x si ricavano da quelli della derivaa y, come a = T T x() d = d =, a k = jkπ b k = j kπ, k

5 8. Lo sviluppo in serie di Fourier del segnale x() è k π ejkπ, R. Si calcolino i coefficieni di Fourier del segnale y() = x ( ) = dx ( ). d Svolgimeno. I coefficieni a k } del segnale x(), di pulsazione = π e periodo fondamenale T = π =, rispeo alla famiglia e jkπ, k Z} sono, per ispezione, a k =, se k =,, se k è pari, k π, se k è dispari. Applicando la proprieà di derivazione, i coefficieni b k } di x () = dx d b k = jkπa k =, se k è pari, jkπ, se k è dispari. () sono Infine, applicando la proprieà di raslazione, i coefficieni c k } di x ( ) = dx ( ) d sono, se k è pari, c k = e jkπ b k = jkπ, se k è dispari. Nauralmene, allo sesso risulao si arriva derivando addendo per addendo la serie di Fourier di x( ). Infai, da si oiene x( ) = y() = x ( ) = dx ( ) = d k π ejkπ( ), R, jkπ ejkπ( ) = da cui, per ispezione, si ricavano i coefficieni di Fourier c k } come sopra. 9. Deerminare il periodo fondamenale T del segnale a empo coninuo sen( 9π 7 ) cos( 6π 7 + π 4 ) e rovarne i coefficieni di Fourier rispeo alla famiglia jkπ ejkπ, R, } π jk T φ k () = e, k Z. Svolgimeno. La componene sinusoidale x () = sen( 9π) ha pulsazione ω 7 = 9π 7 e periodo T = π ω = 4, mennre la componene x 9 () = cos( 6π + π ) ha pulsazione 7 4 ω = 6π e periodo T 7 = π ω = 7. Poiché il rapporo T T = è razionale, così come, nauralmene, il reciproco ω =, anche il segnale x ω () + x () risula periodico, di pulsazione ω = MCD( ω, ω ) = ω = ω = π e periodo T = π = mcm(t 7 ω, T ) =

6 T = T = 4. Queso è il periodo fondamenale, come appare chiaro uilizzando le relazioni di Eulero per scrivere il segnale x() nella forma di una serie finia di Fourier: 9π e j 7 e j 9π 6π + π) 7 ej( e j( 6π + π) 7 4 j = ej π 4 6π ej 7 e j π 4 6π e j 7 + je j 9π 7 je j 9π 7 = = a k e jk. Si riconosce infai la pulsazione fondamenale = π, corrispondene al periodo T 7 = π = 4, e la presenza delle sole componeni di seconda e erza armonica, con coefficieni di Fourier: π e±j 4 = ±j, k = ±, a k = ±j, k = ±,, k,. Noare la simmeria Hermiiana dei coefficieni, cioè la proprieà a k = a k, k Z, equivalene all avere il segnale nel empo valori reali.. Si consideri il segnale x(), R, periodico di periodo T =, così definio per [, ):, <,, <. a. Tracciare il grafico di x(). b. Calcolare la derivaa generalizzaa y() = d x(), R. d c. Deerminare i coefficieni di Fourier del segnale y(). Svolgimeno. a. x() b. Anche la derivaa (generalizzaa) y() = d x(), R, è un segnale periodico di d periodo T =, espresso per [, ) come, < <, y() = δ( ) +, < <. Noare, in paricolare, l impulso dela di area raslao in =, corrispondene alla disconinuià di ampiezza x = del segnale x() in =. c. I coefficieni a k, k Z} del segnale y(), di pulsazione = π = π, rispeo alla T famiglia di esponenziali φ k () = e jkπ, k Z}, si possono calcolare direamene ramie le formule inegrali. Infai, si rova la componene coninua a = = x() d ( ) d + δ( ) d = + =,

7 menre, per k, a k = = x()e jkπ d = e jkπ jkπ ( )e jkπ d + + e jkπ = ( )k jkπ δ( )e jkπ d + ( ) k. In definiiva,, k =, a k =, k pari, k,,. jkπ. Si consideri il segnale a empo coninuo x() : < < } periodico di periodo π definio su [, π] dalla convoluzione periodica π cos(τ π ) sen( τ)dτ. 4 Si rovino i coefficieni di Fourier di x rispeo alla famiglia φ k () = e jk, k Z }. Svolgimeno. Se x() ed y() sono due segnali di periodo T di coefficieni di Fourier rispeivamene a k e b k allora i coefficieni di Fourier della convoluzione periodica x() P y() sono c k = T a k b k. In queso esercizio cos( π ) ed y() = sen() sono enrambi 4 di periodo T = π. Applicando la formula di Eulero al primo segnale si rova cos( π) = 4 e j( π 4 ) + ej( π 4 ) i coefficieni di Fourier non nulli sono a = ej π 4 = +j, e a = a = j. Per il secondo segnale invece y() = sen() = j e j + j ej i coefficieni di Fourier non nulli sono b = = j, e b j = b = j. I coefficieni non nulli della convoluzione periodica di x ed y sono allora c = π +j ( j ) = π ( + j) e c = c = π ( + j)