SEGNALI E SISTEMI (a.a ) Prof. M. Pavon Esercizi risolti 6 Attenzione: u(t) = 1l(t)

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1 SEGNLI E SISTEMI (a.a. 9-) Prof. M. Pavon Esercizi risolti 6 ttenzione: u(t) = l(t). Si determini il periodo fondamentale T e i coe cienti di Fourier a k del segnale a tempo continuo x(t) =3 sen t +4cost +cos(6t 4 ). Svolgimento. Il segnale x(t) =3 sen t +4cost +cos(6t è somma di segnali periodici, di periodi rispettivamente: qualunque,, e /3. Poichè i periodi degli addendi sono in rapporto razionale il segnale è periodico. Il periodo fondamentale è T =, minimo comune multiplo dei periodi degli addendi. La base per lo sviluppo in serie di Fourier è k (t) := e jkt,kz. Riscrivendo il segnale x( ) facendo uso delle formule di Eulero, x(t) =3 e jt e jt j +4 ejt + e jt 4 ). + ej( 3t 4 ) + e j( 3t i coe cienti a k, che godono della simmetria hermitiana visto che x(t) è reale, si determinano per ispezione 4 ), a =3, a = a =+ j, a 3 = a 3 = e j 4 = p j p, a k = per ogni altro k.. Si determini il periodo fondamentale T del segnale a tempo continuo e se ne trovino i coe x(t) =5 cos( 6 5 t 4 )+e j 9 5 t jk T cienti di Fourier rispetto alla famiglia { k (t) =e t,k Z}. Svolgimento. Il segnale x(t) =x (t)+x (t)+x 3 (t) è la somma di tre addendi, il primo dei quali x (t) = 5 è costante e quindi periodico di periodo T 6= qualunque. Il secondo addendo x (t) = cos( 6 t ) è un segnale sinusoidale di pulsazione! 5 4 = 6 e periodo 5 fondamentale T =! = 5, mentre il terzo addendo x 3 3(t) =e j 9 5 t è un esponenziale complesso di pulsazione! 3 = 9 e periodo fondamentale T 5 3 =. Poiché il! 3 = 9 rapporto T T 3 = 3 è razionale, il segnale x(t) risulta periodico: il periodo fondamentale si calcola come il minimo comune multiplo di quelli degli addendi, cioè T = mcm(t,t 3 )= T =3T 3 =, da cui si ricava la pulsazione fondamentale! 3 = T = 3. (In alternativa, 5 dal rapporto razionale!! 3 = si ricava la pulsazione fondamentale come il massimo 3 comun divisore di quelle degli addendi, cioè! =MCD(!,! 3 )=!, da cui T =! = ). 3 I coe =! 3 = cienti di Fourier si trovano poi per ispezione, usando le formule di Eulero. Infatti, scrivendo x(t) = 5 e j[ 6 5 t 4 ] + e j[ 6 5 t ] 4 + e j 9 5 t = 5 e j 4 e j 6 5 t ej 4 e j 6 5 t + e j 9 5 t = 5 e j 4 e j! t ej 4 e j! t + e j3! t

2 si ottiene a =5, a = e j 4 = +j p, a = ej 4 = j p, a 3 =, a k =,k 6=, ±, 3 3. Dire se il seguente segnale è periodico e, in caso a ermativo, trovarne il periodo fondamentale e i coe cienti di Fourier: x(t) =e jt cos t, t R. Svolgimento. Il segnale a tempo continuo x(t) è il prodotto di due segnali elementari, il primo periodico di periodo fondamentale T =, il secondo periodico di periodo fondamentale T =. Poiché i periodi T e T dei due fattori sono in rapporto razionale, anche x(t) è un segnale periodico, per il quale un possibile periodo è dato da T = mcm(t,t )=. In e etti, applicando la formula di Eulero per il coseno, il segnale x(t) =e jt cos t = e jt (ejt + e jt )= ejt + e j3t appare come combinazione lineare di (due) esponenziali in relazione armonica. Per ispezione, si ottiene lo sviluppo in serie di Fourier x(t) = + X k= a k e j! kt, con pulsazione fondamentale! =, periodo fondamentale T =! = e coe cienti a = a 3 =, a k =perk 6=, 3. Notare che ai coe cienti di Fourier a k reali corrisponde un segnale (complesso) a simmetria hermitiana x(t) =x( t). 4. Un segnale a tempo continuo x(t) ha periodo. Si calcolino i coe cienti di Fourier di x, sapendo che (, se apple t< x(t) =, se apple t< Svolgimento. Poichè il periodo è T = le funzioni base sono coe cienti sono a = Z x(t)dt = Z dt = e, per k 6=, a k = Z x(t)e j kt dt = Osservando che e j k = e che e j k =( ovvero a k = e j k j k Z e j k e j kt dt = e j k e j k j k ) k possiamo scrivere: = j ( )k k ( j, se k = ±, ±3,... a k = k, se k = ±, ±4,... k(t) := e j kt,k Z. I I coe cienti a k,k6= sono immaginari puri, come ci si doveva aspettare, visto che x(t) è dispari. Naturalmente, i coe cienti si potevano calcolare da quelli dell onda quadra canonica y(t), come fatto a lezione, osservando che x(t) è una traslazione amplificata di y(t).

3 5. Si consideri la serie di Fourier + X k x(t) = e j 3 kt, k= se ne determini il periodo fondamentale e si calcoli l energia su tale periodo. Svolgimento. Il segnale x(t) = + X + a k e j! kt X k = e j 3 kt k= k= appare avere pulsazione fondamentale! = 3, quindi periodo fondamentale T =! =6 e coe cienti di Fourier a k = k, k Z. Il teorema di Parseval permette ora di calcolare l energia del segnale sul periodo come Z + E x = x(t) X dt = T a k T = 6 + X k= k= 4 k =6( + + X k= 4 k )=6( + 4 )=. 6. Si calcolino i coe cienti della serie di Fourier per il segnale x(t), di periodo, definito da x(t) = t, <tapple. Suggerimento: Si ricordi che il segnale y(t) = della seguente figura: X kz,dispari j k ej kt, t R, è l onda quadra y(t) t. La seguente figura riporta il grafico di x(t). @

4 È immediato verificare che y(t) = d x(t). Detti c dx k e c k i coe cienti di Fourier di x(t) e di y(t) rispettivamente, vale la relazione c k = j kc k per ogni k 6=. Il suggerimento fornisce c k = per k dispari e j k c k =perk pari. Si ottiene quindi c k =perk pari e, per k dispari, c k = jk c k = (j k) = k Il coe ciente c si ottiene calcolando il valore medio di x(t) su un periodo e vale c =. Lo sviluppo in serie di Fourier di x(t) è x(t) = X kz,dispari k ej kt, t R. 7. Si tracci il grafico e si calcolino i coe cienti di Fourier del segnale a tempo continuo x(t), periodico di periodo T =, così definito su un periodo: Suggerimento: x(t) =t, t [, ) Si calcolino prima i coe cienti di Fourier della derivata generalizzata y(t) = d x(t), t R. dt Svolgimento. Il grafico del segnale x(t) è il seguente dente di sega : x(t) t In ogni intervallo (k, k+) con k Z, il segnale x(t) è linearmente crescente con pendenza d unitaria, di modo che la derivata (ordinaria!) x(t) =. Inoltre, in ogni istante di dt discontinuità k Z, la derivata (generalizzata!) presenta un impulso (t k). In conclusione, y(t) = d X x(t) = (t k) dt Ora, i coe e k= cienti di Fourier {b k,k Z} del segnale y di periodo T = si calcolano come b k = T Z T T b = T Z T T y(t)e jk t dt = y(t) dt = Z Z [ (t)] dt = [ (t)]e jk t dt =, k 6= dove si è scelto il periodo di integrazione evitando di avere agli estremi un impulso di Dirac e si è tenuto conto delle proprietà formali di questo. Infine, i coe y, come cienti di Fourier {a k,k Z} del segnale x si ricavano da quelli della derivata a = T Z T x(t) dt = Z tdt=, a k = jk b k = j k, k 6=

5 8. Lo sviluppo in serie di Fourier del segnale x(t) è x(t) = X k dispari k ejk t, t R. Si calcolino i coe cienti di Fourier del segnale y(t) =x (t ) = dx (t ). dt Svolgimento. I coe cienti {a k } del segnale x(t), di pulsazione! = e periodo fondamentale T =! =, rispetto alla famiglia {e jk t,k Z} sono, per ispezione, 8 >< a k = pplicando la proprietà di derivazione, i coe >: 8 >< b k = jk a k = >: jk,, se k =,, se k 6= è pari, k, se k è dispari. cienti {b k } di x (t) = dx (t) sono dt, se k è pari, se k è dispari. Infine, applicando la proprietà di traslazione, i coe cienti {c k } di x (t ) = dx (t ) dt sono 8 ><, se k è pari, c k = e jk b k = >: jk, se k è dispari. Naturalmente, allo stesso risultato si arriva derivando addendo per addendo la serie di Fourier di x(t ). Infatti, da x(t ) = X k dispari k ejk (t ), t R, si ottiene y(t) =x (t ) = dx X (t ) = dt k dispari jk ejk (t ) = X k dispari jk ejk t, t R, da cui, per ispezione, si ricavano i coe cienti di Fourier {c k } come sopra. 9. Determinare il periodo fondamentale T del segnale a tempo continuo e trovarne i coe x(t) = sen( 9 7 t) cos( 6 7 t + 4 ) cienti di Fourier rispetto alla famiglia jk T k(t) =e t,kz. 9 Svolgimento. La componente sinusoidale x (t) = sen( e periodo T =! = 4, menntre la componente x 9 (t) = cos( 6 t + 7 4! = 6 7 e periodo T =! = 7 3. Poiché il rapporto T T = 3 t) ha pulsazione! 7 = 9 7 ) ha pulsazione è razionale, così come, naturalmente, il reciproco!! = 3, anche il segnale x(t) =x (t)+x (t) risulta periodico, di pulsazione! =MCD(!,! )=! 3 =! = 3 7 e periodo T =! = mcm(t,t )=

6 3T =T = 4. Questo è il periodo fondamentale, come appare chiaro utilizzando le 3 relazioni di Eulero per scrivere il segnale x(t) nella forma di una serie finita di Fourier: x(t) = e j 9 t 7 e j 9 t 7 e j( 6 t + ) e j( 6 t + ) 7 4 = j e j 4 6 = t e j 4 ej 7 e j 6 t 7 + je j 9 t 7 je j 9 t 7 = X k= a k e jk! t. Si riconosce infatti la pulsazione fondamentale! = 3, corrispondente al periodo T 7 =! = 4, e la presenza delle sole componenti di seconda e terza armonica, con coe cienti 3 di Fourier: 8 e >< ±j 4 = ±j p, k = ±, a k = ±j, k = ±3, >:, k 6=, 3. Notare la simmetria Hermitiana dei coe cienti, cioè la proprietà a k = a k, k Z, equivalente all avere il segnale nel tempo valori reali.. Si consideri il segnale x(t), t R, periodico di periodo T =, così definito per t [, ): ( t, apple t<, x(t) =, apple t<. a. Tracciare il grafico di x(t). b. Calcolare la derivata generalizzata y(t) = d x(t), t R. dt c. Determinare i coe cienti di Fourier del segnale y(t). Svolgimento. a. x(t) b. nche la derivata (generalizzata) y(t) = d x(t), t R, è un segnale periodico di dt periodo T =, espresso per t [, ) come (, <t<, y(t) = (t ) +, <t<. Notare, in particolare, l impulso delta di area traslato in t =, corrispondente alla discontinuità di ampiezza x = del segnale x(t) in t =. c. I coe cienti {a k,k Z} del segnale y(t), di pulsazione! = =, rispetto alla T famiglia di esponenziali { k (t) =e jk t,k Z}, si possono calcolare direttamente tramite le formule integrali. Infatti, si trova la componente continua a = = Z Z x(t) dt ( ) dt + Z (t ) dt = +=, - t

7 mentre, per k 6=, a k = = = Z Z x(t)e jk t dt ( )e jk t dt + e jk jk Z + e jk = ( )k jk (t )e jk t dt +( ) k. In definitiva, 8 ><, k =, a k =, k pari, k 6=, >:, k dispari. jk. Si consideri il segnale a tempo continuo {x(t) : <t<} periodico di periodo definito su [, ] dalla convoluzione periodica Z cos( ) sen(t )d. 4 Si trovino i coe cienti di Fourier di x rispetto alla famiglia n k(t) =e jkt,k Z o. Svolgimento. Se x(t) edy(t) sono due segnali di periodo T di coe cienti di Fourier rispettivamente a k e b k allora i coe cienti di Fourier della convoluzione periodica x(t) P y(t) sono c k = Ta k b k. In questo esercizio x(t) =cos(t )edy(t) = sen(t) sono entrambi 4 di periodo T =. pplicando la formula di Eulero al primo segnale si trova x(t) = cos(t )= e j(t 4 ) + 4 ej(t 4 ) i coe cienti di Fourier non nulli sono a = ej 4 = +j p, e a = a = j p. Per il secondo segnale invece y(t) = sen(t) = e jt + j j ejt i coe cienti di Fourier non nulli sono b = = j,eb j = b = j. I coe cienti non nulli della convoluzione periodica di x ed y sono allora c = +j p ( j )= p ( +j) e c = c = ( + j) p

8 Serie di Fourier - Esercizi Gli studenti siano cosi cortesi da segnalare al docente errori ed imprecisioni nelle soluzioni degli esercizi. Esercizio 6 Calcolare i coefficienti della serie di Fourier del segnale periodico ( s(t) =rep Tp sin π t ) ( ) t Tp / rect T p T p. pplicando la definizione di trasformata di Fourier per segnali periodici, usando la formula di Eulero per la funzione seno e ricordando che F =/T p,siha: S n = Tp s(t)e iπnft dt = Tp sin(πft)e iπnft dt T p T p = it p = it p Tp Tp e iπf t e iπnft dt e iπf t e iπnft dt it p [ ] e i( n)πft Tp [ ] e i(+n)πft Tp i( n)πf it p i( + n)πf = ei( n)π ( n)π + e i(+n)π ( + n)π = ( n)π + ( + n)π = ( 4n )π. Si osservi che nel penultimo passaggio si è sfruttato il fattoche,perognin Z,sihae i( n)π = eanchee i(+n)π =. La coppia s(t), S n èillustratain. s(t) T p t S n n Si osservi che il segnale di questo esercizio è la versione traslata di T p / del segnale dell Esercizio 7 e quindi i suoi coefficienti Fourier S n assumono gli stessi valori moltiplicati per ( ) n.

9 Esercizio 7 Calcolare i coefficienti della serie di Fourier del segnale periodico ( s(t) =rep Tp cos π t ) ( ) t rect T p T p. pplicando la definizione di trasformata di Fourier per segnali periodici, usando la formula di Eulero per la funzione seno e ricordando che F =/T p,siha: S n = Tp/ s(t)e iπnft dt = Tp/ cos(πft)e iπnft dt T p T p = T p = T p T p/ T p/ T p/ T p/ Tp/ e iπf t e iπnft dt + e iπf t e iπnft dt T p/ T p T p/ [ ] e i( n)πft Tp/ + [ ] e i(+n)πft Tp/ i( n)πf T p i( + n)πf = ei( n)π/ e i( n)π/ i( n)π T p/ + e i(+n)π/ e i(+n)π/ i( + n)π = ( )n ( 4n )π. Si osservi che nel penultimo passaggio si è sfruttato il fatto che,perognin Z, sihae i( n)π/ = i( ) n, e i( n)π/ = i( ) n, e i(+n)π/ = i( ) n, e i(+n)π/ = i( ) n.lacoppias(t), S n èillustratain. s(t) T p t S n n Si osservi che il segnale di questo esercizio è la versione traslata di T p / del segnale dell Esercizio 6 e quindi i suoi coefficienti di Fourier S n assumono gli stessi valori moltiplicati per ( ) n.

10 3 Esercizio Si consideri il segnale s(t) = sin ( ) ( ) πt πt + cos D 3D Trovare il periodo minimo ed i coefficienti della serie di Fourier. Quindi calcolare valore medio, energia in un periodo e potenza in un periodo. Posto il segnale uguale a [u (t)+u (t)],leformuledieulerodanno e u (t) = u (t) = i πt πt ei D e i D i ( ) πt πt ei 3D + e i 3D = πt ei 3D πt e i 3D. 4 dove compaiono termini con periodo 3D/. Pertantoilperiododiu (t) è 3D/. Tenendo presente che il periodo di u (t) è D equellodiu (t) è 3D/,sitrovacheilperiodominimodis(t) è T p =6D. Posto F =/T p =/(6D),sipossonoriscrivereitermininellaforma Si trovano così termini con S n e iπnft = S n e iπ n 6D t. n =4 S 4 = 4 n =3 S 3 = i n = S = n = 3 S 3 = i = S 3 n = 4 S 4 = 4 = S 4 mentre gli altri S n sono nulli. Si ha quindi uno sviluppo in serie di Fourier con un numero limitato di termini s(t) = 4 n= 4 S n e iπnft. Dalla teoria della serie di Fourier si ha che il valore medio è dato da S = /,chel energiainunperiodo(teoremadiparseval) risulta 4 E s (T p )=T p S n = T p (S + S 3 + S 4 )=T p 7 8, equindilapotenzarisulta n= 4 P s = E s (T p )/T p = 7 8.

11 4 Esercizio Calcolare i coefficienti di Fourier dell onda triangolare periodica: s(t) = rep Tp u(t) con supponendo D<T p /. ( ) ( t u(t) =triang = t ) ( ) t rect. D D D Supponendo D< T p iterminidellaripetizionenonsisovrappongonoerisulta Pertanto S n = T p = T p Tp D s(t) =u(t) T p <t< T p. u(t) e iπnft dt = T Tp p ( + t ) D e iπnft + T p Tenendo presente che integrando per parti si ha ( ± t ) e iπnft dt = e iπnft D iπnf dopo alcuni passaggi, si ottiene Il risultato ottenuto può esprimersi mediante la funzione sinc: ed è illustrato in per D/T p =/6. D D D ( t D ) ( t D S n = e iπnfd + e iπnfd T p (iπnf). D S n = o D T p sinc e iπnft ) e iπnft. [ ( )] t ± D, iπnfd ) (n DTp. () s(t) S n D T p t n

12 5 Esercizio 7 Un segnale periodico s(t) di periodo T p ha i coefficienti della serie di Fourier con α <. a) Dire se il segnale è reale; b) calcolare il segnale s(t); S n = { α n, n, n< c) rappresentare graficamente modulo e fase del segnale s(t) supponendo α reale e positivo; d) calcolare l energia per periodo del segnale. a) I coefficienti della serie di Fourier non hanno simmetria hermitiana e quindi il segnale non è reale a meno che non sia α =. In questo caso risulta s =e s n =per n di modo che s(t) =. b) Risulta s(t) = α n e iπnft [ = αe iπft ] n = αe iπft. n= n= Si noti che la serie geometrica converge per ogni t in quanto si ha αe iπft = α <. c) Si ha da cui equindi s(t) = s(t) = α cos πft iα sin πft ( α cos πft) + α sin πft = α cos πft + α s(t) = α cos πft + α. Risultando poi Re[s(t)] = si ha sempre Re[s(t)] >,dimodochelafasedis(t) risulta α cos πft α sin πft α cos πft + α, Im[s(t)] = α cos π + α, Im[s(t)] α sin πft ϕ(t) =tan Re[s(t)] =tan α cos πft. d) Conviene operare nel dominio della frequenza usando il teorema di Parseval: E s = n= S n = α n = α. n=

13 6 Esercizio 7 Si consideri il segnale a tempo continuo s(t) periodico di periodo T p ecosìspecificatoinunperiodo a) Calcolare la potenza del segnale s(t). b) Calcolare i coefficienti di Fourier s n. c) Evidenziare eventuali simmetrie dei coefficienti s n. 3 t 8 T p s(t) = 8 T p <t< 7 8 T p T p t<t p. a) La potenza risulta P s = Tp s(t) dt = Tp/8 3 dt + Tp 3 dt = 9 T p T p T p 4. 7T p/8 b) Posto F =/T p si ha s n = Tp/ s(t)e iπnft dt T p = T p T p/ T p/8 3e iπnft dt + Tp/8 3e iπnft dt T p 3 [ = e iπnft ] iπnft T + 3 [ p p/8 e iπnft ] T p/8 iπnft p = 3i [ ] e iπn/4 +e iπn/4 = 3i [cos(nπ/4) ]. πn πn c) I coefficienti s n sono immaginari puri ed hanno simmetria dispari, s n = s n,comedeveesseredatoches(t) èunsegnale reale e dispari.

14 7 Esercizio 73 Si consideri il segnale a tempo continuo s(t) periodico di periodo T p ecosìspecificatoinunperiodo a) Calcolare la potenza del segnale s(t). b) Calcolare i coefficienti di Fourier s n. s(t) = c) Evidenziare eventuali simmetrie dei coefficienti s n. t 4 T p 4 T p <t< 3 4 T p 3 4 T p t<t p. a) La potenza risulta P s = Tp s(t) dt = Tp/4 dt + Tp dt =. T p T p T p 3T p/4 b) Posto F =/T p si ha s n = Tp/ s(t)e iπnft dt T p = T p T p/ T p/4 e iπnft dt + Tp/4 e iπnft dt T p [ = e iπnft ] iπnft T + [ p p/4 e iπnft ] T p/4 iπnft p = i [ e iπn/ + e iπn/] = i [ cos(nπ/)]. πn πn c) I coefficienti s n sono immaginari puri ed hanno simmetria dispari, s n = s n,comedeveesseredatoches(t) èunsegnale reale e dispari.

15 8 Esercizio 74 Si consideri il segnale a tempo continuo s(t) periodico di periodo T p icuicoefficientidifouriersono n = ±3, ±4 +i n =5 s n = i n = 5 altrove. a) Scrivere il segnale s(t) (nella risposta è necessario ottenere un espressione in termini di funzioni reali). b) Calcolare il valore medio del segnale. c) Calcolare la potenza del segnale. a) Posto F =/T p si ha s(t) = n= s n e iπnft =e iπ3ft +e iπ3ft +e iπ4ft +e iπ4ft +( i)e iπ5ft +(+i)e iπ5ft =4cos(π3Ft)+4cos(π4Ft)+ e iπ/4 e iπ5ft + e iπ/4 e iπ5ft =4cos(π3Ft)+4cos(π4Ft)+ cos(π5ft+ π/4). Una espressione alternativa per s(t) èlaseguente s(t) =4cos(π3Ft)+4cos(π4Ft)+cos(π5Ft) sin(π5ft). Osservando che i coefficienti di Fourier s n hanno simmetria hermitiana, si poteva anche scrivere direttamente s(t) =s + s n cos(πnft +args n ) n= =4cos(π3Ft)+4cos(π4Ft)+ cos(π5ft+ π/4). b) Il valore medio risulta c) Per il teorema di Parseval si ha m s = s =. P s = s n = =. n=

16 9 Esercizio 75 Si consideri il segnale a tempo continuo s(t) periodico di periodo T p icuicoefficientidifouriersono n = ±, ±3 +i n = s n = i n = altrove. a) Scrivere il segnale s(t) (nella risposta è necessario ottenere un espressione in termini di funzioni reali). b) Calcolare il valore medio del segnale. c) Calcolare la potenza del segnale. a) Posto F =/T p si ha s(t) = n= s n e iπnft Una espressione alternativa per s(t) èlaseguente =( i)e iπft +(+i)e iπft + e iπft + e iπft + e iπ3ft + e iπ3ft = 8e iπ/4 e iπft + 8e iπ/4 e iπft +cos(πft)+cos(π3ft) =4 cos(πft + π/4) + cos(πft)+cos(π3ft). s(t) =4cos(πFt) 4sin(πFt)+cos(πFt)+cos(π3Ft). Osservando che i coefficienti di Fourier s n hanno simmetria hermitiana, si poteva anche scrivere direttamente s(t) =s + s n cos(πnft +args n ) n= =4 cos(πft + π/4) + cos(πft)+cos(π3ft). b) Il valore medio risulta c) Per il teorema di Parseval si ha m s = s =. P s = s n = =. n=

17 Esercizio 5 Calcolare i coefficienti di Fourier dell onda triangolare periodica: s(t) = rep Tp u(t) con supponendo D<T p /. u(t) = ( + t ) ( ) t rect. D D Il segnale é riportato in figura e consiste nella ripetizione periodica senza sovrapposizione di impulsi triangolari. D D T p t Il calcolo dei coefficienti di Fourier si puó affrontare per via diretta mediante il calcolo dell integrale S n = T p S(nF )= T p D D ( + t ) e iπnft dt, D F =/T p che si puó risolvere per parti. lternativamente, possiamo sfruttare la proprietásecondocui la trasformatadella ripetizioneperiodica di un segnale continuo aperiodico equivale al campionamento della trasformata di Fourier. Ovvero, se u(t) é un segnale continuo aperiodico con trasformata U(f),allorailsegnaleperiodico s(t) =rep Tp u(t) ha come trasformata di Fourier S(nF )=U(nF ), F =/T p equindicomecoefficientidellaseriedifouriers n = S(nF )/T p. Nel caso in esame la trasformata di u(t) si puó calcolare tramite regola di derivazione in frequenza notando che u(t) =rect(t/d)+(t/d) rect(t/d) dove con per cui In conclusione x(t) =rect(t/d) F X(f) =D sinc(fd) F (t/d) rect(t/d) =(t/d) x(t) X (f) iπd ( cos(πfd)πd X (f) =D sin(πfd)πd ) cos(πfd) sinc(fd) πfd (πfd) =D f S n = U(nF ) T p [ U(f) =D sinc(fd)+i = d [ sinc(nd)+i ] cos(πfd) sinc(fd). πfd ] cos(πnd) sinc(nd), d = D. πnd T p

18 T Esercizio 43 Determinare la trasformata di Fourier discreta del segnale periodico mostrato in figura in cui tutti gli impulsi hanno estensione T. T T 8T t Si consigilia di interpretare il segnale come differenza tra duetrenisemplicidiimpulsi. Non disponibile

19 Esercizio 43 Si calcoli la trasformata di Fourier di x(t) elapotenzadelsegnale x(t) = + k= ( ) k (t kt) triangle, t R. T dove la funzione triangle(t) éuntriangoloisoscelecentratonell origineconbasedilunghezza evaloreunitarionell origine triangle() =. Non disponibile

20 3 Esercizio 433 Si calcoli la trasformata di Fourier di x(t) elapotenzadelsegnale x(t) = cos(πf t), t R. Da questo risultato ricavare la trsformata di y(t) = sin(πf t). Non disponibile

21 4 Esercizio 434 Si calcoli la trasformata di Fourier di x(t) elapotenzadelsegnale x(t) =(cos(πf t)) cos(πf t), t R. Non disponibile

22 5 Esercizio 435 Ricavare la rappresentazione in serie complessa di Fourier dell onda quadra mostrata in figura. T T t Quindi, usando i risultati ottenuti, determinare la rappresentazione in serie complessa di Fourier della forma d onda triangolare s(t) =rep T T triangle(t/t ) dove la funzione triangle(t) éuntriangoloisoscelecentratonell origineconbasedilunghezza evaloreunitarionell origine triangle() =. Non disponibile

23 6 Esercizio 436 Si consideri un treno periodico s(t) di impulsi rettangolari di ampiezza, duratat eperiodot.sichiededi determinare la potenza media di s(t),elapercentualediquestapotenzamediaprodottadallearmoniche comprese nell intervallo /T e /T assumendo T/T =.. Non disponibile

24 7 Esercizio 437 Determinare la rappresentazione in serie complessa di Fourier del segnale periodico s(t) mostrato in figura. T T 5 T 9 T 3 T t Dire quale è la potenza media del segnale. Quindi determinarelapotenzanelleprimeseicomponentidell espansioneinserie di Fourier di s(t), espressacomepercentualedellapotenzatotale. Non disponibile

25 8 Esercizio 438 Ricavare la rappresentazione della serie di Fourier in formacomplessadell ondaperiodicasawtooth di figura. T T T T t Non disponibile

26 9 Esercizio 439 Determinare la potenza del segnale periodico x(t) =3sinc 5 (t) =3 sin πt 5sin π 5 t, t R tramite sviluppo in serie di Fourier. Non disponibile

27 Esercizio 44 che Si disegni l andamento e si valuti la trasformata di Fourier per un segnale continuo, dispari, e di periodo T tale {, <t<t s(t) = sin ( ) πt T, T t<3t Non disponibile

28 Esercizio 44 Si disegni l andamento e si valuti la trasformata di Fourier per un segnale continuo, pari, e di periodo T tale che s(t) =t per t<t/. Siripetal esercizionelcasoilsegnaleabbiasimmetriadispari. Non disponibile

29 Esercizio 44 Si disegni l andamento e si valuti la trasformata di Fourier per un segnale continuo, pari, e di periodo T tale che s(t) =e αt per t<t/. Siripetal esercizionelcasoilsegnaleabbiasimmetriadispari. Da questi risultati ricavare infine la trasformata di Fourier per il segnale periodico di periodo T,cheinunperiodohal espressione s(t) =sinh(t) = et e t Non disponibile

30 3 Esercizio 443 Se un segnale periodico è reale e dispari, cosa si può dire dei coefficienti della serie di Fourier? Non disponibile

31 (L.T. Ing. Informatica ) Insegnamento di Segnali e Sistemi 8/9 Esercizi proposti bituarsi a scrivere in modo chiaro e ordinato, giustificando in modo conciso e completo ogni aæermazione. Sarà richiesto all esame. Esercizio 7 - svolto Sviluppare in serie di Fourier il segnale x(t) = cos t e discussione. Svolgo, con tutti i dettagli, salvo errori, l esercizio che non abbiamo avuto il tempo di finire in classe. Esistenza della serie e discussione della convergenza. Il segnale x(t) ha periodo fondamentale T = º e dunque pulsazione fondamentale! = º =. È immediato verificare º che il segnale ha energia finita in un periodo: E º = Z º º cos tdt= º Per calcolare questo integrale si può procedere in modo elegante come faceva William Feller: per simmetria R º cos tdt = R º º sin tdt, ma per il teorema di Pitagora sin t + º cos t =, quindi integrando la costante e dividendo per troviamo E x = º. Un metodo non così elegante, ma che porta ugualmente al risultato, si basa sull identità trigonometrica cos t = + cos t. Poichè x(t) ha energia finita in un periodo esso ammette rappresentazione in serie di Fourier, convergente in L. Poichè x(t) è una funzione continua, e dunque soddisfa il criterio di Dirichlet, la serie di Fourier converge anche punto per punto ad x(t). Calcolo dei coe±cienti. esponenziale. Determiniamo i coe±cienti a k della serie di Fourier in forma a k = º Z º º cos t e jkt dt Osserviamo che per t [ º, º ] vale cos t =cost. I coe±cienti allora sono dati da a k = º = º = º Z º º Z º º cos te jkt dt = º Z º º e j( k)t + e j(+k)t dt = Ω sin( k) º k + sin( + k) º +k Ω ejt + æ e jt e jkt dt Ω º j( k) ej( k)tø Ø º æ º j( + k) e j(+k)tø Ø º () º æ

32 Usiamo le identità trigonometriche sin( k) º = sin( º kº) =cos( kº) =( )k e sin( + k) º =cos(kº) =( )k, sostituiamo in () e semplifichiamo ottenendo a k = ( )k º Ω k + æ = +k º ( ) k 4k Osserviamo che i denominatori contengono espressioni del tipo k o+k che non si annullano per nessun valore di k Z e dunque le espressioni degli a k sono valide per ogni k Z. La serie di Fourier richiesta: cos t = º X k= ( ) k 4k ejkt t R Serie in seni e coseni. Osserviamo, come già detto a lezione, che qualunque serie di Fourier si può scrivere come X k= a k e jk! t = a + X k= a k e jk! t + X a k e jk! t = a + k= X ak e jk! t + a k e jk! t Poichè in questo caso il segnale x(t) è reale e pari i coe±cienti a k sono reali e pari, ovvero a k = a k R. Quindi per ogni k vale a k e jk! t + a k e jk! t =Re a k e jk! t = a k cos(k! t). Sostituendo nella serie trovata sopra si ha: cos t = º + 4 º X k= k= ( ) k 4k cos(kt) t R Osservazioni finali. Poichè sussiste la convergenza punto per punto, sostituendo t = a sinistra e a destra nell espressione della serie di Fourier abbiamo ovvero, riordinando, cos == º + 4 º X k= X k= ( ) k 4k = º 4 ( ) k 4k In Matematica avete studiato i criteri di convergenza delle serie numeriche. parte casi estremamente semplici, vedi serie geometriche, non siete mai riusciti a calcolare la somma di una serie numerica convergente. Con le trasformate di Fourier, è possibile calcolare la somma di molte serie numeriche di interesse. Oltre alla tecnica della valutazione, in un punto t fissato, di una serie di serie di Fourier convergente puntualmente, un altro modo per calcolare somme di serie numeriche è fornito dalla relazione di Parseval, E T = T P k= a k. Per la serie vista sopra otteniamo: º = º 4 º X k= ( 4k ) mmetto che questa non è una serie numerica particolarmente interessante, ma volevo solo dare l idea della potenza del metodo.