Soluzione. Le componenti del gradiente sono le derivate parziali della funzione: cos y 0 (x 0, y 0 ) domf =R 2. sin y 0 (x x 0 ) + e x 0

Transcript

1 Gradiene e piano angene Definizione 1 Sia f : A R 2 R, f derivabile in (x 0, y 0 ) A). Definiamo il veore gradiene di f in (x 0, y 0 ): f(x 0, y 0 ) = (f x (x 0, y 0 ), f y (x 0, y 0 )). Definiamo il piano angene al grafico di f nel puno P(x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) il piano di equazione: z = z(x, y) = f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ). noa. Al momeno l espressione piano angene compare ra virgolee. Giusificheremo ra pochissimo la presenza delle virgolee e soo quali condizioni si possono ogliere. Esercizio. Scrivere l equazione del piano angene al grafico di f(x, y) = e x sin y nel generico puno (x 0, y 0 ). Calcolare poi il piano angene in P = (1, π). Le componeni del gradiene sono le derivae parziali della funzione: f x (x 0, y 0 ) = e x 0 sin y 0 (x 0, y 0 ) domf =R 2 f y (x 0, y 0 ) = e x 0 cos y 0 (x 0, y 0 ) domf =R 2 L equazione del piano angene risula: z = e x 0 sin y 0 + e x 0 sin y 0 (x x 0 ) + e x 0 cos y 0 (y y 0 ). Calcolandolo in (x 0, y 0 ) = (1, π) si oiene il piano: ey + z eπ = 0. Esercizio. Per ciascuna delle segueni funzioni, sabilire se esise un piano orizzonale (di equazione z = C) ale che z f(x, y) (x, y) domf (un piano su cui si appoggia il grafico della funzione): a. f(x, y) = x 2 + y 2 ; b. f(x, y) = x 2 + y 2. 1

2 Enrambe le funzioni assumono valori posiivi in ogni puno del loro dominio (R 2 per enrambe), e si annullano solo nell origine. Perano ci si aspea che l evenuale piano di appoggio possa essere il piano xy, di equazione z = 0. a. Il grafico di f è un paraboloide: verifichiamo che il piano xy è il piano angene nell origine. L equazione del piano angene è: z = f(0, 0) + f x (0, 0)x + f y (0, 0)y = 0 + 2x + 2y (x,y)=(0,0) = 0. (x,y)=(0,0) Il piano z = 0 è il piano cercao ed è il piano angene al grafico di f in (0, 0). b. Il grafico di f è un cono con il verice nell origine: essendo un puno angoloso, la funzione non è derivabile: infai, scrivendo la derivaa parziale come derivaa della resrizione di f ad un asse rispeo alla variabile di quell asse, si oiene: f x (x, y) = d d f(x, 0) = dx dx g(x) = d dx f y (x, y) = d d f(0, y) = dy dy g(y) = d dy perciò nessuna delle due derivae esise nell origine: x 2 = d dx x y 2 = d dy y, g (0 + g() g(0) g() g(0) ) = lim = +1 1 = lim = g (0 ) In queso caso il piano z = 0 è il piano cercao, ma non è il piano angene ad f, perché f non ha un piano angene in (0, 0) (diciamo che la funzione non è differenziabile in quel puno). noa. Da queso esempio si dovrebbe cominciare ad inuire il moivo della presenza delle virgolee nella definizione daa sopra di piano angene: perché, come si vede, non sempre il piano angene al grafico di una funzione esise. In queso caso la funzione che non ammee piano angene, non ammee nemmeno derivae parziali. Può anche accadere che il piano angene non esise, pur risulando ben definio il piano di equazione z = z(x, y) = f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) (di queso vedremo un esempio più avani). 2

3 Esercizio. Scrivere l equazione dell iperpiano angene al grafico di f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 nel puno P = (1, 1, 2). Il grafico di una funzione di 3 variabili è un sooinsieme di R 4 : si raa di rovare l iperpiano inr 4 angene al grafico di f nel puno (P, f(p)) = (1, 1, 2, f(1, 1, 2)). La formula è analoga al caso con due variabili: w(x, y, z) = f(p) + f x (P)(x x P ) + f y (P)(y y P ) + f z (P)(z z P ) = x 6 + y f(x, y, z) (x 1) + z P f(x, y, z) + P f(x, y, z) (z 2) P = (x 1) + 1 (y 1) + 2 (z 2) da cui l equazione del piano angene risula o in maniera equivalene (x 1) + (y 1) + (z 2) 6w = 6, x + y + 2z 6w = 6 6. Differenziabilià e derivae direzionali Definizione 2 Una funzione f : A R 2 R, derivabile in x 0 A, si dice differenziabile in x 0 se f(x) [f(x lim 0 ) + f(x 0 ) (x x 0 )] = 0, x x 0 x x 0 cioè se è ben approssimaa dal suo piano angene, di equazione: z = f(x 0 ) + f(x 0 ) (x x 0 ) = f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ). noa. Finalmene, possiamo scrivere piano angene senza virgolee: quando una funzione è differenziabile (nel senso della definizione qua sopra), il piano di equazione z = z(x, y) = f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) è davvero il piano angene al suo grafico, nel puno di coordinae (x 0, f(x 0 )). Teorema 1 (Crierio di differenziabilià) Se le derivae parziali f x (x, y) e f y (x, y) sono enrambe coninue nel puno (x 0, y 0 ), allora f è differenziabile in ale puno. 3

4 noa. Il eorema dà una condizione sufficiene per la differenziabilià della funzione, che è la coninuià delle sue derivae parziali. Vedremo anche con un esempio che quesa condizione non è necessaria per la differenziabilià: ci sono funzioni differenziabili con derivae parziali non coninue. Esercizio. Verificare la differenziabilià della seguene funzione nell origine: f(x, y) = a. con la definizione; b. con il crierio. xy 3 x 2 + y 2 se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) a. Per verificare la differenziabilià con la definizione, scriviamo l equazione del piano angene nell origine al grafico di f: z = f(0, 0) + f x (0, 0)x + f y (0, 0)y; calcoliamo le derivae parziali (con la definizione di derivaa): f(h, 0) f(0, 0) f x (0, 0) = lim h 0 h f(0, h) f(0, 0) f y (0, 0) = lim h 0 h Quindi il piano angene è z = 0. Calcoliamo il limie: = lim h 0 h 2 h = lim h3 0 h 2 h = 0. f(x, y) z(x, y) lim = lim xy3 (x,y) (0,0) x 2 + y 2 x 2 + y 2 1 x 2 + y 2 dunque f è differenziabile. ρ 4 (cos θ sin 3 θ) = lim ρ 0,θ ρ 3 = 0 θ, b. Calcoliamo le derivae parziali nel generico puno (x, y) diverso dall origine (dove le abbiamo già calcolae) e mosriamo che sono funzioni coninue in (0, 0): 4

5 f x (x, y) = f y (x, y) = y 5 x 2 y 3 (x 2 + y 2 ) 2 se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) 3x 3 y 2 + xy 4 (x 2 + y 2 ) 2 se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) Verifichiamo che lim (x,y) (0,0) f x (x, y) = f x (0, 0) = 0 (e analogamene per f y ): y 5 x 2 y 3 ρ 5 (sin 5 θ cos 2 θ sin 3 θ) lim (x,y) (0,0) (x 2 + y 2 ) 2 = lim ρ 0 ρ 4 = 0 = f x (0, 0) 3x 3 y 2 + xy 4 ρ 5 (3 cos 3 θ sin 2 θ + cos θ sin 4 θ) lim (x,y) (0,0) (x 2 + y 2 ) 2 = lim ρ 0 ρ 4 = 0 = f y (0, 0). Esercizio. (Conroesempio al crierio di differenziabilià) Verificare, per f(x, y) = x 3 y, che: a. f è derivabile in (0, 0); b. f x e f y non sono enrambe coninue nell origine (cioè non vale la condizione sufficiene di differenziabilià); c. f è differenziabile nell origine. a. f è derivabile se esisono le due derivae parziali; calcoliamole: f x (0, 0) = 3 y = 0 (x,y)=(0,0) f(0, h) f(0, 0) f y (0, 0) = lim = 0 h 0 h Dunque le derivae parziali esisono (sono enrambe nulle): f è derivabile nell origine. b. La derivaa rispeo a x, f x (x, y) = 3 y è una funzione coninua su uo il piano. La derivaa rispeo a y invece è daa da: f y (x, y) = x 3 3 y 2 se y 0 0 se (x, y) = (0, 0) ma raggiungendo l origine lungo la curva y = x 3 2, si oiene il limie lim f(x, x ) = lim x x x = 1 3 0,

6 dunque la funzione non ammee limie, e non può esser coninua nell origine. c. Verifichiamo la differenziabilià con la definizione: f(x, y) z(x, y) lim = lim x 3 y (x,y) (0,0) x 2 + y 2 x 2 + y 2 dunque f è differenziabile nell origine. ρ = lim ρ 0,θ ρ = 0 θ Definizione 3 (Derivaa direzionale) Sia f : A R 2 R, e x 0 = (x 0, y 0 ) A; f ammee derivaa nella direzione del versore v = (a, b) se: esise finio. f(x 0 + a, y 0 + b) f(x 0, y 0 ) lim = D v f(x 0, y 0 ) 0 noa. Si raa del limie del rapporo incremenale di f, con l incremeno dao nella direzione di v: f(x D v f(x 0 ) = lim 0 + v) f(x 0 ). 0 v Teorema 2 (Formula del gradiene) Se f è differenziabile in x 0, allora ammee ue le derivae direzionali, e vale l uguaglianza: D v f(x 0 ) = f(x 0 ) v, v versore. Esercizio. Sia f(x, y) = 3 x 2 (y 1) 1 e P = (x 0, y 0 ) = (0, 1). a. Calcolare ue le derivae, parziali e direzionali, di f in P. b. Calcolare D v f(0, 1), con v versore della rea y = 3x, percorsa nel verso delle x cresceni. c. Calcolare D v f(0, 1), con v versore della rea y = 2x, percorsa nel verso delle x cresceni. 6

7 d. Mosrare che f non è differenziabile in P (pur possedendo ue le derivae direzionali) (ecco finalmene l esempio di funzione per cui si può scrivere l equazione del piano angene - ra virgolee -, perché in esso compaiono le due derivae parziali, che sono ben definie. Tuavia ale piano angene - ra virgolee - non risula essere il piano angene - senza virgolee - al grafico della funzione, poiché ale piano, non essendo la funzione differenziabile, non esise.) a. Preso un generico versore v = (a, b), la derivaa lungo la direzione daa è: D v f(0, 1) = lim 0 f(a, 1 + b) f(0, 1) = lim ( 3 (a) 2 b + 1) 1 = lim 3 a 2 b = 3 a 2 b. Sosiuendo l opporuno versore nella formula appena rovaa, possiamo calcolare: f x (0, 1) = D (1,0) f(0, 1) = 0 f y (0, 1) = D (0,1) f(0, 1) = 0. b. La rea daa, avendo coefficiene angolare 3 = an θ = an π 3, è individuaa dal versore v = (cos θ, sin θ) = ( 1 2, 3 2 ). Perciò si oiene: D v f(0, 1) = 3 a 2 b = cos 2 θ sin θ = 2. c. In queso caso, an θ = 2 non è la angene di un angolo noo. Troviamo il versore prendendo un puno sulla rea e normalizzandolo, ad esempio: Da cui: v = (1, 2) (1, 2) =. (1, 2) 5 D v f(0, 1) = 3 a 2 b = d. Se f fosse differenziabile, dovrebbe valere la formula del gradiene D v f(0, 1) = f(0, 1) v. Ma essendo f(0, 1) = (f x (0, 1), f y (0, 1)) = (0, 0), si dovrebbe avere D v f(0, 1) = 0 per ue le direzioni, menre abbiamo rovao già almeno due derivae direzionali non nulle. Dunque f non è differenziabile. 7

8 Esercizio. Mosrare che la seguene funzione: f(x, y) = a. non è coninua nell origine; 2x 2 y x 4 + y 2 inr 2 \ {(0, 0)} 0 in (0, 0) b. ammee derivae direzionali in qualunque direzione nel puno (0, 0). a. Calcolando il limie di f nell origine si oiene: 2ρ 3 (cos 2 θ sin θ) lim f(x, y) = lim (x,y) (0,0) ρ 0 ρ 2 (ρ 2 cos 4 θ + sin 2 θ) = 0, θ kπ, ma scegliendo un opporuno cammino che giunga in (0, 0) con la direzione dell asse x, ad esempio la parabola y = x 2, si ha dunque f non è coninua nell origine. lim f(x, x 0 x2 ) = lim 2x4 2x 4 = 1 0, b. Dao il generico versore v = (cos θ, sin θ), con θ [0, 2π), la derivaa direzionale in (0, 0) di f è D v f(0, 0) = lim 0 f( cos θ, sin θ) f(0, 0) = lim 23 cos 2 θ sin θ 3 ( 2 cos 4 θ + sin 2 θ) = 2 cos2 θ, se sin θ 0, sin θ menre lungo l asse x (nei due versi) si ha f(±, 0) f(0, 0) D (±1,0) f(0, 0) = lim 0 = lim = 0. Dunque f ha nell origine ue le derivae direzionali. 8