Matematica Finanziaria. Lezione 3

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1 1 Maemaica Finanziaria Lezione 3

2 Regime finanziario di capializzazione a ineressi anicipai Ponendo: C = Capiale iniziale M = Capiale disponibile in (capiale finale I= Ineresse d = asso di scono della legge coniugaa di aualizzazione Si ha 1 f ( = 1 d C M = d 1 d I = M C = C 1 d 2

3 3 Regime finanziario di capializzazione a ineressi anicipai La legge di scono coniugaa al regime ad ineressi anicipai è dea a scono commerciale

4 Confrono fra i faori di monane nei re regimi Nel grafico riporiamo le curve che descrivono i faori di monane propri dei re regimi finanziari che abbiamo analizzao in deaglio: semplice, composo, ineressi anicipai. y x 4

5 5 Confrono fra i faori di monane nei re regimi Le re curve si inersecano in due soli pi di coord. isp. (0, 1 e (1, 1 + i. Infai ui i faori di onane valgono 1 all'epoca di valuazione; inolre, er la definizione di asso uniario di ineresse, il aore di monane all'epoca = 1 vale 1 + i per ualsiasi regime finanziario di capializzazione. i noi che a parià di asso d'ineresse i, per 0 < <, il monane ad ineresse semplice risula maggiore el monane a ineresse composo, che a sua vola maggiore di quello ad ineresse anicipao, menre e disuguaglianze si inverono per > 1.

6 6 Forza di ineresse I regimi finanziari posso anche essere descrii nalizzando in che modo si manifesa l accrescimeno de onane nel empo, ovvero il processo di formazione ell ineresse. Si consideri infai l'ineresse I(, + prodoo dalla apializzazione nell'inervallo di empo (, +, cioè: I(, + = M( + M(. onsideriamo quesa capializzazione, di duraa, isolaa dal coneso. Il asso d'ineresse di quesa sarà llora: ( ( ( (, ( f f f M M M i ( + = ( + = +

7 7 Forza di ineresse Definiamo inensià d'ineresse il rapporo i(, + f ( + f ( 1 = f ( Se f( è differenziabile, calcolando il limie per 0 ell'inensià d'ineresse, si oiene: i(, + lim = 0 f' ( f (

8 8 Forza di ineresse Si definisce inensià isananea d'ineresse o forza d'ineresse la funzione: δ ( = f ' ( f ( La forza d'ineresse individua in modo univoco la legge di capializzazione corrispondene.

9 9 Forza di ineresse nel regime a capializzazione semplice Ricordando la definizione di forza di ineresse, nel regime della capializzazione semplice si ha δ ( = f ' ( f ( = i 1+ i che risula essere dipendene dal empo.

10 10 Forza di ineresse nel regime a capializzazione composa Ricordando la definizione di forza di ineresse, nel regime della capializzazione composa si ha f ' ( δ ( = = ln( 1+ f ( i che risula essere cosane.

11 11 Forza di ineresse nel regime di capializzazione a ineressi anicipai Ricordando la definizione di forza di ineresse, nel regime della capializzazione a ineressi anicipai si ha f ' ( d δ ( = = f ( 1 d che risula essere dipendene da.

12 Dalla forza di ineresse al regime finanziario Dalla definizione f ' ( δ ( = f ( inegrando ambo i membri sull inervallo [0, ] segue: δ ( s ds = δ(sds = f ' ( s ds f ( s [ ln f (s] f ( = ln = ln f ( f ( 0 e infine 0 = f ( = e0 da cui δ ( s ds 12

13 13 Scindibilià onsideriamo la possibilià di inerrompere nicipaamene l operazione di invesimeno e mmediaamene riprenderla, e valuiamo gli effei inanziari di quesa sraegia, confronandone il onane finale con quello che si porebbe conseguire rocedendo senza inerruzioni. e alernaive sono schemaizzabili ad esempio nel modo eguene:

14 14 Scindibilià nvesire Euro 5000 a 0 = 1/1/2004 e incassare M 2 al empo = 30/6/ M

15 15 Scindibilià nerrompere l op. fin. in 1 = 30/5/2004 e sempre in 1 eimpiegare il monane allora disponibile fino a = 0/6/ /1/04 M 30/5/04 M 2 30/6/04

16 16 Scindibilià A priori, non è cero che i monani a scadenza abbiano alori uguali; le leggi finanziarie per le quali ciò accade s icono scindibili. na legge si dice scindibile se il monane di un apiale C, impiegao fino a ad un asso assegnao i, on varia se l impiego viene inerroo in 1, con 0< 1 < il monane oenuo in 1 viene immediaamene eimpiegao alle sesse condizioni per il empo rimanene 1, ossia se f( soddisfa la seguene relazione: f( = f( 1 f( 1 con 0 < 1 <

17 17 Scindibilià Teorema: Una legge finanziaria è scindibile se e solo se esponenziale. imosrazione: Sia 0< 1 < ond. suff. Da f(=e k (k>0 segue f( 1 f( 1 = k1 e k(-1 =e k =f(. ond nec. Da f( 1 f( 1 =f( passando ai garimi di ambo i membri, si ha: [f( 1 f( 1 ]=ln f( e derivando rispeo a egue: f' ( f ( f' ( f ( [lnf( 1 +ln 0 f( ]=D = [ln f(] 1

18 Una legge è scindibile se e solo se la forza d ineresse ad essa associaa non dipende dal empo f' ( f ( 1 1 = f' ( f ( oiamo che il rapporo a primo membro è sane al variare di 1, perciò si può f ' ( rivere: = k (cos. f ( Inegrando ambo i membri: f ' ( s ds f ( s = 0 0 kds Da cui, ln f(=k, ossia f(=e k. Corollario

19 19 Scindibilià della capializzazione semplice ia C=5000, =6 mesi, asso rim. 1,5% con evenuale inerruzione dopo 5 mesi = 6 mesi = 2 rimesri: M(2 = =5 mesi=5/3 di rimesre: M = 5125 ; reimpiegando immediaamene queso imporo, il monane in = 2 è M (2 = M [1+i( 1 ] =5150,62 eguendo le due modalià non si oiene lo sesso onane: infai, in caso di reimpiego si oiene un onane maggiore. Perano la legge di capializzazione ineresse semplice non è scindibile. B: dipende dal fao che la forza di ineresse dipende da

20 Scindibilià della capializzazione composa ia C=5000, =6 mesi, asso rim. 1,5% con evenuale inerruzione dopo 5 mesi: =6 mesi=2 rimesri: M(2 = 5151,12 1 =5 mesi=5/3 di rimesre M =5125,62 reimpiegando immediaamene queso imporo, il monane in = 2 è M (2 = M [1+i] 1/3 =5151,12 Quindi, poiché M(2 = M (2, in caso di reimpiego si iene lo sesso monane. iò avviene perché la legge di capializzazione a neresse composo è scindibile. B: dipende dal fao che la forza di ineresse è cosane 20

21 Scindibilià della capializzazione a ineressi anicipai oniamo C=5000, =6 mesi, in queso caso d=i/(1+i=1,48% con evenuale inerruzione dopo 5 mesi: = 6 mesi=2 rimesri:m(2 = 5.152,28 1 =5 mesi=5/3 di rimesre M =5126,45 reimpiegando immediaamene queso imporo, il monane in = 2 è M (2 = M /(1-d/3 =5151,87 Quindi, poiché M (2 < M(2, in caso di reimpiego si iene un monane minore: la legge di capializzazione ineresse anicipao non è scindibile. B: dipende dal fao che la forza di ineresse dipende da 21