SEGNALI NON PERIODICI: LA TRASFORMATA DI FOURIER

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "SEGNALI NON PERIODICI: LA TRASFORMATA DI FOURIER"

Lidia Leone
5 anni fa
Visualizzazioni

1 SEGNALI NON PERIODICI: LA RASFORMAA DI FOURIER Fndameni di Segnali e rasmissine Inrduzine Se il segnale d ingress di un sisema Lineare emp-invariane LI e un espnenziale cmpless, l uscia sara ancra un espnenziale cmpless cn la sessa requenza, ma cn ampiezza e ase mdiicae. A { ϑ } Sisema LI h B { ϕ } Rispsa in requenza: E la unzine della requenza che descrive cme vengn mdiicae ampiezza e ase di un espnenziale cmpless quand passa aravers un sisema LI. Fndameni di Segnali e rasmissine

2 Rispsa in requenza { } x Sisema L I y x * h x τ h τ dτ { } y y h τ { τ } dτ { } h τ { τ} τ { τ} dτ { } { } x h L uscia di un sisema LI alimena da un ingress espnenziale cmpless e ancra un espnenziale cmpless cn la sessa requenza dell ingress ma cn ampiezza e ase iniziale mdiicae dal ermine. 3 Fndameni di Segnali e rasmissine dτ Rispsa in requenza Facend variare la requenza dell espnenziale cmpless in ingress da - a eniam una unzine della variabile reale dea rispsa in requenza del sisema LI. La rispsa in requenza ci dice cme vengn mdiicae ampiezza e ase iniziale dell espnenziale cmpless di requenza quand e applica all ingress del sisema LI. e una unzine cmplessa della requenza che dipende sl dalla rispsa all impuls del sisema h: τ { τ} dτ h pu essere rappresena in mdul e ase in pare reale ed immaginaria. 4 Fndameni di Segnali e rasmissine

3 5 Fndameni di Segnali e rasmissine Rispsa in requenza di sisemi reali Se il sisema LI ha rispsa all impuls h reale, la rispsa in requenza e una unzine cn simmeria cmplessa cniugaa: *- Cie il mdul di e pari simmeric rispe all rigine e la ase di e dispari anisimmerica rispe all rigine. - ase - ase - 6 Fndameni di Segnali e rasmissine { } { } [ ] { } { } [ ] { } { } [ ] { } { } [ ] ϕ ϕ ϕ h x y x cs cs Rispsa in requenza di sisemi reali Quan vis a riguard del passaggi di espnenziali cmplessi aravers i sisemi LI, nel cas di h reali, vale anche per i segnali csinusidali e sinusidali. Inai abbiam: ase ϕ

4 rasrmaa di Furier L perare che cnsene di enere la rispsa in requenza a parire dalla rispsa all impuls del sisema h, viene de rasrmaa di Furier. La rasrmaa di Furier, pu essere applicaa a qualsiasi segnale x, nn necessariamene rispsa all impuls di un sisema LI. { }d X x L perare che cnsene di enere il segnale x la rispsa all impuls a parire dalla sua rasrmaa di Furier X dalla rispsa in requenza, viene de rasrmaa Inversa di Furier: x X { }d Si ni che la rasrmaa di Furier e la sua inversa sn uguali, a pare il segn dell espnene. 7 Fndameni di Segnali e rasmissine rasrmaa inversa di Furier raccia di dimsrazine Calclaa la rasrmaa di Furier X del segnale x X x d x τ τ dτ dve si preerisce la variabile d inegrazine per nn cnnderla pi cn si anirasrmi inegrand nell inervall a,a, che si ara pi endere all inini: a a X x τ dτ sin a x a a d x a a d τ d divena sempre piu ala e srea cie ende all impuls all aumenare di a. Inlre si pu dimsrare che ha area uniaria, qualunque sia a cmunque se anche l area nn sse uniaria baserebbe mliplicare per una ppruna csane la rmula di anirasrmazine. 8 Fndameni di Segnali e rasmissine τ x τ τ dτ sin a τ x τ dτ τ se a ende all inini. Inai la unzine sin a

5 Si apprssimi l inegrale nell anirasrmaa di Furier cn la smmaria: x Inerpreazine della rasrmaa di Furier { } X { X } X 443 X L espressine enua indica che il segnale emp cninu x pu essere apprssima cn smma di ininii espnenziali cmplessi cn requenza, ase X e mdul X. Per d, il perid / ende a inini, l ampiezza di gni espnenziale cmpless X d divena ininiesima l energia deve rimanere inia pur aumenand il numer di cmpneni armniche, cpre cn cninuia ue le requenze e divena quindi la variabile cninua : X X d x X { X }d La rasrmaa di Furier di un segnale pu essere inerpreaa cme la scmpsizine del segnale in smma di ininii espnenziali cmplessi cn requenza che varia da - a, ampiezza ininiesima X d e ase X. Gli espnenziali cmplessi sn chiamai cmpneni sperali. 9 Fndameni di Segnali e rasmissine Banda di un segnale Viene deinia Banda B del Segnale x l inervall di requenze misura sul semiasse psiiv all inern del quale X assume valri diversi da. Ml spess X è a rigre diversa da da - a, in ques cas la Banda crrispnde all inervall di requenza in cui X è signiicaivamene diversa da. Operaivamene nella deinizine di banda, cnsideriam due classi di segnali: Segnali di ip passa-bass X cncenraa inrn a Segnali di ip passa-banda X cncenraa inrn a ± X X B - B Fndameni di Segnali e rasmissine

6 Dalla serie di Furier alla rasrmaa di Furier x X X { 443 L espressine enua ha la rma dell svilupp in serie di Furier di un segnale peridic cn perid / : { } x X X X d X d Inai un segnale nn peridic pu essere vis cme un segnale cn perid di duraa endene all inini. Ess può essere rappresena quindi cme smma di ininie armniche cn requenza pari ad un mulipl iner della requenza ndamenale / che, in ques cas, divena ininiesima d. Per endene all ininiesim d cie per perid endene all inini la requenza delle armniche ende alla variabile cninua e la serie di Furier divena la rasrmaa di Furier. Fndameni di Segnali e rasmissine Dalla serie di Furier dell nda quadra alla rasrmaa di Furier del reangl Il perid del segnale ha duraa Y / / / / cs { } { } d d sin La cmpnene cninua vale / Fndameni di Segnali e rasmissine

7 Dalla serie di Furier dell nda quadra alla rasrmaa di Furier del reangl Assumiam X X sin Fndameni di Segnali e rasmissine Se va all inini reangl nn peridic la rasrmaa di Furier divena: Dalla serie di Furier dell nda quadra alla rasrmaa di Furier del reangl 3 / X { } sin d / Fndameni di Segnali e rasmissine

8 Sen cardinale sin sinc E Si annulla per ui i valri ineri di ranne nell rigine dve ha valre uniari Fndameni di Segnali e rasmissine Esempi di rasrmaa di Furier il reangl A / sin x A rec X A > / x A -/ / F X A -/ / 6 Fndameni di Segnali e rasmissine

9 Esempi di rasrmaa di Furier il riangl x A sin x A ri X A - X A F -/ / 7 Fndameni di Segnali e rasmissine Esempi di rasrmaa di Furier il sinc x sin A X A A rec > x A X - A F -/ / 8 Fndameni di Segnali e rasmissine

10 Esempi di rasrmaa di Furier la gaussiana x a X / a a x / a X F 9 Fndameni di Segnali e rasmissine Esempi di rasrmaa di Furier ren d impulsi x δ n X δ n y δ n / Y F -/ -/ / / Fndameni di Segnali e rasmissine

Documenti analoghi

LA TRASFORMATA DI FOURIER: PROPRIETA ed ESEMPI

LA TRASFORMATA DI FOURIER: PROPRIETA ed ESEMPI L RSFORM DI FOURIER: PROPRIE ed ESEMPI RSFORM DI FOURIER Prprieà della DF ( x( DF ( LINERI : la DF della cmbinazine lineare (smma pesaa di due segnali e uguale alla cmbinazine lineare delle DF dei due