Note per la Lezione 28 Ugo Vaccaro

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1 Progeazione di Algorimi Anno Accademico Noe per la Lezione 28 Ugo Vaccaro In quea lezione udieremo ancora problemi u cammini minimi, ma in grafi in cui vi poono eere archi di coo negaivo. Quindi, il problema che udieremo é il eguene: Inpu: Grafo direo G = (V,E), coi c(u,v) per ogni arco (u,v) E, nodi, V Oupu: Cammino di coo oale minimo da a Il problema é ovviamene già riolo dall algorimo di Dijkra nel cao in cui c(u,v) 0, per ogni arco (u,v) E. Che uccede e uiamo l algorimo di Dijkra anche nel cao in cui c(u,v) < 0 per qualche arco (u,v) E? Che l algorimo baglia. Vediamo il eguene eempio: u v L algorimo di Dijkra ceglierebbe il cammino fao dal olo arco (, ) di coo 1, ma il cammino da a che paa per u e v ha coo oale inferiore, pari E perchè vale la pena di coniderare grafi con archi di coo negaivo? Perchè il linguaggio dei grafi e i relaivi cammini minimi ad eo aociai poono rappreenare anche queioni in cui ha molo eno coniderare grafi con archi di coo negaivo. Eempio: Conideriamo un grafo i cui nodi rappreenano le value ufficiali di nazioni (Euro, dollari, erline, ec.). Per ogni coppia di value i,j denoiamo con (i,j) il ao di cambio della valua i nella valua j. Ad eempio, i ai di cambio per alcune value porebbero eere rappreenai dal grafo di oo, con coi (i, j) ugli archi 1/7 $ 8 P 800 4/3 2/3 2 3/10 3/50 e 170 f 56 Yen 1/1000 Nello cenario opra decrio, i porebbe cambiare un unià di f (fiorini) in 56 Yen, da cui oenere 56 (3/50) P (Peo meicano) ed infine (3/10) 56 (3/50) = 1.008f. Deo in alri ermini, parendo da un fiorino, e cambiandolo prima in Yen, poi in Peo meicano, e poi di nuovo in fiorini, oerremmo fiorini Se ripeiamo i cambi un alra vola, oerremmo (1.008) 2 fiorini, e e ripeiamo n vole oerremmo (1.008) n. Oervando che (1.008) n, per n, avremmo rovao una icura fone di reddio. Siuazioni del genere poono accadere in praica per brevi periodi di empo ed in finanza prendono il nome di arbiraggio. Gli peculaori endono a farne ampio uo (perciò è criico coprire una ale iuazione velocemene e prima degli alri...). Inereane, diranno gli peculaori che leggono quee noe, ma gli archi con coo negaivo che c enrano? Lo vediamo... In generale, in un grafo come prima decrio (con coi aociai agli archi pari ai ai di cambio 1

2 (i,j)), un cammino dal verice i al verice j che paa aravero i verici a 1,...,a k rappreenerebbe un poibile modo per cambiare la valua i nella valua j, effeuando i cambi inermedi i a 1, a 1 a 2,...,a k j. Uno peculaore vorrebbe evidenemene il cammino nel grafo che maimizza il prodoo dei ai di cambio (i,a 1 ) (a 1,a 2 ) (a k,j), ovvero che maimizza il prodoo dei coi aociai agli archi del cammino. Se poi nel grafo ci foe addiriura un ciclo che, parendo dalla valua i ed aravero una erie di cambi di valua permeee di riavere la valua i con la condizione che (i,a 1 ) (a 1,a 2 ) (a k,i) > 1, uno peculaore vorrebbe CERTAMENTE aperlo, rovarlo, e farne buon uo... Ma come i fà? Noi appiamo rovare in un grafo i cammini che minimizzano la omma dei coi aociai agli archi del cammino! Ci arriviamo... Maimizzare (i,a 1 ) (a 1,a 2 ) (a k,j) è perfeamene equivalene a maimizzare log[(i,a 1 ) (a 1,a 2 ) (a k,j)] Maimizzare log[(i,a 1 ) (a 1,a 2 ) (a k,j)] è perfeamene equivalene a minimizzare log[(i,a 1 ) (a 1,a 2 ) (a k,j)] = log(i,a 1 ) log(a 1,a 2 ) log(a k,j) Ne egue che il cammino del grafo G con coi ugli archi (i,j), che maimizza (i,a 1 ) (a 1,a 2 ) (a k,j) è lo eo cammino che nel grafo G con coi ugli archi c(i,j) = log(i,j) ha coo oale (=omma dei coi degli archi che lo coiuicono) minimo. Ma queo nuovo grafo può adeo avere coi c(i,j) = log(i,j) ugli archi anche di valore negaivo, quindi e vogliamo peculare ui cambi ra le value dobbiamo aper rovare cammini di coo minimo in grafi con coi ugli archi arbirari (ovvero ia poiivi che negaivi). In generale vi ono moli problemi imporani la cui oluzione è equivalene a rovare cammini minimi in grafi con coi ia negaivi che poiivi ugli archi. Reando in ambio finanziario (ma i può andare ben olre), poremmo avere delle ranazioni in cui compriamo da un agene i e vendiamo ad un agene j ad un coo c(i,j) che, e negaivo, coiuirebbe di fao per noi un profio. Di nuovo poremmo in ale ambio avere il problema di deerminare la equenza di compravendie con puno di inizio e fine fiai che minimizza i coi(ovvero maimizza il noro guadagno). La ruura delle oluzioni al problema di deerminare cammini minimi in grafi con coi ia negaivi che poiivi ugli archi ende ad eere molo divera dalle oluzioni relaive allo eo problema in grafi con coi ugli archi olo poiivi. Nel primo cao le oluzioni endono ad eere cammini cori, nel econdo endono ad eere cammini lunghi (il che fà anche capire perchè occorrono ecniche nuove) Una prima coniderazione ui cicli di coo negaivo: Se nel grafo G = (V,E) eie un cammino dal nodo al nodo che coniene un ciclo di coo oale negaivo, allora NON eie alcun cammino di coo oale minimo da a. Vicevera, e ogni cammino da a NON coniene alcun ciclo di coo oale negaivo, allora eie un cammino di coo oale minimo da a ed eo coniene al più n 1 archi (n = V ) Infai, e in un cammino da da eiee un ciclo W di coo oale c(w) < 0, del ipo rappreenao nella figura di eguio riporaa W allora ripaando empre più vole ul ciclo W poremmo abbaare empre di più il coo del percoro da a, 2

3 enza mai fermarci ad un minimo. Vicevera, (e ora oo l ipoei che ogni cammino da a NON coniene alcun ciclo di coo oale negaivo) e per aurdo un cammino minimo da a conenee più di n 1 = V 1 archi, allora in ale cammino almeno un verice compare due vole (perchè? Perchè e il cammino coniene più di n 1 archi allora coniene più di n verici, e quindi almeno un verice compare due vole). Quindi nel cammino è preene un ciclo W W Per ipoei il coo c(w) di ale cammino è > 0; e lo eliminiamo poiamo andare da a con un coo inferiore, conro l ipoei che il cammino era di coo minimo. Cammini minimi via Programmazione Dinamica. Sia OPT(i,v) =minimo coo di un cammino da v a che ua al più i archi. Poiamo avere vari cai: Cao 1: il cammino minimo P da v a ua al più i 1 archi OPT(i,v) = OPT(i 1,v) Cao 2: il cammino minimo P da v a ua eaamene i archi. Se P ua l arco (v,w) come primo arco, allora il coo di P è pari a c(v,w)+coo del cammino minimo da w a che ua al più i 1 archi, per cui OPT(i,v) = c(v,w)+opt(i 1,w). Poiché in generale, non appiamo chi é il primo arco del cammino minimo, dobbiamo calcolarci min {c(v,w)+opt(i 1,w)}. w V Riaumendo, e enedo cono delle condizioni iniziali, avremo: 0 { } e v = OPT(i,v) = min OPT(i 1,v),min w V {c(v,w)+opt(i 1,w)} e i > 0 v e i = 0,v (1) In virù della econda pare della coniderazione ui cicli di coo negaivo, a noi inerea OPT(n 1,). Vediamo un algorimo per il calcolo della (1) Shore-Pah(G,, ) 1. For ogni nodo v V 2. M[0,v] 3

4 3. M[0,] 0 4. For i = 1 o n 1 5. For ogni nodo v V 6. M[i,v] M[i 1,v] 7. For ogni arco (v,w) E 8. If M[i,v] > M[i 1,w]+c(v,w) 9. M[i,v] M[i 1,w]+c(v,w) 10. reurn M[n 1,] -4 Analii: L inizializzazione prende empo O(n), n = V. Nel For 5. i analizza ogni verice ed ogni arco ad eo adiacene (ovvero ui gli archi del grafo), per un empo oale O(m), con m = E. Quindi le iruzioni prendono empo O(nm) e pazio O(n 2 ) (per la marice M[, ].) a b c Eempio (enendo a mene la (1): d e OPT(1,a) = min{, 3} = 3 OPT(1,b) = min{, } = OPT(1,c) = min{,3} = 3 OPT(1,d) = min{,4} = 4 OPT(1,e) = min{,2} = 2 OPT(2,a) = min{ 3, 4+ } = 3 OPT(2,b) = min{,min{ 1+4, 2+2}} = 0 OPT(2,c) = min{3,min{8+ }} = 3 OPT(2,d) = min{4,min{6 3}} = 3 OPT(2,e) = min{2,min{3 3}} = 0 OPT(3,a) = min{ 3,min{ 4+0}} = 4. Migliorameni dell implemenazione. Non è neceario ricordari del valore M[i, v] per ogni i, ma olo dell ulimo valore, ed aggiornarlo e eo diminuice. Per memorizzare i valori M[v] avremo ora biogno olo di pazio O(n). Shore-Pah(G,, ) 1. For ogni nodo v V 2. M[0,v] M[v] 3. M[0,] 0 M[] 0 4. For i = 1 o n 1 5. For ogni nodo v V 6. M[i,v] M[i 1,v] 7. For ogni arco (v,w) E 8. If M[i,v] > M[i 1,w]+c(v,w) M[v] > M[w]+c(v,w) 9. M[i,v] M[i 1,w]+c(v,w) M[v] M[w]+c(v,w) 10. reurn M[n 1,] M[] 4

5 Nell ierazione generica i del For 4., ha eno fare il conrollo M[v] > M[w]+c(v,w) olo e il valore di M[w] è diminuio nella precedene ierazione i 1, alrimeni prechiamo olo empo. Se in una ierazione complea del For 4. neun valore M[w] cambia, allora non cambierà neanche nella ierazione ucceiva e ano vale allora erminare l algorimo. 5