RICERCA OPERATIVA GRUPPO A prova scritta del 5 luglio 2010

Transcript

1 RICERCA OPERATIVA GRUPPO A prova cria del luglio 00. Dao il problema di programmazione lineare P) min z = x +x +x max y + y x x x = y +y < x + x x y + y < x, x, x 0 y y < y > 0 a) coruirne il duale D; b) riolvere graficamene D; c) dire e P ammee oluzione oima, e in cao affermaivo deerminarne il valore. Diegnando la regione ammiibile del duale e il veore aociao ai coefficieni della funzione obieivo, i oiene che la oluzione oima del problema è y* = ( 9/, /) di valore /. Poiché il duale ammee oimo finio anche il primale ammeerà oimo finio, e il valore della oluzione oima di P arà uguale al valore della oluzione oima di D.. Il veore w = (,, ) è combinazione conica e non convea di v = (,, 0), v = (,, ), v = (,, 0).. Uilizzando il meodo di Fourier-Mozkin, riolvere il problema min x + x + x x x > x + x > x, x, x > 0 z x x x > z x x > z x > z > Il valore minimo di z è z * =. Soiuendolo nella penulima abella i ricava x < 0, x <, x > 0, quindi x * = 0; oiuendo nella erzulima i ha x <, x >, quindi x * = ; infine con l ulima oiuzione i oiene x < 0, x > 0: perano x * = 0.. Deerminare con il meodo del impleo il valore della funzione obieivo in corripondenza a una oluzione oima del problema eguene (qualora eia): min x + x x x + x x > x x > x, x, x > 0 Conviene eeguire il calcolo aravero il duale D: max y + y y + y + w = y + w = y + y w = y, y, w, w, w > 0 Per rovare una oluzione ammiibile criviamo il problema auiliario: min z y + y + w = y + w = y + y w + z = y, y, w, w, w, z > 0 La abella canonica i crive immediaamene oraendo l ulima riga alla riga 0:

2 Il crierio di oimalià non è oddifao. Facendo enrare y in bae i oiene / 0 0 / / / 0 0 / / Quea abella fornice una prima oluzione di bae per il problema D: / 0 0 / / 0 0 / Per rendere canonica la abella biogna moliplicare la riga per e ommarla alla riga 0. Si ricava: Operando un pivo in riga e colonna i oiene: Con un pivo in riga e colonna i ha quindi: / / 0 0 / / 0 0 / / / 0 0 / / / 0 0 ¼ / / / 0 0 / / 0 0 ¼ 0 0 / 0 Il crierio di oimalià è oddifao. Il problema D (e quindi il problema P) ammee oluzione oima di valore z * =.. Trao da una oria vera ( ) E ucio nei migliori cinema Il Vampiro Paninaro dell Arizona conro la Srega di Biancaneve. Il proagonia è un vampiro collezionia di piane grae che ha la paione dei wurel al kechup. Il film i apre con il vampiro che è indecio e andare a fari un panino in cucina o a iemare la collezione nella erra ul errazzo: ma in cucina la rega gli preparando una macedonia di mele e pere, menre nella erra Tex Willer i è nacoo diero un cacu bonai con la piola pianaa. Dal film è ao rao un videogioco che arà commercializzao ra breve. Il progeia a meendo a puno le alernaive e vuole calcolare la probabilià che il vampiro opravviva ai caivi. A ogni adio i deve cegliere e andare in cucina o in errazzo, e il progeia ha aribuio cere probabilià p di opravvivenza che dipendono dallo adio del gioco e dal fao e i decide di rimanere nel luogo dove ci Trailer di Radio 0.

3 i rova o e i decide di cambiare. La probabilià di opravvivenza alla fine III adio del gioco è il prodoo delle probabilià di opravvivenza relaive alle cele fae fino a quel puno. I adio II adio III adio p 00 log p p 00 log p p 00 log p cucina-cucina 90%, %, %,9 cucina-errazzo 0% 9, %, %, errazzo-errazzo %, 0%, % 9, errazzo-cucina 9%, 0%, %, Il progeia vorrebbe calcolare la più ala probabilià di opravvivenza, ma i rende preo cono che le combinazioni di cele ono un po roppe (quane?). Voi che avee udiao ricerca operaiva apee però che il problema è un PL e i può impoare come cammino oimo u queo grafo. Deerminaa una oluzione iniziale ammiibile di bae, calcolae i coi ridoi e morae come aumenarne il valore aravero un operazione di pivo del impleo u rei. Formulazione. Indicando con n il numero di adi, le combinazioni di cele ono n+ : per n = i hanno quindi divere combinazioni. Operando una cela a ogni adio i deermina un (, )-cammino ul grafo indicao. Ogni arco del cammino corriponde al paaggio da uno adio al ucceivo. Se i aribuice a ogni arco uv la probabilià di opravvivere al paaggio, oo le ipoei del problema i può aribuire a ogni cammino π un peo P(π) pari al prodoo dei pei degli archi che lo compongono: ale peo vale la probabilià di opravvivenza compleiva. Il progeia del videogioco deve quindi deerminare un cammino π di peo maimo. Poiché la funzione logarimo è monoona crecene, maimizzare P(π) è equivalene a maimizzare 00 log P(π) = 00 log uv P p uv = uv P 00 log(p uv ). Si può quindi dire che il problema conie nel rovare un cammino di peo minimo ul grafo peao con pei c uv = 00 log p uv.,, 9,,,, 9,,,,,,9 Soluzione. Poiamo prendere come oluzione ammiibile iniziale il cammino (,,,, ). Per coruire una bae (degenere) compleiamo que inieme in modo da formare un albero ricoprene B. Ad eempio poiamo aggiungere gli archi,,,. Per apere e la oluzione è oima dobbiamo calcolare i poenziali y ai nodi applicando per ogni uv B la formula c uv + y u y v = 0 dopo aver fiao uno dei valori ad arbirio, per eempio y = 0. c + y y = 0 y = 0 c + y y = 0 y =, c + y y = 0 y = 9, c + y y = 0 y =, c + y y = 0 y =, c + y y = 0 y =, c + y y = 0 y =, c + y y = 0 y = 0, c + y y = 0 y =, I coi ridoi fuori bae valgono c uv + y u y v uv B. Quindi c + y y =, c + y y =, c + y y =, c + y y =, c + y y =, c + y y =, c + y y =, Traandoi di un problema di minimizzazione, conviene far enrare in bae una variabile nulla con coo ridoo negaivo (non vi ono variabili aure in quano il problema è privo di capacià). Il cao più

4 favorevole i ha con x, ma il uo inerimeno compora δ = 0 e non i avrebbe migliorameno: queo è il richio che i corre con una bae degenere! Conviene allora provare a inerire in bae x, che ha coo ridoo, e inroduce un ciclo ul quale è poibile indirizzare una circolazione non nulla.,, 9,,,, 9,,,,,,9 Il valore maimo ammiibile per δ, pari a, è deao dai valori di oglia degli archi,. Eeguio l aggiornameno, la oluzione migliora di,δ =, e reiuice il cammino riporao di eguio. 9,,,

5 RICERCA OPERATIVA GRUPPO B prova cria del luglio 00. Dao il problema di programmazione lineare P) min z = x +x +x max y + y x x x < y +y < x + x y +y < x, x, x 0 y < y, y > 0 a) coruirne il duale D; b) riolvere graficamene D; c) dire e P ammee oluzione oima, e in cao affermaivo deerminarne il valore. Diegnando la regione ammiibile del duale e il veore aociao ai coefficieni della funzione obieivo, i oiene che la oluzione oima del problema è y* = (0, / ) di valore /. Poiché il duale ammee oimo finio anche il primale ammeerà oimo finio, e il valore della oluzione oima di P arà uguale al valore della oluzione oima di D.. Il veore w = (0,, ) è combinazione conica e non convea di v = (,, ), v = (,, 0), v = (,, ).. Uilizzando il meodo di Fourier-Mozkin, riolvere il problema max x x x x + x < x x < x, x, x > 0 z x x x < z x x < z x < z > Il valore maimo di z è z * =. Soiuendolo nella penulima abella i ricava x < 0, x >, x > 0, quindi x * = 0; oiuendo nella erzulima i ha x >, x <, x > 0, quindi x * = ; infine con l ulima oiuzione i oiene x < 0, x <, x > 0: perano x * = 0.. Deerminare con il meodo del impleo il valore della funzione obieivo in corripondenza a una oluzione oima del problema eguene (qualora eia): min x + x 0x x + x x > x x > x, x, x > 0 Conviene eeguire il calcolo aravero il duale D: max y + y y + y + w = y + w = y + y w = 0 y, y, w, w, w > 0 Per rovare una oluzione ammiibile criviamo il problema auiliario: min z y + y + w = y + w = y + y w = 0 y, y, w, w, w, z > 0 La abella canonica i crive immediaamene oraendo l ulima riga alla riga 0:

6 Il crierio di oimalià non è oddifao. Facendo enrare y in bae i oiene / 0 0 / / / 0 0 / / Quea abella fornice una prima oluzione di bae per il problema D: / 0 0 / / 0 0 / Per rendere canonica la abella biogna moliplicare la riga per e ommarla alla riga 0. Si ricava: Operando un pivo in riga e colonna i oiene: Con un pivo in riga e colonna i ha quindi: / / / 0 0 / / 0 0 / / / / 0 0 / / / 0 0 / / / / / 0 0 / 0 0 ½ / 0 Il crierio di oimalià è oddifao. Il problema D (e quindi il problema P) ammee oluzione oima di valore z * =.. Trao da una oria vera ( ) E ucio nei migliori cinema Il Vampiro Paninaro dell Arizona conro la Srega di Biancaneve. Il proagonia è un vampiro collezionia di piane grae che ha la paione dei wurel al kechup. Il film i apre con il vampiro che è indecio e andare a fari un panino in cucina o a iemare la collezione nella erra ul errazzo: ma in cucina la rega gli a preparando una macedonia di mele e pere, menre nella erra Tex Willer i è nacoo diero un cacu bonai con la piola pianaa. Dal film è ao rao un videogioco che arà commercializzao ra breve. Il progeia a meendo a puno le alernaive e vuole calcolare la probabilià che il vampiro opravviva ai caivi. A ogni adio i deve cegliere e andare in cucina o in errazzo, e il progeia ha aribuio cere probabilià p di opravvivenza che dipendono dallo adio del gioco e dal fao e i decide di rimanere nel luogo dove ci Trailer di Radio 0.

7 i rova o e i decide di cambiare. La probabilià di opravvivenza alla fine III adio del gioco è il prodoo delle probabilià di opravvivenza relaive alle cele fae fino a quel puno. I adio II adio III adio p 00 log p p 00 log p p 00 log p cucina-cucina 90%, %, %,9 cucina-errazzo 0% 9, %, %, errazzo-errazzo %, 0%, % 9, errazzo-cucina 9%, 0%, %, Il progeia vorrebbe calcolare la minima probabilià di opravvivenza, ma i rende preo cono che le combinazioni di cele ono un po roppe (quane?). Voi che avee udiao ricerca operaiva apee però che il problema è un PL e i può impoare come cammino oimo u queo grafo. Deerminaa una oluzione iniziale ammiibile di bae, calcolae i coi ridoi e morae come ridurne il valore aravero un operazione di pivo del impleo u rei. Formulazione. Indicando con n il numero di adi, le combinazioni di cele ono n+ : per n = i hanno quindi divere combinazioni. Operando una cela a ogni adio i deermina un (, )-cammino ul grafo indicao. Ogni arco del cammino corriponde al paaggio da uno adio al ucceivo. Se i aribuice a ogni arco uv la probabilià di opravvivere al paaggio, oo le ipoei del problema i può aribuire a ogni cammino π un peo P(π) pari al prodoo dei pei degli archi che lo compongono: ale peo vale la probabilià di opravvivenza compleiva. Il progeia del videogioco deve quindi deerminare un cammino π di peo minimo. Poiché la funzione logarimo è monoona crecene, minimizzare P(π) è equivalene a minimizzare 00 log P(π) = 00 log uv P p uv = uv P 00 log(p uv ). Si può quindi dire che il problema conie nel rovare un cammino di peo maimo ul grafo peao con pei c uv = 00 log p uv.,, 9,,,, 9,,,,,,9 Soluzione. Poiamo prendere come oluzione ammiibile iniziale il cammino (,,,, ). Per coruire una bae (degenere) compleiamo que inieme in modo da formare un albero ricoprene B. Ad eempio poiamo aggiungere gli archi,,,. Per apere e la oluzione è oima dobbiamo calcolare i poenziali y ai nodi applicando per ogni uv B la formula c uv + y u y v = 0 dopo aver fiao uno dei valori ad arbirio, per eempio y = 0. c + y y = 0 y = 0 c + y y = 0 y =, c + y y = 0 y = 9, c + y y = 0 y =, c + y y = 0 y =, c + y y = 0 y =, c + y y = 0 y =, c + y y = 0 y = 0, c + y y = 0 y =, I coi ridoi fuori bae valgono c uv + y u y v uv B. Quindi c + y y =, c + y y =, c + y y =, c + y y =, c + y y =, c + y y =, c + y y =, Traandoi di un problema di maimizzazione, conviene far enrare in bae una variabile nulla con coo ridoo poiivo (non vi ono variabili aure in quano il problema è privo di capacià). Il cao più

8 favorevole i ha con x, ma il uo inerimeno compora δ = 0 e non i avrebbe migliorameno: queo è il richio che i corre con una bae degenere! Conviene allora provare a inerire in bae x, che ha coo ridoo, e inroduce un ciclo ul quale è poibile indirizzare una circolazione non nulla.,, 9,,,, 9,,,,,,9 Il valore maimo ammiibile per δ, pari a, è deao dai valori di oglia degli archi,. Eeguio l aggiornameno, la oluzione migliora di,δ =, e reiuice il cammino riporao di eguio., 9, 9,