Ottimizzazione Combinatoria Massimo Flusso - Algoritmi ANTONIO SASSANO

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1 Oimizzazione Combinaoria Maimo Fluo - Algorimi ANTONIO SASSANO Univerià di Roma La Sapienza Diparimeno di Informaica e Siemiica Coro di Laurea in Ingegneria Geionale Roma, 13 Giugno

2 Maimo Fluo: definizioni G(N,A) grafo orienao enza archi ani-paralleli c A veore delle capacià x A fluo della coppia (G,c) H(x)=H(N,A(x)) grafo orienao con archi a capacià reidua poiiva A(x) = uv + : c uv - x uv >0 per ogni uv A vu - : x uv >0 per ogni uv A 2

3 Teorema dell arco ani-parallelo TEOREMA 10.1: Sia x =x+ con veore aumenane oenuo dal cammino aumenane P=(,v 1,, v i,v i+1,,v q,). Se uv A(x ) e uv A(x) allora v=v i-1 e u=v i per i 1,,q. Se la capacià reidua nulla di uv diviene poiiva allora l arco ani-parallelo vu appareneva al cammino aumenane P. DIMOSTRAZIONE: uv A(x ) r uv 0 uv A(x) r uv = 0 Se uv INVERSO r uv =x vu =0 e r uv =x vu > 0 ( vu >0) Se uv DIRETTO x uv =c uv e x uv <c uv ( uv <0) In enrambi i cai y vu >0 L arco vu appariene al cammino P v=v i-1 u=v i 3

4 Teorema dell arco ani-parallelo: Eempio (2,4) (4,4) (2,2) (2,2) (2,3) (0,4) (2,4) (G,c) con fluo x (2,3) v 1 (0,0) (0,4) v 3 (1,4) v 2 (0,0) v 4 (H(x),r) con cammino P e fluo y P (2+1,4) (4,4) (2,2) (2,2) (2-1,3) (0+1,4) (2,4) (G,c) con fluo x (2+1,3) (H(x ),r ) v v 3 v 2 1 v 4 P v 1 v 2 V 4 4

5 Cammino Aumenane: dianze d x (u,v) dianza ra u e v = numero di archi di un cammino di lunghezza minima ra u e v in H(x) u v d x (u,v)=2 P=(,v 1, v 2,, v i, v i+1, v q,) Cammino aumenane di lunghezza minima k in H(x) v 1 v i V i+1 d x (,v i )=i d x (v i,)=k-i 5

6 Teorema delle dianze TEOREMA 10.2: Se x =x+ e è un veore aumenane oenuo dal cammino aumenane di lunghezza minima (CAM) P=(,v 1,, v i,v i+1,,v q,) in H(x) allora: d x (,v) d x (,v) e d x (v,) d x (v,) La dianza dalla orgene (pozzo) non diminuice dopo ogni aumeno del fluo u un cammino aumenane di lunghezza minima DIMOSTRAZIONE (per la prima condizione, la econda è immerica): Supponi (per aurdo) che eia v N- ale che: i. d x (,v) < d x (,v) [(,v) viola la condizione] ii. d x (,v) d x (,w) w N-,v che oddifa (i) [v è il nodo a minima dianza da in H(x )] Sia P =(,,w,v) il cammino orienao minimo ra e v in H(x ): d x (,v) > d x (,v) = d x (,w)+1 d x (,w) < d x (,v) d x (,w) d x (,w) [(,w) NON viola la condizione] 6

7 Abbiamo che: Teorema delle dianze ( ) d x (,v) > d x (,v) = d x (,w)+1 d x (,w) d x (,w) d x (,v) > d x (,v) = d x (,w)+1 d x (,w)+1 wv A(x) (alrimeni d x (,v)=d x (,w)+1) wv A(x ) (wv appariene al cammino minimo P ) vw P ( v=v i-1 ; w=v i ) (Teorema 10.1) d x (,v)=d x (,v i-1 )=i-1 > d x (,w)+1= d x (,v i )+1=i+1 CONTRADDIZIONE 7

8 Archi appareneni a cammini minimi Sia E(x) la famiglia di archi che apparengono a qualche cammino minimo nel grafo reiduo H(x): TEOREMA 10.3: Sia x =x+ con veore aumenane oenuo dal CAM P=(,v 1,, v i,v i+1,,v q,). Se d x (,)=d x (,) allora E(x ) E(x) L inieme di archi che apparengono a qualche cammino minimo i riduce dopo ogni aumeno di fluo che non cambia la dianza da a DIMOSTRAZIONE: Sia d x (,)=k e upponi che vw E(x ). Eie un cammino minimo P in H(x ) di lunghezza k=d x (,) e un inero i per cui v=v i-1 ; w=v i v 1 d x (,v) = i-1 d x (w,) = k-i i-1 k-i v w V i-1 V i d x (,v) d x (,v) = i-1 d x (w,) d x (w,) =k-i

9 Abbiamo che: Teorema 10.3 ( ) d x (,v) d x (,v) = i-1 d x (w,) d x (w,) =k-i d x (,v)+d x (w,) k-1 Q v e Q w cammini minimi in H(x) da a v e da w a Se vw A(x), poiché vw A(x ) abbiamo che wv P (Teorema 10.1) Q v v P w + P v +1=k Q w P w Q v + Q w k-1 Q v + Q w + P v + P w 2(k-1) Q v + P v k-1 oppure P w + Q w k-1 P =numero di archi del cammino P Q v P v or P w Q w Walk - con meno di k archi CONTRADDIZIONE e dunque vw A(x)

10 Abbiamo che: Q v Teorema 10.3 ( ) vw A(x) v Q w Q=Q v (v,w) Q w walk in H(x) con k archi w Se Q non è un cammino allora coniene un cammino da a con meno di k archi. Ma queo conraddice d x (,)=k Q=Q v (v,w) Q w cammino in H(x) con k archi vw E(x) E(x ) E(x) Eie un arco uv nel cammino aumenane P in H(x) (uno degli archi con capacià reidua minima r min ) che ha capacià reidua nulla in H(x ) uv E(x ) E(x ) E(x)

11 Algorimo di Edmond-Karp (1972) - Coruici una equenza di flui x (1),x (2),.. relaivi a (G,c) - FASE INIZIALE: Poni x (1) :=0 A (fluo nullo); i:=1 - FASE (i) : Definici il Grafo Reiduo H(x (i) ) di x (i) con Capacià Reidue r (i) >0 (reamene poiive) Trova un Cammino Aumenane di lunghezza minima relaivo alla coppia (H(x (i) ) r (i) ) Se eie Definici il Veore Aumenane (i) : O(m) O(m) (i) uv=y (i) uv - y (i) + vu- Poni x (i+1) := (i) + x (i) Poni i:=i+1 e vai alla Fae i O(m) O(m) - Se non eie un Cammino Aumenane x (i) è il Fluo Maimo COMPLESSITÀ DI UNA FASE QUANTE FASI? = O(m). 11

12 Fai dell algorimo di Edmond-Karp TEOREMA 10.4: Il numero maimo di fai dell algorimo di Edmond-Karp è nm. DIMOSTRAZIONE: Per il Teorema 10.2 la lunghezza del cammino minimo ra e non diminuice dopo ogni ierazione. L algorimo procede per macro-fai. In ciacuna macro-fae vengono eeguie q fai nelle quali il fluo viene aumenao da cammini della ea lunghezza (minima). Le poibili lunghezze ono n (numero dei nodi del grafo) e dunque le macro-fai ono n. Sia P (1),P (2),,P (q) la equenza di cammini aumenani della ea macro-fae che, a parire da un fluo x (1), produce la equenza di flui x (1),x (2),,x (q) Per il Teorema 10.3 il numero di archi di E(x (i) ) diminuice ad ogni fae. Perano, in ogni macro-fae, il numero delle fai q m Segue che il numero maimo delle fai è nm

13 Compleià dell algorimo di Edmond-Karp TEOREMA 10.5: La compleià dell algorimo di Edmond-Karp è O(nm 2 ). Eegue al più nm fai di compleià O(m). Poiamo fare meglio? Idea 2: Definici un fluo ul grafo reiduo più compleo di un emplice cammino Come? In una macro-fae uilizza ui i cammini di lunghezza minima aociai al fluo x (1) (e non il olo cammino aumenane P (1) )