Progetto e ottimizzazione di reti 2

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1 Progetto e ottimizzazione di reti 2 Esercitazione AMPL A.A Esercitazione a cura di Silvia Canale contatto canale@dis.uniroma.it Università di Roma La Sapienza Dipartimento di Informatica e Sistemistica Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale

2 Riassumendo AMPL è un linguaggio di modellazione algebrico che ci permette di modellare problemi di programmazione matematica di diversa natura. Abbiamo visto come dichiarare (file.mod) e definire (file.dat) le entità: - Insiemi (parola chiave set); - Parametri semplici o a più dimensioni (parola chiave param); - Variabili (parola chiave var); - Funzione obiettivo (parola chiave minimize o maximize); - Vincoli (parola chiave subject to). Abbiamo visto come far interpretare i file.mod e.dat all interprete AMPL. Abbiamo visto come far risolvere il problema modellato all interprete AMPL invocando un opportuno solutore di programmazione matematica (CPLEX). Oggi vedremo altre funzionalità del linguaggio AMPL e come scrivere script in AMPL per risolvere in maniera efficiente problemi di programmazione matematica. 2

3 Grafo Esercitazione AMPL A.A

4 4 Sia dato il grafo orientato G(N,A) in figura N = {A, B, C, D, E} A = {AB, AC, BC, BE, CD, DB, DE} Problema Problema Il grafo Il grafo A C B E D Matrice di incidenza M di G(N,A) matrice 5 x 7 a valori {,, -} M =

5 Cammino di costo minimo (CM) Esercitazione AMPL A.A

6 Problema Cammino di costo minimo Siano s = A e t = E due nodi speciali del grafo G(N,A). Sia w il vettore di costi definito sull insieme A degli archi del grafo G(N,A) w = { 2, 3,, 5,, 2, 4 } A = {AB, AC, BC, BE, CD, DB, DE} 2 B 5 A 2 E 3 C D 4 Vogliamo risolvere il problema di cammino di costo minimo (CM) da s a t sul grafo orientato G(N,A) rispetto al vettore w di costi. 6

7 Problema Cammino di costo minimo Consideriamo il vettore c di capacità infinite definito sull insieme A degli archi del grafo G(N,A) c = {,,,,,, } A = {AB, AC, BC, BE, CD, DB, DE} B - A E C Sia dato il vettore d di domande definito sull insieme N dei nodi del grafo G(N,A) d = {-,,,, } N = {A, B, C, D, E} D 7

8 Problema Cammino di costo minimo Il problema di cammino di costo minimo (CM) da s a t sul grafo orientato G(N,A) rispetto al vettore w di costi è un caso particolare di problema (MCF) (CM) min w T x M x = d A x c Modelliamo il problema tramite AMPL Vogliamo determinare un cammino x di (G, c, d) di costo minimo B (x AB, ) (x BE, ) - A (x BC, ) (x DB, ) E (x AC, ) (x CD, ) (x DE, ) C D 8 costo(x) = w T x = 2 x + 3 x + x + 5 x + x + 2 x + 4 x

9 Modellazione con AMPL (CM) min w T x M x = d A x c Modelliamo il problema tramite AMPL creando due file: - file.mod contenente: - la dichiarazione dei parametri: insiemi N, A; vettori w, d, c e M; - la dichiarazione delle variabili: vettore x; - la struttura e la definizione della funzione obiettivo: w T x; - la struttura e la descrizione dei vincoli: M x = d, A x c. - file.dat contenente i valori numerici dei parametri - N = { A, B, C, D, E} - A = {AB, AC, BC, BE, CD, DB, DE} - w = { 2, 3,, 5,, 2, 4 } M = - d = {-,,,, } - c = {,,,,,, } 9

10 File modello CM.mod = MCF.mod File dati CM.dat File modello e dati - definizione dei parametri come per il file MCF.dat tranne i vettori a una dimensione (d, c): definiamo i vettori a una dimensione (w, d, c): param domanda := A - B C D E ; param: capacita costo := AB Infinity 2 AC Infinity 3 BC Infinity BE Infinity 5 CD Infinity DB Infinity 2 DE Infinity 4 ;

11 Interprete AMPL ampl: reset; // cancelliamo i modelli e/o i dati precedentemente caricati // (obbligatorio se abbiamo già caricato un problema) ampl: model MCF.mod; // carichiamo prima il modello del problema Stesso file.mod di (MCF) ampl: data CM.dat; // carichiamo successivamente i dati del problema

12 Soluzione del problema ampl: option solver cplex; // scegliamo il solutore di Programmazione Matematica con cui // risolvere il problema: CPLEX (attualmente vers..2.) ampl: solve; // risolviamo il problema caricato // output ottenuto: CPLEX.2.: optimal solution; objective 7 dual simplex iterations ( in phase I) valore ottimo informazioni sul metodo di soluzione soluzione disponibile 2

13 Soluzione del problema ampl: display x; // chiediamo i valori della soluzione ottenuta (componenti di x) // output ottenuto: x [*] := AB AC BC BE CD DB DE ; soluzione a componenti intere M M I Totalmente unimodulare 3

14 Soluzione del problema (CM) Abbiamo determinato il cammino x* ottimo di (G, c, d) (, ) B (, ) - A (, ) (, ) E (, ) (, ) C D (, ) x* soddisfa sia i vincoli di capacità che i vincoli di domanda: M x* = d A x* c. costo(x*) = 2 x + 5 x = 7 valore ottimo 4

15 Flusso massimo (MF) Esercitazione AMPL A.A

16 Problema Massimo flusso Siano s = A e t = E due nodi speciali del grafo G(N,A). Sia dato il vettore c di capacità definito sull insieme A degli archi del grafo G(N,A) c = { 6, 4, 2, 7, 8, 4, 5 } A = {AB, AC, BC, BE, CD, DB, DE} 6 B 7 s 2 4 t 4 C 8 D 5 Vogliamo risolvere il problema di massimo flusso (MF) da s a t sul grafo orientato G(N,A) rispetto al vettore c di capacità. 6

17 7 Aggiungiamo l arco ts (e quindi una colonna alla matrice M) di capacità infinita. c = { 6, 4, 2, 7, 8, 4, 5, } A ={AB, AC, BC, BE, CD, DB, DE, EA} A C B E D Problema Problema Massimo Massimo flusso flusso M=

18 Problema Massimo flusso Sia w il vettore di costi definito sull insieme A degli archi del grafo G(N,A) w = {,,,,,,, } A = {AB, AC, BC, BE, CD, DB, DE, EA} B 6 7 A 2 4 E 4 8 C D Sia dato il vettore d di domande definito sull insieme N dei nodi del grafo G(N,A) d = {,,,, } N = {A, B, C, D, E} 5 8

19 Problema Massimo flusso Il problema di massimo flusso (MF) da s a t sul grafo orientato G(N,A) rispetto al vettore c di capacità è un caso particolare di problema (MCF) (MF) max w T x M x = d A x c Modelliamo il problema tramite AMPL Vogliamo determinare un flusso x di (G, c, d) di valore massimo B (x AB,6) (x BE, 7) A (x BC, 2) (x AC, 4) (x DB, 4) (x DE, 5) E (x CD, 8) C D (x EA, ) 9

20 Modellazione con AMPL (MF) max w T x M x = d A x c Modelliamo il problema tramite AMPL creando due file: - file.mod contenente: - la dichiarazione dei parametri: insiemi N, A; vettori w, d, c e M; - la dichiarazione delle variabili: vettore x; - la struttura e la definizione della funzione obiettivo: w T x; - la struttura e la descrizione dei vincoli: M x = d, A x c. - file.dat contenente i valori numerici dei parametri - N = { A, B, C, D, E} - A = {AB, AC, BC, BE, CD, DB, DE,EA} - w = {,,,,,,, } - d = {,,,, } - c = {6, 4, 2, 7, 8, 4, 5, } M= 2

21 File modello I possibilità File modello MF.mod Trasformiamo il problema di minimizzazione in uno di massimizzazione maximize Costo_Totale: sum {j in ARCHI} costo[j] * x[j]; Scriviamo esplicitamente i vincoli di capacità subject to Capacita {j in ARCHI}: x[j] <= capacita[j]; eliminandoli dalla dichiarazione delle variabili x var x {j in ARCHI} >= ; 2

22 File dati MF.dat File dati I possibilità - definizione dei parametri come per il file MCF.dat tranne: l insieme degli archi A e i vettori a una dimensione (w, d, c): set ARCHI := AB AC BC BE CD DB DE EA; param domanda := A B C D E ; param: capacita costo := AB 6 AC 4 BC 2 BE 7 CD 8 DB 4 DE 5 EA Infinity ; 22

23 File dati MF.dat File dati I possibilità - definizione dei parametri: definiamo i vettori a due dimensioni (M): param M : AB AC BC BE CD DB DE EA := A - - B - - C - D - - E -; 23

24 Interprete AMPL I possibilità ampl: reset; // cancelliamo i modelli e/o i dati precedentemente caricati // (obbligatorio se abbiamo già caricato un problema) ampl: model MF.mod; // carichiamo prima il modello del problema ampl: data MF.dat; // carichiamo successivamente i dati del problema 24

25 Soluzione del problema I possibilità ampl: option solver cplex; // scegliamo il solutore di Programmazione Matematica con cui // risolvere il problema: CPLEX (attualmente vers..2.) ampl: solve; // risolviamo il problema caricato // output ottenuto: CPLEX.2.: optimal solution; objective dual simplex iterations ( in phase I) valore ottimo informazioni sul metodo di soluzione soluzione disponibile 25

26 Soluzione del problema I possibilità ampl: display x; // chiediamo i valori della soluzione ottenuta (componenti di x) // output ottenuto: x [*] := AB 6 AC 4 BC soluzione a BE 7 componenti intere CD 4 DB M DE 3 M EA ; I Totalmente unimodulare 26

27 Soluzione del problema (MF) Abbiamo determinato il flusso x* ottimo di (G, c, d) B (6,6) (7, 7) A (4, 4) (, 2) (, 4) (3, 5) E (4, 8) C D (, ) x* soddisfa sia i vincoli di capacità che i vincoli di domanda: M x* = d A x* c. costo(x*) = x = valore ottimo 27

28 (MF) z R N ) y R A ) I Duale del Massimo Flusso max Mx A x x c bx A x ts ; ts x = ts N B A C D E DUALE del Massimo Flusso (DMF) x R A ) x ts ) M z y min t T z z + s A c I T A y y A (DMF) z z + z y u t z v s A min y uv c T y uv 28 A

29 Soluzione duale I possibilità ampl: display Incidenza; // chiediamo i valori della soluzione duale ottenuta (componenti di z di (DMF)) // output ottenuto: Incidenza [*] := A B C D E ; 29

30 Soluzione duale I possibilità ampl: display Capacita; // chiediamo i valori della soluzione duale ottenuta (componenti di y di (DMF)) // output ottenuto: Capacita [*] := AB AC BC BE CD DB DE EA ; TEOREMA F5: Il duale del massimo flusso ammette una soluzione ottima z + y N A ottima { }, 3

31 Soluzione duale del problema (MF) Abbiamo determinato - il flusso x* ottimo di (G, c, d) - il taglio s-t δ + (X) di (G,c) di capacità minima B (6,6) (7, 7) A (4, 4) (, 2) (, 4) (3, 5) E (4, 8) C D (, ) valore massimo flusso TAGLIO s-t di (G,c) - Taglio che separa s da t - z vettore di incidenza di X - y vettore di incidenza di δ + (X) capacità c T y = = X = {A} δ + (X) = {AB,AC} 3

32 File modello e dati II possibilità File modello MF.mod = MCF.mod File dati MF.min.dat - definizione dei parametri come per il file MCF.dat tranne: l insieme degli archi A e i vettori a una dimensione (w, d, c): set ARCHI := AB AC BC BE CD DB DE EA; param domanda := A B C D E ; param: capacita costo := AB 6 AC 4 BC 2 BE 7 CD 8 DB 4 DE 5 EA Infinity - ; max w T x = -min (-w) T x 32

33 File dati II possibilità File dati MF.min.dat - definizione dei parametri: definiamo i vettori a due dimensioni (M): param M : AB AC BC BE CD DB DE EA := A - - B - - C - D - - E -; 33

34 Interprete AMPL II possibilità ampl: reset; // cancelliamo i modelli e/o i dati precedentemente caricati // (obbligatorio se abbiamo già caricato un problema) ampl: model MCF.mod; // carichiamo prima il modello del problema Stesso file.mod di (MCF) ampl: data MF.min.dat; // carichiamo successivamente i dati del problema 34

35 Soluzione del problema II possibilità ampl: option solver cplex; // scegliamo il solutore di Programmazione Matematica con cui // risolvere il problema: CPLEX (attualmente vers..2.) ampl: solve; // risolviamo il problema caricato // output ottenuto: CPLEX.2.: optimal solution; objective - dual simplex iterations ( in phase I) valore ottimo informazioni sul metodo di soluzione soluzione disponibile 35

36 Soluzione del problema II possibilità ampl: display x; // chiediamo i valori della soluzione ottenuta (componenti di x) // output ottenuto: x [*] := AB 6 AC 4 BC soluzione a BE 7 componenti intere CD 4 DB M DE 3 M EA ; I Totalmente unimodulare 36