Progetto di rete con unica sorgente e costi fissi

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1 Progetto di rete con unica sorgente e costi fissi Si consideri la topologia di rete data dal grafo G = (V,E) in figura. Ogni nodo i V = {1...n} rappresenta un router connesso ad una rete fissa ed ogni arco (i,j) E rappresenta un collegamento. Accanto ad ogni arco (i,j) A è riportata la banda (capacità dell arco) u ij > 0 in Mbps seguita dal costo fisso c ij > 0 relativo all uso di tale arco. s a 4/1 b 5 6/3 3/3 6/2 3/1 c 3 3/1 4/2 2/1 d 1 Vi sono un nodo sorgente s ed un sottoinsieme T V \ {s} di destinazioni. Accanto ad ogni destinazione è specificata la richiesta b i. Per i nodi i T, con i s, si suppone b i 0. Per il nodo sorgente s, b s rappresenta la disponibilità totale, che si suppone sia pari alla somma delle richieste di tutti i nodi i T, ovvero b s = i T b i. Si desidera individuare il flusso ammissibile di costo minimo in grado di soddisfare la richiesta di tutte le destinazioni i T. 1) Formulare il problema in termini di programmazione lineare misto intera. 2) Risolvere il rilassamento continuo. Le variabili intere rilassate assumono valori interi o vicini ad esserlo? 3) Proporre una formulazione alternativa più stringente del problema. [Suggerimento: considerare separatamente il flusso diretto verso ogni nodo destinazione.] Come cambia la soluzione del rilassamento continuo? La soluzione ottima del rilassamento continuo della prima formulazione 2) è ancora ammissibile? Documento preparato da L. Taccari e modificato da V. Danese 1

2 Schema del modello in AMPL (file rete.mod) # SETS set V set E within {V,V} # PARAMETERS param s symbolic in V param u{(i,j) in E} >= 0 param c{(i,j) in E} >= 0 param b{i in V} Documento preparato da L. Taccari e modificato da V. Danese 2

3 Dati (file rete.dat), valore ottimo: 6 data set V := a b c d param s := a param: E: u := a b 4 a c 6 a d 6 b c 3 c b 3 c d 4 d b 3 d c 2 param: c := a b 1 a c 2 a d 3 b c 3 c b 1 c d 2 d b 1 d c 1 param: b := b 5 c 3 d 1 Documento preparato da L. Taccari e modificato da V. Danese 3

4 Soluzione Formulazione Insiemi V: nodi E V V: archi T V: nodi destinazione Parametri s V \T: nodo origine u ij : capacità dell arco (i,j), con (i,j) E c ij : costo dell arco (i,j), con (i,j) E > 0 i T b i : richiesta di flusso nel nodo i, con b i = < 0 i = s 0 altrimenti Variabili decisionali x ij : quantità di flusso inviata sull arco (i,j), con (i,j) E y ij : variabile binaria che indica se l arco (i,j) E è usato Modello Per ogni nodo i V, siano δ + (i) = {j V : (i,j) E}, δ (i) = {j V : (j,i) E}. min c ij y ij (valore) (i,j) E s.t. x ji x ij = b i i V (bilancio) j δ (i) j δ + (i) x ij u ij y ij (i,j) E (capacità) x ij 0 (i,j) E (var. non negative) y ij {0,1} (i,j) E (var. binarie) Documento preparato da L. Taccari e modificato da V. Danese 4

5 Modello in AMPL (file rete.mod) # INSIEMI set V set E within {V,V} # PARAMETRI param s symbolic in V param u{(i,j) in E}, >=0 param c{(i,j) in E}, >= 0 param b{i in V} default if i=s then (- sum{j in V: j<>s} b[j]) # VARIABILI var x{(i,j) in E}, >=0 var y{(i,j) in E}, binary # FUNZIONE OBIETTIVO minimize costi_fissi: sum{(i,j) in E} c[i,j]*y[i,j] # VINCOLI subject to bilancio{i in V}: sum{j in V : (j,i) in E} x[j,i] - sum{j in V : (i,j) in E} x[i,j] = b[i] subject to capacita{(i,j) in E}: x[i,j] <= u[i,j]*y[i,j] Documento preparato da L. Taccari e modificato da V. Danese 5

6 Esecuzione in AMPL (file rete.run) reset model Lab1_ _AMPL\rete.mod data Lab1_ _AMPL\rete.dat option solver cplex solve display x,y option relax_integrality 1 solve display{(i,j) in E} (x[i,j],y[i,j]) Soluzione CPLEX : optimal integer solution objective 6 4 MIP simplex iterations 0 branch-and-bound nodes 2 cover cuts 3 flow-cover cuts 1 Gomory cut 3 implied-bound cuts : x y := a b 3 1 a c 6 1 a d 0 0 b c 0 0 c b 2 1 c d 1 1 d b 0 0 d c 0 0 CPLEX : optimal solution objective dual simplex iterations (0 in phase I) : x[i,j] y[i,j] := a b 4 1 a c a d b c 0 0 c b c d 0 0 d b 0 0 d c 0 0 Documento preparato da L. Taccari e modificato da V. Danese 6

7 Formulazione multi-commodity Insiemi V: nodi E V V: archi T V: nodi destinazione Parametri s V \T: nodo origine u ij : capacità dell arco (i,j), con (i,j) E c ij : costo dell arco (i,j), con (i,j) E > 0 i T b i : richiesta di flusso nel nodo i, con b i = < 0 i = s 0 altrimenti b i i = k d k i : richiesta di flusso diretto verso k nel nodo i, con dk i = b k i = s 0 altrimenti Variabili decisionali zij k : quantità di flusso inviata sull arco (i,j) destinata al nodo destinazione k T y ij : variabile binaria che indica se l arco (i,j) E è usato Modello min s.t. c ij y ij (valore) (i,j) E zji k zij k = d k i i V (bilancio) j δ (i) j δ + (i) zij k min{u ij,b k }y ij (i,j) E,k T (capacità ristretta a k) zij k u ij (i,j) E (capacità) k T zij k 0 (i,j) E,k T (var. non negative) y ij {0,1} (i,j) E (var. binarie) Documento preparato da L. Taccari e modificato da V. Danese 7

8 Poichè per ogni arco (i,j) E la quantità totale di flusso che lo attraversa è pari a k T zk ij, richiamandolevariabilix ij dellaformulazioneprecedentevalel uguaglianzax ij = k T zk ij i,j E. La formulazione multi-commodity si ottiene quindi estendendo lo spazio delle variabili decisionali della formulazione precedente. Documento preparato da L. Taccari e modificato da V. Danese 8

9 Modello di AMPL (file rete-2.mod) # INSIEMI set V set E within {V,V} set T within V # PARAMETRI param s symbolic in V param u{(i,j) in E}, >=0 param c{(i,j) in E}, >= 0 param b{i in V} default if i=s then (- sum{j in V: j<>s} b[j]) param d{i in V, k in T} default if i<>s and i=k then b[i] else if i=s then -b[k] else 0 # VARIABILI var y{(i,j) in E}, binary var z{(i,j) in E, k in T}, >=0, <=u[i,j] # FUNZIONE OBIETTIVO minimize costi_fissi: sum{(i,j) in E} c[i,j]*y[i,j] # VINCOLI subject to bilancio{i in V, k in T}: sum{(j,i) in E} z[j,i,k] - sum{(i,j) in E} z[i,j,k] = d[i,k] subject to capacita{(i,j) in E, k in T}: z[i,j,k] <= min(u[i,j],b[k])*y[i,j] subject to flusso_totale{(i,j) in E}: sum{k in T} z[i,j,k] <= u[i,j] Esecuzione in AMPL (file rete-2.run) reset model Lab1_ _AMPL\rete-2.mod data Lab1_ _AMPL\rete-2.dat option solver cplex solve Documento preparato da L. Taccari e modificato da V. Danese 9

10 display{k in T}:{(i,j) in E} z[i,j,k] display{(i,j) in E} (sum{k in T} z[i,j,k],y[i,j]) option relax_integrality 1 solve display{k in T}:{(i,j) in E} z[i,j,k] display{(i,j) in E} (sum{k in T} z[i,j,k],y[i,j]) Documento preparato da L. Taccari e modificato da V. Danese 10

11 Dati (file rete-2.dat), valore ottimo: 6 data set V := a b c d set T := b c d param s := a param: E: u := a b 4 a c 6 a d 6 b c 3 c b 3 c d 4 d b 3 d c 2 param: c := a b 1 a c 2 a d 3 b c 3 c b 1 c d 2 d b 1 d c 1 param: b := b 5 c 3 d 1 Soluzione CPLEX : optimal integer solution objective 6 11 MIP simplex iterations 0 branch-and-bound nodes z[i,j, b ] := a b 3 a c 2 a d 0 b c 0 Documento preparato da L. Taccari e modificato da V. Danese 11

12 c b 2 c d 0 d b 0 d c 0 z[i,j, c ] := a b 0 a c 3 a d 0 b c 0 c b 0 c d 0 d b 0 d c 0 z[i,j, d ] := a b 0 a c 1 a d 0 b c 0 c b 0 c d 1 d b 0 d c 0 : sum{k in T} z[i,j,k] y[i,j] := a b 3 1 a c 6 1 a d 0 0 b c 0 0 c b 2 1 c d 1 1 d b 0 0 d c 0 0 CPLEX : optimal solution objective dual simplex iterations (0 in phase I) z[i,j, b ] := a b 4 a c 1 a d 0 b c 0 c b 1 c d 0 d b 0 d c 0 z[i,j, c ] := a b 0 Documento preparato da L. Taccari e modificato da V. Danese 12

13 a c 3 a d 0 b c 0 c b 0 c d 0 d b 0 d c 0 z[i,j, d ] := a b 0 a c 1 a d 0 b c 0 c b 0 c d 1 d b 0 d c 0 : sum{k in T} z[i,j,k] y[i,j] := a b 4 1 a c 5 1 a d 0 0 b c 0 0 c b c d 1 1 d b 0 0 d c 0 0 La formulazione multi-commodity è più stringente di quella iniziale, come si può notare dal valore ottimo del rilassamento continuo, significativamente più vicino al valore ottimo del problema originale. La soluzione ottenuta dal rilassamento continuo del punto 2) non è ammissibile per il nuovo modello, in quanto il valore della funzione obiettivo è strettamente inferiore rispetto a quello della formulazione multi-commodity. Considerando la formulazione multi-commodity, si può osservare che i vincoli z k ij min{u ij,b k }y ij (i,j) E,k T forzano la variabile y ij ad assumere valore 1 in corrispondenza di flussi parziali zij k pari all intera richiesta della destinazione k b k. Ad esempio, il flusso diretto verso d sull arco (a,c) è pari ad 1, ovvero zac d = b d, per cui il vincolo di capacità implica y ac = 1. Nella soluzione al punto 2), viceversa, y ac = 2/3, non ammissibile per la nuova formulazione. Documento preparato da L. Taccari e modificato da V. Danese 13