2. Grafi e proprietà topologiche

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1 . Grafi e proprieà opologiche Grafo. Marice di incidenza complea. Soografo. Ordine di un nodo. Percorso, maglia, veore opologico di maglia. Taglio, veore opologico di aglio. Orogonalià ra agli e maglie. Grafo connesso. Albero, coalbero. Grafo di un n-polo. Sisema risolvene di un circuio. Equazioni opologiche, relazione di definizione (o cosiuive) dei componeni. Grafo di un circuio. Tagli fondamenali e insieme massimale di LKC indipendeni. Marice T dei agli fondamenali, veore delle correni di ramo, formulazione mariciale delle LKC indipendeni. Maglie fondamenali e insieme massimale di LKT indipendeni. Marice L delle maglie fondamenali, veore delle ensioni di ramo, formulazione mariciale delle LKT indipendeni. Relazione ra le marici T e L. Tensioni di albero, correni di coalbero. Relazione ra ensioni di ramo e ensioni di albero. Relazione ra correni di ramo e correni di coalbero. Teorema di Tellegen. Grafi Si definisce grafo orienao G un insieme cosiuio da un numero N di elemeni dei nodi e da un numero R di elemeni di diversa ipologia dei rami (oppure lai, archi o segmeni). Ognuno degli R rami ermina in un nodo ed inolre per ognuno di essi è assegnaa un orienazione. r r n n r r r5 N = 5 R = 8 In generale un grafo può conenere nodi isolai, ossia nodi (di ordine ) a cui non afferisce nessun ramo, e/o nodi (di ordine ) a cui afferisce un solo ramo n r 6 n N = 5, R = 5 N = 5, R = 6 n 5 r 7 r 8 Un grafo può essere assegnao in forma grafica. Esso esprime le proprieà invariani per deformazione ed è perano indipendene dalla posizione dei nodi o dalla forma dei lai. Può essere ridisegnao ad arbirio purché siano rispeae le relazioni di incidenza ramo-nodo. n r n n r r r n r r 5 6 r 8 r 7 n 5 A. Morandi, Universià di Bologna Eleroecnica T-A, A.A. 6/7

2 Marice di incidenza complea Olre che in forma grafica un grafo orienao può essere assegnao araverso la marice di incidenza complea A c, avene ane righe quani sono i nodi (N) e ane colonne quani sono i rami (R), i cui elemeni assumono valore -, o + c A M( ) NR : c a h, k + se il ramo k esce dal nodo h se il ramo k non incide nel nodo h se il ramo k enra nel nodo h r r n n r r r5 n n r 6 c A n n n n n 5 N (5) righe n 5 r 7 r 8 r r r r r 5 r 6 r 7 r 8 N = 5, R = 8 R (8) colonne Si definisce soografo sg la figura cosiuia da un sooinsieme di rami del grafo e da ui e soli i nodi su cui ali lai incidono. Si definisce ordine del nodo il numero di rami che incidono su di esso, indipendenemene dall orienazione. L ordine di un nodo coincide col numero di elemeni non nulli preseni sulla riga della marice di incidenza corrispondene. () () () () () () () () () () Si definisce percorso un soografo che comprende solo nodi di ordine salvo due nodi di ordine che ne cosiuiscono gli esremi. Dai i due esremi in generale non è unico il percorso che li congiunge. A. Morandi, Universià di Bologna Eleroecnica T-A, A.A. 6/7

3 Un grafo si dice connesso se sceli ad arbirio due nodi h e k esise sempre un percorso avene h e k come esremi. grafi connessi grafi non connessi Si definisce maglia (o ciclo) un soografo che comprende solo nodi di ordine. In praica una maglia è un percorso chiuso, in cui i due esremi coincidono. Per ogni maglia è definibile un verso di percorrenza che può essere orario oppure aniorario. 5 Una generica (h-esima) maglia orienaa all inerno di un grafo orienao può essere idenificaa araverso il proprio veore opologico l h (veore riga), avene ani elemeni di valore, o + quani sono i rami del grafo (R) maglia l h M( ) R : l l hk maglia l + se il ramo k appariene alla maglia h ed è concorde con essa se il ramo k non appariene alla maglia h se il ramo k appariene alla maglia h ed è discorde con essa maglia l 6 A. Morandi, Universià di Bologna Eleroecnica T-A, A.A. 6/7

4 Si suddividano i nodi del grafo in un sooinsieme e un sooinsieme disgiuni (nessuno dei due sia vuoo). Si definisce aglio (o più precisamene insieme di aglio o cociclo) l insieme dei lai i cui esremi apparengono uno al sooinsieme e uno al sooinsieme In praica un aglio coincide con l insieme dei lai inersecao una sola vola (o un numero dispari di vole) da una superficie chiusa, dea superficie di aglio, che suddivide i nodi in due sooinsiemi ( e ), il primo conenuo all inerno e il secondo all eserno aglio nodale Per ogni aglio è definibile un orienazione che può essere da verso o viceversa Quando una delle due parizioni o coniene un solo nodo il aglio si dice aglio nodale aglio nodale aglio nodale 7 Un generico (h-esimo) aglio orienao all inerno di un grafo orienao può essere idenificao araverso il proprio veore opologico h (veore riga), avene ani elemeni di valore -, o + quani sono i rami del grafo (R) aglio h M( ) R : hk aglio + se il ramo k appariene al aglio h ed è concorde con esso se il ramo k non appariene al aglio h se il ramo k appariene al aglio h ed è discorde con esso 5 6 aglio A. Morandi, Universià di Bologna Eleroecnica T-A, A.A. 6/7

5 Orogonalià ra agli e maglie Dai un aglio orienao h qualsiasi e, all inerno dello sesso grafo, una maglia orienaa k qualsiasi, i due veori opologici h e l k associai al aglio e alla maglia rispeivamene, risulano orogonali. h l k l k h, 5 h k l = ( + + ) = ( + + ) Ciò discende dal fao che un percorso chiuso (maglia) inerseca necessariamene una superfice chiusa (aglio) un numero pari di vole, meà delle quali in una direzione e meà nell alra l = ( + + ) = ( ) l = ( ) = ( ) 9 Albero e coalbero Si definisce albero A un soografo connesso che include ui i nodi e non coniene maglie. Il soografo complemenare dell albero si definisce coalbero C. Un albero è per cosruzione cosiuio da N- rami. Il coalbero è conseguenemene cosiuio R-(N-) rami. Albero: (N-) rami Coalbero: R-(N-) rami Grafo: R rami (albero + coalbero) Si noi che se il grafo non è connesso non è possibile individuare un albero. Albero È uavia possibile individuare un albero per ciascuno dei soografi connessi in cui il grafo è scomponibile Albero Albero? A. Morandi, Universià di Bologna Eleroecnica T-A, A.A. 6/7

6 Grafo di un n-polo Si definisce grafo di un n-polo (n) il grafo oenuo congiungendo ui gli n nodi senza formare un percorso chiuso. Ad ognuno dei rami inrodoi è assegnaa, ad arbirio, una orienazione che indica il verso scelo per la correne. bipolo i n-polo (n>) grafi a cespuglio nodo di riferimeno i i i i i i nodo di riferimeno Tale grafo possiede per cosruzione n- rami che consenono di individuare univocamene le n- correni e le n- ensioni rappresenaive dell n-polo. Il verso di riferimeno della correne coincide con l orienazione assegnaa al ramo. Essendo enrambe arbirarie le direzioni di riferimeno delle ensioni sono in generale svincolae da quelle delle correni e debbono essere indicae espliciamene per ogni ramo v i i v i v i i v i i i i v Scela possibile: versi di ensioni e correni non associai v Scela ipica: versi di ensioni e correni associai secondo la convenzione dell uilizzaore Se i versi delle ensioni sono associai con quelli delle correni secondo la convenzione dell uilizzaore (oppure secondo quella dell uilizzaore) non è necessario indicarli espliciamene i f i f if Noa: in alernaiva al grafo a cespuglio, in cui ui i rami emergono da un unico nodo deo di riferimeno, è possibile inrodurre il grafo a caena rappresenao in figura. Le correni così inrodoe non coincidono con quelle nei erminali effeivi dell n-polo ma sono da quese univocamene deerminabili e viceversa. Anche le relazioni di definizione del componene, possono essere quindi formulae in ermini di correni fiizie. Inroducendo un grafo a caena si inroduce quindi un insieme di correni di lavoro fiizie dalle quali è poi possibili dedurre quelle vere. Per componeni con n> sono possibili grafi ibridi cespuglio/caena i =i f i =i f i = i f i f A. Morandi, Universià di Bologna Eleroecnica T-A, A.A. 6/7

7 Grafo di un m-pore Si definisce grafo di un m-pore il grafo oenuo congiungendo ra loro i due nodi di ue le pore. m-pore proprio Il grafo è non connesso Pora Pora i i m-pore oenuo da un (m+)-polo Pora Pora i i Il grafo è connesso ( coincide con quello dell (m+)-polo ) Soluzione di un circuio Per risolvere un circuio occorre. Individuare le correni e le ensioni che vi si sabiliscono. Individuare un sisema risolvene, ossia un insieme di ane equazioni quane sono le ensioni e le correni da deerminare Il comporameno di un circuio dipende sia dalla ipologia dei componeni preseni al suo inerno che dalla modalià in cui quesi sono ra loro inerconnessi: Dae le connessioni, le correni e le ensioni sono vincolae algebricamene dalle LKC e dalle LKT rispeivamene. Tali vincoli algebrici prendono in nome di equazioni opologiche. La naura dei componeni sarà specificaa araverso opporune equazioni maemaiche che prendono il nome di relazione cosiuive (o di definizione ) dei componeni sisema risolvene Eq. opologiche Rel. cos. comp. B B B B B B Due circuii fai dai medesimi componeni connessi in modo diverso. Le relazioni cosiuive saranno le medesime, le equazioni opologiche saranno diverse. Il comporameno dei circuii sarà diverso. A. Morandi, Universià di Bologna Eleroecnica T-A, A.A. 6/7

8 Si definisce grafo di un circuio la figura oenua sosiuendo ad ogni componene il proprio grafo. Il grafo del circuio consene di. Individuare le correni e le ensioni che si sabiliscono nel circuio. Individuare un insieme massimale di equazioni opologiche indipendeni Circuio a 6 nodi composo da 8 componeni (7 bipoli e un ripolo) N = 6 Grafo a 6 nodi e 9 rami N = 6 R = 9 Il numero di nodi del grafo coincide per cosruzione con il numero di nodi del circuio. Si noi che se il circuio coniene uno o più m-pore propri il suo grafo può risulare (ma non è deo che lo sia) non connesso. Per il momeno si considerano esclusivamene circuii il cui grafo è connesso 5 Le correni ageni nei rami del grafo sono rappresenaive di ui i componeni preseni nel circuio. Per individuare le correni si assegna un nome ed un verso ad ogni ramo del grafo i i i i 6 i 5 i i 8 i 7 Le ensioni ageni ai capi dei rami del grafo sono rappresenaive di ui i componeni preseni nel circuio. Per specificare le ensioni è necessario definire un verso di riferimeno per ciascuna di esse i i v 5 i i 5 i 6 v 6 i 7 v v v i 8 v i 8 7 v v v 9 v v Se si assume che i versi delle ensioni siano associae con v9 Scela, quelli delle correni secondo la convenzione dell uilizzaore si può eviare di riporarle espliciamene sul disegno6 possibile i v i i i 5 i 6 v 6 v 5 v 8 i 7 i v i 8 v 7 Scela, preferibile A. Morandi, Universià di Bologna Eleroecnica T-A, A.A. 6/7

9 Tagli fondamenali Al fine di individuare un insieme massimale di LKC indipendeni si suddivide il grafo in albero e coalbero i i aglio fondamenale relaivo ad i i i 5 i 6 i i 8 i 7 L eliminazione di uno qualunque degli N- rami dell albero definisce una parizione dei nodi in due insiemi disini Si definisce aglio fondamenale il aglio associao alla parizione dei nodi individuaa da un ramo dell albero e orienao concordemene con esso Il aglio associao al generico ramo h dell albero può essere individuao racciando una superficie, dea superfice di aglio, che inerseca il lao h e si richiude non inersecando uleriori rami dell albero. Tale superficie è orienaa concordemene con in ramo h All inerno di un grafo a N sono definibili N- agli fondamenali (uno per ogni ramo dell albero) a prescindere dal numero complessivo dei rami del grafo 7 Insieme massimale di LKC indipendeni Le N- LKC associae alle superfici di aglio fondamenali cosiuiscono un insieme massimale di equazioni indipendeni i i i 6 i i 5 i i 8 i 7 N = 5 i : i i 6 i 7 = i : i +i i 6 i 7 = i : i +i i 6 i 7 = i 5 : i 5 i 6 = : +i 8 i 7 = La LKC relaiva al aglio h-esimo coniene in esclusiva la correne i h, perano è per cosruzione indipendene dalle alre 8 A. Morandi, Universià di Bologna Eleroecnica T-A, A.A. 6/7

10 Qualunque alra LKC non è indipendene da quelle associae alle superfici di aglio fondamenali i i i 6 S i 5 i 5 i 8 S 9 S 6 i 7 S : [,5,6] [,,] S 9 : [6] [,,,,5] S S 9 : [,5] [,,,6] S S : i +i i 6 i 7 = S 9 : +i 8 i 7 = "S S 9 " : i +i i 6 i 8 = S La parizione dei nodi individuaa da una superfice chiusa S che inerseca più di un ramo di albero è oenibile come combinazione delle parizioni individuae dai rami di albero inersecai. Ne consegue che la LKC relaiva alla superfice S è oenibile come somma/differenza delle LKC relaive ai rami di albero inersecai. Le LKC relaive ai agli fondamenali cosiuiscono un insieme massimale di N equazioni indipendeni 9 Formulazione mariciale delle LKC indipendeni i +i i 6 i 7 = i + i +i +i + i 5 i 6 i 7 +i 8 + = Il veore dei coefficieni delle correni nella LKC relaiva ad un aglio coincide, per cosruzione, con il veore opologico del aglio. La LKC relaiva al generico aglio h è quindi esprimibile in forma compaa come h i = h i veore opologico del aglio h veore delle correni di ramo ( i = [i,, ] ) A. Morandi, Universià di Bologna Eleroecnica T-A, A.A. 6/7

11 In generale dao un circuio il cui grafo ha N nodi ed R rami l insieme delle N- LKC indipendeni si può esprimere in forma mariciale come Ti dove i è il veore delle R correni di ramo ( i = [i,, i R ] ) e T è la marice dei agli fondamenali così definia + se il ramo k appariene al aglio h ed è concorde con esso TM( ) N ) ( R La h-esima riga della marice T è daa dal veore opologico del aglio h : hk = T se il ramo k non appariene al aglio h se il ramo k appariene al aglio h ed è discorde con esso :i :i :i :i 5 : N (5) righe i i i i i 5 i 6 i 7 i 8 R (9) colonne Maglie fondamenali e insieme massimale di LKT indipendeni i i i 6 i i 5 i i 8 i 7 Ciascuno degli R(N ) rami del coalbero individua, assieme ai rami dell albero una maglia dea maglia fondamenale. La maglia fondamenale è orienaa concordemene con il ramo di coalbero che la individua R (N ) = i : v v v = i 6 : v 6 v 5 +v +v +v = i 7 : v 7 +v 9 +v +v +v = i 8 : v 8 v 9 = Le R(N ) LKT associae alle maglie fondamenali cosiuiscono un insieme massimale di equazioni indipendeni La LKC relaiva alla maglia h-esima coniene in esclusiva la ensione v h, perano è per cosruzione indipendene dalle alre A. Morandi, Universià di Bologna Eleroecnica T-A, A.A. 6/7

12 Qualunque alra LKT non è indipendene da quelle associae alle maglie fondamenali i i i i i 8 i 6 i : v v v = i 5 i 7 i 6 : v 6 v 5 +v +v +v = "i + i 6 " : v +v +v 6 v 5 = m m Una qualunque maglia che coinvolga più di un ramo di coalbero è oenibile come combinazione delle maglie fondamenali individuae dai rami di coalbero coinvoli. Ne consegue che la LKT relaiva a ale maglia è oenibile come somma/differenza delle LKT relaive alle maglie fondamenali individuae dai rami di coalbero coinvoli Le LKT relaive alle maglie fondamenali cosiuiscono un insieme massimale di R(N ) equazioni indipendeni Formulazione mariciale delle LKT indipendeni v 6 v 5 +v +v +v = +v +v +v +v v 5 +v 6 +v 7 +v 8 +v 9 = Il veore dei coefficieni delle ensioni nella LKT relaiva ad una maglia coincide, per cosruzione, con il veore opologico l della maglia. La LKT relaiva alla generica maglia h è quindi esprimibile in forma compaa come l h v = l h v veore opologico della maglia h veore delle ensioni di ramo ( v = [v,, v 9 ] ) A. Morandi, Universià di Bologna Eleroecnica T-A, A.A. 6/7

13 In generale dao un circuio il cui grafo ha N nodi ed R rami l insieme delle R(N ) LKT indipendeni si può esprimere in forma mariciale come L M( ) R N ) ( R : L v dove v è il veore delle R ensioni di ramo ( v = [v,, v R ] ) e L è la marice delle maglie fondamenali così definia + se il ramo k appariene alla maglia h ed è concorde con essa La h-esima riga della marice L è daa dal veore opologico della maglia h l hk = se il ramo k non appariene alla maglia h se il ramo k appariene alla maglia h ed è discorde con essa L :v :v 6 :v 7 :v 8 R(N ) () righe v v v v v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 R (9) colonne 5 Relazione ra le marici T e L Dai un aglio orienao h qualsiasi e, all inerno dello sesso grafo, una maglia orienaa k qualsiasi, i due veori opologici h e l k associai al aglio e alla maglia rispeivamene, risulano orogonali. h l k l k h, h k Ne consegue che le righe della marice T dei agli fondamenali e della marice L delle maglie fondamenali sono ra di loro orogonali, ossia sussisono le relazioni L T TL ( R ( N )) ( N ) ( N ) ( R ( N ) ) Si noi che le precedeni relazioni sussisono anche se l albero e il coalbero a cui sono relaive le marici T e L non sono associai (non sono uno il complemenare dell alro). T può essere relaiva ad un qualunque albero ed L può essere relaiva ad un qualunque coalbero, non necessariamene dedoo dal coalbero a cui è relaiva T. 6 A. Morandi, Universià di Bologna Eleroecnica T-A, A.A. 6/7

14 Relazione ra ensioni di ramo e ensioni di albero Le LKT applicae alle maglie fondamenali consenono di esprimere ciascuna ensione di coalbero in funzione di quelle dell albero. Valgono inolre le segueni idenià relaive alle ensioni di albero v = +v +v v 6 = v v v +v 5 v 7 = v 9 v v v v 8 = v 9 v = +v v = +v v = +v v 5 = +v 5 v 9 = +v 9 Ne consegue che, per un generico circuio avene N nodi ed R rami, la generica ensione v h agene sull hesimo ramo può essere formalmene espressa come Indicando con v a il veore delle N- ensioni di albero le precedeni relazioni possono essere pose nella seguene forma mariciale v h c hk ka v C v a v k dove il generico coefficiene c hk assume valore, o + dove C è una marice opologica (faa di, o +) che lega le R ensioni di ui i rami alle N- ensioni di albero. CM ( ) R( N ) 7 Il generico coefficiene c hk della marice C risula così definio: i c hk = + se il ramo h appariene al aglio k ed è concorde con esso se il ramo h non appariene al aglio k se il ramo h appariene al aglio k ed è discorde con esso i i 6 i i 5 i i 8 i 7 v = +v v = +v v = +v v = +v +v v 5 = +v 5 v 6 = v v v +v 5 v 7 = v 9 v v v v 8 = +v 9 v 9 = +v 9 Dal confrono ra le definizioni dei coefficieni c hk e hk si evince che la marice C coincide con la rasposa della marice T dei agli fondamenali C T v T v a La generica ensione di ramo v h è daa dalla somma algebrica delle ensioni di albero il cui aglio coinvolge il ramo h 8 A. Morandi, Universià di Bologna Eleroecnica T-A, A.A. 6/7

15 Le N- ensioni di albero cosiuiscono quindi un insieme massimale di ensioni indipendeni del circuio. Le ensioni ageni sugli alri R(N ) rami (appareneni al coalbero) possono essere espresse in funzione di quese. Formalmene le R ensioni in ui i rami possono essere espresse in funzione delle sole N- ensioni di albero uilizzando la marice dei agli fondamenali v T v a v veore delle R ensioni di ramo v a veore delle (N ) ensioni di albero T marice dei agli fondamenali ( dimensione (N ) R ) Si mosrerà in seguio che è possibile definire un uleriore insieme massimale di ensioni indipendeni dee ensioni di nodo. Al pari delle ensioni di albero le N- ensioni di nodo consenono di idenificare le ensioni in ui i rami del circuio ma risulano di più semplice idenificazione in quano non richiedono la scomposizione del grafo in albero e coalbero. Si noi che, grazie alla orogonalià ra agli e maglie, un veore delle ensioni di ramo cosruio a parire da un qualsiasi veore di ensioni di albero soddisfa auomaicamene le LKT. Risula infai: L v L T v a v a L v v T v a Le due relazioni sono equivaleni. La relazione v = T v a rappresena una modalià alernaiva per formulare le LKT. 9 Correni di coalbero Le LKC applicae ai agli fondamenali consenono di esprimere ciascuna correne di albero in funzione di quelle del coalbero i =+i 6 +i 7 i = i +i 6 i 7 i = i +i 6 +i 7 i 5 =+i 6 = i 8 +i 7 Valgono inolre le segueni idenià relaive alle correni di albero i = + i i 6 = + i 6 i 7 = + i 7 i 8 = + i 8 Ne consegue che, per un generico circuio avene N nodi e R rami, la generica correne i h circolane nell hesimo ramo può essere formalmene espressa come Indicando con i c il veore delle R(N ) correni di coalbero le precedeni relazioni possono essere pose nella seguene forma mariciale i h kc i Di c d i hk k dove il generico coefficiene d hk assume valore, o + dove D è una marice opologica (faa di, o +) che lega le R correni di ui i rami alle R(N ) correni di coalbero DM ( ) RR( N ) A. Morandi, Universià di Bologna Eleroecnica T-A, A.A. 6/7

16 Il generico coefficiene d hk della marice D risula così definio: i i i i 5 i 6 i i 8 i 7 d hk = + se il ramo h appariene alla maglia k ed è concorde con essa se il ramo h non appariene alla maglia k se il ramo h appariene alla maglia k ed è discorde con essa i =+i 6 +i 7 i = i +i 6 i 7 i = i +i 6 +i 7 i = + i i 5 = i 6 i 6 = + i 6 i 7 = + i 7 i 8 = + i 8 = i 8 +i 7 Dal confrono ra le definizioni dei coefficieni d hk e l hk si evince che la marice D coincide con la rasposa della marice L delle maglie fondamenali D L i L La generica correne di ramo i h è daa dalla somma algebrica delle correni di coalbero la cui maglia coinvolge il ramo h i c Le R(N ) correni di coalbero cosiuiscono quindi un insieme massimale di correni indipendeni del circuio. Le correni ageni sugli alri N rami (appareneni all albero) possono essere espresse in funzione di quese. Formalmene le R correni in ui i rami possono essere espresse in funzione delle sole R(N ) correni di coalbero uilizzando la marice delle maglie fondamenali i L i c i veore delle R correni di ramo i c veore delle R (N ) correni di albero L marice delle maglie fondamenali (dimensione (R (N )) R) Si mosrerà in seguio che le correni di coalbero coincidono, di fao, con le «correni di maglia» che si uilizzano nell omonimo meodo di soluzione dei circuii. Si noi che, grazie alla orogonalià ra agli e maglie, un veore delle correni di ramo cosruio a parire da un qualsiasi veore di correni di coalbero soddisfa auomaicamene le LKT. Risula infai: T i T L i i i c c c T i i L i c Le due relazioni sono equivaleni. La relazione i = L i c rappresena una modalià alernaiva per formulare le LKC. A. Morandi, Universià di Bologna Eleroecnica T-A, A.A. 6/7

17 A. Morandi, Universià di Bologna Eleroecnica T-A, A.A. 6/7 Scomporre il grafo di figura in albero e coalbero. Deerminare la marice di agli fondamenali e la marice delle maglie fondamenali. Deerminare inolre le correni di ramo in funzione di quelle di coalbero e le ensioni di ramo in funzione di quelle di albero. Esercizio n n 6 n n n n 5 Disegnare il grafo relaivo alla marice di incidenza complea riporaa. Deerminare un insieme massimale di LKC indipendeni e un insieme massimale di LKT indipendeni. Esercizio. c A

18 Teorema di Tellegen Si consideri un circuio con R rami ed N nodi. Si inroducano per la correne e per la ensione dei versi di riferimeno associai secondo la convenzione dell uilizzaore (o secondo quella del generaore). Siano i un veore di correni di ramo ale da soddisfare le LKC e v un veore di ensioni di ramo ale da soddisfare le LKT. La somma algebrica dei prodoi vi di ogni ramo risula nulla R h v h i h dimosrazione: R h v h i h v i ( T v LKT a ) i v a LKC Ti v a Si noi che il eorema di Tellegen evidenzia una proprieà inrinseca della eoria dei circuii. Infai essa discende esclusivamene dalle due assunzioni che sono alla base della eoria sessa, le LKC e le LKT. Nessuna ipoesi è necessaria sulla naura dei componeni. 5 Dal eorema di Tellegen discende la conservazione della poenza nei circuii. Infai se si considerano come veore delle correni e delle ensioni le effeive correni e ensioni che agiscono in un dao isane sui rami del circuio il prodoo vi è proprio la poenza dissipaa in ciascun ramo nel medesimo isane R h vh ( ) ih ( ) pa ( ) R h In ogni isane la somma delle poenze dissipae in ui rami del circuio è nulla. Un circuio cosiuisce quindi un sisema energeicamene isolao che perano non scambia energia con l eserno. Tua la poenza dissipaa in esso in un dao isane è prodoa in esso nel medesimo isane. Dal eorema di Tellegen discendono inolre le proprieà di conservazione della poenza aiva e reaiva nei circuii operani in regime di correne alernaa. 6 A. Morandi, Universià di Bologna Eleroecnica T-A, A.A. 6/7

19 Proprieà di non amplificazione Si consideri un generico circuio all inerno del quale gli evenuali componeni n-polari preseni siano rappresenai come n- pore. Ogni coppia di erminali del circuio (compresi i bipoli) individua quindi una pora propria per la quale è definibile una poenza p = v i. 7 Proprieà di non amplificazione delle correni: Se all inerno di un circuio una sola pora eroga poenza durane l inervallo di empo infiniesimo d allora le correni di ue le alre pore che non siano in serie con essa sono necessariamene minori in valore assoluo. Proprieà di non amplificazione delle ensioni: Se all inerno di un circuio una sola pora eroga poenza durane l inervallo di empo infiniesimo d allora le ensioni di ue le alre pore che non siano in parallelo con essa sono necessariamene minori in valore assoluo. È opporuno evidenziare che l unica pora che eroga poenza non è cosiua necessariamene da un generaore indipendene. In generale essa può consisere anche in un componene dinamico o in un generaore piloao. Al pari del eorema di Tellegen, anche le proprieà di non amplificazione sono inrinseche della eoria dei circuii. Infai discendono esclusivamene dalle due assunzioni che sono alla base della eoria sessa, le LKC e le LKT. Nessuna ipoesi è necessaria sulla naura dei componeni. 8 A. Morandi, Universià di Bologna Eleroecnica T-A, A.A. 6/7