Meccanica Applicata alle Macchine Compito A 14/12/99

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1 page 1a Meccanica Applicaa alle Macchine Compio A 14/12/99 1. La figura mosra una pressa per la formaura per soffiaura di coneniori in maeriale plasico. Il meccanismo è sudiao in modo che in aperura (mosraa a sinisra) le due pari dello sampo si separano muovendosi in direzioni oppose rispeo alla posizione che occupano con sampo chiuso (mosraa invece a desra), liberando così l'oggeo sampao che resa nella posizione cenrale ( linea raeggiaa - aaccao al disposiivo di soffiaura). Le due meà della pressa, 1 e 2 (che porano i due mezzi sampi solidali) scorrono su guide prismaiche orizzonali a elaio. Il uo è mosso dal pisone 3 che scorre su guida prismaica vericale e che rasmee il moo per mezzo delle due ase l. Assumendo le dimensioni e la numerazione dei corpi indicaa in figura deerminare: a) i rappori di velocià fra la raslazione vericale del pisone movene e gli sposameni orizzonali dei baricenri (G1 e G2) delle due meà della pressa. b) la reazione vincolare sulla guida del pisone 3 durane il moo della pressa (in funzione di, ', "). c) la forza F da applicare al pisone 3 (assumere concorde a ) per vincere una forza P di compressione fra le due meà dello sampo, sia in posizione generica, sia nella configurazione chiusa. 2. Piano inclinao con ario di srisciameno. Reversibilià e irreversibilià. Soluzione dell'esercizio 1 La caena cinemaica è un esalaero di wa, come facilmene si deduce considerando una visa esplosa del meccanismo:

2 page 2a Fig.2 Si possono individuare le due caene cinemaiche indipendeni: 0310 e (figura sopra a desra). Fissando l'origine del sisema assoluo nel puno O, come mosrao in figura soo (scela in ualche modo obbligaa per come è definia la nei disegni fornii), il percorso 0310 si può realizzare eseguendo gli sposameni: OB (sul elaio 0), BC (sull'asa ), CD + DO (sul elaio per ornare al puno di parenza O). Sul corpo 3 e sul corpo 1 non si eseguono sposameni perché i cenri delle coppie rooidali coincidono con gli assi di scorrimeno delle coppie prismaiche. Fig.3 Con riferimeno alla figura seguene, l'euazione di chiusura per la prima caena cinemaica è dunue:

3 page 3a Z 3 + Z Z 1 Z l x 1 sin θ 1 b nella uale, θ e x1 sono le variabili (e x1 in paricolare risula l'ascissa del puno C - non si usa a1 perché nel disegno a1 è indicaa come la disanza cosane fra C e G1). Per uano riguarda il percorso il poligono da considerare è il seguene: Z 3 + Z 4 Z 2 Z l 4 x + 2 b 0 sin θ essendo x2 l'ascissa del puno E (cioè il veore Z2 ha componeni x2 e 0 rispeivamene secondo x e y). Considerazioni di simmeria suggeriscono che gli angoli θ4 e θ devono essere supplemenari, e che le ascisse x1 e x2 degli sposameni delle piasre sono oppose. Queso si può verificare facilmene nelle euazioni di chiusura.riscrivendo le euazioni si oiene: x 2 l 4 + l sin θ 4 + b 1 x 1 l + l sin θ + b 1 Considerando la seconda e la uara euazione (e soraendole) si oiene: l sin θ 4 = l sin θ che significa (visa la disposizione geomerica che esclude il caso θ4 =θ): θ 4 = π θ Considerando invece la prima e la erza euazione e sosiuendo l'espressione precedene si ha: x 2 l cos θ x 1 l da cui: + + π + x 2 l

4 page 4a l x 2 x 2 x 1 Rappori di velocià (domanda a) Le coordinae dei baricenri G1 e G2 si possono deerminare nel modo seguene (vedefre le figure ): OG 1 = OB + BC + CG 1 da cui xg 1 = yg l + a 1 sin θ 1 0 xg 1 = l + a 1 per G2 in modo analogo si ricava: OG 2 = OB + BE + EG 2 xg 2 = yg l 4 + a 1 sin θ xg 2 = l 4 + a 2 derivando xg1 exg2 rispeo al empo: l sin θ θ l sin θ 4 θ 4 dove le derivae di θ4 e θ si oengono dalla analisi di velocià. Derivando le euazioni di chiusura (è sufficiene in ueso caso derivare la seconda e la uara euazione) si ha: l l 4 θ + θ 4 + cioè: θ 1 l θ 1 4 l 4 infine, sosiuendo si ricava: = an θ = an θ 4

5 page a Reazione orizzonale sulla guida del pisone durane il moo della pressa (domanda b). Il meodo più semplice per ricavare la forza agene sulla guida del pisone 3 è scrivere l' euazione del moo del baricenro per il sisema di corpi 1,2,3,4, escluso il elaio. Come si può concludere dalla visa esplosa (Fig.2) le forze eserne ageni su euso sisema sono le reazioni vincolari del elaio (che non appariene al sisema) nelle re coppie prismaiche. Le forze che si scambiano invece i corpi 1,2,3,4, araverso le resani coppie sono inerne (e hanno somma zero scrivendo le euazioni del moo del sisema di corpi assieme). Come mosra la figura seguene si ha (rascurando la forza peso che comunue è vericale): m = R 3 m yg = R R 1 in paricolare dalla prima euazione, esprimendo la derivaa della uanià di moo oale in ermini delle uanià di moo dei sincoli dei singoli corpi componeni (le ase non si considerano perch prive di massa), si oiene: m 1 + m 2 + m 3 3 = R 3 uilizzando i rappori di velocià e considerao che xg3 è sempre nulla si oiene: = an θ 4 1 l an θ l cos θ + π 2 + an θ + π 1 = 3 l 2 an θ = an θ 1 l an θ

6 page 6a da cui: R 3 = m 1 m 2 an θ 1 l 3 2 Un meodo alernaivo per calcolare la forza R3 è uello di scrivere le euazioni di Newon Eulero per i singoli corpi e poi, combinandole assieme, risolverle in R3. Quesa procedura obbliga però a calcolare anche le alre reazioni non richiese. Forza da applicare per la chiusura (domanda c). Si applica il principio dei lavori viruali. Considerando la figura soosane si ha: F δ + P δ xg 2 P δ xg 1 in base ai rappori di velocià è: δ xg 1 = an θ δ δ xg 2 = an θ 4 δ e perano: F δ P an θ δ + P an θ 4 δ F = an θ an θ 4 P F = an θ an θ + π P F = 2 P an θ In paricolare nella posizione chiusa: θ F