CINEMATICA DEL PUNTO. CINEMATICA: moto rettilineo

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1 CINEMATICA DEL PUNTO Inroduzione Con il ermine cinemaica si indica lo sudio del moo dei corpi. Per poer sudiare ciò si approssima la realà ramie una schemaizzazione della sessa. La prima approssimazione che si effeua è il puno maeriale: il corpo sudiao in cinemaica è un puno maeriale cioè un ene privo di dimensione che ode però di una proprieà paricolare: la massa. Il moo di un puno maeriale è deerminao se è noa la sua posizione in funzione di un deerminao sisema riferimeno; noi prenderemo in considerazione la erna caresiana oroonale desra. È imporane soolineare che le caraerisiche cinemaiche di un corpo non dipendono mai dal sisema di riferimeno scelo. Se si desidera descrivere in modo compleo un moo è necessario usare la seuene relazione: r() = x()u x + y()u y + z()u z Ques espressione risula però essere abbasanza complicaa e quindi molo spesso di preferisce considerare un moo a una sola dimensione. CINEMATICA: moo reilineo Moo reilineo Si definisce lee oraria il leame ra la posizione della paricella e il empo. L insieme dei puni raiuni dal puno maeriale è deo raieoria. In un modo monodimensionale la raieoria è un semeno, alrimeni quesa porebbe assumere diverse conformazioni. Per conoscere la rapidià con cui la paricella cambia luoo inroduciamo la velocià media. La definizione di velocià media è una definizione operaiva. Queso conceo risula ano più preciso ano più li inervalli di empo sono piccoli; facendo dunque endere li inervalli di empo a 0 si inroduce la velocià isananea cioè la derivaa della lee oraria rispeo al empo. Se si considera la variazione di velocià di parla invece di accelerazione media e se si diminuiscono sempre più li inervalli di empo in cui si calcola quesa variazione si parla invece di accelerazione isananea. x = x() < v > = x( + ) x() = x 2 x v() = lim 0 < v > = dx < a > = v( + ) v() a() = lim < a > = dv 0 = d2 x 2 La maior pare dei moi presenano una variazione di accelerazione; se dunque a() varia nel empo porei pormi il problema di sudiare quesa variazione. In linea di principio si porebbe dunque derivare a() oenendo dunque un nuovo valore, praicamene però ciò non viene effeuao poiché non si oerrebbero nuove informazioni al fine di deerminare la lee orario. Il ema principale della cinemaica è infai sabilire la lee oraria di un corpo e dunque la derivaa dell accelerazione non servirebbe a queso scopo. Il problema della cinemaica è esclusivamene di ipo prediivo. Ovviamene è possibile conoscere la velocià e la posizione di una paricella conoscendo l accelerazione, la velocià iniziale e la posizione iniziale, se si considera quesa randezza come rapporo ra inervalli infiniesimi:

2 a() = dv a() = dv v() v 0 = a() 0 v() = v 0 + a() 0 v() = dx v() = dx x() = x 0 + v() 0 Moo reilineo uniforme Nel caso paricolare in cui v = cosane si parla di moo reilineo uniforme. Queso ipo di moo ha un equazione caraerisica che ne descrive la lee oraria e che mee in evidenza che lo spazio è una funzione lineare del empo: in empi uuali sono percorsi spazi uuali: x() = x 0 + v = x 0 + v( 0 ) 0 Moo reilineo uniformemene accelerao Nel caso paricolare in cui a = cosane si parla di moo reilineo uniformemene accelerao. Queso ipo di moo ha alcune equazioni che ne descrivono la lee oraria e che meono in evidenza la dipendenza lineare della velocià dal empo: v() = v 0 + a( 0 ) x() = x 0 + v 0 ( 0 ) a( 0) 2 Moo vericale di un corpo Se si rascura la resisenza dell aria un corpo lasciao libero di cadere in vicinanza della superficie erresre si muove verso il basso con un accelerazione cosane = 9,8 ms -2. Il moo osservao sperimenalmene è dunque reilineo uniformane accelerao. È dunque possibile calcolare il empo di cadua e il modulo della velocià con cui il corpo iune al suolo: c = 2h v c = 2h Moo armonico semplice Un puno eseue un moo armonico semplice quando la lee oraria è definia dalla relazione:

3 x() = A sin(ω + φ) A è dea ampiezza del moo, menre l aromeno del seno è dea fase del moo con ω dea pulsazione. È possibile deerminare il periodo e la pulsazione del moo ramie delle paricolari equazioni e anche la frequenza v: T = 2π ω ω = 2π T v = 1 T = ω 2π Possiamo anche definire la velocià e l accelerazione: v() = ωa cos(ω + φ) a() = ω 2 A sin(ω + φ) = ω 2 x() CINEMATICA: moo nel piano Moo nel piano Molo spesso però la schemaizzazione monodimensionale non è correa o quano meno sufficiene a descrivere correamene il comporameno del puno maeriale dunque venono considerai anche moi bidimensionali. Così come in moi monodimensionali la cinemaica si occupa di conoscere la lee oraria, in queso caso specifico è possibile espliciare le sinole componeni che caraerizzano il moo: r = r() r = x()u x + y()u y Olre a eneralizzare il conceo di lee oraria è necessario eneralizzare anche il conceo di velocià. La velocià risulerà essere sempre anene alla raieoria e ciò indipendenemene dal sisema di riferimeno scelo. La cosa ineressane da soolineare è che in moi bidimensionali può essere comodo e uili considerare la velocià nelle sue due componeni: < v > = r( + ) r() = r r v() = lim 0 = dr v = v x u x + y x u y Anche la velocià può dunque essere riformulaa ed è inolre possibile meere in evidenza le sue due componeni che venono chiamae anenziale e normale: < a > = v( + ) v() a() = lim 0 < a > = dv

4 a = dv τ + v dα dv v2 n = τ + R n Moo circolare SI definisce moo circolare un moo piano la cui raieoria è rappresena da una circonferenza; ciò sinifica che la paricella si muove sempre a una disanza cosane dal cenro. Considerando che la velocià varia coninuamene in direzione, l accelerazione cenripea è sempre diversa da 0 e quindi aisce una forza dea cenripea direa verso il cenro della circonferenza. Per comodià si scelie di descrivere il moo della paricella in relazione all anolo e non al empo; le coordinae usae saranno quelle anolari e indicheranno il rado di liberà: x = R cos α y = R sin α Anche nel caso della velocià sarà più comodo uilizzare le due diverse componeni, anche se è possibile comunque conoscere il modulo della velocià sessa: v x = R sin α dα v y = R cos α dα dα = ω = v R v = v x 2 + v y 2 = Rω = 2πR T ω è la velocià anolare il cui veore è sempre anene al piano della circonferenza e verso uscene o enrane a seconda della reola del cavaappi. Se la velocià non risula essere cosane e dunque la paricella accelera o decelera allora si inroduce l accelerazione, nelle sue componeni: a = dv = Rdω a n = v2 R = Rω2 Moo parabolico Il moo parabolico è un ipo di moo bidimensionale esprimibile araverso la combinazione di due moi reilinei simulanei ed indipendeni: moo reilineo uniforme e moo reilineo uniformemene accelerao. Lo sudio di queso moo si concenra in paricolare sul calcolo della raieoria, della massima alezza raiuna dal corpo e dalla iaa cioè la posizione in cui il puno ricade sull asse delle x. x = v 0 cos θ y = v sin θ y = an θ 2v 2 0 (cos θ) 2 x2 h max = v 0 2 (sin θ) 2 2

5 x max = v 0 2 sin 2θ Moo relaivo Abbiamo iniziao lo sudio della cinemaica chiarendo il conceo che lo sudio di un corpo in movimeno e di conseuenza la definizione della sua raieoria è possibile se definiamo a priori un cero sisema di riferimeno rispeo al quale calcolare la posizione del corpo e derivarne le lei del moo. Le lei fisiche ricavae valono in queso primo sisema di riferimeno ma nulla ci impedisce di prenderne in considerazione un alro rispeo al quale il corpo ha una posizione differene ma le lei che reolano il moo sono dello sesso ipo. Quindi possiamo affermare che le lei fisiche non dipendono dal sisema di riferimeno ma per esse lo spazio è omoeneo ed isoropo, ovvero non vi è un puno privileiao e nemmeno una direzione privileiaa per lo sudio delle lei fisiche. Tuo queso vale se i due sisemi di riferimeno sono fissi, ma nel caso uno fosse in moo relaivo rispeo all'alro allora le cose cambiano: le lei sono differeni nei due sisemi di riferimeno. Iniziamo col dire che presi due sisemi di riferimeno con oriine O (fisso) e O (in moo) un puno P nello spazio ha una disanza r da O e una disanza r da O. Possiamo allora dire che: r = OO + r E ora, uilizzando le reole di derivazione dei versori e dei veori e i concei di relazioni ra spazio, velocià ad accelerazione cerchiamo di oenere le relazioni veoriali fondamenali per i due sisemi. Chiamiamo v la velocià rispeo al sisema fisso e v rispeo al sisema in moo: v = doo + dr = w + v a = A + a Unià di misura Lunhezza m Velocià m/s Accelerazione m/s 2 Ampiezza m Periodo s Frequenza Hz = s -1 Fase rad Pulsazione rad/s Velocià anolare rad/s Accelerazione anolare rad/s 2