Riassunto di Meccanica

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1 Riassuno di Meccanica Cinemaica del puno maeriale 1 Cinemaica del puno: moo nel piano 5 Dinamica del puno: le leggi di Newon 6 Dinamica del puno: Lavoro, energia, momeni 8 Dinamica del puno: Lavoro, energia, 9 Dinamica dei sisemi di puni maeriali 9 Dinamica del corpo rigido 1 Fenomeni dʼuro 13 Cinemaica del puno maeriale Verde: nuove aggiune. Rosso: pari incere Moo reilineo Velocià media: υ m x x x 1 1 La velocià media di sposameno è definia come rapporo ra lo sposameno e l inervallo di empo. Velocià isananea: dx d La velocià isananea è definia come rapporo ra l infiniesima disanza percorsa e l inervallo infiniesimo di empo. Queso avviene dividendo in spazzi e empi sempre più piccoli il problema. La velocià isananea rappresena la rapidià di variazione emporale della posizione nell isane considerao. Legge oraria: x x + v( ) Osservazione: Velocià: υ dx d e con procedimeno inverso: dx υ() d 1

2 Se è noa la legge oraria si può oenere la velocià isananea ramie un processo di derivazione Regole generali del moo reilineo Calcolo dello spazio: x() x υ()d Quesa è la relazione generale che permee il calcolo della disanza complessiva percorsa in qualsiasi ipo di moo. Dimosrazione: Lo sposameno complessivo è dao dalla somma degli infiniesimi sposameni dx nellʼinervallo di empo finio - si procede dunque con una inegrazione: x x dx υ d Il primo inegrale è immediao e vale x x perano: x x x υ d x rappresena lo sposameno complessivo e non lo spazio percorso se dopo un lungo ragio il puno riorna nella posizione iniziale lo spazio complessivo percorso è nullo. Relazione velocià media ed isananea: υ m 1 υ d Quesa equazione coincide con la definizione maemaica di valor medio di una funzione in un dao inervallo (vedi appendice A del M.N.V) perano la velocià media è uguale al valor medio della velocià isananea come è facilmene inuibile Moo reilineo uniforme In empi uguali sono percorsi spazi uguali. Leggi orarie: x + υ d x x + υ Viene mosrao come lo spazio è una funzione lineare del empo. La velocià isananea coincide sempre con la velocià media Moo reilineo uniformemene accelerao Un moo si dice uniformemene accelerao quando la velocià varia in funzione del empo. Accelerazione media: a m υ υ 1 1 υ Con procedimeno analogo a quello usao per la velocià isananea oeniamo ora l accelerazione isananea. Accelerazione isananea: a i dυ d d x d Osserviamo che l accelerazione isananea è la derivaa prima della velocià rispeo al empo e la derivaa seconda dello spazio rispeo al empo.

3 velocià ricavaa dall accelerazione: υ + a υ d Eq del moo: x x + υ ( ) + 1 a ( ) Dimosrazione: La legge oraria del moo reilineo uniformemene accelerao si ricava così: x() x υ + a( ) d x υ d + a( ) x x + v ( ) + 1 a ( ) Velocià: υ υ a Velocià: υ υ + a( x x ) Accelerazione: a υ υ 1 x Chiaramene si inende l accelerazione media Moo vericale di un corpo Tempo cadua: c υ 1 g + υ 1 g + h g Velocià al suolo: υ c υ 1 + gh -- con puno lanciao in lao Velocià: Posizione: υ υ g (fino al verice) x x + υ 1 g -- velocià in funzione della posizione Velocià: Velocià: Velocià: υ ( x) g( h x) υ ( x) υ 1 + g( h x) υ ( x) ± υ gx Moo armonico semplice

4 Differenziale: Eq del moo: d x d + ω x A cos( ω + ϕ) x Pulsazione : ω k m π T π v Periodo: T π ω π m k Frequenza: v 1 T ω π 1 π Velocià: Accelerazione: k m υ dx ω Acos ( ω + ϕ ) d a dυ d d x d ω Asin( ω + ϕ) ω x -- velocià in funzione della posizione Velocià: υ ( x) υ + ω x x Velocià: υ ( x) ω ( A x ) (NB: con riferimeno al cenro) Moo reilineo smorzao esponenzialmene Accelerazione: a kυ Con k cosane posiiva. In queso paricolare ipo di moo vario l accelerazione è cosane e sempre conraria alla velocià che quindi dovrà necessariamene diminuire. Differenziale: dυ d kυ Ricordiamo che l accelerazione è la derivaa prima della velocià sul empo. Dimosrazione: Vediamo che lʼequazione differenziale soprasane dυ υ k d υ dυ k d υ υ dυ d kυ diviene: ln υ k υ υ e k υ Tramie un uleriore inegrazione di v() si oiene la legge oraria: x x υ d υ e k d υ k 1 e k 4

5 Equazione del moo: Velocià: -- velocià in funzione della posizione Velocià: x υ k 1 e k υ υ e k υ k( x x ) υ x Velocià e accelerazione in funzione della posizione Inegrale: x adx 1 υ 1 υ x Moo relaivo reilineo Eq del moo: x 1, x x 1 (NB: vale lo sesso per l accelerazione) Cinemaica del puno: moo nel piano Moo circolare Velocià angolare media: Velocià angolare is: Posizione: ω m θ ω i dθ d θ Accelerazione: a υ θ + ω R ω R Moo parabolico Per il moo parabolico si può uilizzare la scomposizione in due moi: (moo vericale e moo reilineo uniforme) Parabola del puno y( x) υ anθ g υ cos θ x Conoscendo la parabola del puno è molo più facile calcolare il moo sul piano e si possono ricavare alezza massima e giaa. Giaa: x G υ cos θgθ υ g cosθ sinθ g υ sinθ g Alezza max. y M υ y x M sin θ g Moi proieai x e y : x υ cosθ, y υ sinθ 1 g 5

6 Tempo di volo: G υ sinθ g Dinamica del puno: le leggi di Newon Leggi di newon Quanià di moo e impulso hanno la sessa unià di misura: Newon per secondo. legge di Newon: F m a dυ d d x d con massa cosane: F dp d 3 legge di Newon: F A,B F B,A Quanià di moo: p m υ me k In assenza di forze applicae la quanià di moo di un puno maeriale rimane cosane, ovvero si conserva. Teorema dell impulso: J m υ υ m υ (NB: se la massa è cosane) L impulso di una forza applicaa ad un puno maeriale provoca la variazione della quanià di moo. Valore medio forza: F m p Risulane delle forze La risulane veoriale delle forze descrive il moo e l accelerazione di un corpo a cui sono applicae più forze insieme. Risulane: R F i Si parla infai di indipendenza delle azioni simulanee in quano ogni forza agisce singolarmene.su un un corpo in equilibrio saico possono agire conemporaneamene forze la cui risulane è nulla Reazioni vincolari In generale una reazione vincolare non è deerminabile a priori ma va calcolaa caso per caso dall esame delle condizioni fisiche. Risulane: R + N Forza peso Forza peso: Sensazione peso: P m g N m ( a g) Forza di ario radene Ario radene saico: F as F ( max µ s N ) Ario radene dinamico: F ad µ d Nu υ ( u υ versore velocià) 6

7 Piano inclinao Componene vericale: mg cosθ N Componene orizzonale: Equilibrio saico: mg sinθ ma a g sinθ gθ µ s forza elasica Forza di richiamo: F kx Accelerazione: a F m k m x ω x Pulsazione : ω k m π T π v Periodo: T π ω π m k Risonanza: v 1 T 1 π k m Frequenza : v 1 T ω π 1 π forza di ario viscoso Ario viscoso: F bυ b m k Accelerazione: Velocià: a bυ m υ g k forze cenripee (frequenza naurale) k m k ( 1 e ) Forza: F N m a N m υ Pendolo semplice Tensione filo: T F mg r Differenziale: d θ d + g θ (per piccole oscillazioni) L Periodo: T π ω π L g Legge oraria: Velocià angolare: Velocià lineare: s Lθ Lθ sin( ω + ϕ) ω dθ d ωθ cos ( ω + ϕ ) υ ds d L dθ d Lωθ cos ( ω + ϕ ) 7

8 Tensione filo: T F m gcosθ + υ ensione dei fili Corde e carrucole singole hanno la sola funzione di deviare l angolo di incidenza di una forza senza modificarne l inensià. Dinamica del puno: Lavoro, energia, momeni L Lavoro poenza energia cineica Lavoro: W F s F s cosθ F T s Se l angolo di incidenza della forza è concorde con lo sposameno allora abbiamo un lavoro moore se viceversa il puno viene frenao allora abbiamo un lavoro resisene, se la forza è orogonale alla raieoria allora abbiamo un lavoro nullo. Il lavoro è l inegrale di linea della forza lungo la raieoria. Poenza: P dw F dr d d F υ F Tυ Energia cineica: Lavoro forza peso: E k E k 1 mυ p m ( p quan. di moo) W ( mgz B mgz A ) E p,b E p,a E p (energia po.) Lavoro forza elasica: W E p E p 1 ( kx energia po. elasica ) Il lavoro è espresso come l opposo della variazione dell energia poenziale ra la posizione finale e iniziale. Lavoro ario radene: W µ d N ds Lungo un qualsiasi percorso chiuso il lavoro è nullo. Energia poenziale: W E p,a E p,b E p B A Energia po. peso: Energia po. elasica: E p, peso mgz E p,el 1 kx Forze non conservaive non possiedono una energia poenziale conservazione dell energia meccanica Energia meccanica: E k,a + E p,a E k,b + E p,b Energia meccanica: E m E k + E p In presenza di forze conservaive l energia meccanica si conserva. In presenza di forze non conservaive l energia meccanica varia e la sua variazione è appuno uguale al lavoro delle forze non conservaive. 8

9 Momeno angolare. Momeno della forza Momeno angolare: L r p r mυ Il momeno angolare definio come il prodoo della quanià di moo ( angenziale ) e il raggio Momeno della forza: M r F T (chiamao anche momeno orcene) Il momeno della forza o momeno orcene è il prodoo ra raggio e forza angenziale. dl Teo. momeno angolare: d M La derivaa emporale del momeno angolare è uguale al momeno della forza se enrambi i momeni sono riferio allo sesso polo fisso in un sisema di riferimeno inerziale. dl L cosane: d L cosane Il momeno angolare di un puno maeriale riamane cosane nel empo, si conserva, se il momeno delle forze è nullo. Teo. Momeno dell impulso: M d r F d r F d r J L fin L in L B Lavoro: W M d ( r F)d r F d r J L Lavoro moo circolare: W F ds r F dθ M dθ A B A Il lavoro di un moo circolare è dao dalla forza angenziale moliplicaa per il raggio (ovvero il momeno angolare) per lo sposameno angolare. θ B θ A θ B θ A Dinamica del puno: Lavoro, energia, Le leggi fisiche non dipendono dalla scela del sisema di riferimeno. Lo spazio è dunque omogeneo e isoropo. Dinamica dei sisemi di puni maeriali Sisemi di puni. Forze inerne e forze eserne Risulane delle forze: ( E F i F ) ( I ) i + F i Se l angolo di incidenza della forza è concorde con lo sposameno allora abbiamo un lavoro. Posizione: r i velocià: accelerazione: a i F i Momeno angolare: Quanià di moo: L i r i p i Energia cineica: E k,i 1 9

10 Quanià di moo oale: p p i Momeno angolare oale: L L i r i Energia cineica oale: E k E k,i Posizione cenro di massa: r CM r i Coordinae caresiane: x CM x i i 1 m i Velocià del cenro di massa: Teo. Moo cenro di massa: Teo. Energia cineica: Lavoro forze non conservaive: υ CM dr CM d dr i d R ( E) ma CM m dυ CM d d d W ( E) + W ( I ) E k,b E k,a E k i P m ( mυ CM ) dp d E m,b E m,a ( E k + E p ) B ( E k + E p ) A W nc Cenro forze parallele: r c OC Cenro di gravià, baricenro: r C Momeno della forza peso: F i gr i g F i r i m i i r i M OC mg r CM mg r CM Dinamica del corpo rigido Sisemi di puni. Forze inerne e forze eserne Nel corpo rigido ue le possibili coppie di puni si rovano ad una disanza immuabile, si raa ovviamene di una condizione ipoeica. Leggi fondamenali: Densià: Densià superficiale: Densià lineare: R ma CM, m dl d ρ dm dv ρ s dm ds ρ l dm dl, E k W 1

11 Posizione cenro di massa: r CM 1 V r dv Risulane forza peso: Risulane momeno: Energia poenziale: F p mg M r CM mg E p mgz CM Moi di raslazione: Quanià di moo: Energia cineica: p mυ CM E k E k,cm 1 mυ CM Equazione del moo: Momeno angolare: Eq. Dinamica base moo ro: R ma CM L r CM p M dl d roazioni Rigide aorno ad un asse fisso Momeno angolare: L z L iz ( R i )ω I z ω i Momeni inerzia asse z: I z R i x i + y i Asse principale di inerzia: L I z ω, L L z, L 1 Calcolo energia cineica: E k m 1 i i m R i i ω 1 I zω i Lavoro: Poenza isananea: Processione momeno angolare: W E k 1 I zω fin P dw d I z α M z M dθ d mω 1 I zω in Energia cineica: E k L z I z Lavoro: W m z dθ Mom. Inerzia corpo coninuo. I R dm eorema di Huygens-Seiner e König Teorema H-S: I I c + ma Teorema K: E k 1 I z ω + 1 mυ CM 11

12 Pendolo composo Periodo: con l I z mh moo di puro roolameno Velocià cenro di massa: υ CM ω r ωr Accelerazione cenro di massa: a CM αr Legge del moo cenro di massa: F + R + mg ma CM F Accelerazione: a CM m 1+ I mr F Forza resisene: f a + mr Diseguaglianza ario: F µ s mg 1+ mr I F lim momeno angolare momeno dell impulso Impulso angolare: I M d L 1 L( 1 ) L Momeno dell impulso: M d r F d r F d r J L proprieà elasiche dei solidi Carico specifico: σ F S Allungameno lineare uniario: Modulo di Young: Legge di Poisson (sezione): Scorrimeno: ε l l E σ ε ε 1 E σ l l r r v l vε v σ l E σ Gθ Modulo di rigidià: G E 1+ v 1 E Pendolo di orsione: M π G r 4 θ kθ (k cosane) l θ θ Lavoro momeno eserno: W M ( θ)dθ k θdθ 1 kθ F S (con v coeff. Di Poisson) Compressione uniforme: V V 1 β p 1

13 Cosane bea: β Cosane bea nei gas: β p E (con v coeff. Di Poisson) 3( 1 v) Fenomeni d uro Uro ra due puni maeriali Se non inervengono forze eserne la quanià di moo oale si conserva in un uro. Conservazione: P ( m 1 + m )υ CM P in P fin cosane La velocià del cenro di massa rimane invariaa. Conservazione: P ( m 1 + m )υ CM P in P fin cosane Uro compleamene anelasico Se i due puni rimangono aaccai dopo l uro. Conservazione: m 1 υ 1 + m υ m 1 + m Da cui si ricava la velocià del cenro di massa Velocià cenro di massa: υ CM m 1υ 1 + m υ m 1 + m υ ( m 1 + m )υ CM Energia cineica assorbia: E k E k, fin E k,in E k 1 m + m ( 1 )υ CM 1 m 1υ 1 1 mυ 1 13