Costruzione di macchine. Modulo di: Progettazione probabilistica e affidabilità. Marco Beghini e Leonardo Bertini. Lezione 9:

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1 osruzione di macchine Modulo di: Progeazione probabilisica e affidabilià Marco Beghini e Leonardo Berini Lezione 9: Affidabilià per sisemi e sruure

2 Sisemi complessi Finora abbiamo raao l affidabilià di singoli elemeni o componeni: cosa cambia se si considera una macchina complea o una sruura? asi elemenari: Sisemi serie Sisemi parallelo Esempio di sisema serie: il P Alimenaore Scheda madre HD Video Il compuer funziona se ui gli elemeni sono funzionani

3 Sisemi serie 3... n Ipoesi semplificaiva, il guaso di un elemeno non influenza il guaso degli alri: R... S RR Rn Ri S Nel caso di componeni con disribuzione di affidabilià esponenziale: i i i i i i R e R e e s i

4 onsiderazioni generali: Il sisema serie ha ancora affidabilià esponenziale L affidabilià è minore di quella del componene meno affidabile Il asso di guaso del sisema è la somma dei assi dei componeni Il MTTF è: MTTFS s i Nel caso di componeni ui uguali: R R ; i i i R S R n S n MTTF S MTTF n

5 Effeo dell affidabilià dei componeni R S R.95 R R n

6 Effeo del numero dei componeni R S.8.6 n.4. n 5 n R

7 Aumenare l affidabilià: sisemi parallelo S... n Parallelo puro. Il sisema funziona se almeno un elemeno funziona: massima ridondanza alcolo dell affidabilià si effeua facilmene con il ragionameno complemenare: la roura del sisema impone la roura di ui i componeni. In ipoesi di indipendenza: R R R... R R S n i i R S i R i

8 onsiderazioni generali: Il sisema parallelo ha affidabilià maggiore del componene più affidabile Anche se i componeni hanno affidabilià esponenziale il sisema no Il parallelo puro è raro (sisemi informaici bancari, sisemi d arma) Esempio 9. Deerminare le caraerisiche di affidabilià di un sisema parallelo puro con due elemeni uguali aveni affidabilià esponenziale e asso di guaso MTTF del componene R S i R R R R R R i R e e S

9 Affidabilià R.5 R R S 3 4 MTTF 3 MTTF R d MTTF S S

10 Densià di probabilià di guaso f f S f MTTF S S S e e e e e e d d d dr d R d f ) (

11 Tasso di guaso h S ( ) h R S S dr d S R S d d ln R S ( ) e e h S MTTF

12 I sisemi in perfeo parallelo sono difficili da realizzare e cososi. Sisemi paralleli passivi o sand-by 3 S L affidabilià del sisema al empo si può oenere col ragionameno: Il sisema funziona se: A) il componene funziona per uo il empo oppure B) il componene si rompe a (< ) ma, funziona l inerruore 3, e il componene non si rompe per il reso del empo -

13 In ipoesi di indipendenza: Indicao con il empo in cui si ha l evenuale guaso del primo componene, la probabilià che il sisema funzioni al empo se il guaso del primo avviene nell inervallo: A, d guaso in, inerruore OK funziona in, P d P P B P R dp f d R R B 3 P R R f d 3 R P P R R R f d S A B 3

14 Esempio 9. Deerminare le caraerisiche di affidabilià di un sisema parallelo sand-by con due elemeni uguali aveni affidabilià esponenziale e asso di guaso con l inerruore ideale: R 3 = Sby Sby e e e d e e d e e d e e d e e e R e f e R R d f R R R R 3

15 Esempio 9. Deerminare le caraerisiche di affidabilià di un sisema parallelo sand-by con due elemeni uguali aveni affidabilià esponenziale e asso di guaso con l inerruore ideale: R 3 = Sby R e MTTF Sby MTTF R.5 Parallelo Sand-by 3 4 MTTF

16 Tasso di guaso per sand-by h Sby h.5 Parallelo Sand-by 3 4 MTTF

17 Sisemi complessi Sisemi riconducibili a serie o paralleli... A 4 5 R R R R A 3 RS RAR R R R R R R

18 Esercizio 9. onfronare l affidabilià dei sisemi: Parallelo di due serie A 3 4 Serie di due paralleli B 3 4

19 R R R R R A 3 4 R R R R R B 3 Per componeni ui uguali: R S R R R A.5 R R R B.5 R

20 Esercizio 9. Definire lo schema affidabilisico e calcolare l affidabilià di un sisema di valvole pose su un parallelo di due ubazioni nei casi che il circuio sia: a) normalmene apero: il sisema funziona se le valvole chiudono il flusso b) normalmene chiuso: il sisema funziona se le valvole aivano il flusso. R R

21 Esercizio 9. Definire lo schema affidabilisico e calcolare l affidabilià di un sisema di valvole pose su un parallelo di due ubazioni nei casi che il circuio sia: a) normalmene apero: il sisema funziona se le valvole chiudono il flusso b) normalmene chiuso: il sisema funziona se le valvole aivano il flusso. R R a) normalmene apero: il sisema funziona se funzionano enrambe le valvole = SISTEMA SERIE R S R R

22 Esercizio 9. Definire lo schema affidabilisico e calcolare l affidabilià di un sisema di valvole pose su un parallelo di due ubazioni nei casi che il circuio sia: a) normalmene apero: il sisema funziona se le valvole chiudono il flusso b) normalmene chiuso: il sisema funziona se le valvole aivano il flusso. R R b) normalmene chiuso: il sisema funziona se funziona almeno una valvola = SISTEMA PARALLELO R R R S

23 Sisemi più complessi Sisemi non riconducibili: meodo combinaorio El. El. El.3 El.4 El.5 Sisema Probabilià R R R 3 R 4 R 5 (-R )R R 3 R 4 R R R R 3 (-R 4 )(-R 5 ) Aenzione: le righe della abella sono: n Nel semplice caso esaminao: 3 righe

24 Sisemi più complessi: upper bound range di affidabilià Tie se minimi: percorsi minimali disini che garaniscono il, funzionameno: 4,5, 3, 5 4,3,

25 Il parallelo ra i ie se minimi è un upper bound dell affidabilià del sisema (non si considera che gli sessi elemeni possono sare su più rami) UB 4 3 R R RR RR RRR RRR S UB

26 Sisemi più complessi: lower bound range di affidabilià u se minimi: insiemi minimali disini di componeni i cui guasi impediscono il funzionameno del sisema:, 4,5, 3, 5 4,3,

27 La serie ra i cu se minimi è un lower bound dell affidabilià del sisema (non si considera che gli sessi elemeni possono sare su più rami) 3 3 LB R R R R R R S LB 4 5 R R R R R R

28 Esercizio 9.3 Nel sisema precedene in cui ui gli elemeni hanno R =.9, verificare che: R.9973; R.978 UB Il valore esao, con il meodo combinaorio fornisce: RS.9785 In queso caso molo prossimo al margine inferiore LB

29 UB 4 3 R R RR RR RRR RRR S UB R S

30 3 3 LB R R R R R R S LB 4 5 R R R R R R R S

31 Analisi affidabilisica di sruure P n 6; i...6 Li Ni ip Dai: Il carico ha una sua disribuzione: È anche daa la disribuzione della resisenza di ogni elemeno: fp N f N S i P FS N i fs L dl i Il problema è isosaico, ui gli elemeni sruurali sono necessari per l inegrià sruurale, sisema affidabilisicamene in serie

32 Sruura RSruura f P P FS i ip dp i lassico inegrale di convoluzione: ra graffe è indicaa l affidabilià della sruura al valore generico del carico P RS P FS i ip RS P i aenzione al ipo di disribuzione i i

33 Esempio 9.3 Deerminare l affidabilià saica della sruura in figura in cui il cavo ha resisenza S x N x,.5kn,.6kn e il ubolare ha sezione di 5mm e maeriale con resisenza: r y N y,8mpa,5mpa soo l azione di un singolo carico con le segueni caraerisiche: P x N x,5kn,.kn P

34 Ricaviamo: S x N x,9kn,.5kn ; Da cui: R P S x dx Si P i i R P R P R P S S S R S P

35 f P fs P.5 f P P 5 5 P R f P R P dp Sr. P S.965

36 Aenzione: non si raa di una condizione di complea indipendenza nella quale cioè la roura un elemeno avviene indipendenemene dalla roura dell alro, infai: f P R P dp f P R P dp P S P S.96 Perché? Limii noevoli per eviare il calcolo: i f P R P dp R min( f P R P dp) P Si Sr. P Si i

37 Problemi ipersaici, sisemi fail-safe La sruura può sopporare il carico anche con qualche elemeno roo 3 n Il sisema però non è parallelo in quano non è in genere sufficiene un solo elemeno per sopporare il carico P La capacià di sopporare il carico si riduce se qualche elemeno si rompe Non si può oenere un modello affidabilisico soddisfacene senza considerare il meccanismo fisico di roura dei componeni

38 Sisemi fail-safe con meccanismo di cedimeno del componene perfeamene duile. Il componene può solo collassare plasicamene e ha una duilià infinia carico sposameno

39 Esempio 9.4 Le barre di figura, nominalmene uguali con area A=3mm, sono realizzae con un acciaio dolce che ha ensione di collasso daa da r y N y,5mpa,5mpa deerminare l affidabilià con il seguene carico saico: P x N x,8.5kn,.4kn 3 P

40 Aumenando il carico ci sarà un asa che per prima raggiungerà la condizione di snervameno, uavia quesa condizione non è necessariamene di cedimeno perché rimangono le alre (olreuo ancora in campo elasico). Il carico può quindi aumenare uleriormene, con la prima che coninuerà a rasmeere il suo carico di collasso, si avrà il cedimeno della sruura solo nel momeno in cui ue sono allo snervameno La resisenza della sruura equivale quindi alla somma delle resisenze dei re elemeni: SSr. SS S3 Supponendo che la resisenza del singolo elemeno sia indipendene dagli alri (ipoesi non sempre ragionevole perché dipende dall origine della variabilià):,,,4.5kn,.75kn S x N x N x i S S i i

41 La resisenza della sruura è quindi la somma di re V.A. gaussiane indipendeni:,3, 3,3.5kN,.3kN S x N x N x S S S L affidabilià è quindi: i RSr..966 i Noa Se le resisenze sono correlae, la precedene sima non è cauelaiva, possiamo però avere una sovrasima della dispersione della resisenza assumendo che siano perfeamene correlae, da cui:,3,3,3.5kn,.5kn S x N x N x S S S i i RSr..936

42 Sisemi fail-safe con meccanismo di cedimeno del componene fragile Appena il componene arriva al carico massimo sopporabile si rompe La sua capacià di rasmeere carico si annulla Il carico si disribuisce sugli elemeni inegri che quindi risulano immediaamene sovrasolleciai Modalià di ridisribuzione del carico? Ipoesi ulrasemplificaiva (e non cauelaiva) di ridisribuzione saica

43 Esempio 9.5 La barre di figura, nominalmene uguali con area A=5mm, sono realizzare con un acciaio ad ala resisenza che ha ensione di roura daa da r y N y,65mpa,mpa deerminare l affidabilià in funzione del carico F. F

44 onsideriamo preliminarmene la seguene sequenza di eveni: F A)Si rompe l quando sono enrambe inegre L L B)Tuo il carico finisce sulla F ) on il nuovo livello di carico si rompe la F L P A f L dl Dove f L è la disribuzione di densià della probabilià di roura della singola barra: f L NL,9.75kN,.8kN F P A B f L dl L La probabilià della sequenza vale perano: F F f L f L dl dl L

45 Ma può avvenire alernaivamene anche la sequenza inversa che definisce un eveno incompaibile e, per simmeria, ha la sessa probabilià, quindi la probabilià di roura è daa da: F F P f L f L dl dl R L R.5 3 F

46 Modelli approssimai Maeriale duile R.8.6 Singola con F/ Serie: Weakes link F

47 Generalizzazione: n F F F F n n R! L L n n P n f L f L f L dl dl dl n

48 Esercizio 9.4 onsiderare la sruura a re barre parallele definia nell esempio 9.4, confronare le curve di affidabilià in funzione del carico per un comporameno duile e per un comporameno fragile del maeriale.