Gruppo di lezioni Ore Principali argomenti

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1 Gruppo di lezioni Ore Principali argomeni 1 Saica dei sisemi meccanici 9 Modellazione del sisema Elemeni sruurali vincoli Equazioni di equilibrio Saica degli elemeni snelli 9 Solleciazioni inerne 3 Elemeni di meccanica del coninuo Principi di dimensionameno Sisemi piani e 3D 10 Tensioni Deformazioni Legami cosiuivi 4 Meccanica della rave 4 Sforzo normale Torsione Flessione e Taglio Verifica e progeo di ravi 5 Sposameni di elemeni sruurali e meodi di risoluzione di sisemi sruurali 10 La linea elasica Meodo delle forze Meodo degli sposameni per sruure soggee a sforzo normale

2 Torsione in alberi e ravi Gli alberi sono elemeni sruurali aveni la lunghezza molo maggiore della dimensione più grande della sezione rasversale, ai a rasmeere momeno orcene. Scienza delle Cosruzioni per Ing. Meccanica

3 Momeno orcene e rasmissione di poenza Obieivi Calcolo delle ensioni e deformazioni nell albero. Calcolo della roazione orsionale dell albero. Deerminazione della poenza asmessa. La urbina applica un momeno orcene T sull albero L albero rasmee la coppia al generaore Il generaore reagisce con una coppia uguale ed opposa Scienza delle Cosruzioni per Ing. Meccanica

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5 Nella sezione nascono delle ensioni angenziali, la cui risulane è uguale al momeno orcene ( τ ) T = ρ df = ρ da Non si conosce la disribuzione delle ensioni, ma solo la loro risulane. La disribuzione delle ensioni angenziali è un problema saicamene indeerminao è necessario considerare le deformazioni La disribuzione delle ensioni angenziali non si può considerare uniforme.. Scienza delle Cosruzioni per Ing. Meccanica

6 Problema della rave : deerminare ensioni e deformazioni dae le solleciazioni. Meodologia per risolvere il problema della rave : Sono necessarie le equazioni di equilibrio, cosiuive e di compaibilià. TEORIA TECNICA DELLA TRAVE: Si sosiuiscono le equazioni di compaibilià con un ipoesi sul campo di sposameni, compaibile con la soluzione esaa di De Sain Venan, che si assume valida anche in ipoesi più generali. Si impongono le equazioni cosiuive e l equilibrio. Si deermina così lo sao ensionale sulla sezione rasversale. Si assumono nulle le alre componeni della ensione. Scienza delle Cosruzioni per Ing. Meccanica

7 Scorrimeni angolari A causa del momeno orcene nascono ensioni angenziali nella sezione rasversale. Per l equilibrio esisono anche le ensioni angenziali uguali sulle facce che conengono l asse del cilindro. The exisence of he axial shear componens is demonsraed by considering a shaf made up of axial slas. The slas slide wih respec o each oher when equal and opposie orques are applied o he ends of he shaf. Scienza delle Cosruzioni per Ing. Meccanica

8 Deformazione di un albero From observaion, he angle of wis of he shaf is proporional o he applied orque and o he shaf lengh. φ φ T L When subjeced o orsion, every cross-secion of a circular shaf remains plane and undisored. Cross-secions for hollow and solid circular shafs remain plain and undisored because a circular shaf is axisymmeric. Cross-secions of noncircular (nonaxisymmeric) shafs are disored when subjeced o orsion. Scienza delle Cosruzioni per Ing. Meccanica

9 Trave a sezione circolare Compaibilià delle deformazioni. Ipoesi cinemaica Scienza delle Cosruzioni per Ing. Meccanica

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12 Shearing Srain Consider an inerior secion of he shaf. As a orsional load is applied, an elemen on he inerior cylinder deforms ino a rhombus. Since he ends of he elemen remain planar, he shear srain is equal o angle of wis. I follows ha Lγ = ρφ or γ = ρφ L Shear srain is proporional o wis and radius γ max cφ = L and γ = ρ γ c max Scienza delle Cosruzioni per Ing. Meccanica

13 r dϕ = γ dϕ χ = dz z dz γ z = r dϕ = dz r χ dφ La roazione uniaria è dea angolo uniario di orsione o curvaura orsionale dz dφ r Scienza delle Cosruzioni per Ing. Meccanica

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15 Applichiamo i legami cosiuivi. Per maeriale elasico lineare è τ τ z z dϕ = Gγ z = Gχr = G r dz ϕ = G r L Sulla sezione di esremià τ z z Scienza delle Cosruzioni per Ing. Meccanica

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17 Per deerminare la curvaura orsionale resano da applicare le equazioni di equilibrio ex p p z ex A p p A A A z A z A z R J M r J M r G R da r J G J M M da r G da r G r da M da da = = = = = = = = = = = max 4 τ χ τ π χ χ χ τ k τ r 0 τ Scienza delle Cosruzioni per Ing. Meccanica

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20 Sresses in Elasic Range J J = 1 4 π c 4 4 ( c ) 1 c 1 = π Muliplying he previous equaion by he shear modulus, G γ = τ = Recall ha he sum of he momens from he inernal sress disribuion is equal o he orque on he shaf a he secion, T ρ c ρ G c τ max γ max From Hooke s Law, τ = Gγ, so The shearing sress varies linearly wih he radial posiion in he secion. τ da max τ = ρτ = ρ da = c c Tc Tρ τ max = and τ = J J max The resuls are known as he elasic orsion formulas, J Scienza delle Cosruzioni per Ing. Meccanica

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31 = = Δ L L dz z GJ z M dz 0 0 ) ( ) ( χ ϕ Albero ronco-conico ( ) ( ) ( ) ( ) in 4 4 in 4 in 1 1 log log ; ) ( R R R R R R R R G L M dz R R G M dz GJ M R R J R R L z R R R z R L o ex L o p ex p ex ex + + = = = = + = π π π Scienza delle Cosruzioni per Ing. Meccanica

32 Problemi ipersaici Scienza delle Cosruzioni per Ing. Meccanica

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35 Tubo di solo ianio: T τ max = 4 π R R R i 11mm ( 4 ) i R τ Ti amm R i 4 R 4 T R π τ Ti amm = 11.88mm P Ti = γ Ti π ( R R ) L = 3856 N i Tubo di solo alluminio: T τ = max R = Pa > τ π 6 ( 4 4 R R ) i All amm Scienza delle Cosruzioni per Ing. Meccanica

36 Saically Indeerminae Shafs Given he shaf dimensions and he applied orque, we would like o find he orque reacions a A and B. From a free-body analysis of he shaf, T A + T B = 90lb f which is no sufficien o find he end orques. The problem is saically indeerminae. Divide he shaf ino wo componens which mus have compaible deformaions, φ = φ φ Subsiue ino he original equilibrium equaion, T A 1 B 1 + = = 0 TB = J1G JG L 1 J T = 90lb f L J A + A 1 T L T L L1 J L J 1 T A Scienza delle Cosruzioni per Ing. Meccanica

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