LO STATO LIMITE ULTIMO DI TORSIONE NELLE STRUTTURE IN C.A.

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1 UNIVERSIA DEGLI SUDI DELLA BASILICAA Corso di ECNICA DELLE COSRUZIONI LO SAO LIMIE ULIMO DI ORSIONE NELLE SRUURE IN C.A. Docente: Collaboratori: Prof. Ing. Angelo MASI Ing. Giuseppe SANARSIERO Ing. Vincenzo MANFREDI 1

2 La sollecitazione di ORSIONE La sollecitazione di ORSIONE si presenta quando l azione applicata NON passa per il centro di taglio C della sezione. La ORSIONE è sempre accompagnata da flessione e taglio. La ORSIONE viene usualmente trascurata, salvo poi tenerne conto per una verifica puntuale di alcuni elementi caratteristici per i quali tale sollecitazione non è trascurabile, come accade ad esempio per le travi a ginocchio, elementi strutturali necessari per sostenere le rampe del corpo scala. V C d Momento torcente V d 2

3 ORSIONE: primaria e secondaria Qualora l equilibrio statico di una struttura dipenda dalla resistenza torsionale degli elementi che la compongono sarà necessario un calcolo completo della torsione nei riguardi sia degli stati limite ultimi che di esercizio (orsione primaria). Qualora, in strutture iperstatiche, la torsione insorga solo per esigenze di compatibilità e la stabilità della struttura non dipenda dalla resistenza torsionale, non sarà generalmente necessario considerare la torsione allo stato limite ultimo (orsione secondaria). Nei casi in cui la torsione non è essenziale per la stabilità, possono comunque essere richiesti adeguati accorgimenti per limitare un eccessiva fessurazione allo stato limite d esercizio (valori minimi di staffe e ferri longitudinali) 3

4 ORSIONE: primaria e secondaria (a) (b) orsione secondaria (a) o di congruenza orsione primaria (b) o di equilibrio 4

5 ORSIONE: diagramma tensioni tangenziali La legge di distribuzione delle tensioni tangenziali dovute alla torsione varia con la forma della sezione, per cui non si è in grado di stabilire, anche in via approssimata, una relazione che possa essere valida per qualsiasi forma. Pertanto, si forniscono di seguito, per le sezioni di più comune impiego, le espressioni delle τ max. L ipotesi di base è di materiale elastico, omogeneo ed isotropo sezione circolare A partire dalla teoria di De Saint-Venant, per azione di un momento torcente, in una sezione circolare in fase elastica si originano tensioni tangenziali di intensità crescente verso l esterno della sezione. 5

6 ORSIONE: sezione circolare Definito il modulo di resistenza della sezione W t W t r π 2 3 La massima tensione prodotta all estremo vale: τ max Wt 2 π r 3 Nel caso di una sezione anulare di raggi r e e r i, rispettivamente esterno ed interno, si ha: τ max π 2 ( r 4 e 6 r e r 4 i )

7 ORSIONE: sezione circolare La rotazione dφ delle parti terminali di un concio elementare dx rispetto all asse baricentrico per effetto di vale: in cui: d φ GJ - G è il modulo elastico tangenziale - J è il momento di inerzia torsionale (momento di inerzia polare) dx Per la sezione circolare vale: J r π 2 4 7

8 ORSIONE: sezione rettangolare Nel caso di sezioni rettangolari, di base b ed altezza a (b a, β b/a 1), vale sempre: dove il modulo di resistenza della sezione τ max vale: 2 con W t k 1 a b W t k β Il momento di inerzia torsionale è pari a: J k 3 2 a b k β In presenza di sezioni costituite da n parti a spessore costante, il momento di inerzia torsionale si ottiene sommando i contributi calcolati per le singole parti. 8

9 ORSIONE: sezione anulare Per le sezioni ad anello chiuso di piccolo spessore vale la formula di Bredt, per la quale, ipotizzando che la tensione si mantenga costante sullo spessore (come il flusso q lungo l intero perimetro), si ha: (τ t r) ds q τ t τ t rds 2 q da 2qA Da cui si ricava: A q 2A con A area racchiusa dalla linea media della sezione anulare. 9

10 ORSIONE: sezione anulare Il valore della tensione tangenziale max secondo la formula di Bredt è valutato attraverso: τ max 2 A t con t spessore della sezione anulare 10

11 S.L.U. ORSIONE (raliccio spaziale resistente) Le travi soggette a torsione denotano un comportamento nettamente differente nei due stadi non fessurato e fessurato. La caratteristica principale della diversità è la forte riduzione della rigidezza torsionale, fino a 1/4 a 1/5, che si verifica dopo la fessurazione. y 0 O A B G C J θ E S J θ C r 0 max resistenza a torsione in assenza di apposite armature D θ 11

12 S.L.U. ORSIONE (raliccio spaziale resistente) Isostatiche di trazione e compressione in una trave sollecitata a torsione trazione Andamento delle fessurazioni in una trave in c.a confrontato con l andamento delle tensioni principali di trazione Fessure da torsione 12

13 S.L.U. ORSIONE (raliccio spaziale resistente) raliccio spaziale costituito da: - bielle di calcestruzzo compresso inclinate di un angolo θ - bielle di acciaio teso rappresentate dalle armature longitudinali e dalle staffe chiuse disposte ortogonalmente alla linea d asse 13

14 S.L.U. ORSIONE (raliccio spaziale resistente) Per la progettazione (e verifica) delle sezioni sottoposte a momento torcente si assume un modello di calcolo con sezione cava a parete sottile di spessore t. Le tensioni tangenziali sono ipotizzate costanti all interno dello spessore della parete. L angolo θ di inclinazione delle bielle di cls è considerato variabile, con valore funzione delle quantità di armatura longitudinale e trasversale (modello a inclinazione variabile) 14

15 S.L.U. ORSIONE (raliccio spaziale resistente) Valutazione dello sforzo nell armatura longitudinale S l Lo sforzo di scorrimento Q v1 sulla faccia verticale di lunghezza a e spessore t vale: Q v1 τ t a Le altre componenti del poligono di forze sono: - S l1 trazione nelle barre longitudinali nella singola parete - S c compressione nel puntone di cls inclinato dell angolo θ Singola parete della sezione cava 15

16 S.L.U. ORSIONE (raliccio spaziale resistente) Lo sforzo di trazione nelle barre longitudinali in una singola parete vale: Sl1 v1 Q cot θ τ t a cot θ Lo sforzo di trazione totale si ottiene sommando i contributi di ogni parete: S l 4 i 1 S li cot θ S l 4 i 1 τ t a Definendo perimetro medio p il valore i p e considerando la formula di Bredt si ha: τ t p cotθ p cotθ 2A 16 4 i 1 a i

17 S.L.U. ORSIONE (raliccio spaziale resistente) Uguagliando il massimo valore di trazione delle barre S ld (capacità) con lo sforzo S l indotto dall azione torcente (domanda) si ottiene il valore del momento torcente Rld che produce la crisi dell armatura longitudinale: 2 A cot Rld S ld f yd Asl θ p S l Rld f yd A sl 2 A p 1 cot θ Momento torcente resistente delle barre longitudinali 17

18 S.L.U. ORSIONE (raliccio spaziale resistente) Valutazione dello sforzo nell armatura trasversale S s Lo sforzo di scorrimento trasversale Q h sulla faccia orizzontale vale: Q h τ t z Le altre componenti del poligono di forze sono: - S s trazione nelle barre trasversali - S c compressione nel puntone di cls Singola parete della sezione cava 18

19 S.L.U. ORSIONE (raliccio spaziale resistente) Lo sforzo di trazione nelle armature trasversali è valutato attraverso: S s Qh tgθ τ t z tgθ z tgθ 2A Uguagliando il massimo valore di trazione delle barre S sd con lo sforzo S s indotto dall azione torcente si ottiene il valore del momento torcente Rsd che produce la crisi dell armatura trasversale: S sd As z Rsd f yd z tgθ s 2 A Rsd 2 As f yd A cot s θ Momento torcente resistente delle armature trasversali 19

20 S.L.U. ORSIONE (raliccio spaziale resistente) Valutazione dello sforzo di compressione delle bielle di cls S c La componente di compressione S c del poligono di forze è pari a: S c Qh cosθ τ t a senθ 2A τ t z cosθ a sen θ τ t a cot θ cosθ Singola parete della sezione cava 20

21 S.L.U. ORSIONE (raliccio spaziale resistente) La capacità del puntone compresso è valutabile attraverso: S cd α ν σ t a cosθ c cd doveα c tiene conto degli effetti dovuti alla presenza di un eventuale sforzo assiale e ν della reale distribuzione delle tensioni nella sezione della biella 21

22 S.L.U. ORSIONE (raliccio spaziale resistente) Uguagliando il massimo valore di compressione delle bielle di cls S cd (capacità) con lo sforzo indotto dall azione torcente S c (domanda) si ottiene il valore del momento torcente Rcd che produce la crisi della biella compressa: S cd α c ν σ cd t a cosθ 2A a senθ Rcd cot θ 2 A αcν σcd t cosθ senθ 2 A αcν σcd t 2 1+ cot Momento torcente resistente delle bielle compresse θ La massima resistenza si ottiene per una inclinazione θ

23 S.L.U. ORSIONE (NC2008) La verifica dello SLU per sollecitazioni di torsione è soddisfatta se: Rd Ed dove Ed è il valore di calcolo del momento torcente agente e Rd è il momento torcente resistente pari al mimino tra il valore della resistenza delle bielle di cls armature trasversali (Rsd): compresse (Rcd), delle barre longitudinali (Rld), e delle Rd min (Rcd, Rld, Rsd) La verifica è riferita a sezioni prismatiche cave o piene il cui schema resistente è riconducibile ad un traliccio periferico in cui gli sforzi di trazione sono affidati alle armature longitudinali e trasversali ivi contenute e gli sforzi di compressione sono affidati alle bielle di calcestruzzo. 23

24 S.L.U. ORSIONE (NC2008) Momento torcente resistente delle bielle di calcestruzzo (Rcd) La resistenza delle bielle si calcola attraverso la seguente espressione: Rcd ' cd 2 A t f cot θ /(1 + cot θ) t 2 c t A c /u 2c è lo spessore della sezione cava; A c b x H è l area della sezione; um u è il perimetro della sezione; A area racchiusa entro la fibra media del perimetro della sezione; f cd f' cd resistenza a compressione ridotta del calcestruzzo d anima (f ' cd 0,5 f cd ); θ angolo di inclinazione delle bielle di cls con limitazione: A b 0.4 cot θ 2.5 H NOA: la tensione del cls è ridotta perché le bielle sono presso-inflesse 24

25 S.L.U. ORSIONE (NC2008) Momento torcente resistente delle armature trasversali e longitudinali (Rsd, Rld) La resistenza delle armature trasversali si calcola attraverso la seguente espressione: A s u m s A l A θ Rsd As 2 A f yd cot θ s La resistenza delle armature longitudinali si calcola attraverso la seguente espressione: Rld ΣAl 1 2 A f u cotθ yd m è l area della staffa; è il perimetro medio del nucleo resistente, passo delle staffe; area complessiva delle barre longitudinali; area racchiusa nel perimetro medio della sezione cava angolo di inclinazione delle bielle di cls con la limitazione: 0.4 cot θ t A um c b H

26 VERIFICA SLU PER SOLLECIAZIONI DI ORSIONE COMPORAMENO A ROURA DELLE SEZIONI Nelle sezioni in c.a. sottoposte a torsione sono possibili 3 diverse condizioni di verifica: Snervamento simultaneo delle armature (staffe + barre longitudinali) Rottura delle bielle di cls e contemporaneo snervamento delle staffe Rottura delle bielle di cls e contemporaneo snervamento delle barre longitudinali 26

27 VERIFICA SLU PER SOLLECIAZIONI DI ORSIONE CASO 1: ROURA SIMULANEA DELLE ARMAURE (SAFFE + BARRE) Il valore cotθ è determinato imponendo l uguaglianza tra Rsd e Rld As 2 A fyd cot θ s Rsd Rld ΣAl 1 2 A f u cotθ yd m 1/ 2 Rld Rsd cot θ (al / as) dove a l Al / um e as As / s Se risulta che 0.4 cot θ 2. 5 e Rcd (cot θ) Rld Rsd allora la torsione resistente della sezione ( Rd ) è uguale alla torsione resistente delle staffe ovvero delle barre longitudinali ( Rld Rsd ) (caso1) Rd Rld Rsd 27

28 VERIFICA SLU PER SOLLECIAZIONI DI ORSIONE θ68.2 rsd θ21.8 caso 1 torsione [knm] rcd sd rld Rcd 2 A t f ' cd ΣAl 1 2 A f u cotθ Rld yd m cot θ /(1 + cot sd momento agente 28 cotθ 2 θ) Rsd As 2 A f yd cot θ s

29 VERIFICA SLU PER SOLLECIAZIONI DI ORSIONE Se Rcd calcolato in corrispondenza del valore cotθ è minore di Rsd (ovvero Rld) allora la crisi avviene per: CASO 2: ROURA DELLE BIELLE DI CLS E SNERVAMENO DELLE SAFFE oppure CASO 3: ROURA DELLE BIELLE DI CLS E SNERVAMENO DELLE BARRE LONGIUDINALI Bisogna, quindi, determinare il valore della cotθ per i due casi di rottura 2 e 3 (cotθs; cotθl ). La torsione resistente Rd è data dal valore più grande assunto in corrispondenza dei due valori di cotθ secondo la seguente espressione: Rd max { (cot θ ); (cot θ )} Rcd 29 s Rcd l

30 VERIFICA SLU PER SOLLECIAZIONI DI ORSIONE CASO 2: ROURA DELLE BIELLE DI CLS E SNERVAMENO DELLE SAFFE Il valore cotθ s Rcd Rcd è determinato imponendo l uguaglianza tra Rsd e Rsd cot θ s t fcd s A f s ' yd 1 CASO 3: ROURA DELLE BIELLE DI CLS E SNERVAMENO DELLE BARRE LONGIUDINALI Il valore cotθ l Rcd Rcd è determinato imponendo l uguaglianza tra Rld e Rld cotθ l t f A ' cd l f yd um A u l f m yd 30

31 VERIFICA SLU PER SOLLECIAZIONI DI ORSIONE torsione [knm] oo θ68.2 θ21.8 caso 2 CLS+staffe θ s 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 cotθ rcd rld sd rsd 31

32 VERIFICA SLU PER SOLLECIAZIONI DI ORSIONE 100 torsione [knm] θ68.2 caso 3 Cls + arm.long. θ θ l cotθ rcd rld sd rsd 32

33 VERIFICA SLU PER SOLLECIAZIONI DI ORSIONE In considerazione del limite di norma sul valore di cotθ si possono avere dei sotto-casi di verifica. Se risulta cot θ 1/ 2 (al / as) > 2.5 allora nella sezione si attinge la crisi simultanea delle bielle di cls e delle armature trasversali (CASO 2.1) Il valore di cotθ è determinato ponendo: Rcd Rsd cot θ s t fcd s A f s ' yd 1 Il valore del momento torcente resistente è dato da: Rcd 2 A t f ' cd cotθ s /(1 + cot 2 θ s ) ovvero da: Rsd A 2 A s s f yd cot θ s 33

34 VERIFICA SLU PER SOLLECIAZIONI DI ORSIONE θ68.2 θ21.8 torsione [knm] caso cotθ rcd rld sd rsd 34

35 VERIFICA SLU PER SOLLECIAZIONI DI ORSIONE CASO 2.2 Se risulta cotθ s > 2.5 allora il momento torcente resistente è dato da: Rsd 2 A A s s f yd cot θ s dove cotθ s

36 VERIFICA SLU PER SOLLECIAZIONI DI ORSIONE θ68.2 θ21.8 torsione [knm] caso cotθ rcd rld rsd 36

37 VERIFICA SLU PER SOLLECIAZIONI DI ORSIONE Se risulta cot θ 1/ 2 (al / as) < 0.4 allora nella sezione si attinge la crisi simultanea delle bielle di cls e delle armature longitudinale (CASO 3.1) Il valore di cotθ è determinato ponendo: Il valore del momento torcente resistente è dato da: Rcd Rcd Rld cotθ ' 2 2 A t f cotθ /(1 + cot θ ) ovvero da: cd l t f l A ' cd l f yd um A u l l f m yd Rld A 2 A u m l f yd 1 cot θ l 37

38 VERIFICA SLU PER SOLLECIAZIONI DI ORSIONE θ21.8 torsione [knm] caso θ cotθ rcd rld rsd 38

39 VERIFICA SLU PER SOLLECIAZIONI DI ORSIONE CASO 3.2 Se risulta cotθ l < 0.4 allora il momento torcente resistente è dato da: Rld A 2 A u m yd dove cotθ l 0.4 l f 1 cot θ l 39

40 VERIFICA SLU PER SOLLECIAZIONI DI ORSIONE θ68.2 θ21.8 torsione [knm] caso cotθ rcd rld rsd 40

41 Il Progetto delle armature Per la progettazione delle armatura si procedere secondo il seguente schema: Caso a) < Rcd(cotθ 1) Sd sd In questo caso il max valore possibile di Rcd è inferiore al momento torcente sollecitante Sd, pertanto si deve riprogettare la sezione geometrica o utilizzare un calcestuzzo di resistenza maggiore. 41

42 Il Progetto delle armature Caso b) { ; } Sd min Rcd cotθ 1.0 Rcd cot θ 0.4 Rcd cot θ 2.5 1) Impongo sd Rcd e trovo due radici (cotθ) d1 e (cotθ) d2 2) rovo A s ed A l tali che Rsd Rld Rcd nei due valori di cotθ Sd 42

43 Il Progetto delle armature Se invece si ha: Caso c) { ; } Sd < min Rcd cot θ 0.4 Rcd cot θ 2.5 A sd Il progetto dell armatura a torsione viene eseguito imponendo l uguaglianza tra la resistenza delle armature (staffe Rsd e barre longitudinali Rld ) con il valore della torsione agente (es. punto A). Sono possibili infinite combinazioni dei valori di armatura trasversale e longitudinale A s -A l. 43

44 Metodo di Progetto/verifica grafico delle armature Per il progetto/verifica dell armatura resistente a torsione può essere realizzato un diagramma riportante la funzione della torsione resistente del cls (Rcd) e le funzioni della torsione resistente delle barre longitudinali (Rld) e trasversali (Rsd) per diversi valori del rapporto di armatura (ωsw; ωsl) al variare del valore di cotθ. Le soluzioni possibili sono tutti i punti di intersezione tra le funzioni Rld e Rsd che ricadono entro i valori cotθ 0.4 e cotθ 2.5 e delimitati dai punti della funzione Rcd e del valore della torsione agente Sd AENZIONE: Se il valore della torsione agente Sd risulta essere maggiore del valore massimo della torsione resistente del cls Rcd (valutato per cotθ 1) bisogna necessariamente definire una nuova geometria della sezione di cls ovvero utilizzare un cls di resistenza maggiore 44

45 VERIFICA SLU PER SOLLECIAZIONI DI ORSIONE θ68.2 ω s 0.3 ω s 0.2 θ21.8 ω s 0.1 torsione [knm] area di verifica soddisfatta rd > sd ω s ω l 0.1 ω l 0.2 ω l 0.3 ω l cotθ ω s A s f s t f yd cd ω l u A m l f yd t f cd rcd rsd sd rld 45

46 S.L.U. SOLLECIAZIONI COMPOSE (NC2008) ORSIONE, FLESSIONE E SFORZO NORMALE Le armature longitudinali calcolate con le regole richieste per garantire la resistenza richiesta nei riguardi della sollecitazione torcente devono essere aggiunte a quelle calcolate nei riguardi delle verifiche per flessione. Si applicano inoltre le seguenti regole: - nella zona tesa all armatura longitudinale richiesta dalla sollecitazione di flessione e sforzo normale, deve essere aggiunta l armatura richiesta dalla torsione; - nella zona compressa, se la tensione di trazione dovuta alla torsione è minore della tensione di compressione nel calcestruzzo dovuta alla flessione e allo sforzo normale, non è necessaria armatura longitudinale aggiuntiva per torsione. 46

47 S.L.U. SOLLECIAZIONI COMPOSE (NC2008) ORSIONE E AGLIO Per quanto riguarda la crisi lato calcestruzzo, la resistenza massima di una membratura soggetta a torsione e taglio è limitata dalla resistenza delle bielle compresse di calcestruzzo. La verifica è soddisfatta se risulta: Ed Rcd + V V Ed Rcd 1 I calcoli per il progetto delle staffe possono effettuarsi separatamente per la torsione e per il taglio, sommando o sottraendo su ogni lato le aree richieste sulla base del verso delle relative tensioni. AENZIONE: Per l angolo θ delle bielle compresse di conglomerato cementizio deve essere assunto un unico valore per le due verifiche di taglio e torsione. 47

48 ESEMPIO 7.3 (Cosenza et. Al.) Progetto delle armature per una sezione rettangolare 48