Cammini minimi con una sorgente

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1 Cammini minimi con na orgene Problema dei cammini minimi Variani e archi negaii Soorra oima di n cammino minimo Algorimo di Dijkra Compleià dell algorimo Rappreenazione dei cammini minimi

2 Problema dei cammini minimi Inp: n grafo G=(V,E) orienao e peao, con na fnzione peo : E R, che aocia ad ogni arco in E n peo a alore reale

3 Problema dei cammini minimi Il coo di n cammino p= <,,, k > è la omma dei pei degli archi che lo coiicono. k ( p )= i= MC PT LU PR PI 6 FI LI 6 SI 4 GR ( i, i ) AR p= <PR, FI, SI> = min + min = 6 min p = <PR, FI, AR, SI> = min + min + 4 min = = 9 min p = <PR, FI, PI, LI, GR, SI> = 6 min

4 Problema dei cammini minimi Il coo di n cammino minimo dal erice al erice è definio da: δ (, )={ min {( p): p } e eie n cammino da a } alrimeni Un cammino minimo dal erice al erice è definio come n qalnqe cammino p con peo (p) = δ(,). Pò non eere nico! δ(6,) = 7 p = <6,,, > (p ) = 7 p = <6, > (p ) = 9 p = <6,, 6,,, > (p ) = 9 p 4 = <6,, 4,, > (p 4 ) = 7

5 Vari problemi Problema di cammini minimi con orgene ingola: i ole roare n cammino minimo da n dao erice orgene ad ogni erice in V. Problema di cammini minimi con deinazione ingola: i ole roare da ogni erice in V n cammino minimo ad n dao erice deinazione. Problema di cammini minimi ra na coppia: i ole roare n cammino minimo da a. Problema di cammini minimi ra e le coppie: deerminazione di n cammino minimo per ogni coppia di erici e.

6 Archi con pei negaii NOTA: ono ammei archi di peo negaio, ma non deono eiere nel grafo cicli di coo negaio. Se il coo di n ciclo è negaio, allora i i nodi raggingibile dal ciclo hanno n cammino minimo di peo infiniamene negaio (- ) Ciclo <6,> negaio. Ogni ola che compio n giro diminico il peo del cammino che paa per il ciclo. Eempio: δ(6,) =

7 Soorra oima di n cammino minimo Soocammini di cammini minimi ono cammini minimi Dao n grafo G=(V,E) con fnzione peo :E R, ia p= <,,, k > n cammino minimo da a k. Per ogni i e j ali che i j k, i ha che il oocammino p ij = < i, i+,, j > è n cammino minimo da i a j. (p ij )=δ(i,j) i j k p ij Dao n alro oocammino p ij da i a j, neceariamene (p ij ) (p ij ), alrimeni il cammino minimo paerebbe per p ij

8 Soorra oima di n cammino minimo Di conegenza: Si pponga che n cammino minimo p da na orgene ad n erice pai per l arco (,) con peo (,). Il peo del cammino minino da a è δ(,) = δ(,) + (,). δ(,) (,) cammino minimo ra e i δ(,) = δ(,) + (,). Più in generale, e eie n arco (,), allora i ha: δ(,) δ(,) + (,), ale l'gaglianza e =.

9 Algorimo di Dijkra L algorimo di Dijkra riole il problema dei cammini minimi con orgene ingola S n grafo orienao (o non orienao) e peao G=(V,E) nel cao in ci i i pei degli archi iano non negaii. Ci ono de iniemi: S: doe d[] = δ(,), qindi n cammino minimo ra e è ao deerminao. Q = V/S: na coda a priorià doe d[] ha il alore del cammino con peo minore finora copero. All inizio, S coniene olo, d[]=, menre Q=V / {} con d[]=.

10 Algorimo di Dijkra DIJKSTRA(G,,). for ogni erice in V[G] // inizializzazione di ogni erice. do d[]. p[] NIL 4. d[] // i comincia dal erice. Q V[G] // coda a priorià 6. S Ø // iniemi dei nodi con cammino minimo roao 7. hile Q Ø // ermina qando la coda Q è oa 8. do EXTRACT-MIN(Q) // prendi il nodo con d[] minore 9. S S U {} // inerici in S for ogni erice in Adj[] / S. do if d[] > d[] + (,) // Procedra rela(,,). hen d[] d[] + [,] // aggiorna cammini minimi per adiacene. p[]. Q.decreae.key(, d[]) // Aggiorna le dianze in Q

11 Eempio y y y (a) (b) (c) y y y (d) (e) (f)

12 Eempio 4,, 6,,9 7,4

13 Compleià Si conideri che la coda con priorià Q come n array lineare: Inizzializzazione empo O( V ) EXTRACT-MIN(Q): ricerca del minimo in Q. Biogna edere i i alori in Q, richiede empo O( V ) EXTRACT-MIN(Q) iene eegio per ogni erice qindi il empo oale è O( V V ) = O( V ) Come in BFS engono, i eamina la lia di adiacenza di ogni erice, che enra olo na ola in S. La omma di e lie di adiacenze è E, più il coo delle decreae key oale O( V E ) Il empo oale dell algorimo di Dijkra è O( E + V ).

14 Compleià L algorimo di Dijkra con binary heap: l analii. Inizializzazione di Q Bild-Heap che corice n heap con V elemeni in O(V). Analii del ciclo di hile V operazioni Erac-Min Ciacna richiede empo O(log V) (oale O(VlogV)) V aggiornameni di S Ciacna richiede empo coane Un oale di O(E) ierazioni del ciclo di for (linee -) in qano la lia di adiacenza di ciacn erice iene candia eaamene na ola (qando è inerio in S) RELAX(,, ) lla linea 8 : L aggiornameno di d[] è effeao eegendo DECREASEKEY( Q,, d[] + (, )) che richiede empo O(log V) [ma nel codice malab O(n) per la ricerca della poizione di nello heap!]. Toale O(ElogV) L aggiornameno di π[] richiede empo coane Tempo oale: O(Vlog V + E log V)

15 Rappreenazione dei cammini minimi Come nella iia in ampiezza (BFS), l algorimo Dijkra definice n oografo dei predeceori T p =(V p,e p ). L albero che ne ege coniene i cammini minimi indiidai da ad ogni erice raggingibile. Noa: qeo ale olo al ermine dell algorimo y y T p =(V p,e p )

16 Problemi Algorimo Dijkra 4

17 Problemi Algorimo Dijkra 4

18 Problemi Algorimo Dijkra - - Solzione di Dijkra Solzione Oimale

19 Algorimo di Bellman-Ford Ricordiamo che per ogni arco (,) in E e per ogni erice in V, ale: Tecnica del Rilaameno: Si pare da ime per ecceo delle dianze Dy d y Si aggiornano le ime, decremenandole progreiamene fino a renderle eae.

20 Algorimo di Bellman-Ford Eege n ierazioni In ciacna ierazione rilaa i gli archi Dopo la j-eima paaa, i primi j rilaameni correi ono ai ceramene eegii Eege però moli rilaameni inili!

21 Algorimo di Bellman-Ford Inizalmene, d[] = e d[] = per Vengono fae V - paae Ad ogni paaa, applica il rilaameno ad ogni arco Bellman_Ford(G,) Tempo = O( V E ) Inizializza(G,,d) for i = o V - do for each arco (,) in E do rela(,,) for each arco (,) in E //conrollo preenza cicli nagaii do if d[] > d[] + (,) hen rern FALSE rern TRUE

22 Eempio Algorimo Bellman-Ford 4 -

23 Eempio Algorimo Bellman-Ford

24 Eercizi. Implemenare l'oggeo MATLAB grafo non direo peao, in ci gli archi hanno n peo. Implemenare la lia di adiacenza come lia concaenaa in ci gli elemeni ono rre con campi nodo e peo. Scriere n programma MATLAB che implemeni l'algorimo di Bellman-Ford grafo (direo o non direo) rappreenao mediane lia di adiacenza. Scriere n programma MATLAB che permee all'ene di geire n grafo direo peao (inerire erici ed archi,cancellare archi) e calcolare i cammini minimi ra de erici pecificai mediane nome