ESERCITAZIONE SULLE OSCILLAZIONI PERMANENTI IN UN SISTEMA DI LUR E

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1 ESERCITAZIONE SULLE OSCILLAZIONI PERMANENTI IN UN SISTEMA DI LUR E

2 BREVE RIPASSO Stdio di oscillazioni permanenti in n sistema dinamico tempo inariante soggetto a ingressi costanti, composto da n elemento non lineare interconnesso ad n elemento lineare (sistema di Lr e) sistema in forma canonica

3 METODO DELLA FUNZIONE DESCRITTIVA Se esiste n regime periodico atosostento di periodo T, allora

4 METODO DELLA FUNZIONE DESCRITTIVA Se esiste n regime periodico atosostento di periodo T, allora Corrispondentemente (risposta periodica di sistema lineare) doe e

5 METODO DELLA FUNZIONE DESCRITTIVA Se esiste n regime periodico atosostento di periodo T, allora Sotto l ipotesi dell azione filtrante, cioè

6 METODO DELLA FUNZIONE DESCRITTIVA Se esiste n regime periodico atosostento di periodo T, allora Sotto l ipotesi dell azione filtrante, cioè e qindi scegliendo opportnamente l origine dei tempi

7 EQUAZIONI DI CONGRUENZA Bilancio dei alori medi fnzioni descrittie a dplice ingresso

8 Bilancio dei alori medi EQUAZIONI DI CONGRUENZA

9 EQUAZIONI DI CONGRUENZA Bilancio delle prime armoniche fnzioni descrittie a dplice ingresso

10 EQUAZIONI DI CONGRUENZA Bilancio dei alori medi Bilancio delle prime armoniche 3 eqazioni reali nelle 3 incognite

11 CASO PARTICOLARE: E 0 << E 1 Eqazione di congrenza o di bilancio armonico : oscillazione simmetrica fnzione descrittia a ingresso pramente sinsoidale È detta anche eqazione psedo-caratteristica

12 CASO PARTICOLARE: E 0 << E 1 Osserazione: qando è soddisfatta l ipotesi E 0 << E 1? oscillazione simmetrica Basta scegliere U in modo che E 0 = 0. Se Y = 0, allora U = 0 e N y

13 FUNZIONE DESCRITTIVA Se N è n elemento non lineare "da caratteristica", cioè è completamente descritto dalla caratteristica ingresso scita, il alore delle fnzioni descrittie è indipendente da Se inoltre la caratteristica di N è ad n solo alore (y = f()), le fnzioni descrittie sono ttte reali

14 CASO PARTICOLARE: N DA CARATTERISTICA

15 STABILITA DELLE OSCILLAZIONI Ipotesi: N da caratteristica Sia (E*, *) na solzione dell eqazione di congrenza associata all oscillazione permanente: e(t) = E*cos( *t)

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17 METODO DELLA FUNZIONE DESCRITTIVA Si tratta di n metodo eristico, in qanto basato sll ipotesi dell azione filtrante se le eqazioni di congrenza ammettono na solzione, allora si potrebbero aere oscillazioni permanenti con la plsazione e ampiezza per e(t) determinate dalla sddetta solzione pò accadere che oscillazioni permanenti identificate non siano presenti, e, iceersa, che esistano oscillazioni permanenti anche se il metodo non ne identifica nessna

18 ESERCIZIO 1 y e N y k 1 Determinare i alori di k e T in modo che, in base al metodo della fnzione descrittia, l oscillazione rislti compatibile con il sistema qando

19 ESERCIZIO 1: SOLUZIONE Dato che, allora lo schema e N y è eqialente a qello in forma canonica N con e le eentali oscillazioni preiste dal metodo delle fnzione descrittia sono simmetriche

20 ESERCIZIO 1: SOLUZIONE N L ampiezza V e la plsazione di si ottengono risolendo l eqazione di psedocaratteristica Dato che ogliamo che in modo che allora determiniamo T e k

21 ESERCIZIO 1: SOLUZIONE k 1 D(V) è na fnzione reale (positia) e D(2) = 0,6 k

22 ESERCIZIO 1: SOLUZIONE N L eqazione corrisponde alle 2 eqazioni:

23 ESERCIZIO 1: SOLUZIONE N Dalla prima eqazione ricaiamo T:

24 ESERCIZIO 1: SOLUZIONE N Dalla seconda eqazione possiamo ora determinare k:

25 ESERCIZIO 1: SOLUZIONE N L eqazione corrisponde alle 2 eqazioni:

26 ESERCIZIO 2 e MB/2 y Relè con isteresi MB/2 M =1 B/2 = 1 Valtare con il metodo della fnzione descrittia se esiste n oscillazione compatibile con il sistema e se essa è stabile

27 ESERCIZIO 2: SOLUZIONE e MB/2 y Le eentali oscillazioni preiste dal metodo delle fnzione descrittia sono simmetriche (y = 0, U = 0): L ampiezza E e la plsazione sono le solzioni dell eqazione di congrenza:

28 ESERCIZIO 2: SOLUZIONE e MB/2 y Fnzione descrittia del relè con isteresi MB/2: Logo dei pnti critici: Im Re H(E)

29 ESERCIZIO 2: SOLUZIONE e MB/2 y 2 casi possibili: Im nessna oscillazione preista H(E) Re oscillazione preista

30 ESERCIZIO 2: SOLUZIONE

31 ESERCIZIO 2: SOLUZIONE Esiste n intersezione tra il diagramma polare ed il logo dei pnti critici e dato che essa è stabile per il criterio di Cahen- Loeb

32 ESERCIZIO 3 y e N U y Si consideri il sistema di controllo in figra, doe y (t) = Y costante, e è la fnzione di trasferimento di n sistema lineare di ordine 3, mentre l elemento non lineare è rappresentato dalla satrazione 1 1 Sotto l ipotesi dell azione filtrante, scriere le eqazioni di congrenza

33 ESERCIZIO 3: SOLUZIONE y e N U y Se esiste n regime periodico atosostento di periodo T, allora

34 ESERCIZIO 3: SOLUZIONE y e N U y Se esiste n regime periodico atosostento di periodo T, allora Corrispondentemente (risposta periodica di sistema lineare) doe e e qindi (risposta periodica di sistema lineare) doe e

35 ESERCIZIO 3: SOLUZIONE y e N U y Se esiste n regime periodico atosostento di periodo T, allora Sotto l ipotesi dell azione filtrante, cioè che, scegliendo opportnamente l asse dei tempi dienta

36 ESERCIZIO 3: SOLUZIONE y e N U y Bilancio dei alori medi Y è moltiplicato solo per R 0 e non per R 0 G 0 Se R(s) ha poli nell origine, allora

37 ESERCIZIO 3: SOLUZIONE y e N U y Bilancio dei alori medi Y è moltiplicato solo per R 0 e non per R 0 G 0 Se R(s) ha poli nell origine, allora Ancora, se Y = U = 0, V 0 = 0

38 ESERCIZIO 3: SOLUZIONE y e N U y Bilancio delle prime armoniche eqazione inariata.

39 ESERCIZIO 3 y e N U y Posto Y = U = 0 e R(s) =1, dimostrare che esiste n oscillazione compatibile con il sistema e determinarne le caratteristiche (periodo, stabilità o meno)

40 ESERCIZIO 3: SOLUZIONE y e N U y Posto Y = U = 0 e R(s) =1, dimostrare che esiste n oscillazione compatibile con il sistema e determinarne le caratteristiche (periodo, stabilità o meno) Come già osserato, dalla prima eqazione di congrenza si ottiene V 0 = 0 (oscillazione simmetrica, a alore medio nllo)

41 ESERCIZIO 3: SOLUZIONE y e N U y Posto Y = U = 0 e R(s) =1, dimostrare che esiste n oscillazione compatibile con il sistema e determinarne le caratteristiche (periodo, stabilità o meno). Come già osserato, dalla prima eqazione di congrenza si ottiene V 0 = 0 (oscillazione simmetrica, a alore medio nllo) Qindi basta tilizzare la fnzione descrittia a ingresso pramente sinsoidale e l eqazione psedo-caratteristica, doe

42 ESERCIZIO 3: SOLUZIONE k=1 1 D(V) è na fnzione reale positia che parte da 1 e tende a 0 qando V tende all infinito il logo dei pnto critici H(V) sta sl semiasse reale negatio, parte da -1 e a a -

43 ESERCIZIO 3: SOLUZIONE Im H(V) -1 Re Valtiamo ora se il diagramma polare di L(s) interseca H(V), cioè se esiste tale che la fase di L(j ) sia - e il modlo sia maggiore di 1. Calcoliamo prima. Ricordiamo che

44 ESERCIZIO 3: SOLUZIONE Im H(V) -1 Re Valtiamo ora se il diagramma polare di L(s) interseca H(V), cioè se esiste tale che la fase di L(j ) sia - e il modlo sia maggiore di 1. Calcoliamo qanto ale il modlo di L(j )

45 ESERCIZIO 3: SOLUZIONE Im H(V) -1 Re Valtiamo ora se il diagramma polare di L(s) interseca H(V), cioè se esiste tale che la fase di L(j ) sia - e il modlo sia maggiore di 1. Calcoliamo qanto ale il modlo di L(j ) Oscillazione con periodo fnzione descrittia preista dal metodo della

46 ESERCIZIO 3: SOLUZIONE

47 ESERCIZIO 3: SOLUZIONE Esiste n intersezione tra il diagramma polare ed il logo dei pnti critici e dato che essa è stabile per il criterio di Cahen- Loeb

48 ESERCIZIO 3 y e N U y Posto Y = U = 0, progettare R(s) ad n solo polo in modo che, senza alterare tipo e gadagno della parte lineare, il sistema non ammetta oscillazioni permanenti in base al metodo della fnzione descrittia.

49 ESERCIZIO 3: SOLUZIONE y e N U y Posto Y = U = 0, progettare R(s) ad n solo polo in modo che, senza alterare tipo e gadagno della parte lineare, il sistema non ammetta oscillazioni permanenti in base al metodo della fnzione descrittia. Bisogna eitare che il diagramma polare di abbracci il pnto -1 (è come n problema classico di stabilizzazione di n sistema lineare in retroazione)

50 ESERCIZIO 3: SOLUZIONE y e N U y Posto Y = U = 0, progettare R(s) ad n solo polo in modo che, senza alterare tipo e gadagno della parte lineare, il sistema non ammetta oscillazioni permanenti in base al metodo della fnzione descrittia. Una possibile scelta è che ha tipo 0, gadagno nitario e n polo in bassa freqenza che diminisce il gadagno prima che la fase dienti -180

51 ESERCIZIO 3: SOLUZIONE Qando la fase è -180, il modlo sta sotto gli 0dB

52 ESERCIZIO 4 y e N y 0,025 0,25 Posto, determinare attraerso il metodo della fnzione descrittia n alore di > 0 in corrispondenza del qale si abbia n oscillazione permanente e la prima armonica di y(t) abbia ampiezza nitaria. Disctere la stabilità di tale oscillazione.

53 ESERCIZIO 4: SOLUZIONE y e N y Dato che Y = U = 0, le eentali oscillazioni preiste dal metodo delle fnzione descrittia sono simmetriche e l ampiezza V e la plsazione deono soddisfare l eqazione di psedo-caratteristica doe

54 ESERCIZIO 4: SOLUZIONE 0,025 0,25

55 ESERCIZIO 4: SOLUZIONE Im H(V) Re Se 0,25 < V < Vmax, allora si ha na parte del logo dei pnti critici che sta sl semiasse reale negatio e a da a

56 ESERCIZIO 4: SOLUZIONE Im Im H(V) Re H(V) Re Se V > Vmax, allora si ha l altra parte del logo dei pnti critici che sta sl semiasse reale negatio e a da a

57 ESERCIZIO 4: SOLUZIONE Im Im H(V) Re H(V) Re Ci sono de alori di ampiezza V che corrispondono allo stesso pnto sl logo dei pnti critici: si aranno eentalmente de oscillazioni, na stabile e l altra instabile

58 ESERCIZIO 4: SOLUZIONE e N y Troiamo la plsazione tale che Basta cercare tale che cioè È facile qindi ricaare = 10

59 ESERCIZIO 4: SOLUZIONE e N y Dato che iene richiesto che la prima armonica di y(t) abbia ampiezza nitaria, allora l ampiezza V della prima armonica di (t) alla plsazione = 10 sarà Corrispondentemente

60 ESERCIZIO 4: SOLUZIONE e N y Dato che iene richiesto che la prima armonica di y(t) abbia ampiezza nitaria, allora l ampiezza V della prima armonica di (t) alla plsazione = 10 sarà Corrispondentemente Qindi per troare basta imporre che

61 ESERCIZIO 4: SOLUZIONE 0,25 < V < Vmax V > Vmax Im Im H(V) Re H(V) Re V = 0,5 > Vmax oscillazione stabile